Một số kết quả thu được trong tương tác của nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử

Lời cảm ơn Đầu tiên tôi xin trân trọng cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa Vật lý , khoa đào tạo Sau Đại Học đã tạo môi trường học tập và nghiên cứu thuận lợi nhất trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này . Đặc biệt tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Nguyễn Huy Công đã giúp đỡ và định hướng cho tôi về đề tài , chỉ bảo tận tình cho tôi hoàn thành tốt luận văn của mình . Tôi xin chân thành cảm ơn tới các thầy giáo chuyên nghành Quang học Trường Đại Học Vinh đã giảng dạy và chỉ dẫn tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu . Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với gia đình , người thân , bạn bè đã động viên , giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn để hoàn thành luận văn , đảm bảo thời gian với chất lượng tốt nhất Vinh , tháng 11 năm 2010 Tác giả Trần thị Đoàn 1 MỤC LỤC Mở đầu .4 Chương I : Sự lượng tử hoá trường điện từ .8 1.1 Lượng tử hoá trường đơn mốt 8 1.2 Các thăng giáng lượng tử của trường 18 1.3 Lượng tử hoá trường đa mốt .20 Chương 2: Các trạng thái lượng tử của trường .26 2.1 Các trạng thái có số pho ton xác định .26 2.2 Các trạng thái kết hợp 26 2.3 Các trạng thái hỗn hợp (trộn lẫn) .34 2.4 Các trạng thái bị nén (nén) 42 Chương 3: Một số kết quả thu được trong tương tác của nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 55 3.1 Hamiltonian của nguyên tử và trường 55 3.2 Sự gần đúng sóng quay .61 3.3 Mẫu Jaynes – Cummings .63 3.4 Một số kết quả thu được trong tương tác cuả nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 64 a) Sự thay đổi của hiệu độ cư trú giữa hai mức khi có mặt trường kích thích .69 b) Xác suất để nguyên tử tồn tại ở trạng thái kích thích khi có trường. .70 2 c) Xác suất để nguyên tử tòn tại ở trạng thái cơ bản khi có trường .70 d) Sự thay đổi năng lượng của trường theo thời gian .71 Kết luận 74 Tài liệu tham khảo 76 3 MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết, vấn đề quan trọng nhất trong quang học lượng tử là vấn đề tương tác của trường với môi trường. Có 4 loại Lý thuyết về các tương tác này: a) Lý thuyết tương tác thuần tuý cổ điển: Ở đó trường điện từ là trường cổ điển (tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường là các véc tơ sóng, các phương trình đối với các véc tơ trường là các phương trình Maxwell) còn môi trường được xem là một hệ hạt cổ điển (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo các định luật cổ điển Newton) b) Lý thuyết tương tác bán cổ điển: Ở đó trường điện từ vẫn được xem là trường cổ điển (tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường là các véc tơ sóng, các phương trình đối với các véc tơ trường là các phương trình Maxwell) còn môi trường được xem là một hệ hạt lượng tử (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử, được mô tả bằng phương trình Schrodinger) c) Lý thuyết tương tác bán lượng tử: Ở đó trường điện từ là trường đã được lượng tử hoá (tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường không còn là các véc tơ sóng mà đã được biểu diễn thông qua các toán tử, năng lượng của trường được biểu diễn qua toán tử Hamiltonian) còn môi trường vẫn được xem là một hệ hạt cổ điển (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo các định luật cổ điển Newton) d) Lý thuyết tương tác lượng tử: Ở đó trường điện từ là trường đã được lượng tử hoá (tức là trường điện từ trong đó các véc tơ trường không còn là các véc tơ sóng