Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lượng dưói tác dụng của trường ngoài

Mục Lục Trang Mở đầu .1 Chơng I- Hàm tơng quan cổ điển . 3 1- Hàm ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên . . .3 2- Hàm tơng quan cổ điển .3 3- Hàm tơng quan cổ điển cho điện trờng .6 4- Một số tính chất của hàm tơng quan 10 Chơng II- Bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lợng . 12 I- Hệ nguyên tử hai mức trong gần đúng cộng hởng .12 I.1- Haminton tơng tác của nguyên tử . 12 I.2- Xác suất nguyên tử bị kích thích dới tác dụng của trờng ngoài 15 II- Giá trị trung bình của tr ờng bức xạ d ới tác dụng của tr ờng ngoài . .17 Chơng III- Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lợng dới tác dụng của trờng ngoài 23 Kết luận 33 Phụ lục toán học Tài liệu tham khảo [1] The Physical Review Second sẻíe, Vol. 188, No. 5 (1969) [2] Cao Long Vân - Nguyễn Huy Công- Nhập môn quang học lợng tử - 1 Vinh 1989. [3] Nguyễn Huy Công- Giáo trình Lý thuyết lợng tử ánh sáng -Vinh 1999 [4] Phùng Hồ- Vật Lí Điện tử - NXB Khoa học kỹ thuật H. 2000 [5] Nguyễn Huy Công- Bài giảng quang học lợng tử -Vinh 1997 [6] Đinh Văn Hoàng- Cấu trúc phổ nguyên tử - NXB ĐH và THCN 1974 [7] Vũ Ngọc Sáu- Cơ học lợng tử -Vinh 2002 [8] Phan Văn Thích- Huỳnh quang 1974. Mở đầu Bài toán tơng tác giữa trờng điện từ với hệ nguyên tử hai mức là bài toán cơ bản và thờng gặp trong quang học lợng tử và vật lý laser. Bài toán này có thể đợc giải quyết dựa trên các mô hình lý thuyết hay theo các quan điểm khác nhau (quan điểm bán lợng tử, quan điểm lợng tử .). Khi mô tả hệ nguyên tử, về mặt lý thuyết ta thờng xem hệ đợc cấu tạo từ tập hợp các mức năng lợng xác định, trong đó các chuyển mức kèm theo các quá trình bức xạ các sóng điện từ đơn sắc. Tuy nhiên, trong thực tế các mức năng lợng không hoàn toàn đơn sắc mà có sự mở rộng nào đó, vì vậy các vạch phổ phát ra có một độ rộng nhất định. Cũng nh vậy khi mô tả tơng tác của trờng với hệ nguyên tử, chúng ta thờng xem trờng là các bức xạ kết hợp và đơn sắc. Nghĩa là các đại lợng đặc trng cho trờng nh cờng độ, tần số, pha là không đổi. Tuy nhiên trong thực tế trờng không hoàn toàn đơn sắc mà phổ của nó cũng có độ rộng nhất định. Điều này sẽ ảnh hởng đến các quá trình quang học. 2 Để mô tả sự tiến triển của các biến số động lực của hệ nguyên tử với tr- ờng bức xạ, chúng ta có thể xuất phát từ các quan điểm bán cổ điển với giả thiết trờng tới có tần số gần với tần số cộng hởng của nguyên tử và nguyên tử đang xét nằm cố định, cô lập trong không gian ở trạng thái cân bằng. Quan hệ của các biến số này có thể biểu diễn qua các hàm tơng quan, từ đó bằng các phép biến đổi toán học, chúng ta nhận đợc phơng trình mô tả cờng độ vạch phổ của hệ. Đây cũng chính là nội dung nghiên cứu của chúng tôi. Cụ thể trong luận văn này, chúng tôi đặt vấn đề nghiên cứu Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng lợng dới tác dụng của trờng ngoài. Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục toán học, nội dung của luận văn gồm ba chơng: Chơng I Hàm t ơng quan cổ điển. Trong chơng này dựa trên mô hình cổ điển về hàm tơng quan, chúng tôi đa ra hàm tơng quan cho cờng độ điện trờng dẫn tới việc xác định cờng độ phổ. Chơng II Bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng l ợng. Trong chơng này, chúng tôi khảo sát tơng tác của trờng với hệ nguyên tử hai mức năng lợng. Xuất phát từ phơng trình Schrodinger mô tả tơng tác của hệ với trờng, chúng tôi đa ra biểu thức xác định xác suất tìm thấy nguyên tử bị kích thích khi đặt trong trờng ngoài và giá trị trung bình của trờng bức xạ dới tác dụng của trờng ngoài. Chơng III Phổ bức xạ của hệ nguyên tử hai mức năng l ợng dới tác dụng của trờng ngoài. Sau khi đa ra hàm tơng quan biểu diễn quan hệ của các biến số động lực của trờng bức xạ, bằng các phép biến đổi Laplace chúng tôi dẫn ra đợc phơng trình xác định cờng độ phổ bức xạ. Sử dụng máy vi tính, chúng tôi vẽ đợc đồ thị biểu diễn phổ theo phơng trình nói trên. 3 Do sự hạn chế về thời gian và trình độ, bản luận văn này không tránh khỏi các thiếu sót. Rất mong nhận đợc sự góp ý của các thầy cô giáo, các anh, chị và các bạn sinh viên để luận văn đợc hoàn thiện hơn. Cuối cùng tôi xin đ- ợc bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Phú, thầy đã đặt bài toán, cung cấp tài liệu và tận tình hớng dẫn tôi trong suốt quá trình làm việc. Tôi cũng in chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong chuyên ngành Quang học Quang phổ, trong Khoa Vật lý đã giúp đỡ tôi rất nhiều để hoàn thành bản luận văn này. Vinh, tháng 5 năm 2004. Sinh viên thực hiện Lê Hữu Đạt Chơng I - hàm tơng quan cổ điển 1-Hàm ngẫu nhiên. Quá trình ngẫu nhiên : Hàm f(x) gọi là hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của nó không phụ thuộc đơn giá vào biến x. Nghĩa là ở giá trị x nào đó thì hàm f(x) có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau. Khi đó ta có thể nói xác suất để ứng với giá trị x thì hàm f(x) nhận giá trị trong khoảng f(x) ữ f(x) + df(x). Giả sử đại lợng ngẫu nhiên phụ thuộc thời gian, khi đó quá trình đợc mô tả bởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian gọi là quá trình ngẫu nhiên. Đại lợng quan trọng nhất của quá trình ngẫu nhiên là hàm tơng quan. 2-Hàm tơng quan cổ điển: 4 Hàm tơng quan là giá trị trung bình của tích các hàm ngẫu nhiên mô tả quá trình ngẫu nhiên trong hệ ở thời điểm t và thời điểm t+ . Kí hiệu là K( ). Với f(t) là hàm ngẫu nhiên thì ta có: += T T dttftf T LimK 0 )().( 1 )( (1.1-a) Hoặc K( ) = <f(t).f(t+ )> (1.1-b) trong đó khoảng thời gian có thể âm hoặc dơng. Cùng với việc lấy trung bình theo thời gian ta cũng có thể lấy trung bình theo trọng số của hệ vật lý trong đó xảy ra các quá trình ngẫu nhiên. Nh vậy hàm tơng quan chính là số đo định lợng mối liên kết giữa các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau. Giá trị của hàm tơng quan chỉ phụ thuộc vào việc lựa chọn giá trị của . Nếu giá trị của hàm ngẫu nhiên f(t) thay đổi nhanh để cho giá trị của nó ở thời điểm t + tức là f(t+ ) không phụ thuộc vào giá trị của f(t) thì: K( ) = <f(t).f(t+ )> = <f(t)><f(t+ )> (1.2) * Khi đủ lớn thì K( ) . * Khi = 0 thì K( ) = <f 2 (t)>. nghĩa là K( ) bằng trung bình của bình phơng giá trị hàm ngẫu nhiên ở thời điểm t khi = 0. Dạng cụ thể của hàm tơng quan phụ thuộc vào bản chất của quá trình ngẫu nhiên. Khai triển hàm ngẫu nhiên f(t) dới dạng tích phân Fourier: 5 ωωω dtiftf )exp()()( ∫ +∞ ∞− = (1.3-a) Ta cã phÐp biÕn ®æi Fourier ngîc cña (1.3-a) lµ: ∫ +∞ ∞− −= dttitff )exp()( 2 1 )( ω π ω (1.3-b) Khi ®ã ta cã: ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− = '()(')( 2 ωωωω ωω ffeeddtf titi = ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− + )'()(' )'( ωωωω ωω ffedd ti (1.4) VËy ta cã: [ ] ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +−= ')'()()''(exp 4 1 )'()( 2 dtdttftfttiff ωω π ωω (1.5) §Æt t = t + ’ τ , víi τ tuú ý th× ta cã: [ ] ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +++−= )()()(.)'(exp 4 1 )'()( 2 ττωω π ωω tdtdtftftiff [ ] [ ] ∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− −+−= τττω π ωω π dkidtti )('exp 2 1 .)'(exp 2 1 = )'()( ωω ff ∫ +∞ ∞− +− τωωδττω π dki )'()()'exp( 2 1 (1.6) ThÕ (1.6) vµo (1.4) ta cã: = )( 2 tf ∫∫∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− +−+ τωωδττω π ωωωω dkiidd )'()()'exp( 2 1 )](exp[' ∫∫ ∫ +∞ ∞− +∞ ∞− +∞ ∞− −++= τττωωωωωδωω π dkiddi )()'exp(')'()](exp[ 2 1 6 + + = ddki )()exp( 2 1 (1.7) Ta có thể biểu diễn hàm <f 2 (t)> dới dạng: + = dItf )()( 2 (1.8-a) ở đây I( ) gọi là cờng độ phổ của quá trình với các tính chất: + I( ) > 0 + I( ) = I(- ) Khi đó (1.8-a) đợc viết lại: = 0 2 )()( dItf (1.8-b) So sánh (1.8) với (1.7) ta có + = dkiI )()exp( 2 1 )( hay + = 0 )()exp( 1 )( dkiI (1.9) Sử dụmg phép chuyển ảnh Laplace ta có: + = 0 )()exp( 2 1 .2)( dkiI (1.9) tích phân trong (1.9) là ảnh Laplace của hàm tơng quan K( ) và nó đợc xác định trong nửa mặt phẳng phức z i . Nghĩa là ảnh Laplace bằng: iz zKI = = )(Re2 1 )( Nh vậy nếu biết đợc hàm tơng quan thì ta có thể xác định đợc cờng độ phổ của quá trình theo (1.9). 3. Hàm tơng quan cổ điện cho điện trờng. Một thí nghiệm cổ điển biểu diễn tính kết hợp bậc nhất của ánh sáng là thí nghiệm Young với hai khe hẹp P 1 và P 2 ở trên màn chắn sáng M 1 . Trờng 7 tại điểm P trên màn M 2 là sự chồng chất tuyến tính của trờng do P 1 và P 2 gửi đến. E(r,t) = k 1 E(r 1 ,t-t 1 )+k 2 E(r 2 ,t-t 2 ) (1.10) Với c r t i i = là thời gian truyền ánh sáng từ P i tới P. k i là hệ số phụ thuộc vị trí ta xét. Cờng độ sáng tại P: I(r,t) = | E(r,t) | 2 = E * (r,t).E(r,t) = {k * 1 E * (r 1 ,t-t 1 ) + k * 2 E * (r 2 ,t-t 2 )}.