Luận văn nón tiếp và nón pháp trong không gian banach

B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN TH SU ANH NểN TIP V NểN PHP TRONG KHễNG GIAN BANACH LUN VN THC S TON HC H NI, 2014 B GIO DC V O TO TRNG I HC s PHM H NI NểN TIP V NểN PHP TRONG KHễNG GIAN BANACH LUN VN THC S Chuyờn ngnh : TON GII TCH Mó s : 60 46 01 02 Giỏo viờn hng dn: PGS.TS. NGUYN NNG TM H NI, 2014 Mc lc Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc ti PGS.TS. Nguyn Nng Tõm, ngi ó nh hng chn ti v tn tỡnh hng dn tụi hon thnh lun ny. Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti cỏc thy cụ phũng Sau i hc, cựng cỏc thy cụ giỏo dy cao hc chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc S phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc tp. Xin cm n gia ỡnh, bn bố ó luụn ng viờn, c v, to mi iu kin thun li cho tụi quỏ trỡnh hc v hon thnh lun vn. H Ni, thỏng nm 2014 Tỏc gi Li cam oan Nguyn Th Sỏu Anh Tụi xin cam oan, di s hng dn ca PGS.TS. Nguyn Nng Tõm, lun Thc s chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti Nún tip v nún phỏp khụng gian Banach" c hon thnh bi nhn thc ca bn thõn tỏc gi. Trong quỏ trỡnh nghiờn cu thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng thnh tu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n. H Ni, thỏng nm 201 Tỏc gi Nguyn Th Sỏu Anh Bng mt s kớ hiu K = KU {oo, +00} / : X -> R dom(f) epi) f\x) v/(x) v2 f ( x ) E* int A A,clA domf epif f(x) f(x; V) 9f{x) (x*,x) KA NA(X) f < L{f,a) = {x e X I f(x) < a} c hm id A B (y,e) ng thng thc khụng gian Euclid n chiu s thc suy rng ỏnh x i t X vo R hu hiu ca / trờn th ca / o hm ca / ti X gradient ca / ti X ma trn Hessian ca / ti X khụng gian liờn hp ca E phn ca A bao úng ca A hu hiu ca / trờn th ca / o hm Frechet ca / ti X o hm Gõteaux ca / ti X o hm theo hng V ca / ti X di vi phõn ca / ti X chun khụng gian Banach tr tuyt i ca s X giỏ tr ca X* ti X nún li sinh bi A nún phỏp ca A ti X f { x ) < g { x ) vi mi X mc di hm kh vi liờn tc n cp k ỏnh x ng nht trờn A cu tõm y bỏn kớnh Ê M u 1. Lí DO CHN TI Trong Gii tớch bin phõn v gii tớch hm phi tuyn, nún tip v nún phỏp l hai khỏi nim quan trng. Chỳng cú vai trũ ln nghiờn cu ca nhiu lnh vc, chng hn nh: bt ng thc bin phõn, lý thuyt ti u, V.V Nhiu tỏc gi (Minkowski, Fenchel, Bouligand, Clarke, Hiriart- Uruty, Rockafellar, Robinson, Zowe, Kurcyusz, Lyusternik, Aubin, Schi- rotzek, Klatte v Kummer, Penot, Borwen v Zhu, .) quan tõm nghiờn cu v s dng; xem [4], [5] v cỏc ti liu dn ú. Vi mong mun tỡm hiu sõu hn v nhng kin thc ó hc, mi quan h v nhng ng dng ca toỏn gii tớch, c bit l gii tớch khụng trn v ng dng, tụi chn ti Nún tip v nún phỏp khụng gian Banach nghiờn cu. 