Lượng tử hoá trường điện từ và các ứng dụng trong quang học lượng tử

Khóa luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Để hoàn thành bản luận văn này, cùng với sự nổ lực phấn đấu của bản thân, đó là sự hớng dẫn tận tình và quý báu của thầy giáo hớng dẫn: TS. Vũ Ngọc Sáu cùng với các thầy cô giáo trong Khoa Vật Lí. Nhân dịp này cho phép em gửi lời chúc, lời cảm ơn chân thành nhất của em tới quý thầy cô. Em xin chân thành cảm ơn ! Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 1 Khóa luận tốt nghiệp Mở đầu Một trong những thành tựu khoa học vĩ đại của loài ngời ra đời vào thập niên 60 của thế kỷ XX đó là phát minh ra máy phát lợng tử quang học - Laser. Cơ sở của máy phát Laser là dựa trên cấu trúc bức xạ và hấp thụ năng lợng của hệ nguyên tử tuân theo các quy luật lợng tử. Trong quá trình hoàn thiện và nâng cao công suất phát cho Laser cùng với những ứng dụng ngày càng phong phú của công nghệ Laser đã thôi thúc các nhà Vật lí phát triển nhanh, hoàn chỉnh lý thuyết Vật lí trong lĩnh vực quang học hiện đại và đã hình thành một lý thuyết khá đẹp và mĩ mãn về các quá trình động lực học của ánh sáng trong quang học lợng tử (Quantum Optics). Bài toán cơ bản đầu tiên của cơ học lợng tử là khảo sát sự tơng tác giữa tr- ờng điện từ (Bức xạ) với môi trờng nguyên tử (các hạt). Và đã đa ra các kết quả phù hợp tốt với các hiệu ứng quan sát đợc thông qua các thực nghiệm. Tuy nhiên việc quan sát bức xạ và các hạt là các thành phần trong bài toán tơng tác nói trên theo quan điểm nào sẽ đa đến lời giải với những cấp độ chính xác khác nhau. Và cho đến nay vẫn còn là một vấn đề thú vị trong các nghiên cứu Vật lí. Bởi vậy chúng tôi đã chọn hớng nghiên cứu là: Khảo sát sự lợng tử hóa trờng điện từ và những vấn đề liên quan đến quá trình lợng tử hóa. Ngoài ra trong luận văn này tôi còn đề cập đến các trạng thái lợng tử của trờng, (chủ yếu là trờng ánh sáng). Cụ thể là trình bày trạng thái có số hạt xác định và trạng thái kết hợp. Đây là những trạng thái cơ bản nhất của trờng điện từ. Phụ thuộc vào việc xét trờng ở trạng thái nào mà chúng ta có thể xác định đợc đặc trng của tơng tác của trờng ứng với các trạng thái đó của hệ lợng tử. Nội dung cụ thể của luận văn gồm các chơng sau đây: Chơng 1: Trình bày về sự lợng tử hóa trờng điện từ, để lợng tử hóa trờng điện từ chúng ta xuất phát từ bài toán dao động tử điều hòa cổ điển, vì trờng điện từ đã đợc thừa nhận nh tập hợp vô hạn các dao động tử điều hòa. Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 2 Khóa luận tốt nghiệp Chơng 2: Trình bày các trạng thái lợng tử của trờng, đó là trạng thái có số hạt xác định (trạng thái Fock) và các trạng thái kết hợp. Từ đó chỉ ra một số tính chất của trờng điện từ thông qua các đại lợng trung bình của trờng. Chơng 3: ở chơng này tôi trình bày một số bài toán ứng dụng nhằm chứng minh những tính chất cơ bản của các trạng thái chân không, trạng thái có số hạt xác định, trạng thái kết hợp. Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 3 Khóa luận tốt nghiệp Mục lục Mở đầu Chơng 1: Lợng tử hóa trờng điện từ 1.1. Đặt vấn đề 5 1.2. Dao động tử điều hòa 7 1.3. Sự lợng tử hóa trờng điện từ 14 1.3.1. Lợng tử hóa trờng đơn mốt 14 1.3.2. Lợng tử hóa trờng đa mốt 19 1.4. ý nghĩa .22 Chơng 2: Phơng pháp mô tả trạng thái lợng tử của trờng điện từ. 2.1. Trạng thái Fock (trạng thái có số hạt xác định) .23 2.2. Trạng thái kết hợp .27 2.3. Kết luận chơng 33 Chơng 3: Một số bài toán ứng dụng trong quang học lợng tử . 