Hàm vectơ hầu tuần hoàn và sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian banach

1 bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ------------------ TRầN THị THIÊN HƯƠNG HàM VECTƠ HầU TUầN HOàN Và Sự TồN TạI CáC NGHIệM HầU TUầN HOàN CủA PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TUYếN TíNH THUầN NHấT TRONG KHôNG GIAN BANACH luận VĂN THạC sĩ TOáN HọC Vinh 2007 2 bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ------------------ TRầN THị THIÊN HƯƠNG HàM VECTƠ HầU TUầN HOàN Và Sự TồN TạI CáC NGHIệM HầU TUầN HOàN CủA PHƯƠNG TRìNH VI PHÂN TUYếN TíNH THUầN NHấT TRONG KHôNG GIAN BANACH Chuyên ngành: giảI tích Mã số : 60. 46. 01 luận VĂN THạC sĩ TOáN HọC Ngời hớng dẫn khoa học: Pgs.ts tạ quang hải Vinh 2007 Mục lục Mở đầu 2 Chơng I. Các hàm vectơ hầu tuần hoàn 1.1. Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn .4 1.2. Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân các hàm hầu tuần hoàn .6 1.3. Giá trị trung bình và chuỗi Fourier 7 1.4. Không gian Hilbert của hàm hầu tuần hoàn .9 1.5. Định lý duy nhất và Định lý xấp xỉ .10 ChơngII. Các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach 2.1. Tiêu chuẩn về tính hầu tuần hoàn của tất cả các nghiệm 13 2.2. Đa ra ví dụ để chứng tỏ rằng Định lý 2.1.5 ở mục 2.1 không đúng trong trờng hợp vô hạn chiều 17 2.3. Định lý Rcốp.20 2.4. Tính hầu tuần hoàn của các nghiệm giới nội 20 2.5. Nêu ví dụ nói về sự trù mật của bao tuyến tính của nghiệm giới nội .25 Kết luận .28 Tài liệu tham khảo .29 3 Mở đầu Lý thuyết hàm hầu tuần hoàn là một bộ phận quan trọng của lý thuyết định tính phơng trình vi phân. Lý thuyết hàm hầu tuần hoàn đợc ứng dụng trong các lĩnh vực khác nhau, nhất là trong kinh tế và khoa học kỹ thuật. Mục đính của luận văn là khảo sát các tính chất hàm vectơ hầu tuần hoàn và từ đó khảo sát một số tiêu chuẩn về sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach. Trên cơ sở tài liệu về hàm hầu tuần hoàn của . (1952) [4], [1], [2], [3], [5], [6], [7], [8], dới sự hớng dẫn của PGS.TS Tạ Quang Hải luận văn đã nghiên cứu đề tài Hàm vectơ hầu tuần hoàn và sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach Nội dung của luận văn đợc trình bày theo 2 chơng Chơng I. Các hàm vectơ hầu tuần hoàn 1.1. Không gian Banach các hàm hầu tuần hoàn. 1.2. Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân các hàm hầu tuần hoàn. 1.3. Giá trị trung bình và chuỗi Fourier. 1.4. Không gian Hilbert các hàm hầu tuần hoàn. 1.5. Định lý duy nhất và Định lý xấp xỉ. Chơng II. Các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất trong không gian Banach 2.1. Tiêu chuẩn về tính hầu tuần hoàn của tất cả các nghiệm. 2.2. Ví dụ. 2.3. Định lý Rcốp. 2.4. Tính hầu tuần hoàn của các nghiệm giới nội. 2.5. ví dụ. 4 Trong chơng I trình bày một số nét cơ bản về hàm vectơ hầu tuần hoàn với giá trị trong không gian Banach. Trong chơng II khảo sát sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn của phơng trình vi phân sau đây: x Ax = , với A toán tử giới nội hằng số, thực hiện trong không gian Banach E. nêu và chứng minh 4 định lý về sự hầu tuần hoàn các nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất. Xét sự liên hệ giữa tính giới nội và tính hầu tuần hoàn các nghiệm của phơng trình vi phân tuyến tính thuần nhất, và đa ra hai ví dụ: Chứng tỏ điều khẳng ở Định lý 2.1.5 mục 2.1 không đúng trong trờng hợp vô hạn chiều và chứng tỏ rằng bao tuyến tính của các nghiệm giới nội e tA trù mật trong E thì phổ của toán tử A cha hẳn đã thuần ảo. Luận văn này đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của Thầy giáo PGS.TS Tạ Quang Hải. Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của các Thầy Cô giáo, bạn bè. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới Thầy giáo hớng dẫn, tới các Thầy Cô giáo trong tổ Giải tích, Khoa Toán, Khoa sau đại học trờng Đại học Vinh cùng tất cả các bạn đồng nghiệp và gia đình. Tôi rất mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của các Thầy Cô giáo và bạn. Vinh, tháng 12/2007 Tác giả 5 Chơng I Các hàm vectơ hầu tuần hoàn Trong chơng này trình bày một số nét cơ bản về hàm vectơ hầu tuần hoàn với giá trị trong không gian Banach. 1.1 Không gian Banach các hàm số hầu tuần hoàn Giả sử Ă là trục số, E không gian Banach phức, f xác định trên Ă với giá trị trong E, f : Ă E. Số Ă đợc gọi là chu kỳ của f nếu t Sup Ă ( ) ( ) f t f t+ < . Tập các - hầu chu kỳ của f kí hiệu () = (, f). Tập các số thực gọi là trù mật tơng đối nếu trong mỗi khoảng tuỳ ý của đ- ờng thẳng số với độ dài cố định có ít nhất một điểm của tập này. Hàm vectơ liên tục f : Ă E gọi là hầu tuần hoàn (theo Bore) nếu với > 0 tập (,f) trù mật tơng đối. Hàm hầu tuần hoàn giới nội, liên tục đều và compact tơng đối. Gọi Q = Q ( Ă , E) không gian Banach các hàm liên tục giới nội f : Ă E với chuẩn ( ) t f sup f t = Ă . Gọi f h tịnh tiến (với h Ă ) của hàm f : Ă E, f h (t) def = f(t + h). Chứng minh rằng f Q hầu tuần hoàn khi và chỉ khi họ tịnh tiến {f h } compact tơng đối ở trong Q (Định lý Bocnerơ). Từ Định lý này dễ dàng suy ra tổng các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn, vì tích của hàm hầu tuần hoàn với một đại lợng vô hớng cũng là hầu 6 tuần hoàn, cho nên tập tất cả các hàm hầu tuần hoàn làm thành một không gian vectơ. Đa vào trong không gian với chuẩn nh đã xác định ở trên ta sẽ đợc không gian định chuẩn B = B ( Ă , E). Dễ dàng chứng minh đợc giới hạn dãy hội tụ các hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn, cho nên B là một không gian đầy đủ, tức là B là không gian Banach. Đa thức lợng giác p(t) = i t p e với tập hữu hạn từ Ă , p E với , là một thí dụ đơn giản về hàm số hầu tuần hoàn. Nếu f : Ă E hàm vectơ hầu tuần hoàn thì với E * hàm số f (t) ( ) def f t , ,= f : Ă C (C trờng số phức) cũng là hàm hầu tuần hoàn. Hàm số có tính chất đó đợc gọi là hàm hầu tuần hoàn yếu. Hàm hầu tuần hoàn yếu là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi nó là compact tơng đối. Để phát biểu tiêu chuẩn compact tơng đối của họ hàm hầu tuần hoàn cần nhắc lại các định nghĩa sau đây: Họ hàm { } I f = F gọi là liên tục đều nếu với > 0 tồn tại > 0 để h f f < , với h < và f { } I f . Họ hàm { } I f = F gọi là hầu tuần hoàn đều nếu với > 0 tồn tại tập trù mật tơng đối để f f < với và với f F và là compact tơng đối ở t Ă nếu tập F(t) { } de f f (t),f F= compact tơng đối ở E. Họ F = { } I f các hàm hầu tuần hoàn f : Ă E compact tơng đối ở B khi và chỉ khi nó liên tục đều, hầu tuần hoàn đều và compact tơng đối ở mỗi điểm t Ă . 