Một số kết quả mở rộng về sự ổn định đối với bộ phận biến của phương trình vi phân thường

Từ những kết quả của Vorotnhikov V.I. về sự ổn định đối với bộ phận biến, bài viết đã chứng minh thêm được một số kết quả khác xung quanh việc xét sự ảnh hưởng của z - biến đối với bài toán y - ổn định tiệm cận và y - ổn định đều của phương trình vi phân thông qua 3 định lý và minh hoạ thêm một số khái niệm về y - xác định dấu

TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ RỘNG VỀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG Hồng Nam1 Phịng Đào tạo, trường Đại học Hồng Đức TÓM TẮT Từ kết Vorotnhikov V.I ổn định phận biến [1], báo chứng minh thêm số kết khác xung quanh việc xét ảnh hưởng z - biến toán y - ổn định tiệm cận y - ổn định phương trình vi phân thơng qua định lý minh hoạ thêm số khái niệm y - xác định dấu Lý thuyết toán học ổn định chuyển động đặt vào năm 1892 nhà toán học vĩ đại người Nga A.M Lyapunov: “Bài toán tổng quát ổn định chuyển động” Vào năm 50 kỷ XX, toán ổn định tổng quát thành toán ổn định phận biến với nhiều thành tựu to lớn Khi người ta nghiên cứu trường hợp giới hạn toán ổn định, vấn đề tự nhiên nảy sinh quan sát đến ổn định phận cố định biến đó, chẳng hạn góc quay viên đạn, độ rung động số thành phần cỗ máy,… Một cách tổng quát: chuyển động mô tả n biến x1, x2 ,…, xn (là hàm thời gian t) Hãy xét ổn định chuyển động phận biến x1, x2 ,…, xm (0 < m < n+1) Về toán này, I.G Mankin nêu (không chứng minh) số điều kiện chuyển định lý Lyapunov cho trường hợp ổn định phận biến Trong cơng trình V.V Rumianxep - A.S Oziranhia đạt kết hồn chỉnh tốn ổn định phận biến Khi nghiên cứu toán ổn định phận biến (y - biến), người ta thường không quan sát phận biến lại (z - biến) Trên thực tế toán y - ổn định, phận z- biến có ảnh hưởng điều kiện đặt Năm 1995 V.I Vôrôtnhikov đặt vấn đề xét tới ảnh hưởng z - biến toán y - ổn định Bài báo đặt vấn đề xét tới ảnh hưởng z biến toán y - ổn định lý thuyết ổn định theo phận biến MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN Sau báo đề cập tới việc bổ sung lý thuyết ổn định phận biến với toán y - ổn định lý thuyết ổn định phận biến, cụ thể hoá thêm khái niệm y - xác định dấu V - hàm hệ phương trình vi phân: 28 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 dx = X (t , x); X (t ,0) = dt (1) xét miền: t ≥ : y ≤ H = const > 0; z < +∞ (2) t ≥ : y + W (t , x) ≤ H ; z < +∞ (3) miền nghiệm hệ phương trình (1): M = {x : x(t , t0 , x0 )} với x0 đủ bé Định nghĩa Hàm V(t,x) gọi y – xác định dương ( y – xác định âm) nếu: i) Tồn hàm W(y) xác định dương, ii) V(t,x) ≥ W(y) (V(t,x) ≤ - W(y)) Nhận xét: Có thể V(t,x) xác định dương theo tất biến không ổn định phận biến x + x2 Ví dụ: Hàm V= + x2 Ta thấy V hàm xác định dương x1 x2 khơng xác định dương x1 (vì V → 0, x2 → + ∞) Như vậy, xác định dương tất biến, không xác định dương phận biến Nếu hàm V y - xác định dương, chưa xác định dương biến Ví dụ Hàm V = y2 + (z1 – z2)2 xác định dương biến y không xác định dương y, z 1, z Nếu V dạng toàn phương xác định theo tất biến, xác định dương theo phận biến Trong toán y - ổn định nghiệm tầm thường x = hệ phương trình vi phân: x’ = X(t,x), X(t, 0) = (1) mặt ngun tắc khơng địi hỏi phải kiểm tra z – biến, mối quan hệ lẫn hệ trên, z - biến lại có ảnh hưởng định tới y - biến kiểm tra Sau số kết phương