Tích phân lơbe của các hàm nhận giá trị trong không gian banach

Lời nói đầu Trong giáo trình cơ sở của Giải tích ta đã biết đến khái niệm tích phân Riman. Nó chỉ áp dụng cho những hàm liên tục hoặc không có quá nhiều điểm gián đoạn. Hàm đo đợc có thể gián đoạn khắp nơi trên miền xác định của nó, cho nên cấu trúc của tích phân Riman trở nên không thuận tiện. Để thay cho khái niệm tích phân Riman đối với những hàm nh thế Lơbe đã đa ra khái niệm tích phân hoàn hảo và linh hoạt hơn. Khác với tích phân Riman, ý cơ bản của tích phân Lơbe là các điểm x đợc nhóm lại không theo dấu hiệu gần nhau trên trục x mà theo sự gần nhau của giá trị hàm tại những điểm đó. Điều đó cho khả năng mở rộng khái niệm tích phân cho những lớp hàm rất rộng. Ngoài ra tích phân Lơbe đợc định nghĩa hoàn toàn nh nhau đối với các hàm cho trên mọi không gian có độ đo. Điều đó đợc thể hiện rõ trong khoá luận này. Trong [2] chúng ta đã biết đến tích phân Lơbe đối với các hàm đo đợc nhận giá trị trong không gian R . Vấn đề đợc đặt ra ở đây là tìm hiểu khái niệm và tính chất của tích phân Lơbe của các hàm nhận giá trị trong không gian Banach mà chúng đã đợc trình bày trong [1]. Sau đó nghiên cứu quan hệ giữa cách trình bày một số khái niệm trong [1] và [2]. Với mục đích đó khoá luận đợc trình bày thành 2 chơng. Chơng 1 dành cho việc xây dựng không gian đo và hàm đo đợc nhận giá trị trong không gian tôpô. Sau đó xây dựng tích phân Lơbe của hàm nhận giá trị trong không gian Banach ở chơng 2. Dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Đinh Huy Hoàng, khoá luận đã hoàn thành tại Tr- ờng Đại học Vinh. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, ngời đã tận tình giúp đỡ tác giả trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu vừa qua. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Tổ Giải tích, trong Khoa Toán, các bạn trong Lớp 40E 3 đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành tốt bản khoá luận này. Vinh tháng 3 năm 2004. Tác giả. Chơng 1 1 Không gian đo và hàm đo đợc Ta gọi không gian đo là một bộ ba (T, F , à ), trong đó F là đại số các tập con của tập hợp T và à là một độ đo trên F . Trong phần này ta giả thiết rằng à là độ đo dơng, đủ và hữu hạn. Đ1. Định nghĩa hàm đo đợc và các ví dụ 1.1. Định nghĩa. Cho (T, F , à ) là một không gian đo, Y là một không gian tôpô tách Hausdoff. Ta nói rằng hàm f : T Y là đo đợc (theo độ đo à ) nếu nó thoả mãn các điều kiện sau 1) f -1 (G) F , với mọi tập mở G Y. 2) f có ảnh hầu khả li tức là tồn tại một tập đếm đợc H Y và một tập N T có độ đo 0 sao cho f (T\N) H . * Nếu T là một tập đo đợc Lơbe trong R k và F là đại số các tập con đo đợc Lơbe của T thì hàm đo đợc f sẽ đợc gọi là hàm đo đợc Lơbe. * Ta nói rằng một tính chất p thoả mãn hầu khắp nơi trên T nếu tập tất cả các phần tử thuộc T mà tại đó tính chất p không thoả mãn có độ đo 0. Ví dụ: Hai hàm f và g: T Y bằng nhau hầu khắp nơi trên T nếu tập {x T: f(x) g(x)}có độ đo 0. 