mà đã được biểu diễn thông qua các toán tử, năng lượng của trường được 4 biểu diễn qua toán tử Hamiltonian) còn môi trường được xem là một hệ hạt lượng tử (tức là hệ gồm các phần tử tuân theo các quy luật của cơ học lượng tử, được mô tả bằng phương trình Schrodinger) Theo sự phát triển của lịch sử và của sự tiến bộ của khoa học kỹ thuật, khi chúng ta nghiên cứu sâu và thế giới vật chất vi mô (các nguyên tử, hạt nhân hay các hạt cơ bản) thì chúng ta thấy các quy luật vận động của thế giới vĩ mô không còn có thể áp dụng được. Theo hệ thức bất định Heisenberg, xung lượng và toạ độ của hạt vi mô không đồng thời được xác định. Do đó đối với hạt vi mô, ta không thể nói về quỹ đạo chuyển động của nó. Cơ học lượng tử ra đời với nội dung chính là đưa ra phương trình cơ bản diễn tả quy luật vận động trong thế giới vi mô, đó chính là phương trình Schrodinger phụ thuộc thời gian: ( ) ( ) trHtr t i ,,   Ψ=Ψ ∂ ∂ với H là Hamiltonian của hệ lượng tử (hệ vi mô). Vì các trường vật lý là các hệ hạt vật chất nên sẽ không hoàn chỉnh nếu trong khi xét tương tác của trường với một đối tượng vật chất khác, chúng ta lại chỉ sử dụng lý thuyết bán cổ điển hoặc lý thuyết bán lượng tử. Chính vì lý do đó mà ngay sau khi xuất hiện Cơ học lượng tử, các nhà vật lý đã đề cập ngay đến việc phải nghiên cứu các trường vật lý theo quan điểm lượng tử, tức là phải lượng tử hoá các trường đó. Sau khi đã lượng tử hoá trường, chúng ta sẽ nghiên cứu sự tương tác của trường với một đối tượng vật chất khác theo quan điểm thuần tuý lượng tử, tức là ở đó cả trường và đối tượng vật chất đó đều được lượng tử hoá. Trên cơ sở sự lượng tử của trường, luận văn sẽ đề cập đến một số hiệu ứng trong tương tác của trường với hệ nguyên tử hai mức theo quan điểm thuần tuý lượng tử, tức là cả trường và cả hệ nguyên tử đều đã được 5 lượng tử hoá . Đây chính là nội dung chính mà luận văn này sẽ đề cập và giải quyết. Cụ thể luận văn sẽ bao gồm những nội dung chính sau: Chương 1: Sự lượng tử hoá trường điện từ 1.1 Lượng tử hoá trường đơn mốt 1.2 Các thăng giáng lượng tử của trường 1.3 Lượng tử hoá trường đa mốt Chương 2: Các trạng thái lượng tử của trường 2.1 Các trạng thái có số pho ton xác định 2.2 Các trạng thái kết hợp 2.3 Các trạng thái hỗn hợp (trộn lẫn) 2.4 Các trạng thái bị nén (nén) Chương 3: Một số kết quả thu được trong tương tác của nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 3.1 Hamiltonian của nguyên tử và trường 3.2 Sự gần đúng sóng quay 3.3 Mẫu Jaynes – Cummings 3.4 Một số kết quả thu được trong tương tác cuả nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 6 a) Sự thay đổi của hiệu độ cư trú giữa hai mức khi có mặt trường kích thích b) Xác suất để nguyên tử tồn tại ở trạng thái kích thích khi có trường c) Xác suất để nguyên tử tồn tại ở trạng thái cơ bản khi có trường d) Sự thay đổi năng lượng của trường theo thời gian. Và cuối cùng là phần thứ 3, là phần Kết luận 7 CHƯƠNG I SỰ LƯỢNG TỬ HÓA TRƯỜNG ĐIỆN TỪ 1.1 Lượng tử hoá trường đơn mốt Như chúng ta đã biết, một trường vật lý được lượng tử hoá là một trường trong đó các véc tơ trường được biểu diễn qua các toán tử. Trong các trường vật lý thì trường điện từ với các véc tơ trường là véc tơ cường độ điện trường E  và véc tơ cảm ứng từ B  là trường vật lý quan trọng và thường gặp nhất. Chính vì vậy, khi nói đến sự lượng tử hoá một trường vật lý, chúng ta đề cập ngay đến việc lượng tử hoá trường điện từ. Để lượng tử hoá trường điện từ, có thể có nhiều cách: a) Trình bày theo cách tiên đề: Đưa ra ngay biểu thức toán tử thế véc tơ A ˆ  xem như