Môđun lồi và môđun trơn trong không gian banach

Mở đầu Các khái niệm môđun lồi và môđun trơn đóng vai trò hết sức quan trọng trong không gian Banach. Trong khuôn khổ chật hẹp của khoá luận, tôi chỉ đề cập đến một số định nghĩa và tính chất của môđun lồi và môđun trơn trong không gian Banach và xét nó trong một số trờng hợp đặc biệt. Cụ thể, ngoài phần mục lục, mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khoá luận đợc bố cục nh sau: Đ1 Một số kiến thức chuẩn bị. Phần này trình bày các khái niệm về không gian định chuẩn, không gian Banach, hình cầu đóng, hình cầu mở, mặt cầu trong không gian định chuẩn và một số tính chất của chúng. Đ2 Môđun lồi và môđun trơn trong không gian Banach. Phần này trình bày định nghĩa môđun lồi, môđun trơn, không gian lồi đều, không gian trơn đều, không gian q- lồi, không gian p- trơn và một số tính chất cơ bản của nó. Đ3 Môđun lồi và môđun trơn trong một số trờng hợp đặc biệt. Phần này trình bày một số tính chất của môđun lồi và môđun trơn trong trờng hợp X là không gian Hilbert thực, chiều lớn hơn hoặc bằng 2, X là các không gian c 0 , l 1 , l , L p . Đ4 Mối liên hệ giữa tính lồi và tính trơn. Phần này trình bày một số kết quả nh công thức Lindenstrauss (1963) ; hệ quả Smulian (1941). Đ5 Một số tính chất khác của các hàm X () và X (). Trong phần này đề cập đến các bổ đề Helli, bổ đề Goldsteine và định lý Milman - Pettis. Cuối cùng cho tôi gửi lời cảm ơn sâu sắc nhất tới PGS.TS. Trần Văn Ân ng- ời hớng dẫn trực tiếp giúp tôi hoàn thành khoá luận và cho tôi gửi lời cảm ơn tới các thầy cô trong khoa Toán Đại học Vinh đã tận tình giúp đỡ tôi trong quá trình làm khoá luận. 1 Mặc dù tôi đã cố gắng nhiều nhng do điều kiện thời gian và hạn chế về mặt trình độ nên chắc chắn trong khoá luận không tránh khỏi những thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô và bạn đọc góp ý để khoá luận đợc hoàn thiện hơn. Vinh, tháng 4 năm 2004 Tác giả 2 Mục lục Trang Mở đầu 1 Đ 1. một số kiến thức chuẩn bị 3 Đ 2. môđun lồi và môđun trơn trong không 5 gian banach Đ 3. môđun lồi và môđun trơn trong một số 7 trờng hợp đặc biệt Đ 4. Mối liên hệ giữa tính lồi và tính trơn 18 Đ 5. Một số tính chất khác của các 21 hàm X ( ) và X ( ) kết luận 28 tài liệu tham khảo 20 3 Đ1 một số kiến thức chuẩn bị 1.1. Định nghĩa ([1]). Tập X khác rỗng đợc gọi là một không gian vectơ trên trờng K nếu trên đó đã cho 2 phép toán cộng và nhân vô hớng sao cho thoả mãn các điều kiện 1) x + y = y + x, với mọi x, y X; 2) (x + y) + z = x + (y + z), với mọi x, y, z X; 3) Tồn tại phần tử 0 X sao cho x + 0 = 0 + x = x, với mọi x X; 4) Với mọi x X, tồn tại phần tử đối x X sao cho x + (-x) = (-x) + x = 0; 5) (àx) = à(x) = (à)x, với mọi x X, với mọi à, K; 6) (x + y) = x + y, với mọi x, y X, với mọi K; 7) ( + à)x = x + àx, với mọi x X, với mọi , à K; 8) 1.x = x, với mọi x X. 1.2. Định nghĩa ([1]). Giả sử E là không gian vectơ trên trờng K. Hàm p: E đợc gọi là một chuẩn trên E nếu thoả mãn các điều kiện 1) p(x) 0, với mọi x E và p(x) = 0, khi và chỉ khi x = 0; 2) p(x) = ||.p(x), với mọi x E, với mọi K; 3) p(x + y) p(x) + p(y), với mọi x, y E. Số p(x) đợc gọi là chuẩn của vectơ x. Thờng kí hiệu ||x||. Không gian vectơ E cùng với một chuẩn xác định trên nó đợc gọi là không gian định chuẩn. Kí hiệu là (E, ||.