1.2. Chú ý: 1) Nếu f và g là 2 hàm bằng nhau hầu khắp nơi trên T và nếu g đo đợc trên T thì f cũng đo đợc trên T. Thật vậy, nếu đặt N = {x T: f(x) g(x)} thì à (N) = 0. Đối với mọi tập mở G Y ta có f -1 (G) = [f -1 (G) (T\N)] [f -1 (G) N] = [g -1 (G) (T\N)] [f -1 (G) N]. Vì à là độ đo đủ nên f -1 (G) N đo đợc. Theo giả thiết g là hàm đo đợc nên g - 1 (G) đo đợc, do đó g -1 (G) (T\N) đo đợc ((T\N) đo đợc). Nh vậy f -1 (G) đợc biểu diễn dới dạng hợp của 2 tập đo đợc. Vì thế f -1 (G) đo đợc. Điều kiện 1) đợc thoả mãn. Từ giả thiết g đo đợc, tồn tại một tập đếm đợc H Y và tập N có độ đo 0 sao cho g(T\ N) H . Đặt N 0 = N N ta có f(T\N 0 ) g(T\N) H và à (N 0 ) = 0. Vậy f thoã mãn điều kiện 2). 2 2) Trong [2] ta đã học định nghĩa hàm đo đợc f: (T, F, à ) R nh sau: Hàm f đợc gọi là đo đợc trên T(theo độ đo à ) nếu với mọi a R, tập {x T: f(x) < a} là đo đợc. Một câu hỏi đợc đặt ra một cách tự nhiên là trong trờng hợp Y = R thì định nghĩa 1.1 và định nghĩa trong [2] có trùng nhau hay không? Mệnh đề sau sẽ trả lời câu hỏi này. 1.3. Mệnh đề. Giả sử f : T R . Khi đó f đo đợc theo định nghĩa 1.1 khi và chỉ khi với mỗi a R tập {x T: f(x) < a} đo đợc. Chứng minh. Giả sử f đo đợc và a R ta có {x T: f(x) < a} = f -1 ([-, a) là đo đợc vì ([- ; a) là tập mở trong R . Ngợc lại, giả sử với mỗi a R, tập {x T: f(x) < a} đo đợc. Ta dễ dàng chứng minh đợc a R tập {x T: f(x) > a} đo đợc. (1) Do đó a, b R tập {x T: a < f(x) < b} (a b) là đo đợc. (2) Giả sử G là tập mở trong R . Khi đó xảy ra một trong bốn trờng hợp sau G mở trong R, G = E {+}; G = E {-}; G = E {-; +}, trong đó E là tập con mở trong R. 1. Giả sử G mở trong R. Khi đó tồn tại đếm đợc các khoảng (a n , b n ) sao cho G = = 1n (a n , b n ). Ta có f -1 (G) = = 1n f -1 (a n , b n ). Từ các tập dạng (2) đo đợc suy ra f -1 (G) đo đợc. 2. Đặt U = {x T: f(x) = +}. Ta có U = = 1n {x T: f(x) > n}. Từ các tập dạng (1) đo đợc ta có U đo đợc. Tơng tự ta chứng minh đợc V = {x T: f(x) = - } đo đợc. Từ U và V đo đợc suy ra f -1 (G) đo đợc với G nhận 3 dạng còn lại.Vì Q = R nên { } + ;Q = R . Hiển nhiên H = Q {-; +} là đếm đợc và f(T) R = H . Vậy f đo đợc. 1.4. Các ví dụ về hàm đo đợc Ví dụ 1: Nếu f : Y là hàm liên tục trên gian đóng và bị chặn trên R k thì f là hàm đo đợc Lơbe trên . 