Sự hội tụ trong không gian banach

Mở đầu Lý thuyết về sự hội tụ trong không gian Banach đợc trình bày trong nhiều tài liệu giải tích hàm, chẳng hạn [1] Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục, 2001. [2] Phan Đức Chính, Giải tích hàm, Nhà xuất bản Đại học và Trung học Chuyên nghiệp, Hà Nội, 1978. Trong luận văn này chúng tôi trình bày các khái niệm về sự hội tụ, xét các tính chất quan trọng của chúng. Ngoài ra, mối liên hệ giữa các loại hội tụ đó cũng đợc đề cập đến. Nội dung luận văn đợc trình bày gồm 5 tiết theo trình tự: Đ1 Một số khái niệm cơ sở. Phần này trình bày tóm tắt những kiến thức lý thuyết cơ bản về chuỗi trong không gian định chuẩn (1.5); các định nghĩa về sự hội tụ trong không gian Banach. Đ2 Sự hội tụ của chuỗi số thực. ở đây không gian Banach X đợc xét là (X ). Phần này chủ yếu đề cập đến quan hệ giữa tích hội tụ giao hoán của một chuỗi số với tích hội tụ tuyệt đối của nó (định lý 2.1 và định lý 2.2). Tính chất của miền xác định của một tổng, một chuỗi số hội tụ có điều kiện (định lý 2.3). Cuối cùng đa ra nhận xét là: Trong sự hội tụ tuyệt đối và hội tụ giao hoán là tơng đơng. Đ3 Sự hội tụ hoàn hảo và hội tụ không điều kiện. Phần này trớc tiên chúng tôi nêu định nghĩa về sự hội tụ không điều kiện, định nghĩa về sự hội tụ hoàn hảo và đa ra một ví dụ để khẳng định trong không gian Banach vô hạn chiều sự hội tụ tuyệt đối và sự hội tụ không điều kiện không còn tơng đơng nữa. Phần tiếp theo trình bày các định lý nói đến mối liên hệ giữa hai loại hội tụ này. Cũng giống nh chuỗi số thực định lý 3.3 cho biết một chuỗi trong không gian Banach hội tụ không điều kiện thì mỗi chuỗi hoán vị của nó đều có cùng một tổng. Định lý 3.5 cho biết sự tơng đơng giữa hội tụ không điều kiện và hội tụ hoàn hảo. Còn định lý 1 3.6 nói đến một chuỗi hội tụ không điều kiện thì tập hợp những giá trị tổng là một tập Compact. Đ4 Sự hội tụ không thứ tự và hội tụ theo dãy con. Phần này chúng tôi nêu định nghĩa về sự hội tụ không thứ tự và sự hội tụ theo dãy con. Định lý 4.2 nói lên mối liên hệ giữa các khái niệm vừa nêu với các khái niệm đã biết nh hội tụ không điều kiện, hội tụ theo dấu và một số điều kiện khác. Còn định lý 4.3 cho biết điều kiện để một chuỗi hội tụ không điều kiện. Đ5 Mối quan hệ giữa các loại hội tụ. Phần này, định lý Schur cho ta biết sự tơng đơng giữa sự hội tụ mạnh và sự hội tụ yếu. Mạnh hơn thế định lý Orlicz Pettis khẳng định sự hội tụ mạnh theo dãy con và sự hội tụ yếu theo dãy con là tơng đơng. Luận văn này đợc hình thành dới sự hớng dẫn tận tình của PGS.TS. Trần Văn Ân và sự giúp đỡ tận tình của các thầy cô giáo trong khoa Toán - Đại học Vinh cùng với gia đình và bạn bè. Cho phép tôi đợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS. Trần Văn Ân đã trực tiếp hớng dẫn tận tình và cho nhiều ý kiến xác đáng trong quá trình nghiên cứu để tôi hoàn thành khoá luận này. Xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán Đại học Vinh đã truyền đạt những kiến thức và kinh nghiệm cho tôi trong