Định lí kiểu nevanlinna cartan p adic và các ứng dụng

bộ giáo dục và đào tạo tr ờng đại học vinh Nguyễn Quốc Hải Định lý kiểu nevanlinna cartan p-adic và các ứng dụng. Chuyên ngành: Đại số & Lý thuyết số Mã số: 1. 01. 03. luận văn thạc sĩ toán học Ngời hớng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thành Quang Vinh 2002 Các khái niệm cơ bản Mục lục Trang Mở đầu 3 Bảng tra cứu các ký hiệu 5 Chơng 1 Một số kiến thức cơ bản 6 1.1 Trờng các số p-adic 6 1.2 Chuỗi luỹ thừa 6 1.3 Hàm phân hình p-adic 7 1.4 Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic 8 1.5 Độ cao của hàm phân hình p-adic 8 1.6 Độ cao của ánh xạ chỉnh hình trong không gian xạ ảnh 9 1.7 Hàm đếm của hàm nguyên p-adic 10 1.8 Hàm đếm mức k của hàm nguyên p-adic 10 1.9 Hàm đếm của hàm phân hình p-adic 10 1.10 Đa tạp đại số xạ ảnh trong không gian xạ ảnh 11 1.11 Wronskian và tính chất 12 Chơng 2 Định lý kiểu Nevanlinna Cartan p-adic 13 2.1 Các ký hiệu 13 2.2 Định lý Nevanlinna Cartan p-adic 13 2.3 Định lý kiểu Nevanlinna Cartan p-adic 13 2.4 Hệ quả 18 2.5 Định lý 19 2.6 Hệ quả 20 2.7 Định lý 21 Chơng 3 Tính suy biến của đờng cong chỉnh hình p-adic 22 3.1 Tính suy biến của đờng cong chỉnh hình trên biến dạng của siêu mặt Fermat 22 3.2 Tính suy biến của đờng cong chỉnh hình rẽ nhánh bậc đủ lớn, trên tập hợp các siêu phẳng 26 Kết luận của luận văn 30 Tài liệu tham khảo 31 Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 2 Các khái niệm cơ bản mở đầu Lý thuyết Nevanlinna đợc đánh giá nh là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc của toán học thế kỷ XX. Năm 1933, H. Cartan đã mở rộng lý thuyết Nevanlinna cho trờng hợp đờng cong chỉnh hình. Vì vậy, lý thuyết Nevanlinna đối với các đờng cong chỉnh hình đợc mang tên hai nhà toán học, đó là lý thuyết Nevanlinna Cartan. Theo hớng nghiên cứu này nhiều kết quả trong giải tích hàm, đại số và lý thuyết số đã đợc phát minh gắn với tên tuổi nhiều nhà toán học nh Ph.Griffiths, H.Weyl, P.Vojta, G.Faltings, . Năm 1995, Hà Huy Khoái và Mai Văn T đã diễn đạt và chứng minh định lý Nevanlinna Cartan p-adic (xem [5]). Định lý này có ý nghĩa trong việc thiết lập mối quan hệ giữa hàm độ cao của đờng cong chỉnh hình và hàm đếm các không điểm, đặc biệt nó là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu tính hyperbolic Brody của các siêu mặt trong không gian xạ ảnh p-adic. Năm 1997, Nguyễn Thành Quang đã ứng dụng lý thuyết Nevanlinna Cartan vào việc nghiên cứu tính suy biến của các đờng cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh cũng nh các không gian hyperbolic Brody trong cả hai trờng hợp phức và p-adic. Cùng với kết quả trên, chúng tôi đa ra một đánh giá khác về hàm độ cao và hàm đếm tơng tự nh định lý Nevanlinna Cartan p-adic với đề tài nghiên cứu Định lý kiểu Nevanlinna Cartan p-adic và các ứng dụng . Luận văn này nhằm góp thêm vào sự hiểu biết của lý thuyết Nevanlinna. Mục tiêu của luận văn