Phương trình bloch trong quang học lượng tử

Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 5 Trờng đại học vinh Khoa vật lý ------ o0o ------ Phơng trình bloch trong quang học lợng tử Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết Giáo viên hớng dẫn: TS. Vũ Ngọc Sáu Sinh viên thực hiện: Nguyễn thị Kim Thu Lớp: 40B Vật lý Vinh, tháng 05 năm2003 Nguyễn Thị Kim Thu Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 6 Mở đầu Nghiên cứu các quá trình hồi phục xảy ra trong cộng hởng từ hạt nhân. Năm 1946 Bloch đã đa ra hệ phơng trình mô tả chuyển động của các thành phần vectơ mô men từ hoá gọi là phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ. Một cách tơng tự hình thức khi bớc vào nghiên cứu các hiện tợng xảy ra khi tơng tác giữa laser với hệ nguyên tử, phơng trình quang học Bloch ra đời, kiến giải đợc nhiều vấn đề đặt ra trong bài toán tơng tác giữa trờng và hệ nguyên tử. Phơng trình quang học Bloch là một trong những phơng pháp tiếp cận hiện đại các nghiên cứu về laser trong vài thập kỷ nay và hiện đang đóng góp một cách thuyết phục trong việc hoàn thiện lý thuyết về các hệ laser. Tuy nhiên trong chơng trình đa vào giảng dạy cho sinh viên năm thứ ba khoa vật lý các trờng Đại học S phạm, trờng Đại học Tổng hợp, khối lợng kiến thức về vấn đề này không nhiều. Vì điều kiện thời gian và chơng trình, sinh viên chỉ đợc giới thiệu những nét cơ bản mà không có kiến thức cơ sở để đi sâu tìm hiểu. Từ những lý do trên cùng với sự yêu thích môn quang học lợng tử, tôi chọn đề tài: Phơng trình Bloch trong quang học lợng tử Về phơng diện lý thuyết, khi nghiên cứu tác động cộng hởng của laser với hệ nguyên tử, đòi hỏi phải thành lập đợc các phơng trình mô tả sự tiến triển của các biến số động lực đặc trng cho hệ, từ đó giải quyết các bài toán, các vấn đề đặt ra theo yêu cầu thực tế. Mặt khác để giải quyết đợc các phơng trình đó một cách toán học thì cần phải giới hạn lại trong phạm vi hẹp và đơn giản hơn, vì vậy việc xây dựng Phơng trình quang học Bloch đã sử dụng nhiều phép gần đúng khác nhau. Một trong những phép gần đúng đó là: giả thiết nguyên tử khảo sát chỉ có hai mức năng lợng tham gia vào qúa trình tơng tác. Về mặt hình thức luận, hoàn toàn có thể áp dụng mô hình cộng hởng spin cho cộng hởng quang bằng cách xem hệ nguyên tử hai mức nh là vectơ giả spin có các thành phần là các biến số nguyên tử, từ đó khảo sát sự biến đổi các thành phần này giống nh các thành phần của mô men từ trong cộng hởng thuận từ. Để làm sáng tỏ vấn đề, việc xây dựng phơng trình quang học Bloch theo tiến trình phát triển lịch sử của vật lý học là yêu cầu cần thiết, đó cũng chính là Nguyễn Thị Kim Thu Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 7 bố cục của luận văn. Hy vọng rằng, đề tài này giúp sinh viên khoa vật lý hiểu sâu vấn đề, tiếp cận dễ dàng hơn với các nghiên cứu đang đợc quan tâm hiện nay liên quan tới thăng giáng và ảnh hởng của thăng giáng trong trờng tơng tác của laser với hệ nguyên tử hai mức, các ứng dụng của phơng trình quang học Bloch khi có mặt các thăng giáng ngẫu nhiên. Bằng những kiến thức thu nhận từ bài giảng, dới sự hớng dẫn trực tiếp của thầy giáo TS. Vũ Ngọc Sáu, bằng cách thu thập tài liệu tiếng Việt, tiếng Nga có liên quan, sau một thời gian làm việc nghiêm túc, tôi đã hoàn thành luận văn tốt nghiệp. