Mục đích của luận án nhằm đưa ra điều kiện để luật mạnh số lớn và luật yếu số lớn đối với mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach tương đương với nhau. Bên cạnh đó, luận án đưa ra điều kiện để thu được sự hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p của mảng các phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2).
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ THỦY LUẬT SỐ LỚN VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 9460106 TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Nghệ An, năm 2018 Luận án hồn thành Trường Đại học Vinh Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Lê Văn Thành GS TSKH Nguyễn Duy Tiến Phản biện 1: PGS.TS Ngơ Hồng Long Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Phản biện 2: TS Lê Hồng Sơn Trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Vinh Phản biện 3: PGS.TS Phan Đức Thành Hội Toán học Nghệ An Luận án bảo vệ Hội đồng chấm luận án cấp Trường Tại Trường Đại học Vinh Vào hồi 8h00’ ngày 30 tháng 01 năm 2019 Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin – Thư viện Nguyễn Thúc Hào thuộc Trường Đại học Vinh MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài 1.1 Luật số lớn toán cổ điển lý thuyết xác suất, khẳng định trung bình cộng biến ngẫu nhiên độc lập phân phối hội tụ theo nghĩa kì vọng biến ngẫu nhiên Trong nhiều năm gần đây, luật số lớn nhiều nhà toán học tiếp tục quan tâm nghiên cứu Luật số lớn có nhiều ứng dụng thống kê, toán kinh tế, khoa học tự nhiên nhiều lĩnh vực khác Chính vậy, việc nghiên cứu luật số lớn khơng có ý nghĩa lý thuyết mà có ý nghĩa thực tiễn 1.2 Logic tự nhiên phát triển định lý giới hạn lý thuyết xác suất dẫn đến nhiều kết tổng quát kết cổ điển Một hướng tổng quát từ kết có biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực mở rộng sang cho phần tử nhận giá trị không gian Banach, từ kết có dãy mở rộng sang kết mảng hai hay nhiều số phần tử ngẫu nhiên Có nhiều câu hỏi đặt “từ kết cho dãy số có, liệu thiết lập kết tương tự cho mảng nhiều số không?”, “phương pháp chứng minh kết cho dãy số có vận dụng trường hợp mảng nhiều số không?”, Trong luận án này, nghiên cứu số định lý giới hạn dạng luật số lớn mảng hai số phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả li Các kết thu mảng hai số tổng quát thành mảng nhiều số phương pháp hoàn toàn tương tự 1.3 Bên cạnh dạng hội tụ hầu chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, lý thuyết xác suất ta xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình Hội tụ đầy đủ theo trung bình dạng hội tụ mạnh hội tụ đầy đủ hội tụ theo trung bình Tuy nhiên, kết hội tụ chưa thật phong phú 1.4 Xác suất không gian Banach hướng nghiên cứu quan trọng lý thuyết xác suất Có nhiều định lý giới hạn khơng gian thực khơng không gian Banach Với lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận án là: “Luật số lớn hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach” Mục đích nghiên cứu Trong luận án này, đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach tương đương với Bên cạnh đó, luận án đưa điều kiện để thu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) Trong trường hợp không gian Banach không không gian Rademacher dạng p, chứng minh hội tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn Luận án nghiên cứu điều kiện cần đủ cho hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối Cuối cùng, chúng tơi trình bày dạng tổng quát số bất đẳng thức cổ điển ứng dụng bất đẳng thức để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) mảng phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối, độc lập không phân phối độc