Một số kết quả về sự hội tụ trong lp của dãy các biến ngẫu nhiên

Trờng Đại học Vinh khoa toán ------------------ trình hoài nam MộT Số KếT QUả về sự hội tụ trong l p của dãy các biến ngẫu nhiên khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán Vinh - 2007 1 Trờng Đại học Vinh khoa toán ------------------ MộT Số KếT QUả về sự hội tụ trong l p của dãy các biến ngẫu nhiên khoá luận tốt nghiệp đại học ngành cử nhân s phạm toán Giáo viên hớng dẫn: TH.s lê văn thành Sinh viên thực hiện : trình hoài nam Lớp : 44A 1 - Toán Vinh - 2007 2 Mục lục Mở đầu 2 Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị 1.1 Không gian p L .4 1.2 Tính độc lập, độc lập đôi một .4 1.3 Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một và m-phụ thuộc đôi một theo khối .5 1.4 Khái niệm cùng phân phối .6 1.5 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 6 1.6 Khái niệm khả tích đều 7 1.7 Một số khái niệm hội tụ của các biến ngẫu nhiên 9 1.8 Một số bất đẳng thức 10 Chơng 2. Sự hội tụ trong p L của dãy các biến ngẫu nhiên 2.1 Sự hội tụ trong p L liên quan đến khái niệm khả tích đều .17 2.2 Sự hội tụ trong p L của dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một 22 2.3 Sự hội tụ trong 1 L của dãy các biến ngẫu nhiên m-phụ thuộc đôi một theo khối .28 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo .35 3 mở đầu Xác suất có ba viên ngọc quý, đó là Định lý giới hạn trung tâm, Luật số lớn và Luật loga lặp. Luật số lớn đóng vai trò rất quan trọng trong lý thuyết xác suất. Luật số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ theo xác suất. Luật mạnh số lớn là mệnh đề khẳng định trung bình số học của các biến ngẫu nhiên hội tụ hầu chắc chắn. Luật số lớn đầu tiên của James Bernoulli đợc công bố năm 1713. Về sau, kết quả này đợc Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng. Tuy nhiên, phải đến năm 1909 luật mạnh số lớn mới đợc E. Borel phát hiện. Kết quả này đợc Kolmogorov hoàn thiện (năm 1926). Trong thời gian gần đây, có nhiều bài báo nghiên cứu về giới hạn của tổng các biến ngẫu nhiên (chẳng hạn [3], [5] - [8]). Trên cơ sở đọc và tìm hiểu các tài liệu tham khảo, bằng việc hạn chế giả thiết, chúng tôi nghiên cứu đề tài Một số kết quả về sự hội tụ trong p L của dãy các biến ngẫu nhiên. Mục đích chính của đề tài là nghiên cứu một số kết quả về sự hội tụ trung bình. Bằng cách sử dụng phơng pháp tơng tự nh trong một số tài liệu tham khảo, chúng tôi sẽ mở rộng một số kết quả về sự hội tụ trong p L . Khoá luận gồm 2 chơng. Chơng 1. Kiến thức chuẩn bị Trong chơng này chúng tôi đa ra các khái niệm và chứng minh một số tính chất liên quan nh: không gian p L , tính độc lập, độc lập đôi một, m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một, m-phụ thuộc đôi một theo khối, bị chặn ngẫu nhiên, khả tích đều, sự hội tụ hầu chắc chắn, sự hội tụ theo xác suất và sự hội tụ theo trung bình. Đồng thời chúng tôi đa ra một số bất đẳng thức thờng sử dụng. Chơng 2. Sự hội tụ trong không gian p L của dãy các biến ngẫu nhiên Đây là phần nội dung chính của khoá luận, bao gồm 3 tiết. Tiết 2.1, chúng tôi làm một số bài tập về sự hội tụ trong không gian p L liên quan