suốt 5 năm học qua. Mặc dù cố gắng rất nhiều nhng do thời gian và hạn chế về mặt trình độ khoá luận chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả kính mong các thầy cô giáo và các bạn đọc đóng góp ý kiến để khoá luận đợc hoàn chỉnh hơn. Một lần nữa, xin chân t h à n h cảm ơn! Vinh, tháng 04 năm 2004 Tác giả 2 Đ1. một số khái niệm cơ sở 1.1. Định nghĩa . Tập X khác rỗng đợc gọi là không gian véc tơ trên trờng K nếu trên đó đã cho hai phép toán cộng và nhân với cô hớng sao cho thoả mãn các điều kiện: 1) Cộng hai véc tơ: x + y = y + x với mọi x, y thuộc X; 2) (x + y) + z = x + (y + z) với mọi x, y, z thuộc X; 3) Tồn tại phần tử 0 X sao cho : x + 0 = 0 + x = x với x thuộc X; 4) Với mọi x X đều tồn tại -x thuộc X sao cho: (-x) + x = x + (-x) = 0; 5) (àx) = à(x) = (à)x với mọi x thuộc X, với mọi , à thuộc K; 6) (x + y) = x + y với mọi x, y thuộc X, với mọi thuộc K; 7) ( + à)x = x + ày với x, y thuộc X, với mọi , à thuộc K; 8) 1. x = x với x thuộc X, 1 là đơn vị của trờng K. 1.2. Định nghĩa Giả sử X là một không gian véc tơ trên trờng K. Hàm Pp: X đợc gọi là một chuẩn trên X nếu thoả mãn: 1) Pp(x) 0 nếu x thuộc X. và Pp(x) = 0 khi và chỉ khi x = 0; 2) Pp(x) = ||.Pp(x) với mọi x thuộc X, với mọi thuộc K; 3) Pp(x + y) Pp(x) + Pp(y) với mọi x, y thuộc X; Số Pp(x) đợc gọi là chuẩn của véc tơ x, ta thờng kí hiệu là ||x||. Không gian véctơ X cùng với một chuẩn xác định trên nó thì đợc gọi là không gian định chuẩn và đợc kí hiệu (X, ||.||) hay X. 3 1.3 Nhận xét. . Giả sử (X, ||.||) là không gian định chuẩn,. kKhi đó: 1) Công thức d(x, y) = ||x - y|| với mọi x, y X xác định một Metricmêtric trên X, Metricmêtric này có các tính chất sau: d(x + z, y + z) = d(x, y) với mọi x, y, z thuộc X; y)d(x, y) = ||d(x, y) với mọi x, y thx X, với mọi thuộc K.; MetricMêtric xác định nh trên đợc gọi là Metricmêtric sinh bởi chuẩn. 2) Từ nhận xét 1) ta suy ra {x n } trong (X, ||.||) hội tụ đến x thuộc X khi và chỉ khi: 0 = ||xx||lim n n . 3) Từ định nghĩa của chuẩn ta suy ra | ||x|| - ||y|| | ||x - y|| với mọi x, y X Từ đó ta suy ra: Nếu x n x trong X thì ||x n || ||x|| khi n . Nếu Hàm x ||x|| liên tục đều trên X. 1. 4. Định nghĩa. Không gian Banach là không gian định chuẩn đầy đủ (với Metricmêtric sinh bởi chuẩn). 1.5. Chuỗi trong không gian định chuẩn Định nghĩa (([1]). TS. Đậu Thế Cấp, Giải tích hàm, Nhà xuất bản giáo dục). Giả sử {x n } là dãy trong không gian định chuẩn X. Ta gọi tổng vô hạn x 1 + x 2 + + x n + là một chuỗi ở trong không giain định chuẩn X, và kí hiệu là = 1n n x (1) Phần tử S n = x 1 + x 2 + + x n đợc gọi là tổng riêng thứ n của (1). Nếu dãy các tổng riêng {S n } hội tụ đến S X thì chuỗi (1) đợc gọi là hội tụ và S đợc gọi là tổng của (1). Lúc đó ta kí hiệu = 1n n x = S. 4 Nếu dãy các tổng riêng {S n } phân kỳ thì chuỗi (1) đợc gọi là phân kỳ. Nếu chuỗi = 1n n x hội tụ và = 1n n x = S, thì với mỗi xn ta kí hiệu r n = S - S n và gọi r n là phần d thứ n của (1). Lúc đó ta có : 0r lim n n = . Chuỗi = 1n n x trong không gian