lập đôi phân phối nhận giá trị không gian Banach thực khả li Phạm vi nghiên cứu Luận án tập trung nghiên cứu luật số lớn, hội tụ đầy đủ theo trung bình hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực, khả li với giả thiết độc lập độc lập đôi Đồng thời, luận án nghiên cứu dạng tổng quát số bất đẳng thức cổ điển bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Sau đó, chúng tơi vận dụng dạng tổng quát bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) mảng phần tử ngẫu nhiên kéo theo luật mạnh số lớn Phương pháp nghiên cứu Chúng sử dụng phương pháp độc lập nghiên cứu tài liệu, seminar theo nhóm chủ trì thầy hướng dẫn, trao đổi với nhà khoa học ngồi nước Các cơng cụ chủ yếu sử dụng luận án bất đẳng thức cực đại bất đẳng thức de Acosta, bất đẳng thức Lévy, bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen, bất đẳng thức Ottaviani, bất đẳng thức đối xứng yếu, bất đẳng thức đối xứng mạnh Đặc biệt, luận án sử dụng phương pháp dãy con, phương pháp xấp xỉ, phương pháp đối xứng hóa để chứng minh kết luật số lớn hội tụ mảng phần tử ngẫu nhiên Ý nghĩa khoa học thực tiễn Các kết luận án góp phần làm phong phú thêm cho hướng nghiên cứu luật số lớn, hội tụ đầy đủ, hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Luận án tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học nghiên cứu sinh chuyên ngành Lý thuyết xác suất Thống kê toán học Tổng quan cấu trúc luận án 7.1 Tổng quan luận án Luật số lớn Bernoulli công bố vào năm 1713 Về sau kết mở rộng Poisson, Chebyshev, Markov Khintchin Tuy nhiên phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn Borel phát kết Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1933 Sau kết mở rộng Marcinkiewicz Zygmund Đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, năm 1973 Smythe thiết lập luật mạnh số lớn dạng Kolmogorov Sau đó, luật mạnh số lớn Marcinkiewicz-Zygmund mảng nhiều số nghiên cứu Gut năm 1978, Klesov năm 1985 Trong luận án, tiếp tục nghiên cứu luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Cụ thể hơn, chúng tơi đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn tương đương với Về dạng hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0), khái niệm đưa Chow năm 1988 cho trường hợp dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Năm 2006, tác giả Rosalsky, Thành Volodin thiết lập hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Trong luận án, tiếp tục nghiên cứu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Rademacher dạng p Đối với không gian Banach bất kì, chúng tơi chứng minh từ Smn /(mn)(p+1)/p , p ≥ hội tụ đầy đủ theo trung bình kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → h.c.c m ∨ n → ∞ Bên cạnh đó, chúng tơi nghiên cứu điều kiện cần đủ hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi Các bất đẳng thức đánh giá xác suất đuôi tổng biến ngẫu nhiên đóng vai trò quan trọng lý thuyết xác suất Chúng chìa khóa để thiết lập luật số lớn định lý giới hạn khác Từ bất đẳng thức cổ điển Etemadi, Lévy, Ottaviani, Hoffmann-Jørgensen, năm 1991 Etemadi chứng minh bất đẳng thức cho trường hợp mảng d số phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Sau đó, năm 2013 tác giả Li Rosalsky thiết lập dạng tổng quát bất đẳng thức cổ điển Trong luận án, nghiên cứu dạng tổng quát bất đẳng thức cổ điển cho trường hợp mảng hai số Sau đó, chúng tơi vận dụng kết để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn 7.2 Cấu trúc luận án Ngồi phần Một số kí hiệu thường dùng luận án, Mở đầu, Kết luận chung kiến nghị, Danh mục cơng trình liên quan trực tiếp đến luận án Tài liệu tham khảo, nội dung luận án trình bày chương Chương dành