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn có nội dung nh sau: - Chơng 1: Trình bày phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ làm cơ sở tiếp cận phơng trình Bloch trong quang học lợng tử. Giới thiệu lý thuyết Lorenzt về tơng tác giữa ánh sáng với vật chất theo quan điểm cổ điển. - Chơng 2: Trình bày đầy đủ và chặt chẽ trên cả hai phơng diện toán học và vật lý về phơng trình quang học Bloch làm cơ sở cho những nghiên cứu tiếp theo ở cấp độ cao hơn. - Chơng 3: Nghiên cứu bài toán trong trờng hợp trờng dừng. Để hoàn thành luận văn này, ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản thân, yêu cầu về thời gian và năng lực là cần thiết. Bớc đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi kính mong nhận đợc ý kiến đóng góp của các thầy cô giáo, các anh chị và các bạn sinh viên để luận văn đợc đầy đủ, trọn vẹn hơn. Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo TS. Vũ Ngọc Sáu, TS. Hồ Quang Quý và các thầy cô giáo trong khoa Vật lý trờng Đại học Vinh đã giúp đỡ tôi rất nhiều về phơng pháp nghiên cứu, h- ớng dẫn, giới thiệu và cung cấp những tài liệu quý giá. Vinh, tháng 5 năm 2003. Ngời thực hiện Nguyễn Thị Kim Thu Nguyễn Thị Kim Thu Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 8 Mục lục Trang Mở đầu 3 Chơng 1 1.1 1.2 Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ Tơng tác của ánh sáng với vật chất theo quan điểm cổ điển 5 5 13 Chơng 2 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 Phơng trình Bloch trong quang học lợng tử Cơ sở lý thuyết Nguyên tử thực và nguyên tử hai mức Lý thuyết bán cổ điển về tơng tác bức xạ với nguyên tử hai mức Phép gần đúng sóng quay. Phơng trình Bloch trong quang học lợng tử So sánh tơng tác lỡng cực cổ điển và bán cổ điển 18 18 19 22 26 31 Chơng 3 3.1 3.2 3.3 3.4 Một số hiệu ứng trong trờng dừng Cơ sở lý thuyết Xung Bài toán và lời giải Rabi Hằng số hiện tợng luận của qúa trình tắt dần. Bài toán và lời giải Torrey 33 33 33 36 38 Kết luận 44 Tài liệu tham khảo 46 Nguyễn Thị Kim Thu Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 9 Chơng 1 Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ 1.1. Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ 1.1.1 Cơ sở lý thuyết về vật liệu từ Chúng ta đã biết: Mọi chất đặt trong từ trờng sẽ bị từ hóa, chúng trở nên có từ tính và sinh ra một từ trờng phụ hay còn gọi là từ trờng riêng 'H . Từ trờng tổng hợp trong chất bị từ hóa là: 'HHH 0 += . Trong đó: 0 H là cờng độ của từ trờng ban đầu. Theo tính chất và mức độ từ hóa, ngời ta phân chia thành ba loại vật liệu từ chính sau đây: - Nghịch từ: Là những chất khi bị từ hóa sẽ sinh ra từ trờng phụ 'H