đến 4 khái niệm khả tích đều. Tiết 2.2 trình bày một số bất đẳng thức cũng nh một số kết quả liên quan đến tính m-phụ thuộc (hay m-phụ thuộc đôi một). Nội dung chính của tiết này bắt nguồn từ bài báo [7]. Bằng việc hạn chế giả thiết từ tính độc lập (độc lập đôi một) thành tính m-phụ thuộc (m-phụ thuộc đôi một) chúng tôi đã rút ra đợc kết quả chính trong tiết này. Tiết 2.3, chúng tôi thiết lập sự hội tụ của dãy các biến ngẫu nhiên trong 1 L . Nội dung chính của tiết này chính là việc mở rộng kết quả của Choi và Sung trong [3]. Khoá luận đợc thực hiện tại trờng Đại học Vinh dới sự hớng dẫn của Thạc sỹ Lê Văn Thành. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy về sự nhiệt tình hớng dẫn đã dành cho tác giả trong suốt quá trình hoàn thành khoá luận. Nhân dịp này, tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Chủ nhiệm khoa Toán, các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán trờng Đại học Vinh, gia đình và bạn bè đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tác giả đợc học tập và hoàn thành khoá luận. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới Thầy giáo PGS. TS. Nguyễn Văn Quảng đã luôn động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Trong quá trình hoàn thành khoá luận, mặc dù đã rất cố gắng, song tác giả không thể tránh khỏi những hạn chế. Tác giả rất mong những ý kiến đóng góp từ các thầy giáo, cô giáo, các bạn sinh viên cũng nh tất cả các bạn đọc khác. Vinh, tháng 5 năm 2007. Tác giả 5 Chơng 1 Kiến thức chuẩn bị Trong toàn bộ khoá luận, ta luôn giả sử ( ) , , P F là không gian xác suất cố định. 1.1 Không gian p L Với 0p > , ký hiệu p L là tập hợp các biến ngẫu nhiên X (xác định trên ( , , )P F ) sao cho p E X < . Khi , 0 p X L p > ta ký hiệu chuẩn bậc p của X là ( ) 1 p p p X E X= . 1.2 Tính độc lập, độc lập đôi một 1.2.1 Định nghĩa. Giả sử X là biến ngẫu nhiên, khi đó ( )XF = { } 1 ( ) : ( )X B B RB đợc gọi là -đại số sinh bởi .X Họ hữu hạn { } , 1 i i n F các -đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu 1 1 ( ) = ữ ữ = = I n n i i i i P A P A , đối với mọi i A i F ( ) 1 i n bất kỳ. Họ vô hạn { } , i i IF các -đại số con của F đợc gọi là độc lập nếu mọi họ con hữu hạn của nó độc lập. Họ các biến ngẫu nhiên { } , i X i I đợc gọi là độc lập nếu họ các -đại số sinh bởi chúng ( ) { } , i X i IF độc lập. 6 Họ các biến cố { } , i A i I đợc gọi là độc lập nếu họ các biến ngẫu nhiên { } , i A I i I độc lập. 1.2.2 Định lý. Giả sử X và Y độc lập, X , Y 1 L . Khi đó ( ) .E XY EX EY= . Chứng minh. Do kỳ vọng có tính chất tuyến tính nên không mất tính tổng quát, giả sử X , Y 0 . Khi đó, đặt 1 1 2 2 2 = < = + n n n n k k k k X I X , 1 1 2 2 2 = < = + n n n n k k k k Y I Y , 1n . Từ đó ta có lim= n n X X , lim= n n Y Y , lim= n n n XY X Y . Mặt khác, với mọi cặp (k, l) các biến cố 1 2 2 k n n k k A X = < + , 1 2 2 l n n l l B Y = < + độc lập. Do đó n X và n Y độc lập và ( ) ( ) lim ( ) lim . . n n n n n n E XY E X Y EX EY EX EY= = = . 1.2.3 Định nghĩa. Tập các biến ngẫu nhiên { } , i X i I đợc gọi là độc lập đôi một nếu i X và j X độc lập, với mọi , ,i j i j I . 