là đa ra và chứng minh một định lý kiểu Nevanlinna Cartan p-adic bằng việc dựa vào kỹ thuật Wronskian. Sau đó tìm các ứng dụng của định lý này vào việc xét tính suy biến của đờng cong chỉnh hình p- adic. Luận văn đợc chia làm ba chơng, cùng với phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Ch ơng 1. Trình bày các khái niệm cơ bản: Trờng số p-adic, chuỗi luỹ thừa, hàm nguyên, hàm phân hình p-adic, hàm độ cao, hàm đếm, đa tạp đại số trong không gian xạ ảnh, Wronskian, . Các bổ đề, định lý, hệ quả cần thiết cho việc nghiên cứu, chứng minh trong luận văn. Ch ơng 2. Trình bày định lý kiểu Nevanlinna Cartan p-adic và tiến trình chứng minh. Đây là phần chính của luận văn. Ch ơng 3. Nêu lên các ứng dụng của định lý kiểu Nevanlinna Cartan p- adic trong việc nghiên cứu tính suy biến của đờng cong chỉnh hình trong không gian xạ ảnh p-adic. Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 3 Các khái niệm cơ bản Các kết quả chính của luận văn đã đợc công bố trong bài báo: Nguyễn Thành Quang Nguyễn Quốc Hải Phan Đức Tuấn (2002), Một tơng tự của định lý Nevanlinna - Cartan p-adic, Tạp chí Khoa học Đại học Huế, (The Hue Univesity Journal of reseach), 10/2002 (xem [3]). Nội dung của luận văn đã đóng góp cụ thể vào đề tài nghiên cứu khoa học cấp Bộ: Tính suy biến của đờng cong chỉnh hình và tính hyperbolic p-adic do TS. Nguyễn Thành Quang chủ trì, tại ĐH Vinh, 2002. Các kết quả của luận văn, kèm với các chứng minh chi tiết đã đợc tác giả báo cáo tại Seminar lý thuyết Nevanlinna Cartan, Tổ Đại số Khoa Toán, Đạo học Vinh. Luận văn đợc thực hiện dới sự hớng dẫn của TS. Nguyễn Thành Quang. Nhân dịp này, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lời cám ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Quang đã dành nhiều thời gian, công sức chỉ bảo các vấn đề và tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn tới GS. TSKH. Hà Huy Khoái, GS. TS. Nguyễn Quốc Thi, PGS. TS. Nguyễn Quý Dy, PGS. TS. Ngô Sỹ Tùng, TS. Lê Quốc Hán, TS. Mai Văn T và các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học và Trờng Đại học Vinh đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ chúng tôi trong quá trình học tập và làm luận văn. Tác giả xin gửi lời cám ơn đến Sở GD-ĐT tỉnh Hà Tĩnh, Phòng GD-ĐT huyện Đức Thọ cơ quan chủ quản của tác giả, anh Phan Đức Tuấn và các bạn bè đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tác giả trong học tập và nghiên cứu. Vinh, ngày 10/ 11/ 2002. Tác giả Nguyễn Quốc Hải Bảng tra cứu các ký hiệu Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 4 Các khái niệm cơ bản Ký hiệu Tên gọi Trang 9 p Vành các số nguyên p-adic 6 p Trờng các thơng của 9 p 6 p Trờng các số p-adic 6 Ord a Bậc của tại a 7 h(f, t) Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic f 8 h(, t) Độ cao của hàm phân hình p-adic 8 O(1) Đại lợng giới nội 8 Không gian xạ ảnh n- chiều trên p 9 N(f, t), N k (f, t) Hàm đếm, hàm đếm mức k 9 p [x 0 , x 1 , . , x n ] Vành đa thức trên trờng số p-adic p 11 W(f) Wronskian của hàm f 12 H j Siêu phẳng 13 F j (z) = 0 Phơng trình của siêu phẳng. 