định chuẩn X đợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dơng = 1n n ||x|| hội tụ. 1.6 Các định nghĩa về sự hội tụ trong không gian Banach Giả sử X là không gian Banach, x 1 , x 2 , , x n , là những phần tử trong X, tổng hình thức: = 1k k x = x 1 + x 2 + + x n + (1) Đợc gọi là một chuỗi những phần tử của X (chuỗi trong X). Với mỗi n, đặt S n = = 1k k x ; r n = x n+1 + x n+2 + + x n+p + S n đợc gọi là tổng riêng thứ n của chuỗi (1) và r n là phần d thứ n của chuỗi (1). Chú ý: r n cũng là tổng hình thức. Ta nói chuỗi (1) hội tụ theo chuẩn trong X nếu tồn tại S X sao cho ||S n - S|| 0 khi n . Khi đó, S đợc gọi là tổng của chuỗi (1) và viết = = 1k k xS = x 1 + x 2 + + x n + Ta nói chuỗi (1) hội tụ yếu nếu tồn tại S X sao cho với mọi f X * ta có f(S n ) f(S) khi n ., trong đó X * là không gian liên hợp của không g ian định chuẩn X. Khi đó, S đợc gọi là tổng yếu của chuỗi (1). Kí hiệu là tập hợp các phép giao hoán của song ánh từ N* N * lên N * . 5 (tức là = {| : * * là song ánh}). Ta nói chuỗi (1) hội tụ giao hoán nếu với mọi , chuỗi = 1n )n( x hội tụ theo chuẩn. Ta nói chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi = 1n n ||x|| hội tụ. Ta nói chuỗi (1) hội tụ tuyệt đối theo tôpôtôpô (X, X * ) nếu với mọi f X * , chuỗi số = 1n )x(f hội tụ. Ta nói chuỗi (1) hội tụ không điều kiện nếu nó hội tụ giao hoán. (chuỗi hội tụ giao hoán còn gọi là chuỗi hội tụ không điều kiện). Chuỗi (1) đợc gọi là hội tụ có điều kiện nếu chuỗi (1) hội tụ và tồn tại phép giao hoán sao cho chuỗi = 1n )k( x không hội tụ. Chuỗi (1) đợc gọi là hội tụ theo dấu (hoặc hoàn toàn hội tụ) nếu chuỗi = 1i ii x hội tụ với mọi cách chọn i {+1, -1}. Chuỗi (1) đợc gọi là hội tụ theo chuỗi con nếu với mọi dãy tăng thực sự {k n } các số nguyên dơng, chuỗi = 1n k n x hội tụ. Chuỗi (1) đợc gọi là hội tụ (khả tổng) không thứ tự nếu với bất kỳ > 0, tồn tại n * sao cho với bất kỳ tập hữu hạn M * với minM > n thì < Mn n x . 6 Đ2 sự hội tụ của chuỗi số thực Trong trờng hợpPhần này, không gian Banach X tađợc xét tới là (X ). ở đây, Trong bài này, ta chủ yếu chúng tôi đề cập đến quan hệ giữa tính hội tụ giao hoán của một chuỗi số với tính hội tụ tuyệt đối của nó và đặc điểm tính chất của miền xác định của tổng một chuỗi số hội tụ có điều kiện. 2.1. Định lý. Giả sử rằng {x k } là nhữngdãy số thực không âm và chuỗi = 1k )k( x hội tụ tới tổng S. Khi đó, với mọi phép giao hoán của tập các số tự nhiên, chuỗi = 1k )k( x hội tụ và tổng của chúng bằng S. Chứng minh. Kí hiệu S j là tổng riêng thứ j của chuỗi = 1k )k( x tức là S j = = 1k )k( x với mỗi j .: S j = = 1k )k( x . Từ tính không âm của các số hạng của chuỗi, dễ thấy rằng S 1 S 2 và SSsup k k . Vì thế Từ đó suy ra dãy S j hội tụ đến số S , nghĩa là = 1k )k( x = S S. Mặt khác, ta xét phép giao hoán -1 của tập * và chú ý chuỗi = = = 11 1 k ))k(( k k xx ,. lLý luận tơng tự ta sẽ có: SxxxS k )k( k ))k(( k k === = = = 111 1 . tTừ đó suy ra S = S. 7 2.2. Định lý. Giả sử rằng = 1k k x hội tụ tuyệt đối. Khi đó chuỗi = 1k k x hội tụ và hơn nữa với bất kỳ phép giao hoán của tập những số tự nhiên, chuỗi đợc sắp 2.2 Định lý Giả sử rằng = 1k k x hội tụ tuyệt đối, khi đó = 1k k x hội tụ và hơn nữa với bất kỳ phép giao hoán của tập những số tự nhiên, chuỗi đợc sắp xếp lại = 1k )k( x cũng hội tụ, và = 1k k x = = 1k )k( x . Chứng minh. . Với mỗi số thực x bất kỳ, ta đặt: x + = max{x; 0} = < 0,x nếu0 0 x nếux x - = x + - x = < 0.x nếux- 0 x nếu0 Vì chuỗi = 1k k |x| hội tụ nên Xét hai chuỗi = + 1k k x và = 1k k x là những chuỗi số không âm và hội tụ. bởi chuỗi = 1k k |x| hội tụ (bởi vì |x k | = )x |x| và ,xxx kkkkk ++ + . TaĐ đặt = + 1k k x = S + ; = = 1k k Sx . 8 Khí đó, theo định lý 2.1 với bất kỳ phép giao hoán của * , ta có các chuỗi = + 1k )k( x và = 1 k )k( x hội tụ, hơn nữa 1= + k )k( x = + S ; = 1 k )k( x = S (theo định lý 2.1) Do đó, = 1k )k( x = = + 1k kk )xx( cũng hội tụ và = 1k )k( x = + SS . Suy ra = 1k )k( x hội tụ và = 1k )k( x = + SS . 2.3. Định lý Riemann. Giả sử 1= k k x là một chuỗi số thực hội tụ nhng không hội tụ tuyệt đối. Khi đó: i). Với bất kỳ số S , ta có thể xây dựng một phép giao hoán của tập hợp các số tự nhiên sao cho = 1k )k( x hội tụ và = 1 k )k( x = S. ii). Ta có thể xây dựng phép giao hoán của * sao cho = = 1 k )k( x . Chứng minh. Ta chia tập hợp số tự nhiên thành hai tập con A = {a 1 , a 2 , a n , } và B = {b 1 , b 2 , , b n , } Sao cho k a x 0 và k b x < 0 với tất cả k . 9 Nếu = 1k a k x < + và = 1k b k x > - , thì đều dẫn đến chuỗi = 1k k x hội tụ tuyệt đối. Nếu trong hai chuỗi này có một chuỗi hội tụ và chuỗi kia phân kỳ thì chuỗi = 1k k x phân kỳ. Do vậy, từ giả thiết = 1k k x hội tụ nhng không hội tụ tuyệt đối dẫn đến = 1k a k x = + và = 1k b k x = - . Bây giờ ta chứng minh i) và ii). i). Giả sử rằng S 0. Ta xây dựng phép giao hoán nh sau: (1) = a 1 , (2) = a 2 , , (j) = a j , cho đến khi j = j 1 với j 1 là chỉ số sao cho lần đầu tiên tổng riêng của chuỗi đã sắp xếp lại SxS j i )i(j >= = 1 1 1 . Sau đó, ta bắt đầu thêm vào nhứững phần tử âm: (j 1 + 1) = b 1 , (j 1 + 2) = b 2 , , cCho đến khi, tổng riêng 2 j S nhỏ hơn S. Sau đó ta lại bắt đầu thêm những phần tử dơng, rồi lại thêm vào những phần tử âm. Quá trình đợc tiếp tục ra vô tận và ta xây dựng đợc phép giao hoán . Ta thấy rằng dãy tổng riêng S j = = j i )k( x 1 hội tụ tới S bởi 0 = k k xlim . (Do = 1k k x hội tụ thì số hạng tổng quát tiến tới 0). Thật vậy, vì 0xlim k k = nên với mọi > 0, tồn tại N 0 sao cho |x k | < với mọi k N 0 , ta chọn i 0 sao cho 0 0 Nj i . Khi đó, với mọi j 0 i j tồn tại k i 0 sao cho j k j j k+1 . Nếu k chẵn thì k j S S j S và nếu k lẻ thì kk jjj SSS << + 1 . Chú ý rằng < kk jj xSS với mọi k i 0 . 10 . về chuỗi trong không gian định chuẩn (1.5); các định nghĩa về sự hội tụ trong không gian Banach. Đ2 Sự hội tụ của chuỗi số thực. ở đây không gian Banach. x trong không gian định chuẩn X đợc gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi số dơng = 1n n ||x|| hội tụ. 1.6 Các định nghĩa về sự hội tụ trong không gian Banach