ngợc chiều so với từ trờng ban đầu, do đó 0 HH . - Thuận từ: Là những chất khi bị từ hóa sẽ sinh ra từ trờng phụ 'H cùng chiều so với từ trờng ban đầu, do đó 0 HH . - Sắt từ: Từ trờng phụ 'H do sắt từ sinh ra cùng hớng với từ trờng ban đầu. Tuy nhiên cần chú ý: Do mức độ từ hóa yếu hơn nên từ trờng phụ của chất thuận từ và nghịch từ rất nhỏ so với từ trờng ban đầu. Ngợc lại, với chất sắt từ, từ trờng phụ có thể lớn hơn từ trờng ban đầu hàng chục ngàn lần. Để đặc trng cho mức độ từ hóa của vật liệu từ, ngời ta đa ra đại lợng vật lý là vectơ từ hóa, tức là tổng số mô men từ trong một đơn vị thể tích của mẫu. Các mô men từ này tơng tác với nhau và với môi trờng xung quanh nó. Vì vậy tồn tại hai loại tơng tác: - Tơng tác spin spin: Tơng tác giữa các mô men từ với nhau. - Tơng tác spin mạng: Tơng tác giữa mô men từ với mạng tinh thể. Nguyễn Thị Kim Thu Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 10 Vì mọi chất khi đặt trong từ trờng đều bị từ hóa nên hiện tợng này phải liên quan đến tính chất từ của nguyên tử cấu tạo nên chất đó. 1.1.2. Nguyên tử đặt trong từ trờng ngoài Các chất đều đợc cấu tạo nên từ các nguyên tử hay phân tử, mỗi nguyên tử gồm: hạt nhân mang điện tích dơng, các electron chuyển động xung quanh. Theo vật lý cổ điển thì các electron này chuyển động trên những qũy đạo khép kín xác định, tơng đơng một dòng điện kín. Dòng điện này cũng sinh ra từ trờng và chịu tác dụng lực từ của từ trờng ngoài. Xét một nguyên tử cô lập khi cha đặt trong từ trờng ngoài: Theo quan điểm cổ điển electron trong nguyên tử chuyển động trên qũy đạo tròn bán kính r, tâm qũy đạo trùng với hạt nhân nguyên tử, và v theo thứ tự là vận tốc và tần số quay của electron trên qũy đạo. Ta có: r2 v = (1.1) Dòng điện có cờng độ bằng điện lợng chuyển qua một điểm nào đó trên qũy đạo trong thời gian một giây: r2 eveI == (1.2) Dòng điện này tạo ra từ trờng giống nh trờng hợp một nam châm nhỏ, do đó có thể gán cho mỗi electron quay tròn một mô men lỡng cực từ à , còn gọi là mô men từ obital của electron: S. c I =à (1.3) trong đó: à có phơng vuông góc với mặt phẳng qũy đạo, chiều tuân theo quy tắc cái đinh ốc 2. S là vectơ diện tích của dòng điện ( 2 rS = ). Ngoài ra, mỗi electron chuyển động quanh hạt nhân còn có một mô men động lợng l , còn gọi là mô men động lợng orbital của electron: ì= mrl (1.4) trong đó: l có phơng vuông góc với mặt phẳng qũy đạo, chiều xác định sao cho lr ,, theo thứ tự đó lập thành một tam diện thuận (Hình 1.1). Về độ lớn: Nguyễn Thị Kim Thu i l e v à + - Hình 1.1: Mô men từ qũy đạo của electron trong nguyên tử Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 11 = .m.rl (1.5) Tỷ số: mc2 e l = à = gọi là tỷ số từ cơ. Xét trờng hợp nguyên tử chỉ có một electron. Khi nguyên tử đặt trong từ trờng ngoài có cờng độ từ trờng 0 H , trong phạm vi của nguyên tử, từ trờng này có thể xem là đều. Gọi là góc hợp bởi vectơ cờng độ từ trờng 0 H và mặt phẳng qũy đạo của electron. Mô men lực tác dụng lên electron: )H( c 1 M 0 à= (1.6) M có phơng vuông góc với mặt phẳng hợp bởi à và 0 H . Chiều xác định sao cho à , 0 H , M theo thứ tự đó hợp thành một tam diện thuận. Về độ lớn: à = sinH c M 0 (1.7) Chuyển động của electron trên qũy đạo tơng tự con quay có trục đối xứng trùng với phơng của mô men động lợng orbital. Dới tác dụng của mô men lực M , electron sẽ tham gia thêm chuyển động phụ gọi là chuyển động tuế sai xung quanh trục oz đi qua tâm qũy đạo và song song với phơng của từ trờng ngoài, à và l vẽ nên mặt nón tròn xoay có trục trùng với 0 H vẽ qua tâm qũy đạo, chiều quay ngợc với chiều chuyển động của electron. Sau thời gian dt mô men động lợng biến thiên một lợng ld : )Hl( mc2 e dt ld M 0 == (1.8) Độ biến thiên ld của l vuông góc với l và 0 H , dẫn đến chuyển động tuế sai của l đối với hớng của 0 H . Chuyển động tuế sai làm mặt phẳng chứa vectơ l quay một góc d == sinl ld 'N'ONd (1.9) Vậy vận tốc góc của chuyển động tuế sai. mc2 eH dt d 0 0 = = (1.10) Nguyễn Thị Kim Thu Hình1.2: Nguyên tử đặt trong từ trường ngoài H 0 Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 12 Từ kết quả thu đợc, nhận thấy rằng vận tốc góc của chuyển động tuế sai không phụ thuộc vào góc , bán kính qũy đạo và vận tốc của electron trên qũy đạo. Vì vậy có thể áp dụng (1.10) đợc cho mọi electron trong nguyên tử. Viết phơng trình đối với chuyển động của vectơ mô men từ à . Giả sử hệ gồm các điện tích giống nhau có mô men từ à xác định. Nếu khi không có trờng ngoài vectơ mô men l không đổi đối với các trục đứng yên thì theo định lý Larmor: trong từ trờng vectơ đó sẽ không đổi đối với trục quay theo chiều ngợc lại với vận tốc góc bằng mc2 eH 0 . Ta có định luật bảo toàn đợc viết lại: [ ] 0l dt ld =+ (1.11) thay mc2 eH 0 = vào (1.11) ta đợc: [ ] [ ] 00 HlH mc2 e dt ld à== Hay: [ ] [ ] 00 HH mc2 e dt d à=à= à (1.12) Nh vậy mô men từ bảo toàn trị số tuyệt đối của nó và quay xung quanh từ trờng dới một góc không đổi. 1.1.3. Chất thuận từ trong từ trờng ngoài. Phơng trình Bloch trong cộng hởng thuận từ. Cộng hởng thuận từ là tập hợp những hiện tợng liên quan đến phép chuyển lợng tử xảy ra đối với hệ vĩ mô thuận từ dới ảnh hởng của từ trờng biến thiên có tần số cộng hởng. Nh chúng ta đã biết, chất thuận từ khi bị từ hóa sẽ sinh ra từ trờng phụ h- ớng ngợc chiều với từ trờng ngoài. Tính chất này thể hiện ở một số chất ví dụ: K, Na, Nitơ Oxit, Pt, Khi cha có từ trờng ngoài, mô men từ nguyên tử của chất thuận từ khác không. Do dao động nhiệt, các mô men từ nguyên tử sắp xếp hoàn toàn hỗn loạn. Hình chiếu của một mô men từ nguyên tử lên phơng của từ trờng: à=à cos 0 H trong đó: ( ) 0 H, à= . Do tính chất hoàn toàn hỗn loạn về hớng của à nên giá trị Nguyễn Thị Kim Thu Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 13 trung bình của cos bằng không. Vì vậy tổng mô men từ của cả mẫu thuận từ bằng không. Khi đặt khối thuận từ trong từ trờng ngoài có vectơ cờng độ từ trờng 0 H . Theo trên, vectơ mô men từ nguyên tử sẽ thực hiện chuyển động tuế