3 Chứng minh. * Với mọi G mở Y ta cần chứng minh f -1 (G) đo đợc Lơbe. Vì G mở Y, f liên tục nên f -1 (G) mở trong . Suy ra f -1 (G) đo đợc hay f -1 (G) F . * f có ảnh hầu khả li. Vì compact R k mà R k khả li suy ra khả li. Do f là hàm liên tục, khả li nên tồn tại tập D mà D đếm đợc và D = . Do f liên tục nên f(D) đếm đợc và f ( D ) = f(). Suy ra tồn tại H f() Y mà H đếm đợc, H = f(). Lấy tập N = {x : f(x) không liên tục}, N = , suy ra à (N) = 0 mà f(\ N) f() = H . Do đó f (\ N) H . Vậy f có ảnh hầu khả li. Do đó f là hàm đo đợc Lơbe trên . Ví dụ 2: Giả sử X là tập con của R k đo đợc theo Lơbe và f : X Y liên tục hầu khắp nơi trên X. Khi đó f đo đợc. Chứng minh. Đặt N = {x X : f không liên tục tại x}. Khi đó N đo đợc và à (N) = 0. Giả sử G là tập mở bất kỳ của Y. Vì f liên tục trên X \ N nên f -1 (G) là mở trong X\N, nghĩa là tồn tại tập U mở R k sao cho f -1 (G) (X\N) = U (X\N). Vì U và X\N đo đợc nên f -1 (G) (X\N) đo đợc. Mặt khác, từ à (N) = 0 và à là độ đo đủ nên f -1 (G) N đo đợc. Do đó f -1 (G) = (f -1 (G) N) (f -1 (G) (X\N) đo đợc. Bây giờ, vì R k khả li nên X\N khả li. Do đó tồn tại tập E đếm đợc trong X\N sao cho E = X\N. Đặt H = f(E) ta thấy H không quá đếm đợc. Ta sẽ chứng tỏ f (X\N) H . Thật vậy, với mỗi y f(X\N) và V là tập mở bất kỳ trong Y sao cho y V. Ta có F = f -1 (V) (X\N) là tập mở trong X\N, khi đó ắt tồn tại x X \N sao cho y = f(x). Do đó x F. Vì E = X\N nên tồn tại u E F. Ta có f(u) f(E) f(F) H V. Từ đó suy ra y H . Do đó f(X \ N) H . Vậy f đo đợc. Ví dụ 3: Nếu f : T (Y, ) đo đợc thì với mỗi x 0 T hàm x (f(x), f(x 0 )) đo đợc, trong đó là một metric trên Y. Chứng minh. Gọi : T R. 4 x (x) = (f(x), f(x 0 )). Xét hàm g : Y R. y (y, y 0 ). Ta đã biết g liên tục và = g f. * Với mọi G mở trong R, do g liên tục nên g -1 (G) mở trong Y. Vì f đo đợc nên f - 1 (g -1 (G)) = -1 (G) đo đợc trong T. * Vì f đo đợc nên tồn tại H không quá đếm đợc trong Y và tập N T mà à (N) = 0, f(T\ N) H . Vì H không quá đếm đợc nằm trong Y, g liên tục nên g(H) không quá đếm đợc nằm trong R. Ta có (T\ N) = g f (T\ N) = g(f(T\ N)) g( H ). Do đó có ảnh hầu khả li. Vậy đo đợc. Ví dụ 4: Ký hiệu M là không gian Banach tất cả các hàm thực bị chặn trên đoạn [0, 1] với chuẩn sup. Giả sử K là tập Cantor của đoạn [0, 1], ta định nghĩa hàm f : [0, 1] M nh sau f(t) = 0 nếu t [0, 1]\ K, nếu t = K, ở đây là một hàm đặc trng của tập một phần tử { }. Chứng minh. Xét hàm g đồng nhất bằng 0: g(t) = 0 M với mọi t [0, 1], g là hàm liên tục trên [0, 1] nên theo ví dụ 1 nó đo đợc trên [0, 1]. Vì hàm f : [0, 1] M đợc xác định bởi f(t) = 0 nếu t [0, 1]\ K, nếu t = K, và à (K) = 0 nên f = g hầu khắp nơi trên [0, 1]. Do đó f cũng là hàm đo đợc. Đ2. Hàm bậc thang đo đợc 2.1. Khái niệm hàm bậc thang và hàm bậc thang đo đợc 2.1.1. Định nghĩa. - Cho (T, F , à ) là không gian đo. Hàm f xác định trên T với giá trị trong không gian tôpô tách Haussdoff Y đợc gọi là hàm bậc thang trên T nếu f chỉ nhận một số hữu hạn giá trị a 1 , a 2 , ., a n . - Hàm bậc thang f đo đợc khi và chỉ khi f -1 (a i ) là đo đợc (i = n,1 ). 