||). 1.3. Định lý ([1]). Nếu p là một chuẩn trên không gian vectơ E thì công thức d(x, y) = ||x y||, với mọi x, y E xác định một mêtric trên E. Mêtric này có tính chất sau a) d(x + y, y + z) = d(x, y), với mọi x, y, z E, 4 b) d ( x, y) = | |d(x, y), với mọi x, y E, với mọi K. 1.4. Định lý ([1]). Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó ánh xạ chuẩn ||.||: E là liên tục đều trên E. 1.5. Định lý ([1]). Giả sử E là không gian định chuẩn, khi đó ánh xạ (x, y) x + y từ E x E vào E và ánh xạ ( , x) x từ K x E vào E là liên tục. 1.6. Định lý ([1]). Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó với mọi x E ánh xạ f: E E cho bởi f(x) = x + a với mọi a E là phép đồng phôi đẳng cự (tức là bảo tồn khoảng cách) và với mọi K, 0 ánh xạ g: E E cho bởi g(x) = x với mọi x E là phép đồng phôi. 1.7. Hệ quả ([1]). Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó các mệnh đề sau là tơng đơng a) U là lân cận của điểm 0 E; b) U là lân cận của điểm 0 với mọi K, 0; c) a + U là lân cận của điểm a với mọi a E. 1.8. Định nghĩa ([1]). Không gian định chuẩn E đợc gọi không gian Banach nếu E là không gian mêtric đầy đủ, đối với mêtric sinh ra từ chuẩn. 1.9. Định nghĩa ([1]). Giả sử E là không gian định chuẩn. Khi đó a) B(x 0 , r) = {x E: ||x 0 x|| < r} đợc gọi là hình cầu mở tâm x 0 , bán kính r. b) B(x 0 , r) = {x E: ||x 0 x|| r} đợc gọi là hình cầu đóng tâm x 0 , bán kính r. c) S(x 0 , r) = {x E: ||x 0 x|| = r} đợc gọi là mặt cầu tâm x 0 , bán kính r trong không gian định chuẩn E. 5 Đ2 Môđun lồi và môđun trơn của không gian Banach Giả X là không gian Banach trên trờng số thực có số chiều dimX 2. Kí hiệu: ||x|| là chuẩn của phần tử x X; X * là không gian đối ngẫu tôpô của X; S X là mặt cầu đơn vị trong X và B X là hình cầu đóng đơn vị trong X. S X = {x X: ||x|| = 1} B X = {x X: ||x|| 1}. Nếu x * X * và x X, ta kí hiệu <x * , x> là giá tị của x * tại x, tức là <x * , x> = x * (x). 2.1. Định nghĩa. 1) Môđun lồi của không gian Banach X là hàm số X : [0; 2] , X () = inf = + ||yx||,Sy,x: yx X 2 1 . 2) Môđun trơn của không gian Banach X là hàm số X : + , X () = sup = ++ ||y||,Sx:1 2 ||yx||||yx|| X . 2.2. Nhận xét. a) Với mọi x, y S X thì ||x + y|| ||x|| + ||y|| = 2. Suy ra 0 2 1 + yx , nên ta có X : [0; 2] [0; 1] và X (0) = 0. b) Rõ ràng X () = ++ X Sy,x:1 2 ||yx||||yx|| sup và với mọi x, y S X thì ||x + y|| ||x|| + ||y|| = 1 + ; ||x - y|| ||x|| + ||-y|| = 1 + ; ||x + y|| + ||x - y|| ||x+y + x y|| = 2||x|| = 2. Do đó, ta có X : [0; + ) [0; + ) và thoả mãn X (0) = 0; 0 X () . 6 c) Ngời ta chứng minh đợc rằng: X () = inf + ||yx||,Sy,x: yx X 2 1 , X () = sup ++ X By,x: ||yx||||yx|| 1 2 . 2.3. Định nghĩa. 1) Không gian Banach X là lồi đều nếu X () > 0 với mọi (0; 2]. 