Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính

Nguyen Văn Hào, lu¾n văn “Điem kỳ d% và nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính” đưoc hoàn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá.. Lý do chon đe tài Như ta đã biet vi¾c tìm n

Lài cám ơn

Tôi xin bày tó lòng biet ơn sâu sac tói TS Nguyen Văn Hào, ngưòi đãđ%nh hưóng chon đe tài và t¾n tình hưóng dan đe tôi có the hoàn thànhlu¾n văn này

Tôi cũng xin bày tó lòng biet ơn chân thành tói phòng sau đai hoc, cácthay cô giáo day cao hoc chuyên ngành Toán giái tích, trưòng Đai hoc

Sư pham Hà N®i 2 đã giúp đõ tôi trong suot quá trình hoc t¾p

Nhân d%p này tôi cũng xin đưoc gúi lòi cám ơn chân thành tói gia đình,ban bè đã luôn đ®ng viên, co vũ, tao moi đieu ki¾n thu¾n loi cho tôitrong quá trình hoc t¾p và hoàn thành lu¾n văn

Hà N®i, tháng 12 năm 2012

Tác giá

Pham Th% Hong Hương

Lài cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưói sn hưóng dan cna TS Nguyen Văn Hào, lu¾n văn

“Điem kỳ d% và nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính” đưoc hoàn thành bói nh¾n thúc cna bán thân tác giá.

Trong quá trình làm lu¾n văn, tôi đã ke thùa nhung thành tnu cna cácnhà khoa hoc vói sn trân trong và biet ơn

Hà N®i, tháng 12 năm 2012

Tác giá

Pham Th% Hong Hương

Mnc lnc

Má

đau 1

Chương 1 M®t so kien th Nc chuan b%

6 1.1 M®t so kien thúc cơ bán v e c h uoi hàm 6

1.1.1 M®t so khái ni¾m 6

1.1.2 Sn h ® i tu đeu cna chuoi hàm 7

1.1.3 Chu o i hàm h®i tu tuy ¾t đoi 8

1.1.4 Chu o i luy thùa 9

1.1.5 Khai trien hàm so thành chuoi lũy thùa 12

1.2 T ong quan ve phư ơ n g trình vi phân tuy en tính 14

1.2.1 M®t so khái ni¾m 14

1.2.2 Cau trúc nghi¾m cna ph ươ ng trình vi phân tuy en tính 15

1.2.3 Cau trúc nghi¾m cna ph ươ ng trình vi phân tuy en tính h¾ so hang so 15

1.3 Điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính và sn phân loai 22 1.3.1 Khái ni¾ m và ví du 24

1.3.2 Phân loai điem kỳ d% 25

Chương 2 Nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuy en

tính tai điem th ưàng

28

2.1 Ý tưóng cna phương pháp 29

2.2 M®t so ví du 30

2.3 Mó r®ng khái ni¾m ve điem thưòng 38

i

2.4 V an đe bán kính h®i tu cna nghi¾m c h uoi 41

2.5 Phương trình Euler 44

2.5.1 Ph ươ ng trình đ¾c tr ng ư có hai nghi¾m thnc phân bi¾t 46

2.5.2 Ph ươ ng trình đ¾c tr ng ư có hai nghi¾m thnc bang nhau 47

2.5.3 Ph ươ ng trình đ¾c tr ng ư có c ¾ p nghi¾m phúc liên hop 48

2.5.4 Đ%nh lý 51

Chương 3 Nghi¾m chuoi cúa ph ương trình vi phân tuy en

tính trong lân c¾n cúa điem kỳ d%

53

3.1 Nghi¾m chuoi trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy 53

3.1.1 Ý t óng ư cna ph ươ ng pháp 53

3.1.2 Ph ươ ng pháp tìm nghi¾m chuoi cna ph ươ ng trình vi phân tuy en tính trong lân c¾n cna m®t điem kỳ d% chính quy 60

