Về không gian các dãy nhận giá trị trong không gian p định chuẩn

ệ ì P ệ ì P số ữớ ữợ Pì ệ ệ ử ổ tr tr ổ ởt số tự ổ tr tr ổ ổ p ổ tr tr ổ p ổ tr tr ổ p ởt số t t t t é r t ợ ổ õ trỏ q trồ ợ ổ ổ ữủ t ợ tr tr trữớ ổ ữợ t t ổ ỳ t ổ tr tr ổ ữủ ự tờ qt tr ổ p < p ợ ổ tỡ tổổ tờ qt ỡ ổ ú ổ ữỡ ữ ổ ỗ ữỡ p = p = t ú tr t ổ ổ p ữủ ợ t t ự t ự ổ tr tr ổ p ú tổ ỹ t p ổ tr tr ổ tr ởt số t q t ổ tr tr ổ ỹ trú p ổ tr tr ổ p ữ r ởt số t t ú ữủ tr tr ữỡ ữỡ tr t q ổ p ổ tr tr ổ ữủ tờ qt ỡ tr ữỡ ự ỹ trú p ố ợ ổ tr tr ổ p ởt số t t ú ữủ tr tr ữỡ ữủ ú tổ t ự ỹ tr ỳ t q q tở trữớ ủ ổ ổ ữợ ữủ t t trữớ ữợ sỹ ữợ Pữỡ tọ ỏ t ỡ s s t t t t ỡ ữ Pỏ t qỵ ổ tr ữ rữớ ú ù tr sốt q tr t t ố ũ ỷ ỡ tợ tờ trữớ P ỗ t t õ t rữớ t t ủ ú t t tr sốt q tr t ũ õ rt ố ữ tớ ỹ ổ t tr ọ ỳ t sõt rt ữủ ỳ qỵ t ổ ỳ õ ỵ ữủ t ỡ t ó ỳ ì ữỡ tr ỳ tự ỡ s ũ s t ợ ổ tr tr ổ ởt số tự ởt số t q ổ ổ ũ s t q õ t t t tr E ổ t t tr trữớ K : E R ữủ ởt tr E t s x ợ x E x = x = x = || x ợ K ợ x E x + y x + y , ợ x, y E õ (E, ) ữủ ởt ổ ổ ổ tr ợ tr s d(x, y) = xy , x, y E ổ E ữủ ổ E ợ tr s ợ tổổ s tr s t ổ ữợ tr E tử E, F ổ ỵ L(E, F ) t ủ t t tử tứ E F t L(E, F ) ổ ợ f = sup f (x) , f L(E, F ) x =1 F ổ t L(E, F ) ổ t L(E, K) := E ổ ủ tự t E ụ ổ ợ ổ q tở s ữủ q t tr ú tổ sỷ K trữớ số tỹ số ự ỵ l = x = (xn ) K : (xn ) ; C = x = (xn ) K : (xn ) tử ; C0 = x = (xn ) K : lim xn = ; n |xn |p < , p lp = x = (xn ) K : n=1 ợ t ởt số ợ ởt tổ tữớ t õ l (E) ổ t t C C0 lp ổ l ỡ ỳ lp C0 C l t l ổ ợ x = sup |xn |, x l n t C0 , C ổ õ l t ú ụ ổ ợ tr lp ổ õ tr l ố ợ lp ữớ t t ổ tự x p p |xn | = 1/p , x lp n=1 õ lp ụ ởt ổ r ổ tr X ữủ ổ tr X õ t ữủ trũ t tr X r t t t ổ C0 , C, lp ổ ỏ l ổ ổ (X, d) (Y, ) ổ tr f : X Y f ữủ tử ợ {x } X x n n x t f (xn ) f (x) f ữủ tử ợ > tỗ t = () s (f x, f y) < , x, y X, d(x, y) < ự ữủ tử tử ữủ ổ ú d, tr tr X d ữủ tữỡ ữỡ ỗ t id : (X, d) (X, ) ữủ õ tử d ữủ tữỡ ữỡ ỗ t id : (X, d) (X, ) ữủ õ tử ữớ t ự ữủ d ữủ tữỡ ữỡ tỗ t a, b > s ad(x, y) ợ x, y X (x, y) bd(x, y) tr ổ t t E ữủ tữỡ ữỡ tỗ t a, b > s