13 = q j j fF 1 Tích các hàm 14 # Số phần tử của tập hợp 19 0 121 =+++ + d n dd zzz Phơng trình siêu mặt Fermat 22 h { } q HHH , .,, 21 = Họ các siêu phẳng 26 Chơng 1 Một số kiến thức cơ sở Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 5 I P n ( p ) Các khái niệm cơ bản 1.1. Trờng các số p-adic. Cho p là số nguyên tố cố định. 9 p là vành các số nguyên p-adic, p là trờng các thơng của 9 p . Giá trị tuyệt đối trong p đợc chuẩn hoá sao cho p = p -1 . Ký hiệu p là bổ sung đầy đủ của bao đóng đại số của p . Trờng p đợc gọi là tr- ờng các số p-adic. Với mỗi r 3, ta đặt: { = zaD r )( p : z - a < r } { = zaD r )( p : z - a r } = r D { = zD r )0( p : z < r } = r D { = zD r )0( p : z r } = = 0 0 )( z nếu z ếulog- p nz z p 1.1.Chuỗi luỹ thừa p-adic. 1.2.1. Định nghĩa. Chuỗi luỹ thừa p-adic là chuỗi hàm có dạng: = 0n n n za = a 0 + a 1 z + a 2 z 2 + + a n z n + ( a i p ). 1.2.2. Hàm nguyên p-adic. Một chuỗi luỹ thừa hội tụ trên p đợc gọi là hàm chỉnh hình trên p hay hàm nguyên p-adic. Ký hiệu: f(z) = = 0n n n za . 1.2.3. Định lý (xem [1]). Chuỗi luỹ thừa = 0n n n za hội tụ trên p khi và chỉ khi 0lim = p n n n za , hay .log,)( ztntav n ==+ 1.2.4. Định nghĩa. Điểm a p đợc gọi là không điểm của hàm nguyên f nếu tại đó hàm này bằng không, nghĩa là a là nghiệm của phơng trình f(z) = 0. 1.2.5. Định lý Picard p-adic (xem [1]). Nếu hàm nguyên p-adic f không có không điểm trên p thì f là hằng số. 1.3. Hàm phân hình p-adic . 1.3.1. Định nghĩa. Hàm (z) = )( )( zg zf với f(z), g(z) là các hàm nguyên p- adic không có không điểm chung đợc gọi là hàm phân hình p-adic. Giả sử a p , (z) là hàm phân hình p-adic, ta luôn viết đợc: )( )( )()( 1 1 ag af azz k = , trong đó f 1 (z), g 1 (z) là các hàm nguyên p- adic, không nhận a làm không điểm, k 9. Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 6 Các khái niệm cơ bản 1.3.2. Định nghĩa. Ta gọi số nguyên k xác định nh trên là bậc của tại a, ký hiệu là Ord a . Ta có các kết quả sau: 1.3.3. Mệnh đề. 1 , 2 là các hàm phân hình p-adic trên p , a p . Khi đó: i) Ord a ( 1 2 ) = Ord a 1 + Ord a 2 . 2i) Ord a 1 1 = Ord a 1 . 3i) Ord a 2 1 = Ord a 1 Ord a 2 . 1.3.4. Mệnh đề. là hàm phân hình p-adic , a p . Khi đó: Ord a )k( k . Chứng minh. Giả sử (z) = (z a) m )( )( zg zf , trong đó f(z), g(z) không nhận a làm không điểm. Ta có: [ ] [ ] 2 // 1/ )( )()()()()()()( )()( zg zgzfazzgzfazzfm azz m + = . Vì Ord a (g(z)) = 0 và Ord a [(m f(z) + (z a) f / (z) g(z) - (z a) f(z) g / (z)] 0 , nên Ord a [ / (z)] m 1. Do đó: 1)1( / / == mmOrdOrdOrd aaa . Suy ra: 1 / a Ord . Vì vậy: = = )1( )( / ///)( k k a k a OrdOrd kOrdOrdOrd )k( )k( a / // a / a +++= 1 . 