5 Thật vậy, nếu f đo đợc thì f -1 (Y\ a i ) là đo đợc vì (Y\ a i ) là tập mở. Do đó f - 1 (a i ) = T\ f -1 (Y \ a i ) là đo đợc. Ngợc lại, nếu f -1 (a i ) đo đợc, i = n,1 thì từ hệ thức: f(t) = nếu G {a 1 , a 2 , ., a n } = , Ga i f -1 (a i ) nếu G {a 1 , a 2 , ., a n } , suy ra f(G) là đo đợc. Mặt khác vì f(T) = {a 1 , a 2 , ., a n } nên f có ảnh hầu khả li. Do đó f đo đợc. Đặc biệt nếu Y là một không gian Banach thì hàm bậc thang f là đo đợc khi và chỉ khi f đợc viết dới dạng f(x) = = n j 1 i A a i , trong đó A i , (i = n,1 là những tập đo đợc rời nhau từng đôi một sao cho T = n i 1 = A i và a i là những phần tử thuộc Y. 2.2. Các phép toán đối với hàm bậc thang đo đợc. 2.2.1. Định lý. Giả sử Y là một không gian Banach 1) Nếu f,g : T Y là những hàm bậc thang đo đợc thì f +g cũng là hàm bậc thang đo đợc. 2) Nếu f : T Y là hàm bậc thang đo đợc thì f cũng là hàm bậc thang đo đ- ợc với mọi R. Chứng minh. 1) Vì f, g là những hàm bậc thang đo đợc nên f, g đợc biểu diễn d- ới dạng f = n i 1 = i A a i . , A i đo đợc rời nhau, n i 1 = A i = T g = n j 1 = j B b j . , B j đo đợc rời nhau, n j 1 = B j = T Khi đó A i B j là những tập đo đợc rời nhau, T = ji, (A i B j ) và f + g = ji, (a i + b j ) ji BA . Suy ra f + g là hàm bậc thang đo đợc. 6 2) Vì f đo đợc nên ta có f = n i 1 = i A a i , A i rời nhau đo đợc, n i 1 = A i = T, a i Y, i = n,1 . Vì Y - Banach, a i Y nên R, a i Y. Ta có f = n i 1 = i A a i . Do đó f là hàm bậc thang đo đợc. 2.2.2. Ký hiệu: e(T, F , à , Y) là tập hợp tất cả các hàm bậc thang à đo đợc trên T với giá trị trong không gian Banach Y. Định lý 2.2.1 chứng tỏ rằng e(T, F , à , Y) là một không gian vectơ. Đ3. D y hàm hội tụ hầu khắp nơi ã và hội tụ theo độ đo 3.1. Dãy hàm hội tụ hầu khắp nơi (h. k. n) 3.1.1. Định lý (Egôrop): Giả sử {f n } là dãy hàm đo đợc trên T với giá trị trong không gian metric Y. Nếu {f n } hội tụ hầu khắp nơi đến f thì với mọi tập đo đợc A T với à (A) <+ với mọi > 0 cho trớc, tồn tại một tập đo đợc B A, à (A\ B) < để dãy {f n } hội tụ đều đến f trên B. Chứng minh. Giả sử A là một tập con đo đợc của T có độ đo à (A) < + với mỗi n 1, tồn tại một tập N n , à (N n ) = 0 và một tập H n Y, H n đếm đợc sao cho f n (T\ N n ) H . Nếu đặt N 0 = = 1n N n và H = = 1n H n thì f n (T\N 0 ) H , n 1 và à (N 0 ) = 0. Mặt khác do dãy hàm {f n } hội tụ hầu khắp nơi đến f nên tìm đợc một tập 0 N với à ( 0 N ) = 0 sao cho f n (x) f(x), x T\ 0 N . Đặt N = N 0 0 N , A 0 = A\ N. Khi đó à (N) = 0, à (A) = à (A 0 ). Dãy {f n } sẽ hội tụ tại mọi điểm x A 0 và f n (A 0 ) H, n 1. Với mọi > 0 xét tập hợp {x A: (f p (x), f q (x)) < }. Tập này đo đợc vì nó biểu diễn đợc dới dạng hợp đếm đợc của các tập đo đợc dới dạng sau {x A 0 : (f n (x), a) < - n } {x A 0 : (f q (x), a) < n }, a H, n 2. Với mỗi cặp (n, r) các số tự nhiên đặt 7 A n,r = nqp , {x A 0 : (f p (x), f q (x) < r 1 }. Hiển nhiên với mỗi r 1, {A n,r } n là dãy tăng các tập đo đợc và = 1n A n,r = A 0 . Do đó à (A 0 ) = lim à (A n,r ), hay là n lim à (A 0 \ A n,,r ) = 0 (vì à (A 0 ) < +). Bởi vậy với mỗi r 1, n r để à (A 0 \ rn r A , ) < r 2 . Nếu đặt B = = 1r rn r A , thì B A 0 A. Do đó à (A\B) = à (A 0 \B) = à (A\ rn r A , ) = 1r à (A 0 \ rn r A , ) < = 1r r 2 = . Ta còn phải chứng tỏ rằng {f n } hội tụ đều tới f trên B. Cho > 0, chọn r đủ lớn để r 1 < . Khi đó (f p (x), f q (x) r 1 < , p, q n r và n rn r A , B. Cho q ta đợc (f p (x), f(x)) , p n r , x B. Bất đẳng thức này chứng tỏ {f n } hội tụ đến f trên B. 3.1.2. Định lý. Giả sử {f n } là dãy hàm đo đợc trên T với giá trị trong không gian metric Y. Nếu {f n } hội tụ h.k.n đến một hàm f thì f cũng là hàm đo đợc. Để chứng minh định lý trên ta cần đến bổ đề sau * Bổ đề 1. Hàm f : T Y là đo đợc khi và chỉ khi f thoã mãn 2 điều kiện sau 1) Đối với mọi hình cầu đóng S Y, tập f -1 ( S ) là đo đợc. 2) Tồn tại tập N T có à (N) = 0 và một tập đếm đợc H Y sao cho f(T\N) H . Chứng minh. Nếu f đo đợc thì hiển nhiên các điều kiện 1), 2) đợc thoả mãn. Ng- ợc lại giả sử f thoả mãn các điều kiện 1) và 2) để chứng minh f là hàm đo đợc ta chỉ cần chứng tỏ rằng đối với f tạo ảnh của mọi tập đóng là đo đợc. Muốn vậy trớc hết ta chứng tỏ rằng đối với mọi tập đếm đợc M Y, f -1 ( M ) là đo đợc. Với mỗi > 0, đặt U = Ma S (a, ), với S (a, ) là hình cầu đóng tâm a bán kính . Ta có f -1 (U ) = Ma f -1 ( S (a, )). Do đó f -1 (U ) là đo đợc. Chọn dãy n 0, bởi vì M = = 1n n U nên f -1 ( M ) = = 1n f -1 ( n U ). 8 Vậy f -1 ( M ) là đo đợc. Bây giờ giả sử E là một tập con đóng trong Y. Từ điều kiện 2) sẽ có một tập N T, à (N) = 0 và một tập đếm đợc H Y sao cho f(T\N) H . Đặt T 0 = T\N. Ta có f -1 (F) = [f -1 (F) N] [f -1 (F) T 0 ] = [f -1 (F) N] [f -1 (F H ) T 0 ]. Tập f -1 (F) N là đo đợc vì à là độ đo đủ, còn f -1 (F H ) và do đó f - 1 (F H ) T 0 đo đợc vì tập đóng F H có chứa một tập con đếm đợc trù mật trong nó. Vậy f -1 (F) là đo đợc. Chứng minh định lý 3.1.2: Ta sẽ chứng minh hàm f thoả mãn các điều kiện 1) và 2) nêu trong bổ đề trên. Vì f n đo đợc trên T nên tồn tại tập N n có độ đo 0 và một tập H n đếm đợc trong Y sao cho f n (T\N) n H . Theo giả thiết