3.1. Bài toán 1 .34 3.2. Bài toán 2 .34 3.3. Bài toán 3 36 3.4. Bài toán 4 .37 3.5. Bài toán 5 .37 3.6. Bài toán 6 .38 3.7. Bài toán 7 39 3.8. Bài toán 8 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 4 Khóa luận tốt nghiệp Chơng 1 Lợng tử hóa trờng điện từ 1.1. Đặt vấn đề Theo quan điểm cổ điển trờng điện từ có thể xem là một không gian Vật lí trong đó tồn tại các lực điện và lực từ. Tại mỗi điểm của trờng đợc đặc trng bởi bốn Vectơ E ; D ; H ; B là các hàm của tọa độ và thời gian. Tuy vậy nó không biến thiên một cách tùy ý mà tuân theo những quy luật nhất định. Những quy luật là những định luật điện từ và đợc mô tả bằng các phơng trình Macxoen. Phân tích các hiện tợng điện từ trên cơ sở của lý thuyết cổ điển dẫn tới việc giải các phơng trình Macxoen trong miền cho trớc, với nguồn và điều kiện biên cho trứơc. Ba đại lợng: độ dẫn điện, độ điện thẫm và độ từ thẫm là các đại lợng đặc trng cho vật chất trong miền đã cho. Khi phân tích, vật chất tự nhiên cấu tạo từ tập hợp các hạt vi mô lại đợc thay bằng một môi trờng liên tục có các tham số đã biết à ,, . Hầu hết các trờng hợp đều không chú ý đến tính gián đoạn của nguồn trờng mà trong thực tế các nguồn này là tập hợp các điện tử chuyển động hay các hạt vi mô tích điện khác chuyển động. Nh vậy thuyết trờng cổ điển thực chất chỉ dựa trên các đặc trng vĩ mô nghĩa là các đại lợng đều đợc lấy trung bình theo thể tích bé. Nhng vẫn lớn hơn kích thớc của nguyên tử, phân tử. Vì vậy, thuyết trờng cổ điển chỉ có ý nghĩa vĩ mô. Từ nghiệm của các phơng trình Macxoen ta suy ra rằng trờng điện từ có đặc tính sóng, nghĩa là nó có thể lan truyền dới dạng sóng điện từ và có khả năng giao thoa, nhiễu xạ . Trong thực tế có một số quá trình điện từ, nếu chỉ dựa vào các khái niệm cổ điển thì không thể giải thích đợc. Đó là một loạt các hiện tợng quan sát thấy khi cho trờng tác dụng với vật chất. Ví dụ: Hiện tợng tán xạ, hiện tợng quang điện, hiện tợng cộng hởng của sóng điện từ trong vật chất và các quá trình bức xạ tự phát Khi phân tích tơng tác Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 5 Khóa luận tốt nghiệp của trờng điện từ với vật chất, muốn hiểu rõ bản chất Vật lí của hiện tợng cần phải chú ý đến cấu trúc vi mô của vật chất nghĩa là phải đặt chất ở dạng tập hợp các hạt nhỏ bé(phân tử, nguyên tử, điện tử .) và khảo sát tơng tác của trờng với chúng. Và nh chúng ta đã biết, đặc tính của các hạt trong vật chất đợc xác định bằng các quy luật cơ bản của cơ học lợng tử. Các quy luật lợng tử đó không những đặc trng tính chất của hạt mà còn đặc trng hạt đặc trng bằng các quy luật lợng tử. Hay trờng điện từ đợc lợng tử hóa trong đó phôton là các "lợng tử" của trờng. Vào năm 1900, nhà Vật lí nổi tiếng MacPlanck(ngời Đức) đã đa ra giả thuyết: Một dao động tử điều hòa có tần số góc riêng là , chỉ có thể có những giá trị năng lợng gián đoạn.Và ông giả thuyết thêm rằng: mỗi một "lợng tử" bức xạ mang trong mình một năng lợng W= với h=6,6256.10 -34 Js = 2 h : tần số Bằng lí thuyết, Planck đã xây dựng đợc định luật về phân bố năng lợng trong phổ bức xạ của vật đen tuyệt đối ở mọi dãi tần số. Định luật này phù hợp với thực nghiệm. Sau đó vào năm 1905, khi nghiên cứu các hiện tợng quang điện.Trên cơ sở những ý tởng của Planck, Anhxtanh đã phát triển thêm luận điểm của Planck với giả thuyết rằng trờng điện từ cũng bao hàm các phần riêng biệt là các "lợng tử". Anhxtanh đã xác nhận rằng mỗi lợng tử ánh sáng ngoài năng lợng xác định còn có xung lợng . p = k. trong đó k là vectơ sóng Các hiện tợng bức xạ nhiệt của vật và hiệu ứng quang điện thuộc các hiện t- ợng mà Vật lí cổ điển không giải thích đợc. Tuy nhiên, các hiện tợng này có thể giải thích đợc dựa trên cơ sở của các khái niệm mới. Từ đó dẫn tới việc xây dựng một lý thuyết mới cho các hiện tợng lợng tử làm cơ sở ban đầu cho việc hình thành cơ học lơng tử. Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 6 Khóa luận tốt nghiệp 1.2. Dao động tử điều hòa Dao động tử điều hòa đợc dùng để mô tả hầu hết các hệ, ở đó hệ thực hiện những dao động nhỏ xung quanh vị trí cân bằng bền. Trong nhiều hiệu ứng nh hiệu ứng quang điện, hiệu ứng Compton ta phải thừa nhận tính hạt của bức xạ và một cách tự nhiên ta thừa nhận trờng điện từ tự do là một tập hợp vô hạn các dao dộng tử điều hòa. Về mặt toán học phải xây dựng một bức tranh về các hạt trờng và để làm điều đó ta thực hiện các bớc lợng tử hóa trờng điện từ và bắt đầu từ bài toán dao động tử điều hòa. Xét chuyển động của hạt có khối lợng m gắn với một lò xo, dao động đàn hồi quanh vị trí cân bằng Giả sử hạt dao động dới tác dụng của một lực F = -f.q Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng m 0 q q 7 Khóa luận tốt nghiệp (f: là hằng số đóng vai trò là lực đàn hồi). Từ định luật II NiuTơn ta có: -fq = m. q .0 2 2 =+ m fq q d d t Đặt 2 = m f . q + 2 .q = 0 (1.1) Là phơng trình chuyển động cổ điển Nghiệm của phơng trình (1) có dạng: q = A.sin( t + ) d W = 2 1 m.v 2 = 2 . 2 1 qm = 2 1 m.A 2 . 2 .cos 2 ( t + ) W t =- q dqF 0 . = 2 1 .f.q 2 = 2 1 m. 2 .A 2 .Sin 2 ( t + ) W = W d + W t = 2 1 m. 2 .A 2 (1.2) Trong cơ học lợng tử ta có: p = m. dt dq dt dq = m p td WWH += =- 2 2 . 2 dq d m + 2 2 1 qf = 2 2 2 1 2 qf m p + ( Với f = m. 2 ) Ta có: )( . +== tSinAfqf q H dt pd dt dq m q H . == q H dt pd = (1.3) Mặt khác : dt qd v m p p H === p H dt qd = (1.4) Biểu thức Hamintonian đợc viết lại Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 8 Khóa luận tốt nghiệp H = m p 2 2 + 22 2 1 qm (1.5) Thay xung lợng p bằng toán tử q ip = Ta dễ dàng có: [ ] qp ; =-i Trong trờng hợp nhiều chiều [ ] ii qp ; =-i ij Đặt dq d ip = vào (1.5) ta có Hamintonian cho dao động tử điều hòa ( ) ( ) qWqq m dq d m 2 . 2 2 2 2 2 = + (1.6) Để khảo sát (6) ta đa vào biến không thứ nguyên 22 . q m q m m q === (1.7) )(.)( = = m q (1.8) Từ (1.6); (1.7) và (1.8) phơng trình Schrodinger có dạng )(.)(. 2 2 2 2 W d d = + (1.9) ( ) ( ) . 2 W d d d d = + + (1.10) ( ) ( ) 2 2 2 2 W d d d d d d = ++ ( ) ( ) . 2 2 2 2 W d d d d d d = + ( ) ( ) ( ) . 2 . 2 2 2 2 W d d d d d d = + (1.11 ) Sử dụng hệ thức giao hoán 1 = d d d d Ta có : ( ) ( ) 22 = d d d d (1.12) Biểu thức trong ngoặc cuả (1.10) là các toán tử. Chúng ta biểu diễn nó dới dạng Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 9 Khóa luận tốt nghiệp + = + b d d 2 1 ; b d d 2 1 = + Phơng trình (1.11) và vế trái của (1.10) khác nhau bởi số hạng (1.12) Khi đó thực hiện phép chuyển dịch năng lợng: 2 1 ' = WW Ta viết lại phơng trình Schrodinger nh sau: ' Wbb = + (1.13) Đối với các toán tử bb ; + chúng ta có + + + += ++ d d d d d d d d bbbb . 2 1 . 2 1 . 2 1 . 2 1 ++ ++= d d d d d d d d d d d d 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 == += ++++= d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d d Vậy [ ] 1 ; == +++ bbbbbb (1.14) Chứng minh rằng nhờ các toán tử bb ; + và hệ thức giao hoán (1.14) mà ta xác định đợc các trạng thái của dao động tử điều hòa. Chúng ta hãy bắt đầu từ giả thuyết năng lợng dao động tử W luôn luôn dơng và có một giá trị cực tiểu nào đó. Kí hiệu trạng thái có năng lợng thấp nhất W 0 là 0 . Từ (1.13) ta có: 0 ' 00 Wbb = + ( ) 0 ' 00 bWbbb = + Sử dụng (1.14) bbbb 1 ++ += ( ) ( ) ( ) . W 1 0 ' 00 0 ' 000 0 ' 00 bbbb bWbbbb bWbbb = =+ =+ + + + Sinh viên: Trịnh Thị Việt Hồng 10