Một số kết quả mở rộng các định lí đồng cấu nhóm cho trường hợp nửa nhóm

mục lục Trang Chỉ dẫn ký hiệu 2 Lời nói đầu 3 Chơng I: Các định lý về đồng cấu nhóm Đ1. Các định lý đồng cấu nhóm và bổ đề con bớm 4 Đ2. Dãy chuẩn tắc. Định lý Sơrâye và định lý Joocđăng- Hônđe 10 trên các nhóm Chơng II: Một số định lý đồng cấu trên nửa nhóm Đ1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 14 Đ2. Tơng đẳng, nửa nhóm thơng và đồng cấu 18 Đ3. Các định lý về đồng cấu đối với các nửa nhóm con 23 Kết luận. 29 Tài liệu tham khảo. 30 1 Chỉ dẫn ký hiệu Ký hiệu ý nghĩa A B A là tập con của B A B A là nhóm con chuẩn tắc của B A n B Nhóm A là nhóm con của nhóm B i i A = 1 Hợp của các tập hợp A i , với i =1,2 i i A = 1 Giao của các tập hợp A i , với i =1,2 A B Nhóm A đẳng cấu với nhóm B. A Lực lợng của tập hợp A. A: B Chỉ số của nhóm con A trong B A.B Tích của hai nhóm A và B ( là nhóm con bé nhất chứa cả hai nhóm ấy). Kết thúc chứng minh. 2 Lời nói đầu Trong lý thuyết nhóm các định lý đồng cấu nhóm là một nội dung rất quan trọng xuyên suốt chơng trình học và luôn đợc quan tâm nghiên cứu. Với cấu trúc nhóm các định lý đồng cấu đợc trình bày một cách cụ thể và tơng đối đầy đủ. Với cấu trúc nửa nhóm, các định lý đó còn đúng nữa không? Tơng tự nh cấu trúc nhóm thì trong cấu trúc nửa nhóm cũng có những định lý đồng cấu. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu về một số kết quả mở rộng các định lý đồng cấu nhóm cho trờng hợp nửa nhóm. Luận văn gồm 2 chơng. Chơng I : Các định lý về đồng cấu nhóm. Trình bày các định lý đồng cấu nhóm, để làm cơ sở cho việc nghiên cứu ở chơng II. Nêu lên một số định lý khá quan trọng trong lý thuyết nhóm nh định lí Sơrâye, định lý Joocđăng-Hônđe Chơng II : Một số định lý đồng cấu trên nửa nhóm. Trình bầy các định lí đồng cấu trên nửa nhóm tơng tự các định lí Zaxenhauxơ và định lý Joocđăng-Hônđe trong các nhóm. Các kết quả chính của chơng này cũng nh của luận văn đợc trình bày trong Đ3. Luận văn đợc hoàn thành dới sự hớng dẫn của PGS -TS Lê Quốc Hán. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy về sự giúp đỡ tận tình chu đáo và những ý kiến góp ý thiết thực. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô trong tổ Đại số và các bạn cùng lớp đã động viên giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng mong đợc sự góp ý của các bạn . Tác giả : Lê Thị Lụa K42B 1 - Toán 3 Ch ơng I: Các định lý về đồng cấu nhóm Trong chơng này chúng tôi sẽ trình bày các định lý đóng vai trò khá quen thuộc. Sau đó nêu lên một số định lý đóng vai trò khá quan trọng trong lý thuyết nhóm nh định lý Sơrâye, định lý Joocđăng-Hônđe. Đ1. Các định lý đồng cấu nhóm và bổ đề con bớm. 1.1. Các định nghĩa : i) Giả sử G và G là các nhóm với các đơn vị là e và e. Khi đó, ánh xạ : G G đợc gọi là đồng cấu nhóm nếu thoả mãn điều kiện: (ab) = (b).