3.2 Phương trình Bessel 71

3.2.1 Ph ươ ng trình Bessel cap 0 71

3.2.2 Ph ươ ng trình Bessel cap 1 76

2 3.2.3 Ph ươ ng trình Bessel cap 1 79

Ket lu¾n

83

T ài li¾u tham kháo

84

i

Má đau

1 Lý do chon đe tài

Như ta đã biet vi¾c tìm nghi¾m tong quát cna phương trình vi phân tuyentính đưoc dna trên cơ só xác đ%nh m®t h¾ nghi¾m cơ bán cna phươngtrình vi phân thuan nhat cùng vói vi¾c tìm m®t nghi¾m riêng cna phươngtrình đó Nghi¾m tong quát cna phương trình can giái là tong nghi¾mriêng cna phương trình đó vói nghi¾m tong quát cna phương trình viphân tuyen tính thuan nhat tương úng Nhưng cho đen nay, ngưòi tacũng chí đưa ra đưoc quy trình h¾ thong đe xây dnng h¾ nghi¾m tongquát cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so Đoi vóiphương trình vi phân tuyen tính mà h¾ so là hàm cna bien đ®c l¾p, vi¾ctìm nghi¾m ó dang to hop cna các hàm so sơ cap cna m®t so phươngtrình vi phân rat khó (neu không muon nói là không the) Đieu này cũngxáy ra ngay cá khi phương trình vi phân có dang rat đơn gián Changhan, như phương trình dưói đây

y rr − 2x.y r + y = 0.

Đây là phương trình vi phân tuyen tính cap hai, mà ta không the tìmđưoc nghi¾m riêng dưói dang m®t hàm so sơ cap Tuy nhiên, vi¾c giáicác phương trình như dang phương trình trên đây là rat quan trong vì

nó náy sinh tù các van đe thnc tien liên quan đen nhieu bài toán tronglĩnh vnc V¾t lý Chang han, nó liên quan đen phương trình Schrodingertrong

5

cơ hoc lưong tú Vì v¾y, chúng ta can thiet phái xây dnng các phươngpháp nham tìm nghi¾m cho các phương trình dang này M®t trong cácphương pháp thông dung là tìm nghi¾m cna phương trình dưói dangchuoi lũy thùa

trình vi phân đã cho Sau khi đong nhat các h¾ so trong h¾ thúc nh¾nđưoc, ta thu đưoc nghi¾m cna phương trình đó

Tuy nhiên, cơ só cna phương pháp này như đã nói ó trên chí có giá tr%khi chuoi lũy thùa úng vói các h¾ so tìm đưoc phái là chuoi h®i tu Chuoilũy thùa có nhieu các tính chat đep đe, đieu đó cho phép ngưòi ta có thethnc hi¾n nhieu quá trình tính toán thu¾n loi Dĩ nhiên, mien h®i tu cnachuoi lũy thùa thu đưoc là m®t t¾p hop khác rong và neu chuoi lũy thùa

có bán kính h®i tu R thì trong khoáng h®i tu cna chuoi (−R, R).

Trong

khoáng h®i tu ta có the lay đao hàm và tích phân tùng so hang cna chuoi.Chuoi mói nh¾n đưoc (sau khi lay đao hàm ho¾c tích phân) cũng có bánkính h®i tu như chuoi ban đau Đieu đó dan tói ý tưóng tìm nghi¾m cnaphương trình vi phân dưói dang chuoi lũy thùa Đưoc sn đ%nh hưóng cna

ngưòi hưóng dan, tôi chon đe tài: “Điem kỳ d% và nghi¾m chuoi cúa phương trình vi phân tuyen tính” đe hoàn thành lu¾n văn đào tao

Thac sĩ khoa hoc chuyên ngành Toán hoc

Đe có the giái quyet đưoc van đe đ¾t ra, chúng tôi bo cuc lu¾n văn thành

ba chương

Chương 1 é đây, chúng tôi trình bày m®t so kien thúc cơ bán ve

phương trình vi phân, sâu hơn là lý thuyet chung đoi vói phương trình

vi phân tuyen tính và lý thuyet chuoi hàm é đây nhung kien thúc cănbán nhat liên quan đen vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phântuyen tính Cũng đe thu¾n loi trong vi¾c trình bày các phương phápnghiên cúu van đe đ¾t ra, trong phan này chúng tôi cũng trình bày m®tcách chi tiet vi¾c phân loai các điem cna phương trình vi phân dưói gócđ® cna hàm giái tích