2. MC CH NGHIấN cu t c mt s hiu bit tt v khỏi nim v tớnh cht ca mt s nún tip, ca mt s nún phỏp khụng gian Banach v ng dng ca chỳng Gii tớch bin phõn. 3. NHIM V NGHIấN cu Nghiờn cu nhng khỏi nim v tớnh cht c bn ca nhng nún tip v nún phỏp cựng ng dng ca chỳng Gii tớch bin phõn. 4. I TNG V PHM VI NGHIấN cu i tng nghiờn cu: Nún tip v nún phỏp cựng ng dng. - Phm vi nghiờn cu: Nún v tớnh cht ca nún khụng gian Danach. 5. PHNG PHP NGHIấN cu Tỡm hiu ti liu: Cỏc bi bỏo ó c ng v sỏch ó in liờn quan mt thit n nún tip v nún phỏp cựng ng dng. S dng cỏc phng phỏp ca Toỏn gii tớch. 6. GI THIT KHOA HC (D KIEN úng gúp MI) Mt tng quan v nún tip v nún phỏp cựng mt s ng dng. Chng Mt s kin thc chun b Trong chng ny chỳng ta s trỡnh by nhng khỏi nim c bn nht v khụng gian Banach v khụng gian Hilbert cựng nhng toỏn t tuyn tớnh trờn chỳng. Nhng kin thc trỡnh by chng ny c chn ch yu t cỏc ti liu [1], [2], [3], [4] v [5]. 1.1 Khụng gian Banach v khụng gian Hilbert Cho E l mt khụng gian vect trờn trng s R . nh ngha 1.1. Mt chun ; kớ hiu II II, E l mt E vo K tha cc iu kin: 1) I\x 11 > vi mi X ỏnh x i t E; 2) |a;| = v ch X = (6 l kớ hiu phn t khụng); 3) ||Ax|| = |A|||a:|| vi mi s \ e R v mi 4) ||x + y\\ < ||x|| + ||y|| vi mi x,y e E. X e E; S ||;c|| c gi l chun ca vect X Ê E. Mt khụng gian vect E cựng vi mt chun xỏc nh khụng gian y, c gi l mt khụng gian nh chun. Mnh 1.1. Gi s E l mt khụng gian nh chun. Vi mi x : y G E, t p { x , y ) = \\x - y||. Kh ú, p l mt metric trờn E. nh ngha 1.2. Cho E l mt khụng gian nh chun vi chun ||.||. Nu E vi khong cỏch sinh bi chun ca E: p ( x , y ) = I|ớc y\\, l mt khụng gian metrc y thỡ E gi l khụng gian Banach. Nu khụng cú gi thit gỡ thờm, sut lun ny, khụng gian Banach c kớ hiu l E. Chun cỏc khụng gian Banach luụn c kớ hiu bi II. II. nh ngha 1.3. Khụng gian Banach E c gi l khụng gian Banach Frộchet trn nu nú cú chun tng ng v chun ú H kh vi trờn E\{ 0}. nh ngha 1.4. Cho E l mt khụng gian nh chun vi chun II. II. Tỡa gi mi ỏnh x tuyn tớnh X* : E > R l mt phim hm tuyn tớnh xỏc nh trờn E. Nu X* l mt phim hm tuyn tớnh xỏc nh trờn E v X G E thỡ giỏ tr ca X* ti X s c kớ hiu l ( x * , x } , ngha l ( x * , x } = x * ( x ) . D dng kim tra c rng, hp tt c cỏc phim hm tuyn tớnh liờn tc trờn E vi phộp cng ỏnh x tuyn tớnh v phộp nhõn ỏnh x tuyn tớnh vi s thc lp thnh mt khụng gian tuyn tớnh thc. Ta gi khụng gian ny l khụng gian liờn hp ca E v c kớ hiu l E*. Khụng gian liờn hp ca E* gi l khụng gian liờn hp th hai ca E v kớ hiu l E**. nh lý 1.1. Khụng gian liờn hp E* ca E vi chun xỏc nh bi lk*|| = sup{ ( x \ y ) : y e E , ||y|| < 1} l mt khụng gian Banach. Tụpụ Ts sinh bi metric ca khụng gian nh chun E* nờu nh lý