(a), a,bG. Đồng cấu đợc gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu tơng ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh. Nếu G = G thì đồng cấu ( đẳng cấu) đợc gọi là tự đồng cấu ( tự đẳng cấu). ii) Giả sử : G G là một đồng cấu nhóm. Khi đó, tập con{gG |(g)= e} đợc gọi là hạt nhân của và đợc ký hiệu là Ker(). Tập con {(g) | gG } đợc gọi là ảnh của đồng cấu và đợc ký hiệu là Im(). Dễ thấy Ker() G và Im() n G. Giả sử G là một nhóm và H là nhóm con của G, ta sẽ dùng kí hiệu L( G,H ): = { K n G | H K }. Nói riêng L ( G, 1) là tập các nhóm con của G 1.2. Định lý. Giả sử H là ớc chuẩn của nhóm G. Khi đó, toàn cấu chính tắc p : G G/ H g gH cảm sinh ra ánh xạ : L( G, H ) L( G/H, 1) xác định bởi (K) = p(K), với mọi K n H. ánh xạ là song ánh. 4 Hơn nữa, nếu A,B L(G,H) thì A và B liên hợp trong G khi và chỉ khi (A), (B) liên hợp trong G/ H. Nói riêng A G khi và chỉ khi (A) G/H. Nếu A n B thì | B: A | = | (B) : (A) |. Chứng minh. Giả sử A, B L ( G,H ) và A B. Khi đó tồn tại aA, aB suy ra p(a) p(A), p(a) p(B) . Thật vậy, giả sử p(a) p(B) thì tồn tại b B sao cho p(a) = p(b) suy ra aH = bH hay b -1 a H. Mà H B nên b -1 a B suy ra aB ( do bB) mâu thuẫn. Nh vậy p(A) p(B) suy ra (A) (B). Vậy là đơn ánh. là toàn ánh vì tạo ảnh của nhóm con A của G/H đối với là tạo ảnh toàn phần của A đối với p. Trực tiếp kiểm tra đợc rằng B = A x khi và chỉ khi p( B ) = [ p(A)] p(x) B = A x = x -1 Ax p(B) = p( x -1 Ax) = p(x -1 ).p(A).p(x) ( vì p là đồng cấu ) = (p(x)) - 1 .p(A).p(x) = [p(A)] p(x) . Nh vậy B = A x suy ra p(B) = [p(A)] p(x) . p(B)=p(A)) p(x) =[p(x)] -1 p(A)p(x) = p(x -1 )p(A)p(x) = p(x -1 Ax) = p(A X ) (B) = (A x ) ( do (k) = p(k)) B =A x ( do là đơn ánh ). Cuối cùng, nếu A n B thì | B: A | = | (B) : (A) |. Nếu A n B thì giữa họ các lớp ghép trái của B theo A và họ các lớp ghép trái của (A) theo (B) là một-một, bởi vì x -1 y A ( xH) -1 (yH) A/H. 1.3. Định lý đồng cấu cảm ứng. Giả sử A và B là các ớc chuẩn tơng ứng của các nhóm G và G . : G G là đồng cấu nhóm thoả mãn điều kiện (A) B. Khi đó cảm ứng một đồng cấu nhóm * : G/A G/B xác định bởi *(gA) = (g)B. Đồng cấu * thoả mãn hệ thức *(gA) = (g)B. Hơn nữa, đồng cấu * thoả mãn hệ thức * p = q , trong đó p : G G/A và q: G G/B là các toàn cấu chính tắc. Chứng minh. Trớc hết ta chứng minh * là một ánh xạ. Thật vậy, nếu xA = yA x -1 y A (x -1 y) (A) B (x) -1 (y) B (x)B = (y)B *(xA) = *(yA). Do