a x x b x ợ x E ó r tữỡ ữỡ s tữỡ ự r tr tữỡ ữỡ ỵ E, F ổ f : E F ởt s õ m x f (x) M x ợ x E t f ởt ữ tr ổ t t E tữỡ ữỡ t (E, ) (E, ) ổ tỡ tổổ ởt ổ tỡ ũ ợ ởt tổổ tr õ s t ổ ữợ tử U tr ổ tỡ X ữủ K || < t U ữủ U U ợ út ợ x X tỗ t > s x U ợ || < r ổ tỡ tổổ ổ tỗ t ỡ s U ỗ t út ợ U U tỗ t V U s V + V U U ổ tỡ X ữủ ỗ ợ x, y U ợ ổ tỡ tổổ ữủ t x + (1 )y U ỗ ữỡ õ õ ỡ s U ỗ t ỗ U ổ tỡ tổổ E ữủ ợ V t > s tỗ t s > s U tV ợ ổ tỡ tổổ ữủ ữỡ õ tỗ t t ộ ổ ữỡ ổ õ ỡ s ữủ t ổ tỡ tổổ õ ỡ s ữủ t õ tr ộ ổ ữỡ tr ổ tỡ tổổ E ữủ F ổ tỗ t tr d t tr E tự d(x, y) = d(x + z, y + z) ợ x, y, z E s (E, d) tr d s r tổổ E ữ ộ ổ ữỡ F ổ ộ F ổ ỗ ữỡ ữủ ổ rt ó r ộ ổ ởt ổ ỗ ữỡ ữỡ Bn = {x E : x < }, n = 1, 2, n ỡ s ỗ t ỗ E ỡ ỳ ữớ t ự ữủ t q q trồ s ỵ ổ tỡ tổổ õ ỗ ữỡ ữỡ s t ộ ổ ữỡ õ t ổ ỗ ữỡ t ổ lp = {x = {xn} R : p n=1 |xn | < +} ợ < p < õ lp ổ tỡ ợ t ổ ữợ t số tữỡ ự ỡ ỳ lp F ổ ợ tr t |xn yn |p d(x, y) = n=1 ợ x, y lp lp ổ ổ ỗ ữỡ ỵ s ởt t q tữỡ tỹ ữ trữớ ủ ổ ỵ ổ p E õ õ t ủ t ỗ ữủ tỷ ì P r ữỡ tr tự t ú tổ ỹ trú p p ố ợ ổ tr tr ổ p r tự ú tổ ự ởt số t t ợ ổ ỹ ữủ tr tr ữỡ ữủ ú tổ t ự ỹ tr ỳ t q q tở trữớ ủ ổ ổ ữợ ổ tr tr ổ p r t t E ổ p ợ p ỵ l (E) = x = (xn ) E : ( xn ) : số õ t q s ỵ l(E) ổ p ợ ữủ x = sup xn , n ợ x l(E) ỡ ỳ E ổ p t l(E) ổ p ự t t tr l(E) x + y = (xn + yn ), x = (xn ) ợ x = (xn ), y = (yn ) l (E) K rữợ t t r t t tứ x, y l (E) s r supn xn < supn yn < õ sup xn + yn sup xn + sup yn < n n n t x + y l (E) ợ K t õ sup xn = sup ||p xn < , n n tự (x) l (E) ữ t tr ỡ ỳ t tr ữủ l (E) ổ t t ỡ t tr tỷ ổ l = (0, , 0, ) tr õ tỷ ổ E t ự ổ tự x = sup xn , n p tr l (E) t t tr p ó r x = supn ợ x = (xn ) l (E) õ xn x = sup xn = xn = 0, n xn = 0, n, n tự x = ợ K x = (xn ) l (E) t õ x = sup xn = sup ||p xn = ||p sup xn = ||p x n n n ợ x, y l (E) t õ x + y = sup xn + yn n sup xn + sup yn = x + y n n l (E) ổ p sỷ E ổ p (xk ) l (E) õ ợ > tỗ t k0 s xk xl = sup xkn xln < , k, l k0 n r ợ ộ n = 1, 2, t õ xkn xln < ợ k, l k0 tự (xkn ) k=1 tr E E ổ p lim xkn = xn E ợ ộ n = 1, 2, t k x = (x1 , x2 , , xn , ) õ tứ ố k k0 l t ữủ sup xkn xn < , k k0 , n tự xk x < ợ k k0 xk x k ứ s r xkn0 xn < ợ n xn xkn0 xn + xkn0 < c < ợ n tự x l (E) ữ l (E) ổ t t t ợ ổ tử tợ tr tr ổ p ỵ C0 (E) = x = (xn ) E : (xn ) tử tợ ; ỵ C0(E) ổ õ l(E) t E ổ t C0(E) ổ ự tr ữủ C0(E) ổ l(E) ự C0 (E) õ tr l (E) sỷ (xk ) C(E) xk x tr l (E) õ ợ ộ > tỗ t k0 s xk x = sup xkn xn < , k n k0 xk0 C0 (E) tỗ t n0 s xkn0 < , n n0 ứ t ữủ xn ợ n xkn0 xn + xkn0 < n0 tự x C0 (E) t C0 (E) õ tr l (E) E ổ t l (E) ụ ổ õ ổ õ C0 (E) õ ụ ổ ỵ C(E) = x = (xn ) E : tử tr E ỵ C(E) ổ l(E) t E ổ p t C(E) ổ ự tr ữủ C(E) ổ l(E) sỷ E ổ p (xk ) C(E) tử tợ x l (E) s r x C(E) t ợ > tứ lim xk = x s r k tỗ t k0 s xk x = sup xkn xn < n r k0 ợ n = 1, 2, t (xkn0 ) tử tr E xkn xn < ợ k õ tự tỗ t n0 s xkm0 xkn0 < ợ m, n n0 ợ m, n xm xn n0 t õ xm xkm0 + xkm0 xkn0 + xkn0 xn < (xn ) tr E E ổ x = (xn ) tử tr E x C(E) ữ C(E) ổ õ l (E) E ổ p l (E) ổ p t C(E) ổ p ỵ lq (E) = x = (xn ) E : xn q < ,q n=1 ỵ lq (E) ổ p ợ p x q = xn q 1/q , x lq (E) n=1 ỡ ỳ E ổ p t lq (E) ổ p ự t t ự p tr lp(E) ó r x q = q xn 1/q 0, x lq (E) n=1 õ x q = xn 1/q q = xn = 0, n xn = 0, n, n=1 tự x = ợ K x = (xn ) lq (E) t õ x q = xn q q 1/q n=1 pq || n=1 p ||p xn = n=1 = 1/q = || x q xn q 1/q pq = | | xn n=1 q 1/q ợ x, y l (E) t tự r t õ x+y q = xn + yn = lim xk n n + lim = xn + yn n=1 = x q q 1/q 1/q k=1 1/q q yk n k=1 k=1 n 1/q q 1/q ( xk + yk )q = lim n q k=1 n 1/q q n=1 lim x k + yk n n=1 xn + yn n 1/q q q 1/q n=1 + y q lq (E) ổ p sỷ E ổ p (xk ) lq (E) õ ợ > tỗ t k0 s k x x l q xkn xln = 1/q q < , k, l k0 n=1 r ợ ộ n = 1, 2, t õ xkn xln ợ k, l q < k0 tự (xkn ) k=1 tr E E ổ p lim xkn = xn E ợ ộ n = 1, 2, t k x = (x1 , x2 , , xn , ) õ tứ ố k ữủ xkn xn q 1/q < , k k0 , k0 l t n=1 tự xk x q < ợ k k0 xk x k ứ s r xkn0 x lq (E) x = xk0 (xk0 x) lp (E) ữ lq (E) ổ ỵ xn tử tr E l[E] = x = (xn ) E : n=1 ỵ l[E] ổ p ợ p x = sup xn , x l[E] n ự ợ ộ x = (xn), y = (yn) l[E] õ E n=1 yn n=1 xn =u = v E tự lim n xk = u, lim n k=1 yk = v k=1 r