1.3. Tính m-phụ thuộc, m-phụ thuộc đôi một và m-phụ thuộc đôi một theo khối. Giả sử m là một số nguyên không âm. 7 1.3.1 Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên { } , 1 i X i n đợc gọi là m-phụ thuộc nếu 1n m + hoặc 1n m> + và họ { } , 1 i X i k độc lập với họ { } , j X l j n khi l k m > . Một dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 n X n đợc gọi là m-phụ thuộc nếu họ { } , 1 i X i k độc lập với họ { } , l n X n khi l k m > . 1.3.2 Định nghĩa. Một họ các biến ngẫu nhiên { } , 1 i X i n đợc gọi là m-phụ thuộc đôi một nếu 1n m + hoặc 1n m> + và 2 biến ngẫu nhiên i X và j X độc lập với nhau khi j i m > . Một dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 n X n đợc gọi là m-phụ thuộc đôi một nếu i X và j X độc lập với nhau khi j i m > . 1.3.3 Định nghĩa. Một dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 n X n đợc gọi là m-phụ thuộc đôi một theo khối nếu với mỗi số nguyên dơng p , họ { } 1 , 2 2 < p p i X i là m-phụ thuộc đôi một. 1.4 Khái niệm cùng phân phối 1.4.1 Định nghĩa. Hàm số [ ] ( ) , ,F x P X x x= < R đợc gọi là hàm phân phối của biến ngẫu nhiên X . 1.4.2 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 n X n đợc gọi là cùng phân phối nếu chúng có cùng hàm phân phối. 1.5 Khái niệm bị chặn ngẫu nhiên 1.5.1 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 n X n đợc gọi là bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X nếu tồn tại hằng số D < sao cho 8 > > n P X t D P DX t , 0, 1 t n . 1.5.2 Nhận xét. Nếu dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 n X n cùng phân phối thì nó bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên 1 X . 1.6 Khái niệm khả tích đều 1.6.1 Định nghĩa. Dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 1 n X n L đợc gọi là khả tích đều nếu 0 1 lim sup = > n n c n X c X dP . 1.6.2 Định lý. Dãy { } , 1 n X n khả tích đều nếu và chỉ nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau đây a) 1 sup < n n E X . b) 0, 0> > sao cho với A F , ( ) P A thì 1 sup < n n A X dP . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử dãy { } , 1 n X n khả tích đều. Với mọi 0, > 0>c , ta đặt = > nc n n X X I X c và = c n n n X X I X c . Khi đó ( ) + + n n n nc nc A A X c A X dP X dP X dP cP A E X . (1.1) Do { } , 1 n X n khả tích đều nên 0 1 lim sup = nc c n E X . 9 Vì vậy tồn tại 0 : 2 1 sup> < nc n c E X c c . Cho nên 2 1 sup < nc n E X . Chọn = , từ (1.1) ta suy ra a). Chọn 2 = c thì 1 sup n n A X dP + < 2 2 . Điều kiên đủ. Giả sử dãy các biến ngẫu nhiên { } , 1 n X n thỏa mãn a) và b). Với mọi > 0 từ b) ta suy ra 0 > sao cho với FA , ( ) P A thì 1 sup < n n A X dP . (1.2) Đặt 0 1 sup < = n n E X c . Khi đó, với mọi 1n , 0 0 ( ) > < n n E X P X c c . Do vậy áp dụng (1.2) với 0 = > n A X c ta đợc 0 1 sup < > n n n X c X dP . Điều đó kéo theo 1 sup < > n n n X c X P 0 c c . Vậy 1 lim sup 0 > = n n c n X c X dP . 10 . cứu đề tài Một số kết quả về sự hội tụ trong p L của dãy các biến ngẫu nhiên. Mục đích chính của đề tài là nghiên cứu một số kết quả về sự hội tụ trung bình 2. Sự hội tụ trong p L của dãy các biến ngẫu nhiên 2.1 Sự hội tụ trong p L liên quan đến khái niệm khả tích đều .17 2.2 Sự hội tụ trong p L của dãy