đó * là ánh xạ. 5 Mặt khác *(xA.yA) = *( xyA) = (xy)B = (x). (y).B = (x)B. (y)B = *(xA). *(yA). Do đó * là đồng cấu. Ta lại có q (x) = q[(x)] = (x)B = *(xA) = *[p(x)] = p(x), x G nên: q = * p. Địnhlý 1.3 đợc chứng minh. 1.4. Chú ý. Vì p và q là những toàn cấu và hình chữ nhật giao hoán ( q = * p ), nên ta có Im (*) = q[Im()] Ker(*) = p[ -1 (B)] Nói riêng ra, nếu là toàn cấu ( Im () = G), B = { e}, A = Ker() thì G/ B = G, Im (*) = q( G) = G/ B = G và Ker(*) = p[ -1 (e)] = p(A) = A * là một đẳng cấu và ta có định lý sau: 1.5. Định lý cơ bản về đồng cấu nhóm. Giả sử : G G là toàn cấu nhóm và A = Ker() . Khi đó * : G/A G xác định bởi *(gA) = (g), g G là một đẳng cấu nhóm thoả mãn điều kịên * p = , trong đó p : G G/A là toàn cấu chính tắc. 1.6. Hệ quả. Nếu : G G là một đồng cấu nhóm thì G/Ker() Im(). Chứng minh. Suy ra từ nhận xét : Nếu : G G là đồng cấu nhóm thì : : G (G) = Im() là toàn cấu nhóm. áp dụng định lý 1.5 ta có điều phải chứng minh. 6 G G p q * G/A G/B 1.7. Định lý. Nếu H G , A G và H n A thì A/H là ớc chuẩn của G/H và )H/A( )H/G( A G . Chứng minh. Thiết lập sự tơng ứng : G/H G/A bằng cách đặt (xH) = xA với mọi x G. Chứng minh là ánh xạ. Thật vậy, nếu xH = yH x -1 y H x -1 y A ( vì H n A) xA = yA (xH) = (yH). Vậy là ánh xạ. Chứng minh là đồng cấu, vì ( xH.yH) = ( xyH) = xyA = xA.yA = ( xH).(yH). Bởi vậy là đồng cấu từ G/ H lên G/A. Theo cách xác định ta có là toàn ánh. Do đó là toàn cấu suy ra Im() = G/A. Ta có Ker() = { xH | (xH) = e*} ( e* là đơn vị của G/ H) = { xH | xA = A} = A/ H. ( vì H A). Theo định lí 1.5 ta có ( G/H) / Ker() Im() hay )H/A( )H/G( A G . 1.8. Định lí. Nếu A B n G và H G thì : AH BH )HB.(A B Chứng minh. Giả sử p : G G/ H là toàn cấu tự nhiên và = p | B khi đó : B G/ H Ker() = { x B | (x) =e*} ( e* là đơn vị của G/ H) = { x B | xH = H } = { x B | x H } = B H. Mặt khác (A) = p(A) và (B) = p(B), nên tạo ảnh toàn phần của (A) và (B) đối với sẽ là A ( B H) và B. Bởi vì A B nên (A) (B). Bởi vậy theo định lý 1.2, ta có A ( B H) B và do đó theo Định lý 1.7 suy ra: )HB(A B AH BH )HAH( )HBH( )A( )B( = . 7 Định lý đợc chứng minh. 1.9. Hệ quả ( Định lý Nơte thứ hai). Nếu B là nhóm con và H là ớc chuẩn của G thì HB B H BH . Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ định lý 1.8 bằng cách lấy A = { e }. 1.10. Bổ đề con bớm ( Zaxenhauxơ): Giả sử U, V là các nhóm con của một nhóm nào đó, và giả sử U 1 , V 1 là các ớc chuẩn của U và V tơng ứng. Khi đó U 1 (UV 1 ) chuẩn tắc trong U 1 (UV), V 1 ( U 1 V) chuẩn tắc trong V 1 ( UV) và các nhóm thơng tơng ứng đẳng cấu, nghĩa là : )VU(V )VU(V )VU(U )VU(U 11 1 11 1 Chứng minh. Tổ hợp các nhóm và các nhóm thờng trở nên rõ ràng nếu ta xem trên biểu bồ của các nhóm con sau đây ( nó cho biểu đồ tên gọi nh vậy) . U V U 1 (UV) (UV).V 1 UV U 1 (UV 1 ) (U 1 V).V 1 U 1 V 1 U 1 V U V 1 Trên biểu đồ đó đã cho ta U, U 1 , V, V 1 . Các đỉnh còn lại trên biểu đồ tơng ứng với các nhóm xác định bằng cách sau đây : Giao của hai đoạn thẳng đi xuống biểu diễn giao của hai nhóm. Hai đoạn thẳng đi lên giao nhau tại một điểm biểu diễn tích của hai nhóm con ( tức là nhóm con bé nhất của cả hai nhóm đó) . Ta xét hai hình bình hành tạo thành các cánh bớm và chứng minh rằng các cạnh đối diện của các hình bình hành đó bằng nhau. 8 Thật vậy, cạnh thẳng đứng chung của hai hình bình hành có UV mút trên và (U 1 V)(UV 1 ) là mút dới. Ta có đẳng cấu )VU)(VU( )VU( 11 )VU(U )VU(U 11 1 Nó thu đợc từ hệ quả 1.9: HB B H BH Bằng cách lấy B = U V và H = U 1 .(U V 1 ). Vậy cạnh thẳng đứng ở giữa bằng cạnh thẳng đứng bên trái. Do sự đối xứng, nó cũng bằng cạnh thẳng đứng bên phải, và vì hai đại lợng cùng bằng đại lợng thứ ba nên bổ đề đợc chứng minh. (xem [3]). 9 Đ2. Dãy chuẩn tắc, Định lý Sơrâye và định lý Joocđăng - Hônđe Trên các nhóm 2.1. Định nghĩa. Giả sử G là một nhóm. Dãy nhóm con {e} = G 0 n G 1 n n G n = G (1) đợc gọi là dãy chuẩn tắc nếu G i G, với mọi i = 1,2, , n. Dãy (1) đợc gọi là dãy á chuẩn nếu G i G i+1 , với mọi i = 1,2, , n-1. Các nhóm thơng i 1i G G + đợc gọi là thơng, còn n đợc gọi là độ dài của dãy (1). Nếu G i+1 / G i là nhóm xyclic ,với mọi i = 0,1, ., n-1 thì G đợc gọi là nhóm đa xyclic. 2.2. Định lý. Giả sử G là một nhóm với dãy chuẩn tắc ( á chuẩn). i) Nếu H là nhóm con của G thì {e} = H 0 n H 1 n n H n = H trong đó H i = G i H, là một dãy chuẩn tắc (hay á chuẩn) của H, hơn nữa H i+1 /H i . đẳng cấu với với một nhóm con của G i+1 /G i . ii) Nếu H là ớc chuẩn của G thì khi lấy ảnh của các thành phần của dãy (1) qua toàn cấu chính tắc p : G G/ H, chúng ta nhận đợc dãy chuẩn tắc ( á chuẩn) trong G/ H : { e} = 0 G n 1 G n n n G = G/ H, trong đó .H/HGG ii = Hơn nữa i 1i G G + là ảnh đồng cấu của G i+1 / G i . Chứng minh. i) Hệ thức H i 1i H + và i G 1i G + còn trong trờng hợp dãy chuẩn tắc : H i H , i G G đợc kiểm tra trực tiếp. Hơn nữa, nếu sử dụng định lý đồng cấu: (1) AH,GA,GH thì A G )H/A( )H/G( (2) B n G , H G thì HB B H BH 10 . các nhóm Chơng II: Một số định lý đồng cấu trên nửa nhóm Đ1. Nửa nhóm các quan hệ trên một tập 14 Đ2. Tơng đẳng, nửa nhóm thơng và đồng cấu 18 Đ3. Các định. đồng cấu nhóm cho trờng hợp nửa nhóm. Luận văn gồm 2 chơng. Chơng I : Các định lý về đồng cấu nhóm. Trình bày các định lý đồng cấu nhóm, để làm cơ sở cho