7 1.2 Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân 1.2.1. Định lý Kađexơ [8]. Giả sử f : Ă E hầu tuần hoàn khả vi ở mỗi điểm t Ă . Khi đó đạo hàm g = f g : Ă E là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi nó liên tục đều. Trong trờng hợp hữu hạn chiều, định lý Bol-Bore khẳng định tích phân của hàm hầu tuần hoàn là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi tích phân đó giới nội. ở trong trờng hợp vô hạn chiều Định lý này không đúng. Chẳng hạn xét hàm f với giá trị trong không gian Banach E = C tất cả các dãy số hội tụ x = (x 1 , x 2 , ., x n , .) có dạng sau đây: f(t) = (i 1 1 n i t i t n e , .,i e .) , với 0 < n 0. Giả sử P n (s) = (i 1 1 n i t i t n e , .,i e ,0 .) là đa thức lợng giác, vì n k n k f p Sup < = 0 với n , do đó f là hàm hầu tuần hoàn. Ta có ( ) ( ) 1 n t i t i t 0 f s ds e 1, .,e 1, . 2 = = . Do đó = t 0 f (s)ds giới nội. Nhng (t) không phải là hầu tuần hoàn. Thật vậy, nếu n = n n 3 , 2 2 ữ thì ( ) ( ) ( ) n t i t n t t f s ds sup e 1 2 + + = = và với 0 < < 2 thì tập (, ) không trù mật tơng đối vì độ dài n của n có thể làm cho lớn tuỳ ý. 8 Nh vậy vấn đề xét tính hầu tuần hoàn của tích phân các hàm hầu tuần hoàn trong trờng hợp vô hạn chiều là một bài toán lý thú. Bocnerơ chứng minh rằng Định lý Bol - Bore đúng trong không gian Banach nếu nh tích phân là compact tơng đối. Sau đó Amerio chứng minh đợc rằng Định lý này đúng cho trờng hợp không gian Hilbert và sau đó cho các không gian Banach lồi đều. Câu trả lời cuối cùng về tính đúng đắn của Định lý Bol - Bore là do Kađexơ. Chứng minh, Định lý Bol - Bore đúng khi và chỉ khi không gian Banach không chứa các không gian con, đẳng cấu với không gian C các dãy số hội tụ. Chúng ta sẽ gọi tính chất các không gian Banach ở trên là không gian có K tính chất. Do đó không gian Hilbert, các không gian Banach lồi đều có K tính chất, nên Định lý Bol - Bore đúng. 1.3 Giá trị trung bình và chuỗi Fourier Với mọi hàm hầu tuần hoàn tồn tại duy nhất vectơ J{f} =J{f(t)} E gọi là giá trị trung bình của hàm hầu tuần hoàn f: Với > 0 tồn tại () > 0 để { } 1 f (t)dt f J < , với - > (). Toán tử J :B E có các tính chất sau 1) J{f + } = J{f} + J{}. Thật vậy, với f,g B ta có J{f +g} = J{(f +g)(t)} = J{f(t) + g(t)} = J{f(t)} + J{g(t)} =J{f} + J{g}, t Ă . 2) J{f} = J{f}; 9 3) { } { } J f J f . Thật vậy, với f B, ta có { } ( ) { } ( ) { } J f Sup J f t J.Sup f t J f= = ; 4) J{c} = c với f(t) c; 5) J{f h } = J{f}; 6) J{f(-t)} =J{f(t)}; 7) ( ) { } J f t = J{ f (t) }. Thật vậy, với f B ta có ( ) { } J f t = { } { } ( ) { } J f J f J f t= = ; 8) J{f} 0 nếu f(t) 0 với t Ă và J{f} > 0 nếu f 0. Từ Định nghĩa giá trị trung bình suy ra giá trị trung bình thuộc bao lồi đóng các giá trị của hàm hầu tuần hoàn. Chú ý rằng, Định lý Vâylia - Maka về sự tồn tại của giá trị trung bình của hàm hầu tuần hoàn trên nhóm tơng đơng với Định lý Markop về sự tồn tại điểm bất động chung của nhóm các toán tử tuyến tính. Hàm xác định bởi công thức f = J{f(t) e -i t } gọi là hàm phổ, tập (f) = {: f 0} gọi là phổ của f, số (f) gọi là số mũ Fourier của f và f là hệ số Fourier. Chứng minh đợc rằng (f) không quá đếm đợc. Điều đó cho phép chúng ta thiết lập chuỗi sau: Đối với mỗi hàm hầu tuần hoàn f lập chuỗi Fourier tơng ứng f(t) ~ f e i t . Với E là không gian liên hợp của E, thiết lập tơng ứng E * hàm hầu tuần hoàn số 10