Chương 2 Chương này đưoc giành cho vi¾c trình bày m®t cách tí

mí ve phương pháp và ky thu¾t tìm nghi¾m chuoi cna phương trình viphân tuyen tính tai điem thưòng Ngoài ra vi¾c phân tích tưòng minh ýtưóng cna van đe, các ky thu¾t trong vi¾c tìm nghi¾m chuoi cũng đưocminh hoa qua các ví du cu the

Chương 3 Trong chương này, chúng tôi trình bày ve phương pháp

tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính trong lân c¾n cnađiem kỳ d% và minh hoa áp dung cna phương pháp này trong vi¾c giáiphương trình Bessel

- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trinh vi phân tuyen tính trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy.

3.Nhi¾m vn nghiên cNu

Trình bày sn phân loai các loai điem kỳ d% và phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính

4.Đoi tưang và pham vi nghiên cNu

- Sn phân loai điem kỳ d% cna phương trình vi phân tuyen tính

- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính

5.Phương pháp nghiên cNu

Tra mang, tìm kiem tài li¾u, phân tích, tong hop và xin ý kien đ%nhhưóng cna ngưòi hưóng dan

6.DN kien đóng góp cúa đe tài

Tìm ra phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyentính Cu the như sau

- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính tai điem thưòng

- Phương pháp tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính

trong lân c¾n cna điem kỳ d% chính quy.

Chương 1 M®t so kien thNc chuan b%

1.1 M®t so kien thNc cơ bán ve chuoi hàm

1.1.1 M®t so khái ni¾m

Trong pham vi nghiên cúu cna lu¾n văn, chúng tôi chí đe c¾p đen cáckhái ni¾m và ket quá căn bán ve chuoi hàm so thnc Trưóc het, ta gióithi¾u m®t so khái ni¾m cơ bán ve dãy hàm Cho dãy hàm {u n (x)} ∞

xác đ%nh trên t¾p X Điem x0 ∈ X goi là điem h®i tu cna dãy hàm đã

cho neu dãy so {un (x0)} h®i tu T¾p hop

vói moi ε > 0 cho trưóc và vói moi x ∈ X ton tai so nguyên dương N

= N (x, ε) sao cho vói moi n ≥ N ta có

|u n (x) − u(x)| < ε.

n= 1

Điem x1 đưoc goi là điem phân kỳ cna dãy hàm neu dãy so

{u n (x1)}

phân kỳ

Dãy hàm {u n (x)} đưoc goi là h®i tu đeu ve hàm u(x) trên t¾p X

neu vói moi ε > 0 cho trưóc ton tai so nguyên dương N = N (ε) sao

cho vói moi n ≥ N ta có

|u n (x) − u(x)| < ε, vói moi x ∈ X.

Cho dãy hàm {un (x)} xác đ%nh trên t¾p X Khi đó tong vô han

∞

u1(x) + u2(x) + · · · + u n (x) + · · · = u n (x)

(1.1)

n=1

đưoc goi là m®t chuoi hàm xác đ%nh trên X Hàm un (x) goi là so

hang tong quát thú n cna chuoi Tong

S n (x) = u1(x) + u2(x) + · · · + u n (x) (1.2)đưoc goi là tong riêng thú n cna chuoi

Điem x0 đưoc goi là điem h®i tu (tương úng, phân kỳ) cna chuoi hàm

(1.1) neu x0 là điem h®i tu (tương úng, phân kỳ) cna dãy tong riêng

(1.2) Neu X0 là mien h®i tu cna dãy hàm {Sn (x)}, thì ta cũng goi X0

là mien h®i tu cna chuoi (1.1) Neu S n (x) → u(x) trên X0, thì chuoihàm (1.1) đưoc goi là h®i tu ve hàm u(x) Khi đó, ta cũng viet

∞

u n (x) = u(x), x ∈ X0

n=1

và u(x) đưoc goi là tong cna chuoi hàm (1.1)

1.1.2 SN h®i tn đeu cúa chuoi hàm

Đ%nh nghĩa 1.1 Chuoi hàm (1.1) đưoc goi là h®i tu đeu trên X neu

dãy {S n (x)} h®i tu đeu trên X.

