Mục đích chính của luận văn là xây dựng phương pháp tìm nghiệm chuỗi của phương trình vi phân tuyến tính. Trong phần này, chúng tôi giới thiệu về phương trình Euler với một phương pháp giải cụ thể. Để giải phương trình này có thể tiến hành theo nhiều cách khác nhau, nhưng phương pháp mà chúng tôi trình bày ở đây liên quan trực tiếp đến phương pháp tìm nghiệm chuỗi được trình bày ở chương sau.
Phương trình Euler là phương trình có dạng
trong đó α và β là các hằng số thực (và cũng được gọi là hệ số Euler). Dễ dàng thấy rằng, x = 0 là điểm kỳ dị chính quy của phương trình (2.20).
Nghiệm của phương trình Euler là trường hợp điển hình của các phương trình vi phân có một điểm kỳ dị chính quy. Trong một khoảng bất kỳ không chứa điểm gốc, phương trình (2.20) có một nghiệm tổng quát dạng
y = c1y1(x) +c2y2(x),
trong đó y1 và y2 là độc lập tuyến tính.
Để thuận tiện cho việc trình bày lời giải, trước hết chúng ta xét trên khoảng x > 0, sau đó mở rộng kết quả với khoảng x < 0. Giả sử rằng phương trình (2.20) có một nghiệm dạng y = xr, ta gọi nghiệm dạng này là nghiệm Euler. Khi đó ta có
y0 = (xr)0 = rxr−1
và
y00 = (xr)00 = r(r −1)xr−2.
Thay vào vế trái của phương trình (2.20) ta nhận được
L[xr] = xr[r(r −1) +αr+β] = xrF(r). (2.21) Ta gọi phương trình
F(r) = r(r −1) +αr+ β = 0 (2.22) là phương trình đặc trưng của phương trình (2.20). Từ đó suy ra rằng, nếu r là một nghiệm của phương trình đặc trưng (2.22), thì y = xr là
một nghiệm của phương trình (2.20). Các nghiệm của phương trình đặc trưng là r1, r2 = −(α−1)± q (α −1)2 −4β 2
và khi đó ta nhận được sự phân tích F(r) = (r −r1)(r −r2). Như đối với việc giải phương trình vi phân tuyến tính với hệ số hằng số, chúng ta cần xét các trường hợp riêng dưới đây
2.5.1. Phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệtNếu phương trình đặc trưng có hai nghiệm thực phân biệt là r1 và r2,