Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính

Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị.. Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của một điểm kỳ dị chính qu

Lời cảm ơn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Văn Hào, người đãđịnh hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thànhluận văn này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, cácthầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôitrong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Phạm Thị Hồng Hương

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Hào, luận văn

“Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyếntính” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của cácnhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 12 năm 2012

Tác giả

Phạm Thị Hồng Hương

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 6

1.1 Một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm 6

1.1.1 Một số khái niệm 6

1.1.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm 7

1.1.3 Chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối 8

1.1.4 Chuỗi luỹ thừa 9

1.1.5 Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa 12

1.2 Tổng quan về phương trình vi phân tuyến tính 14

1.2.1 Một số khái niệm 14

1.2.2 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính 15

1.2.3 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 15

1.3 Điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính và sự phân loại 22 1.3.1 Khái niệm và ví dụ 24

1.3.2 Phân loại điểm kỳ dị 25

Chương 2 Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường 28

2.1 Ý tưởng của phương pháp 29

2.2 Một số ví dụ 30

2.3 Mở rộng khái niệm về điểm thường 38

2.4 Vấn đề bán kính hội tụ của nghiệm chuỗi 41

2.5 Phương trình Euler 44

2.5.1 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt 46

2.5.2 Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực bằng nhau 47

2.5.3 Phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phức liên hợp 48

2.5.4 Định lý 51

Chương 3 Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị 53

3.1 Nghiệm chuỗi trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy 53

3.1.1 Ý tưởng của phương pháp 53

3.1.2 Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của một điểm kỳ dị chính quy 60

3.2 Phương trình Bessel 71

3.2.1 Phương trình Bessel cấp 0 71

3.2.2 Phương trình Bessel cấp 1 2 . 76

3.2.3 Phương trình Bessel cấp 1 79

Kết luận 83

Tài liệu tham khảo 84

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như ta đã biết việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyếntính được dựa trên cơ sở xác định một hệ nghiệm cơ bản của phươngtrình vi phân thuần nhất cùng với việc tìm một nghiệm riêng của phươngtrình đó Nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là tổng nghiệmriêng của phương trình đó với nghiệm tổng quát của phương trình viphân tuyến tính thuần nhất tương ứng Nhưng cho đến nay, người tacũng chỉ đưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổngquát của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số Đối vớiphương trình vi phân tuyến tính mà hệ số là hàm của biến độc lập, việctìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp của một số phươngtrình vi phân rất khó (nếu không muốn nói là không thể) Điều này cũngxảy ra ngay cả khi phương trình vi phân có dạng rất đơn giản Chẳnghạn, như phương trình dưới đây

y00 − 2x.y0 + y = 0

Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, mà ta không thể tìmđược nghiệm riêng dưới dạng một hàm số sơ cấp Tuy nhiên, việc giải cácphương trình như dạng phương trình trên đây là rất quan trọng vì nónảy sinh từ các vấn đề thực tiễn liên quan đến nhiều bài toán trong lĩnhvực Vật lý Chẳng hạn, nó liên quan đến phương trình Schr¨odinger trong

cơ học lượng tử Vì vậy, chúng ta cần thiết phải xây dựng các phươngpháp nhằm tìm nghiệm cho các phương trình dạng này Một trong cácphương pháp thông dụng là tìm nghiệm của phương trình dưới dạngchuỗi lũy thừa

vi phân đã cho Sau khi đồng nhất các hệ số trong hệ thức nhận được,

ta thu được nghiệm của phương trình đó

Tuy nhiên, cơ sở của phương pháp này như đã nói ở trên chỉ có giá trịkhi chuỗi lũy thừa ứng với các hệ số tìm được phải là chuỗi hội tụ Chuỗilũy thừa có nhiều các tính chất đẹp đẽ, điều đó cho phép người ta có thểthực hiện nhiều quá trình tính toán thuận lợi Dĩ nhiên, miền hội tụ củachuỗi lũy thừa thu được là một tập hợp khác rỗng và nếu chuỗi lũy thừa

có bán kính hội tụ R thì trong khoảng hội tụ của chuỗi (−R, R) Trongkhoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng của chuỗi.Chuỗi mới nhận được (sau khi lấy đạo hàm hoặc tích phân) cũng có bánkính hội tụ như chuỗi ban đầu Điều đó dẫn tới ý tưởng tìm nghiệm củaphương trình vi phân dưới dạng chuỗi lũy thừa Được sự định hướng củangười hướng dẫn, tôi chọn đề tài: “Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi củaphương trình vi phân tuyến tính” để hoàn thành luận văn đào tạoThạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán học

Để có thể giải quyết được vấn đề đặt ra, chúng tôi bố cục luận văn thành

độ của hàm giải tích.

Chương 2 Chương này được giành cho việc trình bày một cách tỉ

mỉ về phương pháp và kỹ thuật tìm nghiệm chuỗi của phương trình viphân tuyến tính tại điểm thường Ngoài ra việc phân tích tường minh ýtưởng của vấn đề, các kỹ thuật trong việc tìm nghiệm chuỗi cũng đượcminh họa qua các ví dụ cụ thể

Chương 3 Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháptìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận củađiểm kỳ dị và minh họa áp dụng của phương pháp này trong việc giảiphương trình Bessel

- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trinh vi phân tuyến tínhtrong lân cận của điểm kỳ dị chính quy.

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày sự phân loại các loại điểm kỳ dị và phương pháp tìm nghiệmchuỗi của phương trình vi phân tuyến tính

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

- Sự phân loại điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính

- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyếntính

5 Phương pháp nghiên cứu

Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến địnhhướng của người hướng dẫn

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

Tìm ra phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyếntính Cụ thể như sau

- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tínhtại điểm thường

- Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính

trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy.

