Bây giờ chúng ta xét vấn đề về khoảng hội tụ của nghiệm chuỗi. Điều thực tế rằng, khi tìm được nghiệm chuỗi của mỗi bài toán, ta có thể áp dụng một trong các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi vô hạn để xác định bán kính hội tụ của chúng. Tuy nhiên, vấn đề này có thể được giải quyết một cách đơn giản hơn cho một lớp lớn các bài toán nhờ định lý dưới đây Định lý 2.1. ([3]) Nếu x0 là điểm thường của phương trình vi phân
P(x)d 2y dx2 +Q(x)dy dx +R(x)y = 0; nghĩa là, nếu các hàm p(x) = Q(x) P(x) và q(x) = R(x) P(x) là giải tích tại x0
thì nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) là
y =
∞ X
n=0
an(x−x0)n = a0y1(x) +a1y2(x),
ở đó a0, a1 là các hằng số tùy ý và y1, y2 là các nghiệm chuỗi độc lập tuyến tính giải tích tại x0. Thêm nữa, bán kính hội tụ của mỗi nghiệm
chuỗi là y1 và y2 ít nhất lớn tối thiểu bằng bán kính hội tụ của các chuỗi của p và q.
Điều lưu ý rằng các nghiệm chuỗi có dạng y1(x) = 1 +b2(x−x0)2+· · ·
và y2(x) = (x−x0) +c2(x−x0)2 + · · ·. Do đó y1 là nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu y1(x0) = 1, y10 (x0) = 0 và y2 là nghiệm thỏa mãn điều kiện đầu y2(x0) = 0, y20 (x0) = 1. Cũng lưu ý rằng trong quá trình tính toán các hệ số bằng việc đạo hàm liên tiếp phương trình vi phân là điều mẫu mực về mặt lý thuyết, nhưng nó không phải là quy trình tính toán thông dụng. Thay vào đó, nên thay thế chuỗi (2.16) đối với y vào phương trình vi phân (2.1) và xác định các hệ số sao cho phương trình vi phân được thỏa mãn, như trong các ví dụ ở phần trước đây.
Chúng ta không trình bày chứng minh của định lý. Phép chứng minh của định lý này chúng ta có thể tìm thấy trong các cuốn sách [1], [5]. Điều quan trọng đối với mục đích của chúng ta là tồn tại một nghiệm chuỗi của phương trình (2.1); và bán kính hội tụ của nghiệm chuỗi không thể nhỏ hơn bán kính hội tụ của các chuỗi đối với p và q. Chúng ta chỉ cần xác định các vấn đề này.
Việc này có thể được tiến hành theo hai cách. Một cách có thể là đơn giản tính toán các chuỗi đối với p và q và xác định các bán kính hội tụ bằng việc sử dụng một trong các tiêu chuẩn hội tụ của chuỗi vô hạn. Tuy nhiên, có một cách đơn giản hơn khi P(x), Q(x) và R(x) là các đa thức. Nó được chứng tỏ trong lý thuyết hàm một biến phức, thương của hai đa thức Q(x)/P(x) có một khai triển chuỗi lũy thừa tại điểm x = x0
P(x) và Q(x) đã triệt tiêu hết, thì bán kính hội tụ của chuỗi lũy thừa
Q(x)/P(x) trong lân cận của điểm x = x0 chính bằng khoảng cách từ
x0 tới không điểm gần nhất của P.
Ví dụ 2.4. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi Taylor đối với hàm 1 +x2−1
trong lân cận của điểm x = 0.
Một cách tiến hành là tìm chuỗi Taylor của nó, đó là chuỗi
1
1 +x2 = 1−x2 +x4 −x6 + · · ·+ (−1)nx2n+· · · .
Khi đó, ta có thể kiểm tra được bán kính hội tụ của chuỗi bằng ρ = 1. Phương pháp khác là lưu ý rằng các không điểm của 1 +x2 là x = ±i. Bởi vì khoảng cách từ 0 đến i hoặc −i đều bằng 1 trong mặt phẳng phức, nên bán kính hội tụ của chuỗi tại điểm x = 0 là bằng 1.
Ví dụ 2.5. Tìm bán kính hội tụ của chuỗi Taylor đối với hàm x2 −2x+ 2−1
trong lân cận của điểm x = 0 và x = 1.
Trước hết ta lưu ý rằng phương trình x2 − 2x + 2 có các nghiệm là
x = 1±i. Khoảng cách từ x = 0 đến 1−i hoặc 1 +i trong mặt phẳng phức cùng bằng √
2.
Khoảng cách từ x = 1 đến 1 +i hoặc 1−i trong mặt phẳng phức cùng bằng 1; do đó bán kính hội tụ của khai triển chuỗi Taylor
∞ P
n=0
bn(x−1)n
tại x = 1 là 1.
Một nghiệm chuỗi có thể hội tụ trên miền rộng hơn của x như định lý đã nói. Thực ra, định lý chỉ đưa ra biên dưới bán kính hội tụ của nghiệm chuỗi. Điều này được minh họa bởi nghiệm đa thức Legendre của phương trình Legendre được cho bởi ví dụ tiếp theo dưới đây
Ví dụ 2.6. Xác định biên dưới của bán kính hội tụ của các nghiệm chuỗi tại x = 0 của phương trình Legendre
1−x2y00 −2xy0 +α(α+ 1)y = 0,
với α là một hằng số.
Lưu ý rằng P(x) = (1−x)2, Q(x) = −2x và R(x) = α(α+ 1) là các đa thức và các không điểm của P(x) là x = ±1. Khoảng cách từ chúng đến 0 bằng 1. Do đó, một nghiệm chuỗi dưới dạng
∞ P
n=0
anxn hội tụ ít nhất với
|x| < 1 và có thể là lớn hơn. Thực vậy, nó có thể chứng minh được nếu
α là số nguyên dương , một trong các nghiệm chuỗi ngắt sau một số hữu hạn các số hạng và do đó hội tụ không chỉ với |x| < 1 mà với mọi x. Ví dụ nếu α = 1, nghiệm đa thức là y = x.