lim n õ (xk + yk ) = lim k=1 n=1 (xn + yn ) n xk + lim k=1 n yk = u + v k=1 = u + v E ự tữỡ tỹ t õ x l[E] ợ K x E r l[E] ổ l (E) õ p ợ p x = sup xn , x l[E] n ởt số t t ử ự ởt số t t ổ tt trữợ ú tổ ự t t ổ l (E) C0 (E) C(E) lq (E) r ú tổ ữ r ởt số ố q ỳ ợ ổ tr ỵ E ổ t lq (E) ợ x q = xn 1/q q , x lq (E) n=1 ổ ự sỷ E õ tỗ t D = {en : n = 1, 2, } s D trũ t tr E Ds t ủ ỗ ỳ số tỷ D ỏ số ỏ õ Ds t ữủ Ds lq (E) ự Ds trũ t tr lq (E) t sỷ x lq (E) õ x = (x1 , , xk , ) s k=1 xk q < õ ợ > tỗ t k0 s xk k=k0 q < , tự yk x < ợ k k0 tr õ yk = (x1 , , xk , 0, 0, ) x1 ej1 < xi eji < 2.k 1/q t zk = (ej1 , ej2 , , ejk , 0, 0, ) õ zk Ds 1/q 2.k k yk zk = xj eji i=1 q 1/q < õ x zk Ds trũ t tr D yk x + zk yk < ổ số tỹ số ự K ợ p z = |z|p ợ z K t t q s q lq (K) ổ q tr õ t ự trỹ t ỵ ợ t t M = {en : n = 1, 2, }, tr õ en số số tự n số ỏ ỵ E ổ t C0(E) ợ p x = sup xn n ổ ự sỷ E õ tỗ t D = {en : n = 1, 2, } s D trũ t tr E Ds t ủ ỗ ỳ số tỷ D ỏ số ỏ õ Ds t ữủ Ds C0 (E) ự Ds trũ t tr C0 (E) t sỷ x C0 (E) õ x = (x1 , , xk , ) s lim xk = r lim supn k t k0 s tự y k x < k k xn = õ ợ > tỗ sup xn < , n k0 ợ k xi eji õ zk Ds x1 ej1 < y k z k = sup k0 tr õ y k = (x1 , , xk , 0, 0, ) < t z k = (ej1 , ej2 , , ejk , 0, 0, ) x1 ej1 , , xk ejk < õ x zk y k x + z k y k < Ds trũ t tr C0 (E) ữỡ tỹ ữ tr t q s q C0(K) ổ q tr õ t ự trỹ t ỵ ợ t t M = {en : n = 1, 2, }, tr õ en số số tự n số ỏ ỵ E ổ t C(E) ợ p x = sup xn n ổ ự sỷ E õ tỗ t D = {en : n = 1, 2, } s D trũ t tr E Dr t ủ ỗ tỷ D s õ ỳ số õ Dr t ữủ Dr C(E) ự Dr trũ t tr C(E) t sỷ x C(E) õ x = (x1 , , xk , ) s lim xk a = ợ a E r lim supn s k k k xn a = õ ợ > tỗ t k0 sup xn a < n k D trũ t tr E tỗ t m s a em < ei1 , eik0 D s x1 ei1 < , , xk0 eik0 < t y = (ei1 , , eik0 , em , em , , em , ) õ y Ds xy sup{ x1 ei1 , , xik0 xk0 , xk0 em , xk0 +1 em , } sup{ x1 ei1 , , xik0 xk0 , xk0 a + a em , xk0 +1 a + a em , } Dr trũ t tr C(E) õ C(E) t ữủ q s q C(K) ổ õ l (E) ổ s ự tọ P ự tữỡ tỹ ữ trữớ ủ ổ l l(K) ổ ổ ự sỷ l(K) õ tỗ t t D = {en} ữủ trũ t tr l (K) S = {f : N K} tr õ f (n) {0, 1} ợ n ó r f l (K) S õ ỹ ữủ q ữủ ợ f, g S f = g s r tỗ t n s f (n) = g(n) |f (n) g(n)|p = ữủ f g = sup |f (n) g(n)| = n q t Bf = {g l (E) : f g < õ Bf rớ t B = {Bf : f S} q ữủ t rớ tứ t trũ t D ợ ộ f tỗ t tỷ tở D s õ tở Bf Bf rớ B q ữủ D q ữủ t ợ D t ữủ l (K) ổ t t ữủ t q s r ởt số t q ỡ ổ ổ tr tr ổ ỹ trú ố ợ ổ tr tr ổ t ỵ ỵ ỵ ỵ ỵ ự t t ổ ổ tr tr ổ p t ỵ ỵ ỵ q q q ỡ s t Pữỡ ổ s rữớ ỵ tt t ts ss ss t tr tt t t rt tts ts sr str tr ss rr r strss rr ss ss q ss rrr r r s t trt t t ss t r Prss r Pts r s rr r [...]... ) t = x ự ứ ừ A = A(x) sup x 1,x=0 q p A t õ sup xE\{0} A(x) x q p = sup x =1 A(x) t t t ừ A t t ừ q t õ A = A(x) sup x xE\{0} x t t y = x x = sup A q p x x=0 1 p ợ x = 0 t y = 1 r 1 p x A = sup A 1 p x x=0 = sup A(y) y =1 ố ũ tứ A(x) sup xE\{0} x A(x) sup q p x 1,x=0 x sup q p A(x) x =1 tự tr t ữủ A = sup xE\{0} A(x) x q p = sup x A(x) 1,x=0 x q p = sup A(x) x =1 ỵ L(E, F ) ... ữủ ởt p tr E ợ 0 < p tỹ ỡ ỳ dp (x, y) = x y 1 p 1 t 1 p ởt tr s r tổổ t t tr E ữớ t ỏ ự ữủ r E ổ ữỡ t tỗ t ởt p tr E s dp (x, y) = x y 1 p tr s r tổổ t t tr E õ ộ ổ ữỡ t ởt p õ tự õ ữủ ữ ởt ổ p ổ p E ữủ ồ p õ ừ ợ tr s p ữ ộ ổ p F ổ ử ổ ữỡ lp 0 < p < 1 ữủ p |xn |p x = n=1 ợ ồ x lp ộ p ởt tỹ tử ự sỷ ởt p tr E ... (E) ợ ồ K t õ sup xn = sup | |p xn < , n 1 n 1 tự (x) l (E) ữ t tr ỡ ỳ t tr ữủ l (E) ổ t t ỡ t tr tỷ ổ ừ l = (0, , 0, ) tr õ 0 tỷ ổ ừ E ớ t ự ổ tự x = sup xn , n 1 p tr l (E) t t tr ừ p ó r x = supn 1 0 ợ ồ x = (xn ) l (E) õ xn x = sup xn = 0 xn = 0, n xn = 0, n, n 1 tự x = ợ K x = (xn ) l (E) t õ x = sup xn = sup | |p xn = | |p sup xn = | |p x n 1 n 1 n 1... fn (x) = n x I õ p p1 1 sin nx 1 fn p = sup n n xI r fn p 0 n {fn } ở tử tợ 0 tr F Dfn (x) = dfn (x) = cos nx, õ Dfn 1 p = sup cos nx p 1 p =1 xI ợ ồ n ữủ Dfn ổ ở tử tợ 0 tr E D ổ tử E F ữủt ổ p ổ q 0 < p, q ồ 1 t t A : U E F ữủ tr U tỗ t C > 0 s A(x) 1 q C x 1 p ợ ồ x U U = E t t õ A t t tr E t tự õ t t ữợ tữỡ ữỡ q A(x) C1 x p , tr õ C1 = C q ... ổ p l (E) ổ p t C(E) ổ p ỵ lq (E) = x = (xn ) E : xn q < ,q 1 n=1 ỵ lq (E) ổ p ợ p x q = xn q 1/q , x lq (E) n=1 ỡ ỳ E ổ p t lq (E) ổ p ự t t ự p tr lp(E) ó r x q = q xn 1/q 0, x lq (E) n=1 õ x q = xn 1/q q = 0 xn = 0, n xn = 0, n, n=1 tự x = ợ K x = (xn ) lq (E) t õ x q = xn q q 1/q n=1 pq || n=1 p | |p xn = n=1 = 1/q = || x q xn q 1/q pq =... ổ ữợ ổ tr tr ổ p r ử t t E ổ p ợ p ỵ l (E) = x = (xn ) E : ( xn ) : số õ t q s ỵ l(E) ổ p ợ ữủ x = sup xn , n 1 ợ ồ x l(E) ỡ ỳ E ổ p t l(E) ổ p ự t t tr l(E) x + y = (xn + yn ), x = (xn ) ợ ồ x = (xn ), y = (yn ) l (E) K rữợ t t r t t tứ x, y l (E) s r supn 1 xn < supn 1 yn < õ sup xn + yn sup xn + sup yn < n 1 n 1 n 1 t... C0 (E) lp (E) ổ ừ l (E) ỡ ỳ lp (E) C0 (E) C(E) l (E) E = K t t ữủ ổ tr ử ỵ l(E) ổ ợ ữủ x = sup xn , n 1 ợ ồ x l(E) ỡ ỳ E ổ t l(E) ổ ỵ C(E) C0(E) ổ õ ừ l (E) t E ổ t C(E) C0(E) ụ ỵ lp(E) ổ ợ x p = xn p 1 /p , x lp (E) n=1 ỡ ỳ E ổ t lp(E) ổ ổ p r ử ú tổ tr ỳ t q ỡ s ổ t t p t ồ ổ p t q ừ ử ỡ ữủ tr r tứ r ử ... ữỡ ừ t t tử t t tr ổ p ỵ E F ữủt ổ p ổ q 0 < p, q 1 t t A : E F õ s tữỡ ữỡ A tử A tử t 0 ỗ t M > 0 s A(x) M x , ợ ồ x E A ộ t tr E t t tr F q p ự ó r (a) (b) (c) (d) ự (b) (c) A tử t 0 õ tỗ t r > 0 s BE (0, r) õ q 1 A tr BF (0, 1) õ ợ x = 0 t r p 1 A(r p x x 1 p ) 1 r q A(x) M x p, x 1 x p BE (0, r) õ p 1 q tr õ M = ó r x = 0 t tự... A(x) A(y) M xy p q ợ ồ x, y E t tự ự tọ A tử tr E t p = q t õ M x tữỡ tỹ A(x) ữ tr ổ E F ữủt ổ p ổ q 0 < p, q 1 L(E, F ) ổ t t tử tứ E F õ L(E, F ) ổ t t ợ t ở ổ ữợ t tổ tữớ ợ ộ A L(E, F ) t t A = inf M : A(x) q p M x ợ ồ x E ỵ A t A(x) A x q p ợ ồ x E ờ s t ữỡ ừ ờ E F ữủt ổ p ổ q 0 < p, q A = sup xE\{0} 1 A(x) x q p A L(E, F )... xy + y r x y xy t y = y x +x y x + x = |1 |p x y + x = x y + x r xy x y ứ s r | x y | xy t tự ự tọ p tử E F ữủt ổ p ổ q A : E F ữủ ồ t t A(tx + y) = tA(x) + A(y) ợ ồ x, y E ợ ồ t K ử s t t t ỳ ổ p õ t ổ tử ử E = C(I, K) ổ p ự tt tử tr I = [0, 1] tr tr K p 0 < p 1 f p = sup |f (x) |p xI F ổ ừ E ự tt f E s f õ df tử tr