Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính

Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Văn Hào, người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng sau đại học, các thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Phạm Thị Hồng Hương Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Hào, luận văn “Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính” được hoàn thành bởi nhận thức của bản thân tác giả. Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Hà Nội, tháng 12 năm 2012 Tác giả Phạm Thị Hồng Hương Mục lục Mở đầu. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1. Một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm . . . . . 6 1.1.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.2. Sự hội tụ đều của chuỗi hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3. Chuỗi hàm hội tụ tuyệt đối . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.1.4. Chuỗi luỹ thừa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.1.5. Khai triển hàm số thành chuỗi lũy thừa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.2. Tổng quan về phương trình vi phân tuyến tính . . 14 1.2.1. Một số khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.2.3. Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số . . . . . . 15 1.3. Điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính và sự phân loại 22 1.3.1. Khái niệm và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.3.2. Phân loại điểm kỳ dị. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Chương 2. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1. Ý tưởng của phương pháp . . . . . . 29 2.2. Một số ví dụ . . . . . . 30 2.3. Mở rộng khái niệm về điểm thường . . . . . 38 2.4. Vấn đề bán kính hội tụ của nghiệm chuỗi . . . . . 41 i 2.5. Phương trình Euler . . . . . . . 44 2.5.1. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt. . . . . . . . . . . . . . . 46 2.5.2. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực bằng nhau. . . . . . . . . . 47 2.5.3. Phương trình đặc trưng có cặp nghiệm phức liên hợp. . . . . . . . . . . . . . 48 2.5.4. Định lý . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 Chương 3. Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1. Nghiệm chuỗi trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy. . . . . 53 3.1.1. Ý tưởng của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.1.2. Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của một điểm kỳ dị chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 3.2. Phương trình Bessel . . . . . . 71 3.2.1. Phương trình Bessel cấp 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 3.2.2. Phương trình Bessel cấp 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3.2.3. Phương trình Bessel cấp 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 ii Mở đầu 1. Lý do chọn đề tài Như ta đã biết việc tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính được dựa trên cơ sở xác định một hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân thuần nhất cùng với việc tìm một nghiệm riêng của phương trình đó. Nghiệm tổng quát của phương trình cần giải là tổng nghiệm riêng của phương trình đó với nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất tương ứng. Nhưng cho đến nay, người ta cũng chỉ đưa ra được quy trình hệ thống để xây dựng hệ nghiệm tổng quát của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số. Đối với phương trình vi phân tuyến tính mà hệ số là hàm của biến độc lập, việc tìm nghiệm ở dạng tổ hợp của các hàm số sơ cấp của một số phương trình vi phân rất khó (nếu không muốn nói là không thể). Điều này cũng xảy ra ngay cả khi phương trình vi phân có dạng rất đơn giản. Chẳng hạn, như phương trình dưới đây y  − 2x.y  + y = 0. Đây là phương trình vi phân tuyến tính cấp hai, mà ta không thể tìm được nghiệm riêng dưới dạng một hàm số sơ cấp. Tuy nhiên, việc giải các phương trình như dạng phương trình trên đây là rất quan trọng vì nó nảy sinh từ các vấn đề thực tiễn liên quan đến nhiều bài toán trong lĩnh vực Vật lý. Chẳng hạn, nó liên quan đến phương trình Schr¨odinger trong 1 cơ học lượng tử. Vì vậy, chúng ta cần thiết phải xây dựng các phương pháp nhằm tìm nghiệm cho các phương trình dạng này. Một trong các phương pháp thông dụng là tìm nghiệm của phương trình dưới dạng chuỗi lũy thừa y(x) = ∞  n=0 a n x n = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + ··· + a n x n + ··· . Cơ sở Toán học của phương pháp