tập N = {x T: f n (x) không hội tụ} cũng là tập có độ đo 0. Đặt N = N ( = 1n N n ) và H = = 1n H n . Khi đó ta sẽ có f(T\N) H . Thật vậy lấy một phần tử tuỳ ý x T\N dãy {f n (x)} sẽ hội tụ về f(x). Với mỗi n, chọn a n H n H để (f n (x), a n ) < n 1 . Ta có (f(x), a n ) (f(x), f n (x)) + (f n (x), a n ). Vì vế phải 0 khi n nên f(x) = n lim a n H f(T\N) H . Vậy f thoả mãn điều kiện 2). Ta còn phải chứng minh f thoả mãn điều kiện 1) của bổ đề 1. Cho S là một hình cầu đóng tuỳ ý trong Y. Do T là tập có độ đo hữu hạn nên có thể viết T = = 1n A n , à (A n ) < +, n 1. Ta có f -1 ( S ) = f -1 ( S ) T = = 1n [f -1 ( S ) A n ]. Nếu mỗi tập trong hợp ở vế phải là đo đợc thì f -1 ( S ) đo đợc. Nh vậy, ta chỉ còn phải chứng minh rằng đối với mọi tập A T, à (A) < + thì f - 1 ( S ) A đo đợc. 9 Theo định lý 3.1.1, > 0, B A với à (A\B) < để dãy hàm {f n } hội tụ đều đến f trên B. Do đó với mỗi số tự nhiên r tồn tại một số tự nhiên n r sao cho (f p (x), f(x)) r 1 , p n r , x B. Khi đó đối với mọi > 0, với mọi y Y, ta có {x B : (f(x), y) } = = 1r r np [x B : (f p (x), y) + r 1 } tức là f -1 ( S (y, )) B = = 1r r np [ 1 p f ( S (y, + r 1 )) B]. Từ đẳng thức này suy ra f -1 ( S (y, )) B là tập đo đợc. Sử dụng định lý 3.1.1 bằng quy nạp dễ dàng xây dựng đợc một dãy các tập đo đợc, rời nhau từng đôi một {B k } (B k A) sao cho = 1 \ k k BA à = 0 và dãy {f n } trên mỗi B k đến f. Đặt N = = 1k A\B k . Theo điều vừa chứng minh trên mọi tập f -1 ( S ) B k là đo đ- ợc. Từ đẳng thức f -1 ( S ) A = [ = 1k (f -1 ( S ) B k )] [f -1 ( S ) N]. Suy ra f -1 ( S ) A là đo đợc. 3.2. Hội tụ theo độ đo 3.2.1. Định nghĩa. Cho f, f n (n = 1,2, .) là những hàm đo đợc trên A F với giá trị trong không gian metric (Y, ). Ta nói rằng dãy hàm {f n } hội tụ theo độ đo à đến f và ký hiệu f n à f nếu với mọi số > 0. Ta có n lim à ({x A: (f n (x), f(x)) }) = 0. 3.2.2 Định lý. Cho (X, F , à ) là một không gian đo với à là độ đo đủ A F và {f n } là dãy hàm đo đợc trong A với giá trị trong không gian metric (Y, ). Nếu f n nkh f trên A và nếu à (A) < + thì f đo đợc và f n à f. Chứng minh. Vì {f n } là dãy hàm đo đợc trên A với giá trị trong không gian metric (Y, ), f n nkh f. Suy ra f đo đợc (theo định lý 3.1.2). Bây giờ ta chỉ cần chứng minh f n à f. Đặt D = {x A : f n (x) / f(x)}. Cho > 0, ta có = = 01 kn {x A : (f n+k (x), f(x)) } D. Do đó 10 . tính chất của tích phân Lơbe của các hàm nhận giá trị trong không gian Banach mà chúng đã đợc trình bày trong [1]. Sau đó nghiên cứu quan hệ giữa cách trình. nhận giá trị trong không gian tôpô. Sau đó xây dựng tích phân Lơbe của hàm nhận giá trị trong không gian Banach ở chơng 2. Dới sự hớng dẫn của PGS.TS. Đinh