là một tiên đề, từ đó từ các mối liên hệ: ArotB   = và t A E ∂ ∂ −=   , chúng ta suy ra ngay các biểu thức toán tử của các véc tơ trường E ˆ  và B ˆ  . Từ đó nếu ta sử dụng chúng và suy ra được các kết quả phù hợp với thực tế và không có các kết quả mâu thuẫn với thực tế (thực nghiệm) thì ta khẳng định rằng tiên đề đó là đúng. b) Trình bày sự lượng tử hoá trường theo dựa trên cơ sở của sự lượng tử hoá năng lượng của dao động tử điều hoà. Trong cơ học lượng tử, chúng ta đã trình bày sự lượng tử hoá năng lượng của nguyên tử hyđrô bằng cách xem nguyên tử hyđrô như một dao động tử điều hoà, điện tử chuyển động xung quanh hạt nhân xem như là một dao tử. Trên cơ sở biểu thức năng lượng của dao tử (động năng và thế năng của dao tử), biểu diễn 8 qua xung lượng và toạ độ: 2 2 2 ˆ kq m p EEE td +=+= , ta chuyển ngay sang được toán tử năng lượng bằng cách thay thế xung lượng và toạ độ sang các toán tử xung lượng và toán tử toạ độ tương ứng: q ipp ∂ ∂ −=→  ˆ còn qqq =→ ˆ . Khi đó toán tử Hamiltonian có dạng: 22 2 2 2 2 1 22 1 2 ˆ qm m p kq m p HE ω +=+=→ , với 2 ω mk = . Nếu lấy m là một đơn vị khối lượng thì ta viết lại được toán tử Hamiltonian dưới dạng: ( ) 222 2 1 pqH += ω . (1.1) Từ lý thuyết lượng tử ánh sáng, nếu ta đưa vào các toán tử sinh, huỷ + b và b thì sau một số phép biến đổi, ta thu được biểu thức toán tử Hamiltonian của dao tử điều hoà có dạng [1]:       += + 2 1 ˆ bbH ω  . (1.2) Vấn đề của chúng ta bây giờ là liệu có thể sử dụng kết quả của việc lượng tử hoá năng lượng của dao tử điều hoà để phục vụ cho việc lượng tử hoá của trường điện từ hay không? Ở trên chúng ta thấy rằng từ biểu thức năng lượng của dao tử điều hoà biểu diễn qua xung lượng và toạ độ, chúng ta dễ dàng lượng tử hoá được năng lượng của dao tử bằng cách thay xung lượng và toạ độ bằng các toán tử tương ứng. Vậy nếu chúng ta chỉ ra được rằng năng lượng của trường điện từ biểu diễn qua các véc tơ trường lại cũng có thể biểu diễn được qua những đại lượng tương ứng với xung lượng và toạ độ của dao tử thì chúng ta cũng sẽ biết cách lượng tử hoá năng lượng của trường bằng việc thay các đại lượng đó bằng các toán tử tương ứng. 9 Muốn vậy, chúng ta hãy xuất phát từ hệ phương trình Maxwell đối với trường điện từ tự do lan truyền trong chân không: ;0.;0.;; =∇=∇ ∂ ∂ =×∇ ∂ ∂ −=×∇ BD t D H t B E      (1.3) Với các phương trình liên hệ: 2 0000 1 ;; c HBED === µεµε  , ở đây c,, 00 µε lần lượt là độ điện thẩm, độ từ thẩm của chân không và vận tốc của ánh sáng trong chân không. Ta hãy xét sự lan truyền của một sóng điện từ trong chân không trong một hộp cộng hưởng. Để đơn giản chúng ta thừa nhận rằng hộp cộng hưởng chỉ là một đoạn thẳng có chiều dài L nằm theo hướng trục z, trong đó có trường điện phân cực theo hướng trục x truyền dọc theo trục z. Nói một cách chính xác, nếu thừa nhận rằng thành hộp cộng hưởng là kim loại thì trường điện trong hộp là một sóng đứng, có dạng: ( ) ( ) kztEtzE xx sin, = (1.4) Biểu thức (1.4) có thể nhận được từ biểu thức tổng quát (1.3) bằng cách đặt 0 = x ; 2/Ly = ; kk z = . Ở đây chúng ta giả thiết rằng trong hộp cộng hưởng chỉ tồn tại một mốt của trường có tần số ck = ω . Khi đó ta viết lại (1.4) dưới dạng: ( ) ( ) kztq L tzE x sin 2 , 0 2 ε ω = (1.5) 10 . (nén) Chương 3: Một số kết quả thu được trong tương tác của nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 3.1 Hamiltonian của nguyên tử và trường 3.2 Sự. Cummings 3.4 Một số kết quả thu được trong tương tác cuả nguyên tử hai mức với trường điện từ lượng tử 6 a) Sự thay đổi của hiệu độ cư trú giữa hai mức khi