va nờu gi l tụpụ mnh E*. nh ngha 1.5. Tụpụ Tw E* gi l tụpụ yu v kớ hiu l (E**, E *) nu h thng cỏc ln cn ca ca E* l cỏc cú dng {x* e E* : (x**, X*) < Ê, = 1,k}, ú x** G E** vi i = , .,k v Ê > 0. nh ngha 1.6. Tụpụ T* E* gi l tụpụ yu* v kớ hiu l ( E * , E ) nu h thng cỏc lõn cn ca ca E* l cỏc cú dng {x* E E* : (x*, Xi) < Ê, i = , & } , ú Xi G E vi = 1,k. nh ngha 1.7. Tp A c E m l úng (compact, b chn) theo tụ pụ yu E gi l úng (tng ng, compact, b chn) yu. Tp A úng (compact, b chn) theo tụ pụ yu* khụng gian liờn hp E* ca E thỡ gi l úng yu* (tng ng, compact yu*, b chn yu*) . Kớ hiu C*M l bao úng ca M E* theo tụ pụ ( E * , E ) . 1.2 Tp li Gi s E l mt khụng gian Banach, K l s thc. nh ngha 1.8. Tp A c E c gi l li, nu VớCi, X2 A.- VA G M : < < \x\ I (1 A) X2 G A. Vớ d 1.1. C khụng gian E l li. Tp A = l li. Mnh 1.2. Gi A a c E (a Ê I) l cỏc li, vi I l ch s bt kỡ. Khi ú A = n A a cỳng li. al Mnh 1.3. Gi s A c E li, Aj iA + . + Am^4m cng l li. R (i =1, 2,m). Khi ú Mnh 1.4. Gi s E l khụng gian Banach, A c E li (i = , , . . . , m ) . Khi ú tớch cỏc Ai X . X A m l li E l X . X Em. Mnh 1.5. Gi s El, E l cỏc khụng gian Danach, T : El ỡ E l toỏn t tuyn tớnh. Khi ú, a) A c El li thỡ T(A) li; b) B c E li thỡ nghch nh T~ l (B) ca B l li. nh ngha 1.9. Vộc t X e E c gi l t hp li ca cỏc vộct X i , x m m thuc E, nu 3Aj >0 ( = 1, 2,m), Aj = cho i= m X = ^2 ^i x ii= nh lý 1.2. Gi s E li; xi, .,x m E A. Khi ú A cha tt c cỏc t hp li ca xi : .,x m . nh ngha 1.10. Gi s E. Giao ca tt c cỏc c gi l bao li (convex hull) ca , kớ hiu l coA. nh lý 1.3. co A trựng vi tt c cỏc t hp li ca licha A. xung quanh (x,0) bi p v r0. Theo nh ngha ca . (óf, 0) tn ti dóy U k ằu , r k 0) v V k e ( x + T k U k ) cho lim = 0. Vi ln, ta t IIy Uk\\ = \\z' k < II k ->00 Cể + r U E x + r B ò v V f . E r B p . Li vi ln, ta cú: | w*;| > I |w| v nh vy ; = JfL< M40 r P rk-\\Uk\\ p\\u\\ rk > oo. nh ngha Z = X + r . u . Khi ú, ta thu c 0e^ + 11 B F = v k + pr' k IIz k - || B F (z k + r k IIz k - || B E ) ; õy s bao hm thc va nờu l mt h qu ca na m tuyn tớnh ca . Do ú, tn ti z' k ker () tha món: 11^ Z II < r' k r |wfc|. nh ngha y k = ( z ' k X ). Khi ú, X + r k y k . Ta cũn phi chng t y > oo. iu ny suy T]c r k |iifc| > > oo. Do ú - u\\ < II - u kII + IIU k _ u\\ , > oo. (2. Nhn xột Ta ó ch rng khụng gian tip (nh th suy t nh dựng gi thit nh ỏnh x tuyn tớnh liờn tc h' (X) l ton ỏnh, nú l ỏnh x m theo nh lý ỏnh x m Banach. Do ú X !