Neu các hàm u k (x); k = 1, 2, liên tuc, có đao hàm, khá tích trên

X, thì dãy tong riêng cna nó {S n (x)} cũng có tính chat tương úng Tù

u n (x) gom các hàm liên tnc trên t¾p X.

Neu chuoi hàm h®i tn đeu ve hàm u(x), thì u(x) cũng là hàm liên tnc.

Hien nhiên ta thay rang, chuoi h®i tu tuy¾t đoi là h®i tu Tuy nhiên, đieu ngưoc lai chưa chac đúng.

Đ%nh lý 1.4 (Weierstrass) Cho chuoi

hàm

.∞

n= 1

u n (x) Giá sú

|u n (x)| ≤ c n , vói moi n và moi x ∈ X.

Khi đó, neu chuoi

so đoi và đeu trên

X.

.∞

n= 1

c n h®i tn, thì chuoi hàm

.∞

n= 1

Ta có

∞ n

= 1

sin

n x

n

3

.sin

x

.1

n3 ≤ n3 ; vói moi n

so

1h®i

tu

Tù đ

%nh

lý trên,

ta suy

ra rangchuo

i

hàm

∞ n

= 1

sin

nx n3

∞

thúc này tương đoi

quen thu®c đoi vói

ó

đây

Trưóc

het

là

−

+

a

− x

(1.4)

trongđó

x

0

, a

0

, a

1

, a2, là

nhung hang so thnc

Trong chuoi (1.4) điem x0 (điem x0 = 0 trong chuoi (1.3)) đưoc goi

là tâm cna chuoi lũy thùa Chuoi lũy thùa bao giò cũng h®i tu tai tâmcna

nó Do đó mien h®i tu cna chuoi lũy thùa khác rong Chuoi (1.3) nh¾nđưoc tù chuoi (1.4) bang phép đoi bien X = x − x0, nên ve m¾t lýthuyet ta chí can nghiên cúu chuoi (1.3) là đn

Đ%nh lý 1.5 (Đ%nh lý Abel) Neu chuoi (1.3) h®i tn tai x0 ƒ= 0, thì

nó h®i tn tuy¾t đoi và đeu tai moi x mà |x| < |x0|

Tù Đ%nh lý Abel ta thay rang mien h®i tu cna chuoi lũy thùa thnc làm®t mien cân đoi trên đưòng thang thnc Đieu này dan đen khái ni¾msau

Đ%nh nghĩa 1.4 So R đưoc goi là bán kính cna chuoi (1.3) neu vói moi

x mà |x| < R thì chuoi h®i tu, vói moi x mà |x| > R thì chuoi phân

kỳ Đe tìm bán kính h®i tu cna chuoi lũy thùa ta có ket quá sau

Đ%nh lý 1.6 (Cauchy-Hadamard) Cho chuoi lũy thùa . (1.3) và

ρ

Bói vì

n= 1

n2 n , a n+1 = (n + 1)2 n+1 ,

nên an.+1 .

n2 n .

n 1lim

=

lim

= 1 lim=

.

n

n

+

1

Tai x = 1, chuoi (1.5)

tró thành chuoi đieu hoà

1nênchu

oi phâ

n kỳ

∞ n

= 1

(−1)

, đây là chuoi đieu hoà

%nh lý 1.7.

(Tínhliêntuc)

Giá sú chuo

i lũy thùa

(1.3)

có bán kính h®i

tn R

> 0.

Khi đó, tong S(x) cúa chuoi lũy thùa là m®t hàm so liên tnc trong (−R, R).

Đ%nh lý 1.8.

(Tích phân tùng

so hang) Giá sú chuoi lũy thùa

(1.3) có bán kính h®i tn R >

0 Khi đó tong S(x) cúa chuoi lũy thùa là m®t hàm so khá tích trên moi đoan con [a, b] ⊂ (−R, R) và

b

∞

a n

x n dx.

Đ¾c bi¾t, neu x

∈ (−R, R) thì

.∞

thùa (1.3)

có bán kính h®i tn R >

0 và S(x)

=

n

= 0

a n x n ,

x ∈ (−R, R).

Khi đó

(i) Chuoi luy thùa .

∞

n= 0

na n x n−1 nh¾n đưoc bang cách đao hàm tùng

chuoi lũy thùa đã cho, cũng có bán kính h®i tn là R.

(ii) Tong cúa chuoi lũy thùa là m®t hàm so khá vi trong khoáng h®i tn (−R, R)

Đ%nh nghĩa 1.5 Hàm f (x) đưoc goi là

khai trien thành chuoi lũy thùa

tính toán đơn gián,

ta thay rang khi hàm

f (x) khai trien đưoc

thành chuoi lũy thùa

Giású

f

là m®t hàm khá vi vô han trong m®t lânc¾n

nào đó cna điem x0, thì chuoi

S(x) = f (n) (x0)(x − x ) n

n=0

đưoc goi là chuoi Taylor cna hàm f (x) tai điem trong lân c¾n cna điem

x0 Khai trien Taylor tai điem x0 = 0, có dang

S(x) = f (n)(0)

x , n!

n=0

đưoc goi là chuoi MacLaurin cna hàm f (x)

Tuy nhiên, van đe đ¾t ra là khi nào chuoi Taylor cna m®t hàm f (x)

nào đó h®i tu ve chính hàm đó Ngưòi ta đã chí ra rang không pháichuoi Taylor cna hàm f (x) luôn h®i tu ve chính hàm đó Đieu ki¾n

dưói đây cho phép chuoi Taylor cna f (x) luôn h®i tu ve chính hàm

đó

Đ%nh lý 1.10 (Đieu ki¾n đn đe m®t hàm khai trien đưoc thành chuoi

Taylor) Neu ton tai hang so M > 0 sao cho .f (n)

+ · · · ; −∞ < x < +∞

(1 + x) α = 1 + αx + α ( α − 1) x2 + + α ( α − 1) . ( α − n + 1)

arctan x

− .

(−1) n x

357

1.2 Tong quan

ve phương trình vi phân tuyen tính

1.2.1 M®t so khái

ni¾m

Phương trình vi phân tuyen tính cap n là

βL n [y2]

; vói moi

= 1

=

Vóikýhi¾unhưthe,phươngtrình

(1.6)

đưocvietdưóidang

L n [y]

= f (x).

Phươngtrình

là

phương

trình

v

i phântuyentínhthuannhattươngúngcnaphươngtrình

L n [y]

= f (x).

Trongtrưònghop

p i (x);

i =

0, 1, , n

− 1,

là cáchang

so thì

phươn

g trình(1.6)đưocgoi làphươn

g trìnhviphântuyentínhh¾ sohangso

1.2.2 Cau trúc nghi¾m cúa phương trình vi phân tuyen tính Đ%nh nghĩa 1.7 H¾ gom n nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna phương trình

L n [y] = 0 goi là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình đó.

Đ%nh lý 1.11 Neu y1, y2, , y m là các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình L n [y] = 0, thì nghi¾m tong quát cúa phương trình

có dang

m

y = c k y k (x),

k=1

trong đó c1, c2, , c m là các hang so tùy ý.

Đ%nh lý 1.12 Giá sú y˜ là m®t nghi¾m riêng cúa phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat L n [y] = f (x), và y1, y2, , y n

là m®t h¾ nghi¾m cơ bán cúa phương trình thuan nhat L n [y] = 0 tương úng vói phương trình đã cho Khi đó, nghi¾m tong quát cúa phương trình L n [y] = f (x) là n

y r + p0 y = 0, (1.7)

trong đó p n−1 , p n−2 , , p0 là các hang so thnc

Đe xây dnng cau trúc nghi¾m cna phương trình này, trưóc het ta tìm

−

nghi¾m riêng cna nó dưói dang y = e λx, trong đó hang so λ đưoc

xác đ%nh sao cho y là nghi¾m cna phương trình đó Các đao hàm cna

nghi¾m trên đưoc tính toán đơn gián là

Đieu đó cho thay, neu λ là m®t nghi¾m cna phương trình (1.8) thì y =

e λx là m®t nghi¾m cna phương trình (1.7) Phương trình (1.8) đưocgoi là phương trình đ¾c trưng cna phương trình (1.7) Đa thúc P n (λ)

goi là đa thúc đ¾c trưng cna phương trình (1.7)

Như v¾y, h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình (1.7) đưoc xây dnng trên

cơ só các nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng Đe xây dnng đưoc h¾nghi¾m cơ bán cna phương trình vi phân tuyen tính vói h¾ so hang so,

ta can m®t so bo đe sau trong vi¾c xú lý các nghi¾m cna phương trìnhđ¾c trưng

Bo đe 1.1 Neu λ1, λ2, , λ m là các nghi¾m khác nhau cúa phương trình

(1.8) thì

−

e λ1x , e λ2x , , e λ m x

là các nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình vi phân tuyen tính thuan nhat (1.7).

Bo đe 1.2 Neu λ1 là m®t nghi¾m b®i m cúa phương trình (1.8) thì các hàm

e λ1x , xe λ1x , , x m−1 e λ1x

là các nghi¾m riêng đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình vi phân

tuyen tính thuan nhat (1.7).

Bo đe 1.3 Neu α ± iβ là c¾p nghi¾m phúc b®i m cúa phương trình

(1.8), thì h¾ các hàm

e αx cos βx, xe αx cos βx, , x m−1 e αx cos βx

và

e αx sin βx, xe αx sin βx, , x m−1 e αx sin βx

là 2m nghi¾m riêng đ®c l¾p tuyen tính cúa phương trình (1.7).

Tù “đ%nh lý cơ bán cna đai so”, đa thúc đ¾c trưng P n (λ) có đúng

n nghi¾m ke cá nghi¾m b®i Do đó, tù các bo đe trên cho phép ta xây

dnng đưoc đúng n nghi¾m đ®c l¾p tuyen tính cna phương trình (1.7)

Tù đó, ta nh¾n đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình đã cho

đe đã xây dnng ó trên, ta có h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình đã cholà

e 0x = 1, xe 0x = x, e 2x , e −x cos2x, e −x sin 2x.

Tù đó, ta đưoc nghi¾m tong quát cna phương trình đã cho là

y = c1 + c2x + c3e 2x + c4e −x cos2x + c5e −x sin 2x,

trong đó ci ; i = 1, 5 là các hang so.

Phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat h¾ so hang

so Phương trình vi phân tuyen tính không thuan nhat có h¾ so hang là

ra m®t so trưòng hop f (x) có dang đ¾c bi¾t mà ta có the tìm

nghi¾m riêng cna phương trình này m®t cách đơn gián như sau

(i) Dang thN nhat: f (x) = e αx P k (x), trong đó P k (x) là m®t đa

thúc b¾c k cna x Ta phân bi¾t hai trưòng hop sau

+ Neu α không là nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có

the tìm nghi¾m riêng dưói dang

−

y = e αx Q k (x);

+ Neu α là nghi¾m b®i m cna phương trình đ¾c trưng, thì ta có

the tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang

y = x m e αx Q k (x),

trong đó Qk (x) là m®t đa thúc b¾c k cna x.

Ví dn 1.4 Giái phương trình

y rr + 3y r − 4y = x.

Phương trình đ¾c trưng cna phương trình này là λ2 + 3λ − 4 = 0 và

nó có hai nghi¾m phân bi¾t λ1 = 1, λ2 = −4 Do đó y1 = e x và y2

= e −4x là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình thuan nhat tương úng

Ve phái cna phương trình có dang e αx P1(x) vói α = 0 và P1(x) =

x Vì α = 0 không phái là nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng, nên

ta tìm nghi¾m riêng cna phương trình dưói dang

y = c1e x +

c2e −4x −

4x − 16,

vói c1, c2 là các hang so.

(ii)Dang thN hai: f (x) = eαx [P (x) cos βx + Q(x) sin βx],

trong đó P (x), Q(x) là nhung đa thúc b¾c có the khác nhau và α,

β là các hang so Ta cũng xét hai khá năng

+) Neu α + iβ không là nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng thì

ta tìm nghi¾m riêng y˜(x) cna phương trình dưói dang

y˜(x) = e αx [R(x) cos βx + S(x) sin βx];

+) Neu α + iβ là nghi¾m b®i m cna phương trình đ¾c trưng thì

ta tìm nghi¾m riêng y˜(x) cna phương trình dưói dang

y˜(x) = x m e αx [R(x) cos βx + S(x) sin βx],

trong đó R(x) và S(x) là nhung đa thúc có b¾c bang b¾c lón nhat

và nó có hai nghi¾m phân bi¾t λ1 = 1, λ2 = −2 Do đó y1 = e x

và y2 = e −2x là h¾ nghi¾m cơ bán cna phương trình thuan nhat trên

Ve phái cna phương trình có dang

e αx [P (x) cos βx + Q m 2 (x) sin βx],

vói α = 1, β = 1, P0(x) = 1, Q0(x) = −7 Vì α + iβ = 1 + i

không là

nghi¾m cna phương trình đ¾c trưng nên ta tìm nghi¾m riêng

phương trình dưói dang

y˜(x)

cna

y˜(x) = e x (A cos x + B sin x).

Khi đó y˜ r (x) = e x [(A + B) cos x + (B −

A) sin x]; y˜ rr (x) = e x (2B cos

x − 2A sin x).

Thay vào phương trình ta đưoc

e x [(−A + 3B) cos x − (3A + B) sin x] = e x (cos x − 7 sin x).

Đong nhat các h¾ so cna cos x và sin x ta đưoc A = 2, B = 1.

Do đó nghi¾m riêng cna phương trình là y˜(x) = e x (2 cos x + sin x) V¾y nghi¾m tong quát cna phương trình là

y = c1e x + c2e −2x + e x (2 cos x + sin x),

vói c1, c1 là hang so

(iii)Dang thN ba: f (x) = f1(x)+ f2(x)+ · · · + f m (x), trong đó

moi hàm

f k (x) có dang trong hai dang đã xét trên đây Trưóc het ta tìm nghi¾m riêng y˜ k cna tùng phương trình L n [y] = f k (x); k = 1, 2, , m

Khi đó

nghi¾m riêng cna phương trình Ln [y] = f (x) là

y˜(x) = y˜1(x) + y˜2(x) + · · · + y˜ m (x).

Ví dn 1.6 Giái phương trình

y rr − y = xcos2x.

cos 2x Đây là

phương2

trình có dang thú hai Tù đó ta tìm nghi¾m riêng cna phương trình nàylà

có dang thú nhat, nên ta đưoc nghi¾m riêng cna phương trình này là

x y˜2(x) =

2 .V¾y nghi¾m riêng cna phương trình đã cho là

Vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tuyen tính gan lien đenvi¾c phân loai ve điem thưòng và điem kỳ d% cna nó Khái ni¾m ve cácđiem này cũng có the mó r®ng cho phương trình vi phân tuyen tính cap

cao Tuy nhiên, đe đơn gián trong vi¾c trình bày, chúng tôi chí trình bàyvan đe cho phương trình vi phân tuyen tính cap hai

P (x)y rr + Q(x)y r + R(x)y = 0.

Trưóc het, giá sú P (x), Q(x) và R(x) là các đa thúc và chúng không

có nhân tú chung Nghi¾m cna phương trình này trong m®t khoángchúa điem x0 liên quan m¾t thiet vói dáng đi¾u cna hàm P (x) trong

khoáng đó

M®t điem x0 mà tai đó P (x0) ƒ= 0 đưoc goi là điem thưòng cna

phương trình vi phân ó trên Bói vì P (x) là hàm liên tuc, nên ton tai

m®t khoáng chúa x0 mà trong đó giá tr% cna P (x) khác 0 Khi đó,

chia hai ve cna phương trình trên cho P (x) ta nh¾n đưoc phương

trình tương đương dưói đây

Q(x)

y rr + p(x)y r + q(x)y = 0, R(x)

là các hàm liên tuc Theo đ%nh lý ton

tai duy nhat nghi¾m, ton tai trong khoáng trên m®t nghi¾m duy nhatcna phương trình đã cho thóa mãn đieu ki¾n đau

y (x0) = y0, y r (x0) = y r

Trong vi¾c tìm nghi¾m chuoi cna phương trình vi phân tai các điemthưòng, ngưòi ta cũng có the mó r®ng phương pháp cho các điem x0 màtai đó P (x) tri¾t tiêu nhưng các hàm p (x)

P (x)

giái tích tai đó Dưói đây, chúng ta se xây dnng khái ni¾m tong quát veđiem thương và điem kỳ d% cna nhung phương trình vi phân như the.