trình vi phân phận biến Định lý Giả sử hệ (1) tồn hàm V(t,x) W(t,x) cho miền (3) thỏa mãn điều kiện sau: (4) V(t,x) ≥ a( y + W (t , x) ) , a(.) ∈ κ κ lớp hàm xác định dấu dương; V ′ (1) ≤ (5) Khi đó, nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định 29 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Nhận xét Khi W = ta thu định lý Rumansep tính ổn định phận Các bất đẳng thức (2) tính toán đến trường hợp “xấu nhất” thay đổi biến chưa kiểm tra thay bất đẳng thức chặt (3) Bất đẳng thức (4) thể tính xác định dấu V - hàm theo y theo thành phần hàm W - hàm hàm V hàm (y,w) - xác định dấu theo nghĩa [3] Mặt khác cách chọn hàm W thích hợp đưa chưa rõ ràng hàm W xác định cụ thể trình giải Như vậy, theo nghĩa hàm W đóng vai trị hàm Lyapunov thứ hai Ví dụ: Hàm V= x1 + x2 + x2 xác định dương hai biến x1 , x2, hàm xác định dương x2 limV = 0, x1 cố định Điều khẳng định rằng, trường hợp x2 → ∞ dimy1 = dimz1 = 1, hàm V(y1,z1) thoả mãn điều kiện (4), (5) khơng phải hàm xác định dấu theo Lyapunov, không xác định dấu theo y1, chẳng hạn, xét ví dụ sau Xét hàm V= y1 (1 + z1 ) 4 + y1 z1 (*) Mặc dù W = y1z1 với H đủ bé miền (3), thỏa mãn điều kiện (4) V hàm (5) không xác định dấu theo Lyapunov không xác định dấu với y1 theo nghĩa [3] miền (2) thoả mãn điều kiện (5) V - hàm (*) lại y1 - xác định dấu dương theo nghĩa (6) Định lý Giả sử hệ (1) tồn hàm V(t,x), U(t,x) W(t,x) cho miền (3) thỏa mãn điều kiện sau: V(t,x) ≥ a( y ) ; (6) V ′ (7) (1) ≤ 0; U(t,x) ≥ b( W (t , x) ) , U ' (1) ≤ , a, b ∈ κ (8) Khi đó, nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định Nhận xét: V- hàm thỏa mãn bất đẳng thức (4) miền (3) thỏa mãn bất đẳng thức (6), V - hàm y - xác định dấu miền (2) Tuy nhiên, thỏa mãn điều kiện (7) (6) miền (3) chưa bảo đảm bất đẳng thức: y (t ; t0 , x0 ) + W (t ; x(t ; t0 , x0 )) ≤ H ; t ≥ t0 30 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 dọc theo tất nghiệm hệ với x0 đủ bé Nghĩa chưa bảo đảm ràng buộc (4) tiếp nhận biến chưa kiểm tra Cho nên V - hàm thỏa mãn điều kiện (7), (6) miền (3) chưa đảm bảo tính y - ổn định nghiệm tầm thường x = hệ Trong V - hàm (y,w) - xác định dấu thoả mãn điều kiện (7) lại bảo đảm tính y - ổn định, nên điều kiện ràng buộc tiếp nhận biến chưa kiểm tra thỏa mãn Nếu bất đẳng thức W (t , x) ≤ H ; t ≥ t0 thỏa mãn dọc theo tất nghiệm tương ứng hệ V - hàm xác định dấu y - ổn định, điều ta thực thơng qua hàm Lyapunov Định lý Giả sử hệ (1) tồn hàm V(t,x) thỏa mãn điều kiện sau miền M: V(t,t0,x0) ≥ a( y (t , t0 , x0 ) ) ; V ′ (1) (9) ≤0 Khi đó, nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định Ví dụ Xét hàm 2 y (1 + z1 ) V= xác định R2 4 + y1 z1 Mặc dù W = y1z1 với H đủ bé miền (3), thỏa mãn điều kiện (4) V - hàm (5) không xác định dấu theo Lyapunov không xác định dấu với y1 theo nghĩa [3] miền (2), thỏa mãn điều kiện (5) V - hàm lại y1 - xác định dấu dương theo nghĩa (6) MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ RỘNG VỀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN Trên sở tình toán ổn định phận kết cơng trình Vorotnhikov ổn định phận biến [1], báo thu số kết khác, mở rộng ổn định phận biến xung quanh vấn đề nói trên, thơng qua định lý sau Định lý Giả sử hệ (1) tồn hàm V(t,x) hàm vecto W(t,x) cho miền (3) thỏa mãn điều kiện sau: a( y + W (t , x) ) ≤ V(t,x) ≤ b( y ) , a, b ∈ κ ; V ' (1) ≤ Khi đó, nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định 31 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Định lý Giả sử hệ (1) tồn hàm V(t,x) W(t,x) cho miền (3) thỏa mãn điều kiện sau: a( y + W (t , x) ) ≤ V(t,x) ≤ b( y ) ; V ' (1) ≤ − c( y + W (t , x) ) , a, b, c ∈ κ Khi đó, nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định tiệm cận Định lý Giả sử hệ (1) tồn hàm vô hướng V(t,x), U(t,x) hàm véctơ W(t,x) cho miền (3) thỏa mãn điều kiện sau: V(t,x) ≥ a( y ) ; V′ U(t,x) ≥ b( y + W (t , x) ) , a, b ∈ κ (1) ≤ −U (t , x); Đối với t0 ≥ , tồn δ ′ = δ ′(t0 ) > với x0 mà ∃M = M (t0 , x0 ) > cho U ' (1) x0 < δ ' (t , x) ≤ M ; t ≥ t0 Khi đó, nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định tiệm cận Ví dụ Xét V - hàm V = thỏa mãn điều kiện V ' (1) 2 y1 + y2 (1 + z1 ) + z 41 y ≤ −c ( x ) (**) 2 y + y2 + w2 ) Khi đặt w = y2z1 V = , đó: + w4 Khi thỏa mãn điều kiện (**) tập M ta có W (t , x) < H nên V - hàm y xác định dấu dương theo nghĩa [3] Mặt khác y1, y2 cố định, z → ∞ V → nên V hàm y - xác định dấu theo Lyapunov điều kiện V(t,x) ≥ a( y ) không thỏa mãn miền (2) nên V - hàm không xác định dấu theo nghĩa [3] Do V ≤ y 21 + y 2 + w2 nên V - hàm có giới hạn cao vơ bé (y,w) V - hàm khơng có giới hạn cao vô bé y1, y2 y Hơn H đủ bé V ≤ y 21 + y 2 + z1 nên V - hàm có giới hạn cao vơ bé x Do V - hàm thỏa mãn điều kiện Định lý điều kiện ổn định tiệm cận nên nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định tiệm 32 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Bài báo chứng minh số kết ổn định phận biến minh họa thêm số khái niệm y - xác định dấu Hơn nữa, miền (3) ta cịn tìm thêm, mở rộng thêm nhiều kết y - ổn định tiệm cận, y - ổn định y - không ổn định TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Vorotnhikov V.I (1995), “ Về lý thuyết ổn định phận biến” 1995, MGU tr 59 [2] Vorotnhikov V.I (1995), “Ổn định hệ động lực theo phận biến” Moskva, NXB Khoa học 1991, tr 287 [3] Rumiansep V.V Oziranhep (1957), “Về ổn định chuyển động phận biến”, MGU N 4, tr 9-16 SOME GENERALIZED RESULT ON STABILITY WITH RESPECT TO A PART OF THE SET OF VIRIABLES IN ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS Hoang Nam1 Department of Academic Affairs, Hong Duc University ABTRACT In this paper, using results of Vorotnikov V.I on stability with respect to a part of the set of variables [1], we prove some other results on the influence of variable z on asymptotic and uniform y-stability of differential equation x′ = X (t , x) These results are expressed in three theorems Besides, we also give some illustrative examples to the concept of positive/negative y-determinability 33 ... Trên sở tình toán ổn định phận kết cơng trình Vorotnhikov ổn định phận biến [1], báo thu số kết khác, mở rộng ổn định phận biến xung quanh vấn đề nói trên, thơng qua định lý sau Định lý Giả sử hệ... Lyapunov không xác định dấu với y1 theo nghĩa [3] miền (2), thỏa mãn điều kiện (5) V - hàm lại y1 - xác định dấu dương theo nghĩa (6) MỘT SỐ KẾT QUẢ MỞ RỘNG VỀ SỰ ỔN ĐỊNH ĐỐI VỚI BỘ PHẬN BIẾN Trên sở... điều kiện Định lý điều kiện ổn định tiệm cận nên nghiệm tầm thường x = hệ (1) y - ổn định tiệm 32 TẠP CHÍ KHOA HỌC, TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC - SỐ 2009 Bài báo chứng minh số kết ổn định phận biến minh