-ằ h' () (X )1 m vi tc tuyn tớnh p xung quanh X. Hn th, vỡ h l kh vi liờn tc ti X G ker ( h ), tn ti ỏnh x r : E ằ F cho 51) ú lim = v ta cú X- èX ll x ll \\Xi(r (xi) X2 \ - r ( x ) ) il \Xi~ [( h (xi) - h X2 (x2)) (x) ( X i - x ) ] h' X , X > X . õy cỏc quan h gii hn luụn ỳng theo Mnh 3.2.4(v) (Chng [5]) bi vỡ h l kh vi cht. Do ú vi mi Ê > 0] tn ti > cho h (X) = h (x) (x x) + r (X) |r () - r (aj2)|| < Ê 11^1 - ar2|| ,Vxux2 G BE (x,S). c bit, ta cú th cho Ê G (0,/o). Khi ú nh lý 10.3.6 (Chng 10 [5]) chng t rng ỏnh x h l na m tuyn tớnh xung quanh X . Do ú, nh lớ 2.6 kộo theo T (k e r h , x ) = ker (Dh ()) kerh' (). = Lp lun trờn chng r rng gi thit ca nh lý Lyusternik yu hn mt chỳt. Trong mi quan h ny ta xem xột hm a tr ()- : F =4 E c nh ngha bi: ()-1 ( y ) = { x G E \ h ' (x) (x) = y , y G F}. Chỳ thớch rng h' (óf)-1 l mt quỏ trỡnh v h' ()-1 kớ hiu l chun theo (10.50) (chng 10 [5]). Mnh 2.17. Gi s rng h : E ằ F l F kh vi t i x Ê ker (h), h' () l ton ỏnh, ỏnh x r (2.51) l liờn tc Lipschitz a phng ti X vi hng s Lipschitz < Ti1 _! Il. Khi ú (2.53) ỳng. Chng minh. nh x $ : X > h' (X) (X) xem nh l mt hm a tr , l m vi tc tuyn tớnh xung quanh (0,0) v l mt quỏ trỡnh b chn. Theo Mnh 10.4.2 (Chng 10 [5]) cn m ca $ xung quanh (0, 0) l ope (ớ>) (0,0) = 7 * 1 Vỡ h' (x) l tuyn tớnh, ỏnh xa X > h' {x X) h'(x) l m vi tc tuyn tớnh xung quanh (x, ) vi cựng cn m |h'(x) 1| m, Vx (z, p ||ii||). Phim hm X !-ằ (u\x X \\x óf|2) t giỏ tr dng ti X = X 4- ] nu 77 G (0, J-). Nh tớnh liờn tc, v phim hm p a ( z ) + ^ \\ z w a| |2 ( 2. ) t c giỏ tr cc tiu ton cc ti z = y a . Ngoi ra, vỡ p a ( y a ) < ta cú y a Ê ( , p IIII). Hn na, ta thu c ỏnh giỏ sau (Va ) < (:y a) + ^ IIV a - wa||2 ^ ( {) < infpa + - ( ) < -/ () < , Vè < - inf . IIh a X T]u\\ < y/ma + 77 IIu ngha l y a G K a = B (x + 77u, y/ma + } ||ii||). Mt khỏc, Pa (y a ) < kộo theo / (y a) < nờn y a K: IIy a - X - 2}u\\ > 2r] ||u|| . p dng ng nht thc hỡnh bỡnh hnh cho y a X TU v T ta thu c II Va - x\\ + II a) y a -X - - Ê-cn 2rju\\ = II V ẻ \\ y a -X- Wall + 2rf \\u\\ . U \\ S ỏnh giỏ ^ (2.62) v ^ = ( ) +- f (2.62) (2.63) cho ta: II Va ^|2 < (77 | w| + y/ma) + 2rj |w|2 At |w|2 = 477 (2.63) |w| y/ma + ma, chng t rng: lim y a = X. (III) cú: Hn na, ta / {ya) < Pa M < in p a + e a < p (X ) + Êa = f (x) + Êa. E Do ú, lim / (y a) = / (x) (nhc li / l lsc v Ê a > a 0). (IV) Vỡ y a l im cc tiu ton cc ca phim hm (2.61) v y a thuc B ( x , p IMI) vi a nh, phim hm / g a , ú g a ( z ) = h a (z) I \\z wa| t cc tiu a phng ti y a . Ta cú: hp c bit h ' a (x) = h a (x) = 0. Do ú, vi mi a nh g ' a (y a) gradien di xp x ca / ti X . (V)Gi s rng i n f a Ơ 0, K (a;) = 0. Khi ú, vi dóy Oớj Ơ ta cú 9a ( V u i ) i > 00 nờn (Cl) ỳng, suy mõu thun. Do vy lim i n f l dng. Ta cú g ' a (y a) = ] K (a ) ( u + (1)) a ỡ 0. Suy Va: nh: II y a - x \ \ < Ê , If ( y a ) - f ( x ) \ < Ê, Do ú, khng nh (C2) ỳng vi X = y a , X = v V = g ' ( y a ) a { V a ) = - t (:V a ) - a Nún phỏp gn k vi mc Ta xột M ( y a - w a) = k (a) ( x + } U - y a) + a (wa - y a), = ú: { nuh a (y a) > 0, nuh a (y a) = 0. Lu ý rng F- o hm ca h a l L liờn tc a phng v trng x G {v ] - u < Ê )l < 7/ , E \ f ( x ) = }. ( 2. ) nh lý 2.9. Cho E l khụng Hilbert v M xỏc nh bi (2.64), ú f:E ằ R l liờn tc. Gi s x E M v u G N p Khi ú, hoc (Dl) Ve > v j > tn ti X G E cho \\ x ó| | < 7/ , I/ ( x ) / ( ^ {dp f (x) u dp (-/) (a;)) n B*E (0, ẩ ) hoc (D2) Ve > tn ti X G E,v G dpf (X) u dp (/) (a?), A > cho ||ớc x| < Ê, / (x) / (óf)| < Ê, \ \ X v m| < Ê. Túm tt chng minh: Nh chng minh ca nh lý 2.8 ta cú th gi s u 0- nh ngha p, K , h a nh trờn, 771 l cn trờn ca |/|. Khi ú, / (x) 7^ 0, Va: G K, (vỡ K l li v / liờn tc) nờn / khụng i du trờn K . nh ngha : _ f+K+ 0, (2 .6 5) Xằ/ X õy X > f X ngha l X ) X v / (X ) ) / () iu kin (2.65) s s dng loi tr trng hp tng t (Cl) nh lý 2.8. nh lý 2.10. Cho E l khụng gian Frộchet Danach trn v M = { x E \f ( ) < ú f : E > R l chớnh thng v Isc. Gi s rng (2.65) ỳng. Cho X e M v Ê Np Khi ú, Ve: > 0; tn ti X Ê E,v G dpf (x), > cho: || \ \ < Ê , I/ (X ) f ( )I < E , ; w|| < e. Chng minh. . Ta chng minh tt nh lý ny. Gi s cú cho < < lim i n f x ^ x d (0, d p ()). iu ú chng t rng 77, G (0, e ) cú th chn cho: ( + ( , 7] ) ) ( , ) = {} , ú ( , 77) kớ hiu l nún Bishop-Phelps. nh ngha: A = X + ( , 2r)) v gi () = / (X) + id,A, Va: G E. Ta phõn bit trng hp: (I) Nu inf Q < thỡ nguyờn lý bin phõn Ekeland ca h qu 8.2.6 (i,ớ) (chng [5])m bo s tn ti yi Ê (X, ) lm cc tiu phim hm hi {x) = gi (X) + \ \ x y I I trờn (X, )v cho gi ( y i ) < 0. Cú th ch rng v + Y bi - x\\ < d A {yi) oo v vỡvy )i ằ X > 00. Do dú iji G (X, ) vi ln. (II) Nu inf = thỡ hp U i = X viVi. Do ú, c B(x, 0)} B*E. Bi vy, Z* = O {u + 2) IMI ũ*) vi mt Oi > v mt b* E B E*. T (2.66) suy \ \ x * i o L U II < 2i o t i IHI 77+77+7. Ta phi cú > (211^11(1+2^)) bi vỡ nu khỏc i ta cú: ||*|| < 0, mõu thun vi cỏch chn c. t Ai = ta nhn c iai NA _* .11 _ o_ II .11 , 2r ỡ\\ u \\{ l + 2r ỡ) , IMI (1 + 277) Nún phỏp Frộchet vi mc Ta xột ti iu kin : lim inf d (0,^f (x) u d F (/) ()) > 0. x Ơ x nh lý 2.11. Cho E l khụng gian Frộchet Danach trn v M = {x Ê E\f (x) = 0}, ú f : E > liờn tc. Gi s rng (2.67) ỳng. Cho X G M v e N p ( M : x ) . Khi ú Ve > 0,G E , v Ê d F f (X) u d p (/) (X) v X > cho || || < Ê , I/ () / ()| < Ê , II? w|| < Ê . Chng minh. Ta chng minh tt nh lý ny. Gi s l s cho: < < lim i n f d (0, d p f (X ) d p (/) ()) Mt ln na chng t rng, 77, G (0, e) cú th chn cho ( + (, ợj))fl Mn S (x, ) = {} . Vỡ / l liờn tc, ta suy ra: (2.66) (a) / (X) > 0, Vx G (x + (w, 77)) n B (X, ) hoc (b) / (x) < 0, Va; G X + K (u , 77) n -B ( x , ) . t A = X + K (u, r ] ) , Vi / + icU tro ng tr n g h p (a) , / + i(A trng hp (b) Phn cũn li ca chng minh tng t nh lý 2.10. Kt lun Chng ó trỡnh by mt s ni dung v nún tip v nún phỏp khụng gian Banach v khụng gian Hilbert. Kt lun Lun ó trỡnh by mt cỏch cú h thng cỏc ni dung sau: Mt s ni dung v khụng gian Banach, khụng gian Hilbert v mt s kin thc v o hm suy rng. Nhng khỏi nim v tớnh cht c bn ca nhng nún tip v nún phỏp cựng ng dng ca chỳng khụng gian Banach. Vỡ kh nng v iu kin cú hn, lun chc chn khụng th trỏnh c thiu sút. Kớnh mong cỏc thy cụ v cỏc ng nghip gúp ý kin em cú iu kin chnh sa lun c tt hn. [...]... c gi l tỏch c nh lý 1.6 (nh lý Hahn -Banach, nh lý tỏch (xem [1], [2]) Cho v l hai tp li trong khụng gian Banach E, cú tớnh cht = 0 v int A 0 Khi ú A v cú th tỏch c bng mt phim hm tuyn tớnh khỏc 0, tc * G E* \ {0}, Vx e A, \/y e :( x * , x ) ^ ( x * , y ) 1.3 Hm li 1.3.1 nh ngha Cho E l khụng gian Banach, D c E , f : D > R nh ngha 1.18 Cho hm f : D > M, trong ú K u {00, +oo}, cc tp dom f D... Graph() l tp úng trong khụng gian tụ pụ tớch X X Y thỡ c gi l ỏnh x úng ii) Nu X, Y l cỏc khụng gian nh chun thỡ nu Graph() tp li trong khụng gian tớch X X Y thỡ c gi l ỏnh x a tr li iii) Nu () l tp úng vi mi X G X thỡ (X) c gi l ỏnh x cú giỏ tr úng iv) Nu Y l khụng gian nh chun v nu () tp li thỡ () c gi l ỏnh x cú giỏ tr li 1 7 1.5 o hm theo hng Gi nh rng E v F l cỏc khụng gian nh chun, D c... Mnh 1.9 / úng khi v ch khi f na liờn tc di H qu 1.6 Gi s E l mt khụng gian Danach, A c E li Khi ú, bao úng A ca A theo tụpụ mnh l úng theo tụpụ yu ca E H qu 1.7 Gi s E l mt khụng gian Banach, c E, x thuc bao úng yu ca A Khi ú, tn ti dóy cỏc t hp li cỏc phn t ca A, hi t n x 0 theo chun Gi s E l mt khụng gian Banach, E* l mt khụng gian liờn hp tụpụ ca E, f l hm xỏc nh trờn E nh ngha 1.24 Hm liờn hp... (1.1 ) trong ú n G N cỏc s nguyờn dng , d G R ( = 1, n) l cỏc h s thc Qui tc cho tng ng vi mi vộc t = (oi, , a n) R n vi tp nghim ký hiu b i ( a ) ca ( 1 1 ) cho ta mt ỏnh x a tr : M" > 2 c t khụng gian Euclide R" vo tp s phc Vi l ỏnh x a tr trong vớ d 1.4 ta cú: Graph() = {(a, x) G M" X : X + a i X n ~ l + + an _ i X + a0 = 0} , Dom() = R, Im() = c nh ngha 1.26 Cho X,Y l hai khụng gian. .. trờn th ca hm f 1 2 M nh ngha1.19 Hm f : D > M c gi l li nu trờn th ca nú l mt li trong D XR Nu dom f 0 v 00 < f(x) vi mi X D ta núi hm f l chớnh thng nh ngha 1.20 Hm f c gi l li trờn D nu e p i f l tp li trong E X R Hm c gi l lừm trờn D (concave on D), nu f l hm li trờn D nh lý 1.7 Gi s D l tp li trong khụng gian E, hm /:Ê)> (00, +00] Khi ú, f li trờn D khi v ch khi f ( x + (1 - A) y ) < X f... cht ó nờu () (a): Theo () ta cú ớ f i (ổ) = i f (X ) + ( x * , x x ) + () trong ú ||r^i|| > 0 khi X X e proj_A {z) > X Vỡ ip x < V;c i4, ta \ \ z óf|| < IIz x\\ ,Vx A < = } cú mnh (a) I_ ' Trong khụng gian Hilbert, nún phỏp gn k cú th c trng bng nhiu cỏch khỏc nhau ( z Mnh 2.11 Cho A mt tp hp con khỏc rng ca khụng gian Hilbert E v gi sx G A Khi ú, Vu G E cc khng nh sau tng ng: x \ x x )... 