1.3.5. Mệnh đề. f, g là các hàm phân hình p-adic, a p . Khi đó: Ord a (f +g) min { } gOrdfOrd aa , . Chứng minh. Giả sử f(z) = (z a) m )( )( 2 1 zf zf , g(z) = (z a) n )( )( 2 1 zg zg , trong đó f 1 (z), f 2 (z), g 1 (z), g 2 (z) không nhận a làm không điểm. Đặt k = min{ m, n}, ta có: )()( )()()()()()( )()()( 22 1221 zgzf zgzfazzgzfaz azzgzf knkm k + =+ . Do f 2 (z), g 2 (z) không nhận a làm không điểm nên: Ord a (f +g) k = min { } gOrdfOrd aa , . Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 7 Các khái niệm cơ bản 1.4. Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic. Giả sử f(z) là hàm chỉnh hình p-adic thì f(z) = = 0n n n za (a n p ) là chuỗi hội tụ. Do đó, tồn tại n để ntav n + )( đạt giá trị nhỏ nhất. 1.4.1. Định nghĩa. Độ cao của hàm chỉnh hình p-adic f(z) đợc xác định bởi hệ thức: h( f, t) = < n0 min { ntav n + )( }. Ta có các mệnh đề sau đây (xem [2]). 1.4.2. Mệnh đề. Giả sử f(z) và g(z) là các hàm chỉnh hình p-adic. Khi đó: i/ h(f + g, t) min{ h(f, t), h(g, t)}. ii/ h(f g, t) = h(f, t) + h(g, t). 1.4.3. Mệnh đề. Nếu f 1 , f 2 , . , f n là các hàm chỉnh hình p-adic, khác hằng số và f = f 1 f 2 . f n thì: h(f, t) { } + tfh i ni ,(min 1 O(1). 1.5. Độ cao hàm phân hình p-adic. 1.5.1. Định nghĩa. Độ cao của hàm phân hình p-adic (z) = )( )( zg zf đợc xác định bởi hệ thức h( , t) = h(f, t) h(g, t). 1.5.2. Mệnh đề (xem[2]). Giả sử 1 , 2 là các hàm phân hình p-adic trong p . Khi đó: h( 1 2 , t) = h( 1 , t) + h( 2 , t). 1.5.3. Mệnh đề (xem [2]). Nếu (z) = )( )( zg zf là hàm phân hình p-adic trong D r thì: )1(, )( Otkth k + . 1.5.4. Mệnh đề (xem [2]). Giả sử i là các hàm phân hình p-adic trong D r và i = i i g f ( i = 1, 2). Ta có: { } ),(),,(min),( 2121 ththth + . 1.6. Độ cao của ánh xạ chỉnh hình trong không gian . Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 8 I P n ( p ) I P n ( p ) Các khái niệm cơ bản 1.6.1. Định nghĩa. Không gian xạ ảnh p-adic n - chiều trên p là một tập hợp các lớp tơng đơng của những bộ (n + 1) phần tử (a 0 , a 1 , . , a n ) của p , trong đó a i ( i = 0,1, . , n) không đồng thời bằng 0, trên quan hệ tơng đ- ơng: ( a 0 , a 1 , . , a n ) ~ ( ka 0 , ka 1 , . , ka n ) trong đó k p . Một phần tử của đợc gọi là một điểm. Nếu P là một điểm thì bộ (a 0 , a 1 , . , a n ) trong lớp tơng đơng P đợc gọi là toạ độ thuần nhất của điểm P. 1.6.2. Định nghĩa. ánh xạ chỉnh hình p-adic f: p là một lớp tơng đơng các bộ (n + 1) hàm chỉnh hình p-adic ( f 0 , f 1 , . , f n ) không có không điểm chung trên p . Hai bộ (n + 1) hàm chỉnh hình p-adic ( f 0 , f 1 , . , f n ) và ( g 0 , g 1 , . , g n ) là tơng đơng với nhau khi và chỉ khi tồn tại hàm sao cho g i = f i với mọi i = 0, 1, 2, . , n. Khi đó, ta đồng nhất f với một biểu diễn bất kỳ của nó và viết: f = ( f 0 , f 2 , . , f n ) : P z ( f 0 (z), f 1 (z), . , f n (z)) . 1.6.3. Định nghĩa. Độ cao của ánh xạ chỉnh hình p-adic f = (f 0 , f 1 , ., f n ) trong không gian xạ ảnh n chiều là: h(f, t) = ),(min 0 tfh i ni , trong đó ),( tfh i là độ cao của hàm chỉnh hình p-adic f i tại (z) = t. Đặt h + (f i , t) = ),( tfh i , h + (f , t) = ),( tfh . Ta có: h + (f , t) = ni 0 max h + (f i , t). 1.7. Hàm đếm của hàm nguyên p-adic. 1.7.1. Định nghĩa. Giả sử f là hàm nguyên p-adic, biểu thức: N(f, t) = ( ) a ta)( (t 3) đợc gọi là hàm đếm của hàm nguyên p-adic, trong đó tổng trên đợc lấy với mọi không điểm a khác 0 của f (tính cả bội) mà (a) t. 1.7.2. Nhận xét. Hàm N( f, t) là hàm đếm các không điểm của f trong đĩa đóng r D với t = log p r. Thật vậy, ta có: (a) = log p a p , nên: N( f, t) = ( ) = r Da p p a p pp a r ar 0 0 logloglog . Vì các không điểm đợc tính cả bội nên có thể viết: N( f, t) = r Da p pa a r fOrd 0 log. , trong đó Ord a f là bậc của f tại không điểm a. Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 9 I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) Các khái niệm cơ bản 1.8. Hàm đếm mức k của hàm nguyên p-adic. 1.8.1. Định nghĩa. Với mỗi số nguyên dơng k, ký hiệu N k (f, t) là tổng trong Định nghĩa 1.7.1. sao cho mỗi không điểm của f đợc tính cả bội nếu bội của nó nhỏ hơn k và bằng k trong trờng hợp còn lại. Khi đó, N k (f, t) đợc gọi là hàm đếm mức k của hàm nguyên p-adic f. { } { } rfOrdk a r fOrdktfN pap af Da ak r log,minlog,min),( 0)( 0 += = . 1.8.2. Mệnh đề (xem [1]). Giả sử f,g là các hàm nguyên p-adic, k * . Ta có: 1 / N 1 ( f, t) N k ( f, t) k N 1 ( f, t). 2/ N k ( f, t) N( f, t) 3/ N( f + g, t) max { N( f, t), N( g, t)} + O(1), 4/ N( f g, t) = N( f, t) + N( g, t). 5/ N k ( f g, t) N k ( f, t) + N k ( g, t). 6/ Nếu mỗi không điểm của hàm nguyên p-adic f có bội ít nhất là d thì: N( f, t) d N 1 ( f, t). 1.9. Hàm đếm của hàm phân hình p-adic. 1.9.1 Định nghĩa. Hàm đếm của hàm phân hình p-adic (z) = )( )( zg zf đợc định nghĩa bởi: N( , t) = N( f, t) N( g, t). 1.9.2. Mệnh đề (xem [ 5]). Với mỗi hàm phân hình p-adic trên p, ta có: h + ( , t) = N( , t) + O(1), trong đó O(1) là đại lợng giới nội, phụ thuộc vào nhng không phụ thuộc t và h + ( , t) = h( , t). 1.9.3. Mệnh đề (xem [ 5]). 1 , 2 là các hàm phân hình p-adic thì: N( 1 + 2 , t) max { N( 1 , t), N( 2 , t)} ).1(O + 1.10. Đa tạp đại số xạ ảnh trong không gian xạ ảnh . 1.10.1. Định nghĩa. Cho là không gian xạ ảnh p-adic nchiều trên p . A[z 0 , z 1 , . , z n ] là vành các đa thức (n +1) ẩn trên trờng p . Gọi T p [x 0 , x 1 , . , x n ] là tập các đa thức thuần nhất nào đó, ký hiệu Z(T) = { P = (z 0 , z 1 , . , z n ) f(z 0 , z 1 , . , z n ) = 0 }. Một tập con Y của đợc gọi là một tập đại số nếu tồn tại một tập T các đa thức thuần nhất của vành đa thức p [x 0 , x 1 , . , x n ] sao cho ).(TZY = Nguyễn Quốc Hải Luận văn thạc sỹ 10 I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) . thạc sỹ 11 I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) I P n ( p ) Các khái niệm. Wronskian và tính chất 12 Chơng 2 Định lý kiểu Nevanlinna Cartan p- adic 13 2.1 Các ký hiệu 13 2.2 Định lý Nevanlinna Cartan p- adic 13 2.3 Định lý kiểu Nevanlinna