để nghiên cứu luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị không gian Banach thực, khả li Cụ thể hơn, đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập tương đương với Chương nghiên cứu hội tụ đầy đủ hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên Chương gồm hai mục Mục 2.1 đưa đặc trưng không gian Rademacher dạng p liên quan đến hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p Bên cạnh đó, mục 2.1, chúng tơi chứng minh hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → h.c.c Ngoài ra, chúng tơi đưa hai phản ví dụ để minh họa cho kết Phản ví dụ thứ hội tụ đầy đủ hội tụ theo trung bình khơng kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình Phản ví dụ thứ hai Định lý 2.1.3, làm yếu giả thiết độc lập giả thiết độc lập đôi Trong Mục 2.2, đưa điều kiện cần đủ cho hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi Ở mục này, đưa ví dụ để Định lý 2.2.2, ta thay giả thiết mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối giả thiết độc lập, bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên bị chặn Các kết chương Định lý 2.1.2, Định lý 2.1.3 Định lý 2.2.2 Chương dành để nghiên cứu dạng tổng quát số bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani Hoffmann-Jørgensen mảng hai số phần tử ngẫu nhiên độc lập Sau đó, chúng tơi trình bày vận dụng dạng tổng quát bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn Các kết chương Định lý 3.2.1, 3.2.2, 3.2.3, 3.2.4 Định lý 3.3.2 6 CHƯƠNG MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHƠNG GIAN BANACH Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Chúng đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn tương đương với Các kết chương viết dựa báo [1] Trong luận án này, khơng nói thêm ta giả sử X, V, Xmn , Vmn , Xn phần tử ngẫu nhiên xác định không gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) nhận giá trị không gian Banach thực, khả li E Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên, ta ln kí hiệu m n Xij , m ≥ 1, n ≥ Smn = i=1 j=1 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Mục này, trình bày số kiến thức chuẩn bị bổ đề để làm cơng cụ để nghiên cứu nội dung chương như: Định nghĩa dạng hội tụ mảng, chuỗi hai số số thực, dạng hội tụ phần tử ngẫu nhiên Trong mục này, giới thiệu bổ đề Borel-Cantelli hai số cho trường hợp độc lập đôi 1.1.1 Bổ đề (Bổ đề Borel-Cantelli cho mảng hai số) Giả sử {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng biến cố Khi ta có khẳng định sau 7 (i) Nếu ∞ m=1 ∞ n=1 P(Amn ) < ∞, P(lim sup Amn ) = (ii) Nếu {Amn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng biến cố độc lập đôi ∞ ∞ P(Amn ) = ∞, m=1 n=1 P(lim sup Amn ) = Định nghĩa sau trình bày không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) 1.1.2 Định nghĩa Giả sử {rj , j ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối thỏa mãn P(r1 = 1) = P(r1 = −1) = Không gian Banach E gọi không gian Rademacher dạng p (p ≥ 1) tồn số C > cho với i ≥ với vj ∈ E (1 ≤ j ≤ i), 1/p i rj vj E j=1 p 1/p i ≤C vj p j=1 1.1.3 Định nghĩa (i) Mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} gọi độc lập phần tử ngẫu nhiên X {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối với X (ii) Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} hai mảng phần tử ngẫu nhiên Khi {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} gọi độc lập {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập với {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1}, với m ≥ 1, n ≥ 1, {Xij , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} phân phối với {Xij , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} 