1.11 Gi s f l hm li chớnh thng trờn E Khi ú cỏc khng nh sau l tng ng: i) b chn trong mt ln cn ca X ; ii) f liờn tc ti X ; i) int(epif) 0 IV) i n t ( d o m f ) 0 v f liờn tc trờn i n t ( d o m f ) ng thi, nt(ep) = GEXR:XG nh ngha 1.22 Gi s E l khụng gian c gi l Lipschitz a phng xung quanh i n t ( d o m f ) , f (X) < fl} Banach Hm f : E ằ R X G E, nu tn ti lõn cn u ca X Ê E, s L > 0 sao cho \/x, x'... V/ G E Trong trng hp c bit, / (X,.) v(X,.) l xp x li hu hn trờn ca f ti X (b) Vy e E ta cú: / (x, -y) = (-/) (x, y) , f (x, -y) = (-/) (z, y) Vớ d 1.5 Gi s E := R, / ( X ) := |a;| |sinx| v X := 7T Khi ú ta cú: Ta thy rng trong cỏc o hm theo hng trờn , phim hm f H (7T,.) l xp x a phng tt nht ca / ti 7T nhng nú khụng l li Vỡ nu f l li thỡ df (X) = {x* I { x * , y } < f c ( x , y), Vy G E } Trong trng... 0 Kt lun Trong chng ny chỳng ta ó trỡnh by nh ngha, mt s tớnh cht c bn ca tp li, hm li, hm Lipschitz, ỏnh x a tr v s khỏi nim o hm c in Nhng ni dung ny s dựng nh l nhng kin thc chun b cho chng sau Chng 2 Nún tip v nún phỏp Chng ny nghiờn cu nhng khỏi nim v tớnh cht c bn ca nhng nún tip v nún phỏp cựng ng dng ca chỳng trong Gii tớch bin phõn Ngoi nhng trng hp c th, ta luụn gi s rng E l khụng gian nh... A}, nún cỏc tia hng vo trong hoc nún cỏc phng chp nhn c ca A ti X v) I (A, x) := {y Ê E \ 3e > OVr G (0, e ) V z G B (y , e ) : X +r z nún cỏc phng trong ca A ti X 2 1 Ê A}, vi) H (, x) := {y e E I Mx k ỡA xir k 0My k yVk : e A} xk + r k y k l nún cỏc siờu tip ca A ti X Mnh 2.1 (a) Ta cú: I ( A , x ) c /r (^4,) c Tr (A,:) c T { A , x ) H ( A , x ) c Tc (i4, z) c T ( A , x ) Mi trong cỏc tp nờu trờn . thêm, trong suốt luận văn này, không gian Banach được kí hiệu là E. Chuẩn trong các không gian Banach luôn được kí hiệu bởi II. II. 8 Định nghĩa 1.3. Không gian Banach E được gọi là không gian Banach Fréchet. số nón tiếp, của một số nón pháp trong không gian Banach và ứng dụng của chúng trong Giải tích biến phân. 3. NHIỆM VỤ NGHIÊN cứu Nghiên cứu những khái niệm và tính chất cơ bản của những nón tiếp. GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC sư PHẠM HÀ NỘI 2 • • • • NGUYỄN THỊ SÁU ANH ■ NÓN TIẾP VÀ NÓN PHÁP TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC Sĩ TOÁN HỌC • • • HÀ NỘI, 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO