Nguyên tử hai mức và phương trình bloch quang học

Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học - Trờng Đại Học vinh - Khoa Vật Lý Đề Tài : Nguyên tử hai mức và Phơng trình Bloch quang học Khoá luận tốt nghiệp đại học Chuyên Ngành : vật lý lý thuyết Giáo viên hớng dẫn : T.S. Vũ ngọc Sáu Sinh viên thực hiện : Lê Thị Hờng Lớp : 41E 1 Lý Vinh, tháng 05 năm 2005 Lê Thị Hờng Trang 1 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học Lời Cảm ơn Trớc tiên, em xin tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới Tiến sĩ Vũ Ngọc Sáu - Thầy đã hớng dẫn và giúp đỡ em từ những b- ớc đi đầu tiên trong lĩnh vực nghiên cứu khoa học của mình. Qua đây, em xin đợc bày tỏ sự biết ơn đến Ban chủ nhiệm khoa, Hội đồng khoa học khoa và các Thầy, cô giáo trong chuyên ngành Vật lý lý thuyết khoa đã giúp đỡ, góp ý chân tình để em hoàn thành khoá luận. Cuối cùng, xin cảm ơn gia đình, ngời thân, bạn bè đã động viên khích lệ em trong suốt quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu. Do điều kiện và thời gian nghiên cứu còn nhiều hạn chế, nên luận văn sẽ không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong đợc sự góp ý chân thành của các thầy cô giáo cùng các bạn sinh viên. Một lần nữa em xin chân thành cảm ơn! Vinh, tháng 5 năm 2005 Sinh viên Lê Thị Hờng Lê Thị Hờng Trang 2 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học TT Mục lục Trang Mở đầu 4 Chơng 1 : Lý thuyết cổ điển về những hiện tợng cộng hởng quang học 6 1.1 Mở đầu 6 1.2 Lý thuyết Lorentz 6 1.3 Hình dạng và độ rộng vạch phổ 12 1.4 Sự lan truyền sóng điện từ 14 Chơng 2 : Phơng trình Bloch trong quang học lợng tử 17 2.1 Mở đầu 17 2.2 Nguyên tử thực và nguyên tử hai mức 18 2.3 Lý thuyết bán cổ điển về tơng tác giữa bức xạ với hệ nguyên tử hai mức 22 2.4 Phép gần đúng sóng quay. Phơng trình Bloch trong quang học lợng tử 29 2.5 So sánh tơng tác lỡng cực cổ điển và bán cổ điển 35 Chơng 3 : Những ứng dụng của phơng trình Bloch quang học 37 3.1 Mở đầu 37 3.2 Xung 37 3.3 Bài toán Rabi 40 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 46 - Mở đầu - Sự phát triển của Quang học lợng tử chủ yếu quan tâm đến sự tiến bộ của các kỹ thuật thí nghiệm. Có thể khẳng định rằng trong bất kỳ một lĩnh vực nào của Vật lý, việc hiểu rõ bản chất vật lý của nó đều có liên quan chặt chẽ với Lê Thị Hờng Trang 3 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học những kiến thức và những ứng dụng kỹ thuật của quang học hiện đại. Một mặt chúng ta ngày càng có những nguồn sáng Laser hoàn thiện hơn, đặc biệt là Laser màu hiệu chỉnh đợc. Mặt khác sự phát triển của điện tử cho phép ta theo dõi đợc các quá trình cực nhanh. Quang học lợng tử có nhiều ứng dụng trong thực tế. Một trong những ứng dụng quan trọng là trong viễn thông ( các ống dẫn quang ) và Tin học ( Những những linh kiện quang học của bộ nhớ và những hệ logic quang học ) Ngoài ra lý thuyết Quang lợng tử có ý nghĩa quan trọng trong việc mở rộng những cơ sở hiểu biết của chúng ta đối với những hiện tợng của thế giới vi mô. Chính vì lý do đó mà ngành khoa học này đã có một sự phát triển vợt bậc trong thời gian khoảng vài chục năm lại đây. Bài toán cơ sở và quan trọng vào bậc nhất của các nghiên cứu quang học là xem xét tơng tác của hệ nguyên tử với trờng ngoài hay bài toán về các nguyên tử hai mức. Khi bớc vào nghiên cứu các hiện tợng xảy ra khi tơng tác giữa Laser với hệ nguyên tử, phơng trình Bloch quang học ra đời đã giải thích đợc nhiều vấn đề đặt ra trong bài toán tơng tác giữa trờng và hệ nguyên tử. Phơng trình Bloch là một trong những phơng pháp tiếp cận hiện các các nghiên cứu về Laser trong vài thập kỷ nay và hiện đang đóng góp phần lớn trong việc hoàn thiện lý thuyết về các hệ Laser. Với mục đích đó, chúng tôi đã chọn đề tài : " Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học " Khi nghiên cứu tác động cộng hởng của Laser với hệ nguyên tử, đòi hỏi phải thành lập đợc các phơng trình mô tả sự tiến triển của các biến số động lực đặc trng cho hệ, từ đó giải quyết các bài toán, các vấn đề đặt ra theo yêu cầu thực tế. Mặt khác để giải đợc các phơng trình đó bằng phơng pháp giải tích thì cần phải giới hạn lại trong phạm vi hẹp và đơn giản hơn, vì vậy việc xây dựng Lê Thị Hờng Trang 4 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học phơng trình Bloch đã sử dụng nhiều phép gần đúng khác nhau. Một trong những phép gần đúng đó là : Nguyên tử hai mức. Những phơng trình động lực học cơ bản suy ra từ phơng trình Schrodinger xác định quá trình tiến hoá của các biến số mô tả nguyên tử hai mức là hoàn toàn giống nh các phơng trình đối với Spin. Do vậy phơng trình mô tả sự tiến hoá theo thời gian của các thành phần vectơ giả Spin đợc gọi là phơng trình Bloch quang học. Để làm sáng tỏ vấn đề, việc xây dựng phơng trình Bloch quang học theo tiến trình phát triển lịch sử của vật lý học là yêu cầu cần thiết, đó chính là bố cục của luận văn. Hy vọng đề tài này giúp sinh viên khoa Vật lý hiểu sâu hơn vấn đề, tiếp cận dễ dàng hơn với các nghiên cứu đang đợc quan tâm hiện nay liên quan với thăng giáng và ảnh hởng của thăng giáng trong trờng tơng tác của Laser với hệ nguyên tử hai mức, ứng dụng của phơng trình Bloch khi có mặt các thăng giáng ngẫu nhiên. Bố cục của luận văn gồm các phần : Mở đầu, ba chơng chính, kết luận và tài liệu tham khảo. Chơng 1 : Những tính chất đặc trng của cộng hởng quang học trong lý thuyết tán sắc cổ điển. Chơng 2 : Trình bày lý thuyết bức xạ cổ điển ứng dụng đối với những nguyên tử hai mức. Chơng 3 : ứng dụng phơng trình quang học Bloch nghiên cứu bài toán trong trờng dừng. Chơng 1 Lý thuyết cổ điển về những hiện tợng cộng hởng quang học 1.1. Mở đầu : Lê Thị Hờng Trang 5 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học Lý thuyết cổ điển tơng tác ánh sáng với môi trờng là thành quả nghiên cứu của Lorentz. Chính ông đã phát triển ý tởng rằng các hiện tợng quang học gây ra bởi chuyển động của điện tích cơ bản và lỡng cực trong điện trờng, từ tr- ờng của sóng ánh sáng. Hiện nay quan điểm này đợc coi là hiển nhiên và là điểm xuất phát của nhiều vấn đề trong quang học hiện đại, các tính chất quang học của điện môi. Chúng tôi giả thiết rằng ngời đọc đã hiểu gần nh hoàn toàn dao động của điện tử nên chúng tôi giới thiệu lý thuyết lorentz với hai lý do: Thứ nhất cần có biểu diễn cổ điển để so sánh với biểu diễn lợng tử. Thứ hai, đa ra các biểu diễn cơ bản, các phép gần đúng cộng hởng và các hiện tợng vật lý để nghiên cứu tiếp trong quang học lợng tử. 1.2. Lý thuyết Lorentz : Theo Lorentz có thể giải thích phần lớn những hiện tợng quang học trên cơ sở xem xét tơng tác giữa các điện tích với điện từ trờng. Trong nguyên tử trung hoà, các điện tích dao động xung quanh vị trí cân bằng với những biên độ rất nhỏ. Nói cách khác cặp điện tử ion tạo thành dao động tử điều hoà. Khi tơng tác trờng điện từ sẽ thay đổi mô men lỡng cực của nó, chuyển động của nhiều cặp nh vậy trong chất khí hoặc trong điện môi xác định bởi hàm Hamiltonien: H = m2 1 ( ) ( ) + a a aaaaa rtErermp , 2222 (1.1) Trong đó : P a và r a là xung lợng và bán kính của lỡng cực tử a với tần số dao động tự nhiên a ; E( t, r a ) là cờng độ điện trờng ở thời điểm t và tại toạ độ r a của nguyên tử. Lỡng cực tử nguyên tử dao động thoả mãn một phơng trình chuyển động đơn giản. Dạng của nó đợc mô tả nhờ tích phân Poisson với giả thiết rằng từng thành phần của vị trí r a chỉ liên hiệp với thành phần tơng tự của trờng. Có nghĩa là chúng ta chỉ quan tâm đến bài toán vô hớng ( đăt x a và E là cặp thành phần liên kết ). Lê Thị Hờng Trang 6 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học { } Hqq aa , . = và { } Hpp aa , . = (1.2) Hay những phơng trình Hamilton: a a q H p = . ; a a p H q = . (1.3) Dẫn đến kết quả đã biết : ( ) aaaa rtE m e XX , 2 =+ (1.4) Thành phần bên phải của (1.4) là thành phần của lực Lorentz cho điện tích không tơng đối tính. Trong giới hạn tơng đối tính số hạng ( c e )v a x B không nhỏ và phải đợc lu ý trong phơng trình (1.4). Có thể bỏ qua từ lực này trong giới hạn không tơng đối tính. Một trong những tính chất cơ bản của lỡng cực tử dao động là nó phát xạ năng lợng điện từ. Ngay cả khi không có mặt của điện tích và dòng gây ra trờng E tại vị trí r a thì vẫn tồn tại bức xạ riêng của lỡng cực. Theo Điện động lực hoc cổ điển, lúc đó ta có dao động tắt dần. Sự giảm dần biên độ và năng lợng của lỡng cực bức xạ gây ra do tơng tác với trờng điện từ đợc tạo ra bởi chính nó qua mômen lỡng cực và đợc dẫn ra không trực tiếp trong phơng trình chuyển động của dao động tử. 0 2 =+ aaa XX (1.5) Để đơn giản và mô tả chuyển động của dao động tử ta thêm vào số hạng tỷ lệ với X. 0 2 . 0 2 =++ aaaa XXX (1.6) Đây là bài toán một chiều, ta có thể tìm lời giải của (1.6) ở dạng: t eX = (1.7) (1.6) đợc viết lại: Lê Thị Hờng Trang 7 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học 0 2 2 0 2 = ++ t a e (1.8) Cho nghiệm: 2 2 0 0 2,1 11 a = (1.9) Thờng đối với hệ nguyên tử đợc mô tả nh một dao động tử, dao động sẽ rất mạnh trớc khi hệ tắt dần ( a 10 -5 Hz), 0 10 -7 s, do vậy ta giả thiết: a << 0 1 Hay a i = 0 2,1 1 Tức là 0 t eX (1.10) 0 0 2 2 2 1 t t e eX == Từ (1.10) ta suy ra hằng số 0 thêm vào (1.6) có ý nghĩa nh là một thời gian sống. Năng lợng tỷ lệ với bình phơng của biên độ dao động nên tắt dần với thời gian 0 2 Để đơn giản ta xét trờng hợp trờng điện từ là trờng đơn sắc lan truyền theo một chiều. E = (e i t + c.c ) (1.11) ở đó : là biên độ trờng không phụ thuộc thời gian c.c là ký hiệu liên hợp phức của số hạng thứ nhất. Ta chia x a ra thành hai thành phần, một thành phần đồng pha và một thành phần lệch pha 2 đối với trờng E. X a (t) = x 0 (u a cost - v a sint ) (1.12) Lê Thị Hờng Trang 8 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học Trong đó : x a là biên độ không đổi theo thời gian của một mômen nào đó. Đại lợng u a , v a thay đổi vì tần số tự nhiên a không trùng với tần số trờng . Song u a , v a sẽ thay đổi rất chậm theo thời gian khi hiệu số ( - a ) là nhỏ. Một vấn đề quan tâm là trờng ngoài có tần số gần bằng tần số riêng của một trong các lỡng cực, đây là bài toán Rabi cổ điển. Khi a ; u, v biến thiên chậm so với cost và sint. Nhờ đó ta giả thiết các bất đẳng thức sau là đúng: aa uu << . ; aa uu 2 << (1.13) aa vv << . ; aa vv 2 << Thay (1.12) vào (1.6) và dùng (1.13), ta có: X a = x 0 ( u a cost - v a sint ) . a X = x 0 ( . a u cost u a sint - . a v sint v a cost ) a X = x 0 ( a u cost . a u sint - . a u sint - u a 2 cost - a v sint - . a v cost - . a v cost + v a 2 sint ) Thay vào: E m e XXX aaaa =++ 2 . 0 2 (1.14) Ta có : x 0 ( a u cost . a u sint - . a u sint - u a 2 cost - a v sint - . a v cost Lê Thị Hờng Trang 9 Khoá luận tốt nghiệp : Nguyên tử hai mức và phơng trình Bloch quang học - . a v cost + v a 2 sint ) + 0 2 x 0 ( . a u cost u a sint - . a v sint v a cost ) + 2 a x 0 (u a cost - v a sint) = t m e cos2 0 X { ++ aaaaaaaa uvuvvuut 2 0 . 0 2 2 22 cos + + + aaaaaaa vvvvvutSin 2 00 2 . 22 2 } = 2 t m e cos * 0 2 0 . 0 2 2 2 22 mx e uvuvvuu aaaaaaa =++ Do aa uu 2 << ; aa vv << . nên : 22 22 0 2 00 2 mx e uvuvu aaaaa =++ . 2 a v = ( ) 2 22 00 . 0 22 mx e vuu aaa a + ( ) 00 . 0 22 . 11 2 1 xm e vuuv aaaaa += * 0 22 2 2 00 2 . =+ aaaaaaa vvvvvu Do aa vv 2 << nên bỏ qua a v ( ) . 00 22 . 22 2 aaaaa vuvu = ( ) . 00 22 . 11 2 1 aaaaa vuvu = Vậy ( ) ( ) += = . 000 22 . . 00 22 . 11 2 1 11 2 1 aaaaa aaaaa u mx e vuv vuvu (1.15) Lê Thị Hờng Trang 10