1.2 Luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị khơng gian Banach Mục trình bày kết chương Định lý 1.2.1 Định lý 1.2.5 đưa điều kiện để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn tương đương với nhau, tương ứng cho trường hợp độc lập không phân phối độc lập phân phối 8 Trường hợp số Định lý 1.2.1 chứng minh de Acosta năm 1981 1.2.1 Định lý Cho α > 0, β > {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập (i) Giả sử ∞ ∞ E Xmn m=1 n=1 p < ∞ với ≤ p ≤ mαp nβp (1.2.1) Khi đó, Smn P → m ∨ n → ∞ mα nβ (1.2.2) Smn → h.c.c m ∨ n → ∞ mα nβ (1.2.3) (ii) Giả sử ∞ ∞ m=1 n=1 E Xmn 2p m2αp+1−p n2βp+1−p < ∞ với p > (1.2.4) Khi đó, luật yếu số lớn (1.2.2) luật mạnh số lớn (1.2.3) tương đương Chứng minh Định lý 1.2.1 gồm nhiều bước Vì để chứng minh định lý chúng tơi chia nhỏ bước việc chứng minh ba bổ đề Bổ đề đảm bảo Định lý 1.2.1 ta cần chứng minh cho mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} với giả thiết phần tử ngẫu nhiên đối xứng 1.2.2 Bổ đề Cho α > 0, β > {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} hai mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} Khi Smn → h.c.c m ∨ n → ∞ mα nβ (1.2.5) n j=1 (Xij mα nβ (1.2.6) m i=1 − Xij ) → h.c.c m ∨ n → ∞, Smn P → m ∨ n → ∞ mα nβ (1.2.7) Bổ đề thứ hai Xmn ≤ mα nβ h.c.c., m ≥ 1, n ≥ luật yếu P số lớn Smn /(mα nβ ) → m ∨ n → ∞ tương đương với Smn → Lp với mn p > 1.2.3 Bổ đề Cho α > 0, β > {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng cho Xmn ≤ mα nβ h.c.c với m ≥ 1, n ≥ Nếu Smn P → m ∨ n → ∞, mα nβ (1.2.8) Smn → Lp m ∨ n → ∞ mα nβ (1.2.9) với p > 0, Chúng ta sử dụng bất đẳng thức Lévy cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng làm chìa khóa để chứng minh bổ đề sau 1.2.4 Bổ đề Cho α > 0, β > {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng Khi đó, Smn → h.c.c m ∨ n → ∞ mα nβ (1.2.10) 2m −1 2n −1 i=2m−1 j=2n−1 2mα 2nβ Xij → h.c.c m ∨ n → ∞ (1.2.11) Bằng phương pháp chứng minh tương tự sử dụng chứng minh Định lý 1.2.1, ta thu Định lý 1.2.5 Kết dạng luật số lớn Marcinkiewicz-Zygmund mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối nhận giá trị không gian Banach thực khả li Định lý 1.2.5 chứng minh Giang năm 1995 Mikosch, Norvaiˇsa năm 1987 Tuy nhiên, cách chứng minh chúng tơi trình bày hồn tồn khác với cách chứng minh tác giả 1.2.5 Định lý Cho ≤ p < {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập phân phối cho E( X11 p log+ X11 ) < ∞ Khi đó, Smn P → m ∨ n → ∞ (mn)1/p (1.2.12) 10 Smn → h.c.c m ∨ n → ∞ (mn)1/p (1.2.13) Kết luận Chương Trong chương này, luận án đạt kết sau: - Đưa điều kiện cần đủ để luật mạnh số lớn luật yếu số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach thực khả li tương đương với - Trình bày cách chứng minh cho luật mạnh số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, nhận giá trị không gian Rademacher dạng p 11 CHƯƠNG SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ THEO TRUNG BÌNH VÀ SỰ HỘI TỤ ĐẦY ĐỦ CỦA MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, chúng tơi trình bày hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên Chúng đưa đặc trưng không gian Rademacher dạng p liên quan đến hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p Trong trường hợp khơng gian Banach khả li tùy ý, chứng minh hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /(mn) → h.c.c m ∨ n → ∞ Chúng tơi trình bày hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối Các kết chương viết dựa hai báo [2,3] 2.1 Sự hội tụ đầy đủ theo trung bình mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Năm 1988, Chow giới thiệu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (p > 0) cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực Năm 2006, tác giả Rosalsky, Thanh Volodin thiết lập hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach Kết Rosalsky, Thanh Volodin hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p (1 ≤ p ≤ 2) đưa đặc trưng không gian Banach Rademacher loại p Trong mục này, mở rộng Định lý Định lý ba tác giả sang trường hợp mảng hai số phần tử ngẫu nhiên độc lập Sự mở rộng Định lý sang trường hợp mảng hai số sử dụng kĩ thuật hoàn toàn tương tự 12 trường hợp số, mở rộng Định lý sang trường hợp hai số phức tạp nhiều Sự mở rộng đòi hỏi phải chuyển loạt kết luật số lớn từ số sang hai số Trước tiên, giới thiệu khái niệm hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên 2.1.1 Định nghĩa Cho p > Mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} gọi hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p đến phần tử ngẫu nhiên X ∞ ∞ E Xmn − X p < ∞ m=1 n=1 c,Lp Khi ta kí hiệu Xmn → X c,Lp Lp c Dễ thấy Xmn → X Xmn → X Xmn → X m ∨ n → ∞ Tuy nhiên, điều ngược lại nói chung khơng Trong mục này, chúng tơi đưa ví dụ tồn mảng phần tử ngẫu nhiên {Vmn , m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa c Lp mãn Vmn → X Vmn → X m ∨ n → ∞, Vmn c,Lp X Bây chúng tơi trình bày kết mở rộng Định lý ba tác giả sang trường hợp mảng hai số Kết đưa đặc trưng không gian Rademacher dạng p 2.1.2 Định lý Cho ≤ p ≤ E không gian Banach thực khả li Khi khẳng định sau tương đương (i) E không gian Rademacher dạng p (ii) Với mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên độc lập, kì vọng nhận giá trị E, điều kiện ∞ ∞ m=1 n=1 E Xmn mp np p εmn < ∞ với ε > (2.1.6) i=m+1 j=n+1 Bổ đề đưa điều kiện cần đủ để luật mạnh số lớn Smn /(mn) → h.c.c m ∨ n → ∞ mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập khơng có giả thiết đối xứng 14 2.1.6 Bổ đề Cho {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị không gian Banach E Khi đó, Smn → h.c.c m ∨ n → ∞ mn (2.1.7) Smn P → m ∨ n → ∞ mn (2.1.8) và ∞ ∞ m=1 n=1 P mn 2m 2n Xij > εmn < ∞ với ε > (2.1.9) i=m+1 j=n+1 2.1.7 Nhận xét Năm 2014, Son, Thang Dung chứng minh kết hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mà khơng có giả thiết độc lập Cụ thể hơn, tác giả chứng minh với mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} nhận giá trị không gian Banach thực khả li, điều kiện (mn)(p+1)/p max k≤m, l≤n Skl c,Lp → với ≤ p ≤ kéo theo max Skl → h.c.c m ∨ n → ∞ mn k≤m, l≤n Kết tác giả kết không so sánh với Chứng minh chúng tơi hồn tồn khác với chứng minh ba tác giả Hơn nữa, mục Định lý 2.1.3, giả thiết mảng {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên độc lập làm yếu giả thiết mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi 2.2 Sự hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi nhận giá trị không gian Banach Trong mục này, chúng tơi trình bày hội tụ đầy đủ mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi Kết mục Định lý 2.2.2 Trước trình bày kết hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phát biểu chứng minh kết 15 tương ứng cho mảng biến ngẫu nhiên Sau đó, dùng phương pháp xấp xỉ kết biến ngẫu nhiên, ta thu kết tương ứng cho phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 2.2.1 Mệnh đề Giả sử ≤ p < {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng biến ngẫu nhiên độc lập đôi bị chặn ngẫu nhiên biến ngẫu nhiên X Khi đó, E |X|p log+ |X| < ∞, (2.2.1) với ε > 0, ta có ∞ ∞ k (mn) p−2 l amnij Xij − EXij max P k≤m, l≤n m=1 n=1 > εmn < ∞, (2.2.2) i=1 j=1 {amnij , m ≥ 1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} mảng số thực thỏa mãn m n a2mnij ≤ Cmn với m ≥ 1, n ≥ (2.2.3) i=1 j=1 Bây ta trình bày kết mục Định lý sau thiết lập hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối 2.2.2 Định lý Giả sử ≤ p < 2, {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối Nếu EX = 0, E X p log+ X < ∞, (2.2.4) với ε > 0, ta có ∞ ∞ k p−2 (mn) m=1 n=1 P l max k≤m, l≤n amnij Xij > εmn < ∞, (2.2.5) i=1 j=1 {amnij , m ≥ 1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} mảng số thực thỏa mãn (2.2.3) Ngược lại, (2.2.5) với ε > với mảng số thực {amnij , m ≥ 1, n ≥ 1, i ≥ 1, j ≥ 1} thỏa mãn (2.2.3), ta thu (2.2.4) 16 Trong mục này, chúng tơi ví dụ chứng tỏ Định lý 2.2.2, ta thay giả thiết mảng phần tử ngẫu nhiên {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập đôi một, phân phối, E X log+ X < ∞ giả thiết mảng phần tử ngẫu nhiên {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} độc lập, bị chặn ngẫu nhiên phần tử ngẫu nhiên bị chặn X Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Đưa đặc trưng không gian Rademacher dạng p (1 ≤ p ≤ 2) thông qua hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Smn hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p kéo theo (mn)(p+1)/p S luật mạnh số lớn mn → h.c.c m ∨ n → ∞ (mn) - Chứng minh - Đưa điều kiện cần đủ cho hội tụ đầy đủ tổng kép có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối - Đưa ví dụ minh họa kết hội tụ đầy đủ hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p 17 CHƯƠNG DẠNG TỔNG QUÁT CỦA MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỰC ĐẠI ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, thiết lập dạng tổng quát số bất đẳng thức cổ điển bất đẳng thức Etemadi, Ottaviani cho mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Sau đó, chúng tơi sử dụng bất đẳng thức Ottaviani để chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn Các kết chương viết dựa báo [4] 3.1 Một số kiến thức chuẩn bị Trong mục này, chúng tơi đưa kí hiệu giới thiệu bổ đề liên quan sử dụng để thiết lập kết chương 3.2 Dạng tổng quát số bất đẳng thức cực đại mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Trong mục này, ta sử dụng hàm g : En → [0, ∞) đối xứng theo nghĩa g(−x) = g(x) với x ∈ En Kết mục dạng tổng quát bất đẳng thức Etemadi mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Trường hợp đặc biệt, m n ta chọn gmn (π(xij )m×n ) = xij với π((xij )m×n ) ∈ Emn α = 1, bất i=1 j=1 đẳng thức (3.2.2) sau bất đẳng thức Etemadi(1991) mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập 18 3.2.1 Định lý Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) hàm đo được, đối xứng cho gmn (x + y) ≤ α (gmn (x) + gmn (y)) , với x, y ∈ Emn , (3.2.1) α ≥ số phụ thuộc vào gmn Cho {Xij , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} phần tử ngẫu nhiên độc lập Khi với t ≥ 0, ta có kl kl P max Smn > 28α5 t ≤ 20 max P(Smn > t) 1≤k≤m 1≤l≤n (3.2.2) 1≤k≤m 1≤l≤n Định lý thứ hai mục dạng tổng quát bất đẳng thức Lévy mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng Khi ta chọn m n gmn (π(xij )m×n ) = xij với π((xij )m×n ) ∈ Emn α = 1, bất đẳng i=1 j=1 thức (3.2.4) sau bất đẳng thức Lévy Etemadi(1991) 3.2.2 Định lý Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) hàm đo thỏa mãn điều kiện (3.2.1) gmn (x) ≤ βqmn (2x) với x ∈ Emn , (3.2.3) β > số phụ thuộc hàm gmn Cho {Xij , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} họ gồm mn phần tử ngẫu nhiên độc lập, đối xứng Khi với t ≥ 0, ta có kl mn P max Smn > 56α6 βt ≤ 40P(Smn > t) (3.2.4) 1≤k≤m 1≤l≤n Định lý 3.2.3 sau dạng tổng quát bất đẳng thức Ottaviani m n mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Khi ta chọn gmn (π(xij )m×n ) = xij i=1 j=1 với π((xij )m×n ) ∈ Emn α = 1, t = u, bất đẳng thức (3.2.5) sau bất đẳng thức Ottaviani mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập có Etemadi(1991) 3.2.3 Định lý Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) hàm đo được, đối xứng thỏa mãn điều kiện (3.2.1) Cho {Xij , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} phần tử ngẫu nhiên độc 19 lập Khi đó, với t ≥ 0, u ≥ 0, ta có mn > t) 2P(Smn kl P max Smn > α3 (3t + 4u) ≤ 1≤k≤m 1≤l≤n 1 − max 0≤k≤m−1 0≤l≤n−1 2 (3.2.5) kl > u) P(Tmn Định lý cuối dạng tổng quát bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập Ta ý định lý khơng có giả thiết phần tử ngẫu nhiên đối xứng 3.2.4 Định lý Giả sử gmn : Emn → [0, ∞) hàm đo được, đối xứng thỏa mãn điều kiện (3.2.1) {Xij , ≤ i ≤ m, ≤ j ≤ n} phần tử ngẫu nhiên độc lập Khi đó, ta có khẳng định sau (i) Với s ≥ 0, t ≥ 0, u ≥ 0, ta có mn P(Smn > α2 s + 3α3 (t + u)) kl ≤ P(Nmn > s) + P max Smn > t P max 1≤k≤m 1≤l≤n 0≤k≤m−1 0≤l≤n−1 kl Tmn > u (3.2.6) (ii) Với x ≥ 0, y ≥ 0, ta có mn P(Smn > α2 x + (21α6 + 84α8 )y) 2 kl >y ≤ P(Nmn > x) + 100 max P Smn (3.2.7) 1≤k≤m 1≤l≤n 3.3 Luật mạnh số lớn dạng (p, q) Trong phần này, ta xét mảng {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối Khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) dãy phần tử ngẫu nhiên độc lâp phân phối nhận giá trị không gian Banach giới thiệu Li, Qi Rosalsky năm 2016 Trên ý tưởng đưa định nghĩa sau 20 3.3.1 Định nghĩa Cho < p < q > Ta nói mảng {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa mãn luật mạnh số lớn dạng (p, q) ∞ q ∞ m=1 n=1 mn Smn < ∞ h.c.c (3.3.1) (mn) p Định lý sau kết mục Nội dung định lý khẳng định luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn 3.3.2 Định lý Cho < p < q > Nếu luật mạnh số lớn dạng (p, q) (3.3.1) thỏa mãn ta có luật mạnh số lớn lim m∨n→∞ Smn = h.c.c (3.3.2) (mn) p Để chứng minh Định lí 3.3.2, trước tiên thiết lập bốn bổ đề Bổ đề kết đơn giản giải tích cổ điển 3.3.3 Bổ đề Cho {cmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng số thực không âm Khi (i) n ∞ n ∞ ckl n → ∞ ckl k=1 l=1 (3.3.3) k=1 l=1 ∞ ∞ (ii) Nếu {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng số thực không âm thỏa mãn amn < m=1 n=1 ∞, n max n 1≤k≤n 1≤l≤n i=k j=l ∞ sup bkl ckl n → ∞, aij ckl (3.3.4) k≥1, l≥1 ∞ aij , k ≥ 1, l ≥ bkl = i=k j=l Bổ đề thứ hai mở rộng từ số sang hai số Định lý ba tác giả Li, Qi Rosalsky năm 2015 3.3.4 Bổ đề Cho q > {amn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng số dương cho ∞ ∞ amn < ∞ Giả sử {Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc m=1 n=1 21 ∞ ∞ akl , m ≥ 1, n ≥ γ = lập, đối xứng Đặt bmn = k=m l=n 21−q , 1, < q ≤ q > Khi đó, với t ≥ 0, ta có ∞ P sup bkl Xkl q > γt k≥1, l≥1 ∞ ≤ 2P Xij akl k=1 l=1 q l k >t (3.3.5) i=1 j=1 Bổ đề thứ ba thiết lập cách sử dụng phương pháp tương tự chứng minh Bổ đề ba tác giả Li, Qi Rosalsky năm 2015 3.3.5 Bổ đề Giả sử {c(k, l), k ≥ 1, l ≥ 1} mảng số thực cho ∞ ∞ |c(k, l)| < ∞ (3.3.6) k=1 l=1 {a(m, n, k, l), k ≥ 1, l ≥ 1, m ≥ 1, n ≥ 1} mảng số thực thỏa mãn |a(m, n, k, l)| < ∞ sup m≥1,n≥1 k≥1,l≥1 lim m∨n→∞ a(m, n, k, l) = 0, với k ≥ 1, l ≥ (3.3.7) ∞ ∞ Khi đó, lim m∨n→∞ k=1 l=1 a(m, n, k, l)c(k, l) = Bổ đề thứ tư mở rộng Định lý 1.2.5 Chương Tuy nhiên, phép chứng minh dựa vào Định lý 1.2.5 3.3.6 Bổ đề Giả sử < p < {X, Xmn , m ≥ 1, n ≥ 1} mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập, phân phối thỏa mãn E X p log+ ( X ) < ∞ Khi đó, luật mạnh số lớn (3.3.2) thỏa mãn S2m 2n 2(m+n)/p P − → m ∨ n → ∞ (3.3.8) Kết luận Chương Trong chương này, luận án giải vấn đề sau: - Chứng minh dạng tổng quát bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani Bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen mảng hai số phần tử ngẫu nhiên độc lập - Đưa khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng phần tử ngẫu nhiên chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn 22 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Kết luận chung Luận án thu kết sau đây: - Đưa điều kiện để luật yếu số lớn luật mạnh số lớn tương đương với mảng phần tử ngẫu nhiên độc lập không phân phối độc lập phân phối - Đưa đặc trưng không gian Rademacher dạng p liên quan đến hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p Trong khơng gian Banach khả li tùy ý, luận án chứng minh hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p tổng Smn /(mn)(p+1)/p kéo theo luật mạnh số lớn Smn /mn → h.c.c m ∨ n → ∞ - Đưa điều kiện cần đủ cho hội tụ đầy đủ tổng có trọng số phần tử ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối - Thiết lập dạng tổng quát bất đẳng thức Etemadi, Lévy, Ottaviani bất đẳng thức Hoffmann-Jørgensen - Đưa khái niệm luật mạnh số lớn dạng (p, q) cho mảng phần tử ngẫu nhiên chứng minh luật mạnh số lớn dạng (p, q) kéo theo luật mạnh số lớn Kiến nghị hướng nghiên cứu Trong thời gian tới, dự định nghiên cứu vấn đề sau đây: - Chuyển kết cho trường hợp số Li, Qi and Rosalsky năm 2016 sang trường hợp hai số - Đưa điều kiện để hội tụ đầy đủ hội tụ theo trung bình cấp p kéo theo hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p - Nghiên cứu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p tổng có trọng số mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 23 DANH MỤC CƠNG TRÌNH LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN LUẬN ÁN A Rosalsky, L V Thanh and N T Thuy (2014), On the laws of large numbers for double arrays of independent random elements in Banach spaces Acta Mathematica Sinica, English Series 30, 1353-1364 L V Thanh and N T Thuy (2016), On complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Acta Math Hungar., 150, 456-471 L V Thanh and N T Thuy (2018), Necessary and sufficient conditions for complete convergence for double weighted sums of pairwise independent identically distributed random elements in Banach spaces, to appear in Acta Math Hungar V T N Anh, L V Thanh and N T Thuy (2016), On Generalizations of Maximal Inequalities for Double Arrays of Independent Random Elements in Banach Spaces, Vietnam Institute for Advanced study in Mathematics (VIASM) preprint V T N Anh and N T Thuy (2017), On the conditions for the complete convergence in mean for double sums of independent random elements in Banach spaces, Vinh University Journal of Science: Natural sciences., 46 no 2A, 31-42 Các kết luận án báo cáo tại: - Hội nghị toàn quốc lần thứ 5: “Xác suất - Thống kê: nghiên cứu, ứng dụng giảng dạy” (Đại học Sư phạm Đà Nẵng, 23-25/05/2015), - Seminar Bộ môn Xác suất thống kê Toán ứng dụng thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên-Trường Đại học Vinh (từ năm 2013 đến năm 2018) ... hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p dãy phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach Trong luận án, tiếp tục nghiên cứu hội tụ đầy đủ theo trung bình cấp p mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá. .. CHƯƠNG MỘT SỐ LUẬT SỐ LỚN ĐỐI VỚI MẢNG CÁC PHẦN TỬ NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Trong chương này, nghiên cứu luật số lớn mảng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach. .. hội tụ hầu chắn, hội tụ đầy đủ, hội tụ theo xác suất, hội tụ theo trung bình, lý thuyết xác suất ta xét đến hội tụ đầy đủ theo trung bình Hội tụ đầy đủ theo trung bình dạng hội tụ mạnh hội tụ đầy