sai xung quanh phơng của trờng ngoài với góc nghiêng không thay đổi. Nhng điều này chỉ đúng với một nguyên tử cô lập. Trong mẫu thuận từ do tơng tác giữa nguyên tử hay phân tử, góc nghiêng giảm dần, do đó các mô men từ nguyên tử có khuynh hớng sắp xếp theo hớng của từ trờng ngoài. Thêm vào đó, chuyển động nhiệt lại có khuynh hớng làm chúng sắp xếp hỗn loạn. Dới hai tác động đó, các mô men từ nguyên tử sắp xếp có trật tự hơn. Vì vậy cos khác không. Vậy tổng số mô men từ nguyên tử của khối thuận từ khác không. Khối thuận từ đã bị từ hoá. Nếu từ trờng ngoài càng mạnh, số mô men từ sắp xếp theo phơng trờng ngoài càng nhiều, độ lớn của à càng lớn. Sự sắp xếp này dẫn đến sự thiết lập cân bằng mới, tuy nhiên nó không xảy ra tức thời mà phải sau một thời gian nào đó phụ thuộc bản chất của mẫu thuận từ. Quá trình này gọi là quá trình hồi phục và tơng ứng thời gian xảy ra quá trình đó gọi là thời gian hồi phục. Thời gian hồi phục của các thành phần mô men từ nằm song song và vuông góc với phơng của trờng ngoài theo thứ tự đó gọi là thời gian hồi phục dọc T 1 và thời gian hồi phục ngang T 2 . T 1 liên quan đến tơng tác spin mạng, T 2 liên quan đến tơng tác spin spin. Việc thiết lập cân bằng của các thành phần vectơ từ hoá dọc theo phơng oz kéo theo sự trao đổi năng lợng giữa các mô men từ và mạng, còn các thành phần vectơ từ hóa theo phơng x, y chỉ dẫn đến sự thay đổi về pha. Vì sự thay đổi năng lợng luôn kéo theo sự thay đổi về pha nên T 1 T 2 . Năm 1946 Bloch đã đa ra phơng trình mô tả chuyển động của vectơ từ hóa dọc theo phơng từ trờng trong các mẫu thuận từ. Theo Bloch: 1 z0z Tdt d àà = à (1.13) trong đó 0 à là giá trị cân bằng mới mà z à tiến đến sau quá trình định xứ lại trong từ trờng. Nguyễn Thị Kim Thu Phơng trình bloch trong quang học lợng tử 14 (1.13) là phơng trình vi phân không thuần nhất. 1 0 1 zz TTdt d à = à + à (1.14) Ta giải phơng trình thuần nhất: =à= à 1 z 1 z T t expAdt T 1 dt d Nghiệm riêng của (1.14) là: à=à 1 0 * z T 1 exp1 Vậy nghiệm tổng quát của (1.14) là: + à=à+à=à 11 0 * zzTQ T t expA T 1 exp1 Với điều kiện ban đầu 0t zz = à=à thay vào ta có: z A à= . Vậy: à+ à=à 1 z 1 0ZTQ T t exp T 1 exp1 (1.15) (1.15) chứng tỏ Bloch đã giả thiết rằng sự thay đổi của thànhphần vectơ từ hóa dọc theo phơng của từ trờng diễn ra theo quy luật hàm mũ. Trong từ trờng không đổi, sự từ hoá thiết lập dọc theo phơng của từ trờng . Vì vậy theo phơng x,y thì 0 à không tồn tại. 2 yy 2 xx Tdt d Tdt d à = à à = à (1.16) Nghiệm của (1.16) tơng ứng là: à=à à=à 2 0 yy 2 0 xx T t exp T t exp (1.17) 0 x à , 0 y à là giá trị của x à , y à khi t = 0. Ta thấy x à , y à phụ thuộc thời gian theo cùng quy luật vì đối với chúng hai hớng x, y là tơng đơng nhau. Tóm lại, tơng tác spin spin và tơng tác spin mạng dẫn đến sự thiết lập cân bằng mới của mô men từ trong hệ, đợc đặc trng bởi thời gian hồi phục dọc T 1 và thời gian hồi phục ngang T 2 . Nếu bỏ qua tơng tác spin spin và tơng tác spin mạng, chỉ tính đến Nguyễn Thị Kim Thu