2) Không gian Banach X là trơn đều nếu: 0= + 0 )( lim X . 2.4. Định nghĩa. 1) Không gian Banach X đợc gọi là q lồi nếu tồn tại hằng số C q > 0 sao cho: X () C q . q với mọi [0; 2]. 2) Không gian Banach X đợc gọi là p trơn (p > 1) nếu tồn tại hằng số C p > 0 sao cho: X () C p . p với mọi [0; + ). Nhận xét. Hiển nhiên nếu X là q lồi thì X là lồi đều và nếu X là p trơn (p > 1) thì X là trơn đều. 2.5. Chú ý. a) Sau này ta sẽ chứng minh rằng: nếu X là q lồi thì 2 < q < và nếu X là p trơn thì 1 < p 2. b) Theo nhận xét 2.2 ta có X () nên mọi không gian Banach là 1 - trơn. c) Ngời ta quan tâm đến giá trị của các X () và X () tại những giá trị của và gần 0 (, 0 + ). 7 Đ3 môđun lồi và môđun trơn trong một số trờng hợp đặc biệt A. trờng hợp X là không gian hilbert thực, chiều lớn hơn hoặc bằng 2. 3.1. Định lý. Nếu H là không gian Hilbert thực, dimH 2 thì: (i) H ( ) = 4 11 2 . (ii) H ( ) = 11 2 + . Đặc biệt, không gian Hilbert H là 2 - lồi và 2 trơn. Chứng minh. Để chứng minh định lý này ta sử dụng đẳng thức hình bình hành ||x+ y|| 2 + ||x y|| 2 = 2(||x|| 2 + ||y|| 2 ). (i) Với mọi x, y S H , từ đẳng thức hình bình hành ta có 1 44 2 22 22 22 = += + + ||y||||x||yxyx . Do đó H () = = 2 + 1 ||yx||,Sy,x: yx inf H = = ||yx||,Sy,x: ||yx|| inf H 4 11 2 = 4 11 2 . (ii) Để tính H (), ta chú ý ||x + y|| 2 = <x + y, x + y> = 1 + 2<x, y> + 2 ||x - y|| 2 = <x - y, x - y> = 1 - 2<x, y> + 2 . Từ đó, ta có H () = ++ H S y,x:1 2 ||yx||||yx|| sup 8 = ><++><++ H 22 Sy,x:1 2 y,x21y,x21 sup . Ta chú ý rằng, với mọi a, b mà a |b| 0 ta có ( ) 22 2 22 baababababa +=++=++ aaa 222 =+ . Đẳng thức xảy ra khi b = 0, nên ta có 222 12y,x21y,x21 +=><++><++ . Vì vậy đẳng thức xảy ra khi 2<x, y> = 0 >=< = .yx0y,x 0 Do đó, ta có H () = ><++><++ H 22 Sy,x:1 2 y,x21y,x21 sup = .11 2 + b. trờng hợp x là các không gian c 0 , l 1 , l Ta kí hiệu c 0 = {(x n ): x n , 0 = n n xlim }, trong c 0 , ta xác định chuẩn |,x|max||x|| n n c 0 = với x = (x n ) c 0 ; kí hiệu l 1 = {(x n ): x n , 1= +< n n |x| }, trong l 1 , ta xác định chuẩn 9 = = 1 1 n n |,x|||x|| với x = (x n ) l 1 . l = {(x n ): x n , +< |x|sup n n }, trong l , ta xác định chuẩn |,x|sup||x|| n n = với x = (x n ) l . 3.2. Định lý. Các không gian c 0 , l , l 1 không lồi đều và không trơn đều. Chứng minh. 1) Ta chứng minh c 0 , l là các không gian không lồi đều và không trơn đều. Ta thấy c 0 là không gian con của l , chuẩn trên c 0 là chuẩn trong l cảm sinh lên c 0 . Do đó, ta dễ dàng suy đợc )( l )( c 0 và )( l )( c 0 . Ta tính )( c 0 . Chọn x 0 = (1, 1, 0, ) và y 0 = (1, 1 , 0, ) thì x 0 , y 0 c 0 . Mặt khác, do [0; 2] nên 1 1 1. Từ đó suy ra ;||y||||x|| cc 1 00 00 == 10 2 11 2 0 00 = = + ||, .),,(|| ||yx|| c . Do đó 0 2 10 0 0 00 = + c c ||yx|| )( . Vậy 0 0 = )( c với mọi [0; 2] và 0)()( 0 cl == với mọi [0; 2]. Do vậy, c 0 , l là các không gian không lồi đều. Để tính )( c 0 , ta chọn: x 1 = (1, 1, 0, ) và y 1 = (1, 0, 0, ) thì x 1 , y 1 c 0 , 1== 00 11 cc ||y|| ||x|| và x 1 + y 1 = (1 + , 1, 0, ) 10