này là thay thế biểu thức trên cùng các đạo hàm của nó vào phương trình vi phân cần giải. Từ đó, xác định giá trị của các hằng số a 0 , a 1 , a 2 , sao cho nó nghiệm đúng phương trình vi phân đã cho. Sau khi đồng nhất các hệ số trong hệ thức nhận được, ta thu được nghiệm của phương trình đó. Tuy nhiên, cơ sở của phương pháp này như đã nói ở trên chỉ có giá trị khi chuỗi lũy thừa ứng với các hệ số tìm được phải là chuỗi hội tụ. Chuỗi lũy thừa có nhiều các tính chất đẹp đẽ, điều đó cho phép người ta có thể thực hiện nhiều quá trình tính toán thuận lợi. Dĩ nhiên, miền hội tụ của chuỗi lũy thừa thu được là một tập hợp khác rỗng và nếu chuỗi lũy thừa có bán kính hội tụ R thì trong khoảng hội tụ của chuỗi (−R, R). Trong khoảng hội tụ ta có thể lấy đạo hàm và tích phân từng số hạng của chuỗi. Chuỗi mới nhận được (sau khi lấy đạo hàm hoặc tích phân) cũng có bán kính hội tụ như chuỗi ban đầu. Điều đó dẫn tới ý tưởng tìm nghiệm của phương trình vi phân dưới dạng chuỗi lũy thừa. Được sự định hướng của người hướng dẫn, tôi chọn đề tài: “Điểm kỳ dị và nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính” để hoàn thành luận văn đào tạo Thạc sĩ khoa học chuyên ngành Toán học. Để có thể giải quyết được vấn đề đặt ra, chúng tôi bố cục luận văn thành 2 ba chương Chương 1. Ở đây, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản về phương trình vi phân, sâu hơn là lý thuyết chung đối với phương trình vi phân tuyến tính và lý thuyết chuỗi hàm. Ở đây những kiến thức căn bản nhất liên quan đến việc tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. Cũng để thuận lợi trong việc trình bày các phương pháp nghiên cứu vấn đề đặt ra, trong phần này chúng tôi cũng trình bày một cách chi tiết việc phân loại các điểm của phương trình vi phân dưới góc độ của hàm giải tích. Chương 2. Chương này được giành cho việc trình bày một cách tỉ mỉ về phương pháp và kỹ thuật tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường. Ngoài ra việc phân tích tường minh ý tưởng của vấn đề, các kỹ thuật trong việc tìm nghiệm chuỗi cũng được minh họa qua các ví dụ cụ thể. Chương 3. Trong chương này, chúng tôi trình bày về phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị và minh họa áp dụng của phương pháp này trong việc giải phương trình Bessel. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu về phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. Cụ thể - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường. 3 - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trinh vi phân tuyến tính trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày sự phân loại các loại điểm kỳ dị và phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Sự phân loại điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính. - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. 5. Phương pháp nghiên cứu Tra mạng, tìm kiếm tài liệu, phân tích, tổng hợp và xin ý kiến định hướng của người hướng dẫn. 6. Dự kiến đóng góp của đề tài Tìm ra phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. Cụ thể như sau - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường. - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính 4 trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy. 5 Chương 1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Một số kiến thức cơ bản về chuỗi hàm 1.1.1. Một số khái niệm Trong phạm vi nghiên cứu của luận văn, chúng tôi chỉ đề cập đến các khái niệm và kết quả căn bản về chuỗi hàm số thực. Trước hết, ta giới thiệu một số khái niệm cơ bản về dãy hàm. Cho dãy hàm {u n (x)} ∞ n=1 xác định trên tập X. Điểm x 0 ∈ X gọi là điểm hội tụ của dãy hàm đã cho nếu dãy số {u n (x 0 )} hội tụ. Tập hợp X 0 =  x ∈ X : {u n (x)} hội tụ  được gọi là miền hội tụ của dãy hàm. Khi đó, với mỗi x ∈ X 0 , đặt u(x) = lim n→∞ u n (x), ta được một hàm u(x) xác định trên tập X 0 và dãy hàm {u n (x)} được gọi là hội tụ điểm về hàm u(x) trên X 0 . Phát biểu dưới dạng khác: dãy hàm {u n (x)} được gọi là hội tụ điểm về hàm u(x) trên tập X nếu với mọi ε > 0 cho trước và với mỗi x ∈ X tồn tại số nguyên dương N = N(x, ε) sao cho với mọi n ≥ N ta có |u n (x) − u(x)| < ε. 6 [...]