Hàm véctơ tuần hoàn theo nghĩa stepanop và sự tồn tại nghiệp hầu tuần hoàn theo nghĩa stepanop của phương trình vi phân tuyến tính không thuần nhất

Bộ giáo dục và đào tạo Trờng đại học vinh -------------- Lê thị lan Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa stepanop và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất Chuyên ngành: giảI tích Mã số : 60.46.01 tóm tắt Luận văn thạc sĩ toán học Vinh-2007 Mục lục Trang Lời giới thiệu 2 Chơng I. Hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore 4 Đ1. Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore 4 Đ2. Các tính chất cơ bản của hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore 5 Đ3. Chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore 9 Chơng II. Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 11 Đ1. Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop 11 Đ2. Chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop 25 Đ3. Các nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất 31 Kết luận 37 Tài liệu tham khảo 38 2 Lời giới thiệu Xuất phát từ khái niệm và các tính chất về hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore đã đợc trình bày trong các giáo trình về hàm hầu tuần hoàn, chẳng hạn nh quyển: . (1952), mà trong luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Hoài Quyên đã từng đề cập đến, với nội dung chủ yếu là xét tính hầu tuần hoàn của các lớp hàm liên tục trên R. Luận văn này nhằm nghiên cứu tính hầu tuần hoàn trên lớp hàm đo đợc khả tổng địa phơng bậc p và sau đó bớc đầu tìm hiểu vấn đề về sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất trong không gian Banach. Trên cơ sở tham khảo các tài liệu về hàm hầu tuần hoàn của các tác giả Nguyễn Thị Hoài Quyên [1], Konmogorôp Phomin [2], . . [4], . [5], dới sự hớng dẫn của thầy giáo PGS. TS. Tạ Quang Hải đề tài đã nghiên cứu về Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất . Nội dung của luận văn đợc trình bày thành 2 chơng. Chơng I. Hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore. Chơng II. Hàm véctơ hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop và sự tồn tại nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất ở Đ1. Trình bày khái niệm về không gian Stepanop, toán tử Xteklop, xây dựng khái niệm về hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop và xét một số tính chất tơng tự hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore. 3 ở Đ2. Nghiên cứu sự tồn tại giá trị trung bình, xây dựng chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop. ở Đ3. Nghiên cứu sự tồn tại các nghiệm hầu tuần hoàn theo nghĩa Stepanop của phơng trình vi phân tuyến tính không thuần nhất. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn tận tình của thầy giáo PGS.TS. Tạ Quang Hải. Trong quá trình nghiên cứu chúng tôi đã nhận đợc sự quan tâm giúp đỡ của các thầy giáo, các bạn bè. Qua đây tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới thầy giáo hớng dẫn, tới các thầy cô giáo trong tổ Giải tích, các thầy cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau Đại Học trờng Đại Học Vinh cùng tất cả các bạn và gia đình đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Mặc dù tác giả đã có nhiều cố gắng song không thể tránh khỏi những sai sót . Rất mong nhận đợc sự góp ý, chỉ bảo của thầy cô giáo và các bạn để luận văn hoàn thiện tốt hơn. Vinh, tháng 12/2007 Tác giả 4 Chơng I Hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa bore Trong chơng này, dành cho việc giới thiệu một số khái niệm và kết quả cơ bản cần dùng trong luận văn. Đ1. Định nghĩa hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore Giả sử R - trục số, E là không gian Banach phức, f là hàm xác định trên R với giá tr lấy trong E . 1.1.1.Định nghĩa. Tập số }{ = D đợc gọi là trù mật tơng đối trong R nếu tồn tại số 0 > sao cho + aDaa ,],[ R. 1.1.2. Định nghĩa. Cho số 0 > . Số )( f = đợc gọi là hầu chu kỳ của hàm f với độ chính xác (hay còn gọi là - hầu chu kỳ) nếu có bất đẳng thức .)()( <+ tftfSup t R Tập - hầu chu kỳ của hàm f kí hiệu là ),()( f = . 1.1.3. Định nghĩa. Hàm véctơ liên tục :f R E đợc gọi là hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore nếu với mỗi 0 > , tập ),( f trù mật tơng đối nghĩa là tồn tại )( = sao cho mỗi đoạn ],[ + aa chứa ít nhất một điểm sao cho <+ )()( tftfSup t R . Ký hiệu: K là không gian các hàm hầu tuần hoàn theo Bore và B = B (R ),E là không gian Banach các hàm liên tục giới nội :f R E với chuẩn )(sup tff t R = (1.1.1) Đ2. các tính chất cơ bản của hàm hầu tuần hoàn 5 theo nghĩa Bore 1.2.1. Định lý. ([2]). Hàm hầu tuần hoàn bị chặn trên R . 1.2.2. Định lý. ([2]). Hàm hầu tuần hoàn liên tục đều trên R . 1.2.3. Hệ quả. ([2]). Với mỗi 0 > , tập - hầu chu kỳ của hàm )(tf chứa tập trù mật tơng đối các đoạn thẳng với độ dài )( = nghĩa là tồn tại )( LL = sao cho trên mỗi đoạn ],[ Laa + có đoạn con ],[ + mà mỗi điểm ],[ + là - hầu chu kỳ. 1.2.4. Hệ quả. ([2]). Với hàm hầu tuần hoàn )(tf và với mọi 0 > tồn tại tập trù mật tơng đối - hầu chu kỳ là các số bội nguyên của )( = . 1.2.5. Bổ đề. ([2]). Với hai hàm hầu tuần hoàn và mọi 0 > bất kỳ, tồn tại tập trù mật tơng đối các - hầu chu kỳ chung của chúng. 1.2.6. Định lý. ([2]). Tổng của hai hàm hầu tuần hoàn là hàm hầu tuần hoàn. 1.2.7. Định lý. ([2]). Tích của hai hàm hầu tuần hoàn là một hàm hầu tuần hoàn. 1.2.8. Hệ quả. ([2]). Mỗi hàm )(lim)( tptf n n = là hàm hầu tuần hoàn, trong đó )(tp n có thể xấp xỉ đều bởi đa thức lợng giác ti N k n k n n k n eCtp )( 1 )( )( = = , với , .2,1 = n Từ các tính chất của hàm hầu tuần hoàn ta suy ra hàm hầu tuần hoàn làm thành một không gian véctơ. Đa vào trong không gian K chuẩn xác định bởi công thức (1.1.1) ta sẽ đợc không gian định chuẩn K = K (R, E ) . Giới hạn dãy các hàm hầu tuần hoàn lại là hàm hầu tuần hoàn, cho nên K là một không gian đầy đủ, tức là K là không gian Banach. 6 1.2.9. Định nghĩa. Gọi h f là tịnh tiến (với h ) của hàm :f R E sao cho )()( htftf def h += , với ht, R. 1.2.10. Định nghĩa. Họ hàm { } Ff I = (với I là tập chỉ số nào đó) gọi là liên tục đều nếu với 0 > , tồn tại 0 > để < ff h với <h và với mọi Ff . Gọi là hầu tuần hoàn đều nếu với 0 > tồn tại tập trù mật tơng đối trong R để < ff với và với mọi Ff . Và là compact tơng đối ở t R nếu tập { } FftftF = ),()( compact tơng đối trong E . 