Trong phần trước chúng ta đã xét vấn đề tìm các nghiệm chuỗi của phương trình (2.1) với P(x), Q(x) và R(x) là các đa thức, trong lân
cận của các điểm thường x0. Giả sử rằng phương trình (2.1) có nghiệm
y = φ(x) và hàm φ có khai triển chuỗi Taylor
y = φ(x) =
∞ X
n=0
an(x−x0)n (2.16) hội tụ trong miền |x−x0| < ρ với số ρ > 0. Khi đó, như ta đã thấy rằng các hệ số an có thể được xác định bằng việc thế trực tiếp y cùng các đạo hàm của nó được xác định từ chuỗi (2.16) vào phương trình (2.1). Trong phần này, chúng ta sẽ xét đến các điều kiện để nếu x0 là điểm thường của phương trình (2.1) thì tồn tại nghiệm của phương trình dưới dạng (2.16). Để giải quyết vấn đề này, trước hết chúng ta cần tổng quát hóa định nghĩa về một điểm thường.
Giả sử rằng tồn tại nghiệm của phương trình (2.1) dưới dạng (2.16). Bằng việc lấy đạo hàm m lần phương trình (2.16) và thế x bởi x0, chúng ta nhận được
m!am = φ(m)(x0).
Do đó, để tính được các số hạng an trong chuỗi (2.16) ta phải chứng tỏ rằng có thể xác định được φ(n)(x0) với mọi n= 0,1,2, ... từ phương trình vi phân (2.1). Giả sử rằng φ(x) là nghiệm của phương trình (2.1) thỏa mãn điều kiện đầu
y(x0) = y0, y0(x0) =y00.
Thế thì a0 = y0, a1 = y00. Nếu ta chỉ quan tâm đến việc tìm nghiệm của phương trình (2.1) mà không cần quan tâm đến điều kiện đầu, thì a0 và
a1 có thể xác định tùy ý. Để xác định φ(n)(x0) và tương ứng là an với
của phương trình (2.1) nên ta có
P(x)φ00(x) +Q(x)φ0(x) +R(x)φ(x) = 0.
Bởi vì, trong lân cận của điểm x0 đa thức P(x) không triệt tiêu nên ta có thể viết phương trình dưới dạng
φ00(x) = −p(x)φ0(x)−q(x)φ(x), (2.17) vớip(x) = Q(x) P(x) và q(x) = R(x) P(x). Thếx bằng x0 vào phương trình (2.17) ta nhận được φ00(x0) = −p(x0)φ0(x0)−q(x0)φ(x0).
Từ đó, hệ số a2 được cho bởi
2!a2 = φ00(x0) = −p(x0)a1 −q(x0)a0. (2.18) Để xác định a3, lấy vi phân phương trình (2.17) và thayx bằng x0, chúng ta nhận được
3!a3 = φ000(x0) = −[pφ00 + (p0+q)φ0 +q0φ]|x=x0
= −2!p(x0)a2 −[p0(x0) +q(x0)]a1 −q0(x0)a0. (2.19) Thay a2 từ phương trình (2.18) vào phương trình (2.19) ta nhận được hệ số a3 biểu diễn qua các hệ số a0 và a1. Bởi vì P(x), Q(x), R(x) là các đa thức và P (x0) 6= 0 nên tất cả các đạo hàm của p(x) và q(x) tại x0
đều được xác định. Do đó, lấy vi phân phương trình (2.17) liên tiếp và thay thế giá trị của x bởi x0 ta lần lượt nhận được các hệ số a4, a5, .... Điều quan trọng là khi tính toán các hệ số an chúng ta đã thực hiện việc lấy vi phân liên tiếp các hàm p và q. Điều đó, cho thấy phải chăng chúng
ta giảm nhẹ giả thiết các hàm p và q chỉ là các đa thức, và chỉ đòi hỏi đơn giản rằng chúng khả vi vô hạn lần trong lân cận của điểm x0. Tiếc thay, điều kiện này quá chặt để đảm bảo sự hội tụ của chuỗi khai triển nhận được đối với hàm y = φ(x). Điều kiện rộng hơn là chỉ cần giả thiết các hàm p và q giải tích tại x0; nghĩa là nó có khai triển Taylor hội tụ trong khoảng chứa điểm x0
p(x) = p0 +p1(x−x0) +· · ·+pn(x−x0)n +· · · , q(x) = q0 +q1(x−x0) +· · ·+qn(x−x0)n +· · · .