{k 1 E(r 1 ,t-t 1 ) + k 2 E(r 2 ,t-t 2 )} = |k 1 | 2 I(r 1 ,t-t 1 ) + |k 2 | 2 (r 2 ,t-t 2 ) + +k * 1 k 2 E * (r 1 ,t-t 1 )E(r 2 ,t-t 2 ) + k 1 k * 2 E(r 1 ,t-t 1 )E * (r 2 ,t-t 2 ) Hay ta có: I(r,t) = |k 1 | 2 I(r 1 ,t-t 1 ) + |k 2 | 2 I(r 2 ,t-t 2 ) + 2.Re{k * 1 k 2 E * (r 1 ,t-t 1 )E(r 2 ,t-t 2 )} (1.11) Lấy trung bình của cờng độ và kí hiệu <I(r,t)> ta có: <I(r,t)> = |k 1 | 2 I(r 1 ,t-t 1 ) + |k 2 | 2 I(r 2 ,t-t 2 ) +2Re{k * 1 k 2 <E * (r 1 ,t-t 1 )E(r 2 ,t-t 2 )>} (1.12) Kí hiệu: G (1) (r 1 ,r 2 ;=t-t 1 ,t-t 2 ) = <E * (r 1 ,t-t 1 )E(r 2 ,t-t 2 )> (1.13) Khi đó biểu thức (1.13) là biểu thức hàm tơng quan cổ điển của điện trờng. Xét hàm tơng quan bậc nhất: G (1) (r 1 ,r 2 ;t 1 ,t 2 ) = <E * (r 1 ,t 1 )E(r 2 ,t 2 )> (1.14) Khi đó (1.12) đợc viết lại: <I(r,t)> = |k 1 | 2 G (1) (r 1 ,r 1 ;t-t 1 ,t-t 1 ) + |k 2 | 2 G (1) (r 2 ,r 2 ;t-t 2 ,t-t 2 ) + 2Re[k * 1 k 2 G (1) (r 1 ,r 2 ;t-t 1 ,t-t 2 )] (1.15) vì = t 2 -t 1 nên ta có thể viết: G (1) (r 1 ,r 2 ;t-t 1 ,t-t 2 ) = G (1) (r 1 ,r 2 ; ) 8 Theo định nghĩa (1.1-a) ta có: += 2 2 21 * 21 )1( ),(),( 1 );,( T T T dtrEtrE T LimrrG (1.16) và biểu thức (1.15) đợc viết lại: <I(r,t)> = |k 1 | 2 G (1) (r 1 ,r 2 ;0 )+ |k 2 | 2 G (1) (r 1 ,r 2 ;0 ) + +2Re[k * 1 k 2 G (1) (r 1 ,r 2 ; )] (1.17) Số hạng thứ nhất và thứ hai trong (1.17) là cờng độ trung bình tại P do hai nguồn P 1 và P 2 gửi đến tơng ứng. Số hạng thứ 3 có đợc là do kết quả giao thoa của hai sóng từ P 1 và P 2 tới P. Đa vào ký hiệu cờng độ trung bình của môi trờng là: <I (i) (r)> = |k i | 2 G (1) (r i ,r i ;0 ); i=1,2. (1.18) Khi đó phơng trình (1.17) trở thành: <I(r,t)> = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> + +2Re{[k 1 k 1 * G (1) (r 1 ,r 1 ;0)] 1/2 [k 2 k 2 * G (1) (r 2 ,r 2 ;0)] 1/2 . . )0;,().0;,( );,( 22 )1( 11 )1( 21 )1( rrGrrG rrG } Ta định nghĩa biểu thức hàm chuẩn hoá bậc nhất: )0;,().0;,( );,( );,( 22 )1( 11 )1( 21 )1( 21 )1( rrGrrG rrG rrg = (1.19) khi đó: <I(r,t)> = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> 9 + 2[<I (1) (r)> <I (2) (r)>] 1/2 Re[g (1) (r 1 ,r 2 ; )] (1.20) Từ các công thức (1.16) và (1.19) ta có: g (1) (r 1 ,r 2 ; ) =| g (1) (r 1 ,r 2 ; )| exp[i (r 1 ,r 2 ; )-i ] ở đây hiệu số pha (r 1 ,r 2 ; ) = arg[g (1) (r 1 ,r 2 ; )]+ 0 , (arg argumen là hiệu số pha) Khi đó: <I(r,t)> = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> + +2[<I (1) (r)><I (2) (r)>] 1/2 |g (1) (r 1 ,r 2 ; )|cos[ (r 1 ,r 2 ; )- 0 ] (1.21) (vì Re[e iu ] = Re[cosu+isinu] = cosu ) Đối với sóng ánh sáng khi vị trí r thay đổi thì các đại lợng <I (1) (r)>,<I (2) (r)>, |g (1) (r 1 ,r 2 ; )| và (r 1 ,r 2 ; ) thay đổi rất chậm. Còn 0 = 0 c rr 21 lại biến đổi rất nhanh. Điều đó dẫn đến cos[ (r 1 ,r 2 ; )- 0 ] biến đổi nhanh. Do đó mà giá trị trung bình của cờng độ sáng thay đổi theo vị trí quan sát. Để làm rõ ý nghĩa của g (1) (r 1 ,r 2 ; ) ta khảo sát cờng độ sáng trên màn theo vị trí. Độ sáng trên màn thể hiện độ rõ nét của vân giao thoa. + Vân sáng ứng với cos[ (r 1 ,r 2 ; )- 0 ] = 1. Khi đó: <I(r,t)> max = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> + + 2[<I (1) (r)> <I (2) (r)>] 1/2 .|g (1) (r 1 ,r 2 ; )| (a) + Vân tối ứng với cos[ (r 1 ,r 2 ; )- 0 ] = -1. Khi đó: <I(r,t)> min = <I (1) (r)> + <I (2) (r)> - - 2[<I (1) (r)> <I (2) (r)>] 1/2 .|g (1) (r 1 ,r 2 ; )| (b) Độ sáng đợc định nghĩa: 10