1.2.11. Định lý. ([5]). (Định lý Bocnerơ). f B hầu tuần hoàn khi và chỉ khi họ tịnh tiến I h f }{ compact tơng đối trong B. 1.2.12. Định lý. ([5]). Họ { } I fF = các hàm hầu tuần hoàn :f R E compact tơng đối ở K khi và chỉ khi nó liên tục đều, hầu tuần hoàn đều và compact tơng đối ở mỗi điểm t R. 1.2.13. Tính hầu tuần hoàn của đạo hàm và tích phân Định lý Kadexơ.([6]). Giả sử :f R E là hàm hầu tuần hoàn, khả vi ở mỗi điểm t R. Khi đó đạo hàm = :f R E hầu tuần hoàn khi và chỉ khi nó liên tục đều. Trong trờng hợp hữu hạn chiều, Định lý Bol- Bore khẳng định: Tích phân của hàm hầu tuần hoàn là hầu tuần hoàn khi và chỉ khi tích phân đó giới nội. ở trong trờng hợp vô hạn chiều định lý này không đúng. Ví dụ sau đây sẽ chứng tỏ điều đó. Ví dụ. Giả sử f lấy giá trị trong không gian Banach C gồm tất cả các dãy số hội tụ , .), .,( 21 n xxxx = có dạng sau đây , .), .,,()( 21 21 ti n titi n eieieitf = , với 00 < n . 7 Giả sử , .)0,0,, .,,()( 21 21 ti n titi n n eieieisp = là đa thức lợng giác. Vì 0sup = < k kn n pf khi n nên theo Hệ quả 1.2.8, suy ra f là hàm hầu tuần hoàn. Ta có , .)1, .,1()( 1 0 == ti ti t n eedssf = ( ) 1sup1sup + ti n ti n nn ee = 2. Do đó dssf t = 0 )( là giới nội. Bây giờ ta chứng minh )(t không phải là hàm hầu tuần hoàn. Để chứng minh )(t không phải là hàm hầu tuần hoàn ta cần chứng minh: Tồn tại 0 0 > sao cho tập ),( 0 không trù mật tơng đối trong R, nghĩa là với mọi 0 > , tồn tại đoạn ],[ + aa mà với mọi ],[ + aa đều thỏa mãn 0 )()( + ttSup t R . Thật vậy, tồn tại 2 0 = sao cho với mọi 0 > = n , tồn tại đoạn + nnn 2 , 2 mà với mọi + nnn 2 , 2 đều thỏa mãn .2cos22sin)1(cos 11sup)(sup)()( =+= ==+ + nnn ii n t t tt i eedssfttSup nn RR Tức là tập ),( 0 không trù mật tơng đối trong R. Do đó không là hàm hầu tuần hoàn. 8 Từ đó trong công trình của Kadet đã đa ra khái niệm không gian Banach có tính chất K: Không gian Banach E đợc gọi là không gian có tính chất K nếu không gian đó không chứa các không gian con đẳng cấu với không gian C các dãy số hội tụ. Sau đó chứng tỏ rằng mọi không gian có tính chất K, Định lý Bol - Bore là đúng đắn. 9 Đ3. chuỗi fourier của hàm hầu tuần hoàn theo nghĩa Bore 1.3.1. Giá trị trung bình của hàm hầu tuần hoàn Với mọi hàm hầu tuần hoàn, tồn tại duy nhất véctơ EtfJfJ = )}({}{ , t( R) gọi là giá trị trung bình của hàm hầu tuần hoàn f có tính chất: Với 0> tồn tại 0)( > để { } < fJdttf )( 1 , với )( > . Toán tử :J K E có các tính chất sau 1) }{}{}{ JfJfJ +=+ ; 2) }{}{ fJfJ = ; 3) { } fJfJ }{ ; 4) ccJ = }{ với ctf )( ; 5) }{}{ fJfJ h = ; 6) )}({)}({ tfJtfJ = ; 7) })({)}({ tfJtfJ = ; 8) 0}{ fJ nếu 0)( tf , với t R và 0}{ >fJ nếu 0 f . 1.3.2. Chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn 1.3.2.1. Định nghĩa. Chuỗi lợng giác ti eftf ~)( , với t R hữu hạn hoặc vô hạn, đợc gọi là chuỗi Fourier của hàm hầu tuần hoàn )(tf , trong đó hàm xác định bởi công thức })({ ti etfJf = gọi là hàm phổ, tập { } 0:)( = ff gọi là phổ của, f số )( f gọi là số mũ Fourier và f là hệ số Fourier của hàm )(tf . 10