X0 = x ∈ X : {un(x)} hội tụ được gọi là miền hội tụ của dãy hàm Khi đó, với mỗi x ∈ X0, đặt

u(x) = lim

n→∞un(x),

ta được một hàm u(x) xác định trên tập X0 và dãy hàm {un(x)} đượcgọi là hội tụ điểm về hàm u(x) trên X0 Phát biểu dưới dạng khác: dãyhàm {un(x)} được gọi là hội tụ điểm về hàm u(x) trên tập X nếu với mọi

ε > 0 cho trước và với mỗi x ∈ X tồn tại số nguyên dương N = N (x, ε)sao cho với mọi n ≥ N ta có

|un(x) − u(x)| < ε

Điểm x1 được gọi là điểm phân kỳ của dãy hàm nếu dãy số {un(x1)}phân kỳ.

Dãy hàm {un(x)} được gọi là hội tụ đều về hàm u(x) trên tập X nếuvới mọi ε > 0 cho trước tồn tại số nguyên dương N = N (ε) sao cho vớimọi n ≥ N ta có

|un(x) − u(x)| < ε, với mọi x ∈ X

Cho dãy hàm {un(x)} xác định trên tập X Khi đó tổng vô hạn

Sn(x) = u1(x) + u2(x) + · · · + un(x) (1.2)được gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi

Điểm x0 được gọi là điểm hội tụ (tương ứng, phân kỳ) của chuỗi hàm(1.1) nếu x0 là điểm hội tụ (tương ứng, phân kỳ) của dãy tổng riêng(1.2) Nếu X0 là miền hội tụ của dãy hàm {Sn(x)}, thì ta cũng gọi X0 làmiền hội tụ của chuỗi (1.1) Nếu Sn(x) → u(x) trên X0, thì chuỗi hàm(1.1) được gọi là hội tụ về hàm u(x) Khi đó, ta cũng viết

∞

X

n=1

un(x) = u(x), x ∈ X0

và u(x) được gọi là tổng của chuỗi hàm (1.1)

1.1.2 Sự hội tụ đều của chuỗi hàm

Định nghĩa 1.1 Chuỗi hàm (1.1) được gọi là hội tụ đều trên X nếudãy {Sn(x)} hội tụ đều trên X

Nếu các hàm uk(x); k = 1, 2, liên tục, có đạo hàm, khả tích trên X,thì dãy tổng riêng của nó {Sn(x)} cũng có tính chất tương ứng Từ cáctính chất hội tụ đều của dãy hàm, ta có các tính chất tương ứng củachuỗi hàm như sau

Khi đó, nếu chuỗi số

Ví dụ 1.1 Xét tính hội tụ tuyệt đối và đều của chuỗi hàm

sin nx

n3

≤ 1

n3; với mọi n và mọi x ∈ R

Ngoài ra, như ta đã biết chuỗi số

n3 hội tụ tuyệt đối và đều trên R

1.1.4 Chuỗi luỹ thừa

Việc trình bày về chuỗi lũy thừa có sự liên quan trực tiếp đến vấn đềtrình bày trong luận văn Tuy nhiên, các kiến thức này tương đối quenthuộc đối với những người nghiên cứu chỉ cần mức độ ban đầu tronglĩnh vực giải tích, nên chúng tôi chỉ tóm lược các kết quả có tính chấtcăn bản nhất và cũng không trình bày các chứng minh ở đây Trước hết

là khái niệm về chuỗi lũy thừa

Định nghĩa 1.3 Chuỗi lũy thừa là chuỗi có dạng

Trong chuỗi (1.4) điểm x0 (điểm x0 = 0 trong chuỗi (1.3)) được gọi làtâm của chuỗi lũy thừa Chuỗi lũy thừa bao giờ cũng hội tụ tại tâm của

nó Do đó miền hội tụ của chuỗi lũy thừa khác rỗng Chuỗi (1.3) nhậnđược từ chuỗi (1.4) bằng phép đổi biến X = x − x0, nên về mặt lý thuyết

ta chỉ cần nghiên cứu chuỗi (1.3) là đủ

Định lý 1.5 (Định lý Abel) Nếu chuỗi (1.3) hội tụ tại x0 6= 0, thì nóhội tụ tuyệt đối và đều tại mọi x mà |x| < |x0|

Từ Định lý Abel ta thấy rằng miền hội tụ của chuỗi lũy thừa thực làmột miền cân đối trên đường thẳng thực Điều này dẫn đến khái niệmsau

Định nghĩa 1.4 Số R được gọi là bán kính của chuỗi (1.3) nếu với mọi

x mà |x| < R thì chuỗi hội tụ, với mọi x mà |x| > R thì chuỗi phân kỳ

Để tìm bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa ta có kết quả sau

Định lý 1.6 (Cauchy-Hadamard) Cho chuỗi lũy thừa (1.3) và

lim

n→∞

an+1

an

...

và phân loại

Vi? ??c tìm nghiệm chuỗi phương trình vi phân tuyến tính gắn liền đếnviệc phân loại điểm thường điểm kỳ dị Khái niệm cácđiểm mở rộng cho phương trình vi phân tuyến tính. .. x0 gọi điểm kỳ

dị quy phương trình (1.10) điểm kỳ dị cácgiới hạn

Điểm x0 gọi điểm kỳ dị khơng quy phương trình (1.10)nếu khơng phải điểm kỳ dị quy

Ví... nhân

tử chung, điểm kỳ dị phương trình (1.10) điểm mà

đó đa thức P (x) triệt tiêu

Ví dụ 1.7 Xác định điểm kỳ dị điểm thường phương trìnhBessel

Các điểm kỳ dị không điểm đa thức