... đó, nghiệm tổng quát của phương trình đã cho là y = c1 ex + c2 e−x − 2 x 1 x cos 2x + sin 2x + , 10 25 2 với c1 , c2 là các hằng số 1.3 Điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính và sự phân loại Vi c tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính gắn liền đến vi c phân loại về điểm thường và điểm kỳ dị của nó Khái niệm về các điểm này cũng có thể mở rộng cho phương trình vi phân tuyến tính. .. trình (1.6) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số 14 1.2.2 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính Định nghĩa 1.7 Hệ gồm n nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Ln [y] = 0 gọi là hệ nghiệm cơ bản của phương trình đó Định lý 1.11 Nếu y1 , y2 , , ym là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình Ln [y] = 0, thì nghiệm tổng quát của phương trình có dạng m ck yk (x),... là một nghiệm riêng của phương trình vi phân ˜ tuyến tính không thuần nhất Ln [y] = f (x), và y1 , y2 , , yn là một hệ nghiệm cơ bản của phương trình thuần nhất Ln [y] = 0 tương ứng với phương trình đã cho Khi đó, nghiệm tổng quát của phương trình Ln [y] = f (x) là n y(x) = y (x) + ˜ ck yk (x) k=1 1.2.3 Cấu trúc nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng số Phương trình vi phân tuyến tính. .. thì eλ1 x , eλ2 x , , eλm x là các nghiệm độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.7) 16 Bổ đề 1.2 Nếu λ1 là một nghiệm bội m của phương trình (1.8) thì các hàm eλ1 x , xeλ1 x , , xm−1 eλ1 x là các nghiệm riêng độc lập tuyến tính của phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất (1.7) Bổ đề 1.3 Nếu α ± iβ là cặp nghiệm phức bội m của phương trình (1.8), thì hệ các hàm eαx cos... đa thức đặc trưng của phương trình (1.7) Như vậy, hệ nghiệm cơ bản của phương trình (1.7) được xây dựng trên cơ sở các nghiệm của phương trình đặc trưng Để xây dựng được hệ nghiệm cơ bản của phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, ta cần một số bổ đề sau trong vi c xử lý các nghiệm của phương trình đặc trưng Bổ đề 1.1 Nếu λ1 , λ2 , , λm là các nghiệm khác nhau của phương trình (1.8) thì eλ1... nên điểm x = 1 là một điểm kỳ dị chính quy Tương tự, chúng ta có thể chỉ ra điểm x = −1 cũng là một điểm kỳ dị chính quy Ví dụ 1.10 Xác định tính chất kỳ dị của các điểm kỳ dị trong phương trình vi phân sau 2x(x − 2)2 y + 3xy + (x − 2)y = 0 Ta có P (x) = 2x(x − 2)2 = 0 tại x = 0 và x = 2 Do đó x = 0 và x = 2 là các điểm kỳ dị của phương trình đã cho Cũng như trong Ví dụ 1.9, ta dễ dàng xác định được điểm. .. 2 π π tích tại x = Như vậy, x = là điểm kỳ dị chính quy 2 2 x− cos x = −1 + 27 Chương 2 Nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường Trong chương đầu của luận văn, chúng tôi đã trình bày phương pháp tổng quát giải các phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số Tuy nhiên, như ta đã thấy vi c giải phương trình vi phân khi hệ số là các hàm của biến độc lập không phải là dễ dàng,... hệ nghiệm cơ bản của phương trình này gồm hai hàm độc lập tuyến tính sin x và cos x Do đó, ta nhận được nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) là y = C1 cos x + C2 sin x Bây giờ, tìm nghiệm dưới dạng chuỗi lũy thừa của phương trình trong lân cận của điểm x0 = 0 Trước hết, trong phương trình (2.1) ta xác định được P (x) = 1, Q(x) = 0 và R(x) = 1; do đó mọi điểm đều là điểm thường Nghiệm chuỗi của phương. .. thường của phương trình Bessel x2 y + xy + x2 − v 2 y = 0 Điểm x = 0 là một điểm kỳ dị vì P (x) = x2 triệt tiêu tại đó Tất cả các điểm khác đều là điểm thường Ví dụ 1.8 Xác định các điểm kỳ dị và điểm thường của phương trình Legendre (1 − x2 )y − 2xy + α(α + 1)y = 0, trong đó α là một hằng số Các điểm kỳ dị là các không điểm của đa thức P (x) = 1 − x2 , đó là các điểm x = ±1 Tất cả các điểm khác đều là điểm. .. nhiều phương trình có dạng khá đơn giản Một trong những phương pháp khá hiệu quả đối với lớp lớn các bài toán này là phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính khi các hệ số là các hàm của biến độc lập Để đơn giản cho vi c trình bày, ở chương này và chương tiếp theo, chúng ta chỉ xét phương trình vi phân tuyến tính thuần nhất cấp hai với hệ số là các hàm của biến độc lập x Phương . phân tuyến tính. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu - Sự phân loại điểm kỳ dị của phương trình vi phân tuyến tính. - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. 5. Phương. phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. Cụ thể - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường. 3 - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của. Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính tại điểm thường. - Phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính 4 trong lân cận của điểm kỳ dị chính quy. 5 Chương