Lí thuyết nevanlinna p adic và các ứng dụng

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP.H CH MINH Lc Vn Ho L THUYT NEVANLINNA pADIC V CC NG DNG LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2009 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP.H CH MINH Lc Vn Ho L THUYT NEVANLINNA pADIC V CC NG DNG Chuyờn ngnh Mó s : i s v Lớ thuyt s : 60 46 05 LUN VN THC S TON HC Ngi hng dn khoa hc PGS.TS M VINH QUANG Thnh ph H Chớ Minh 2009 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP.HCM LC VN HO L THUYT NEVANLINNA p-ADIC V CC NG DNG Chuyờn ngnh : I S v L THUYT SO Mó s : 60 46 05 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC PGS TS M VINH QUANG Thnh ph H Chớ Minh - 2009 LI CM N Li u tiờn tụi xin gi n PGS.TS M Vinh Quang, ngi thy ó tn tỡnh hng dn v giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc v lm lun vn, lũng bit n chõn thnh v sõu sc nht Xin chõn thnh cm n thy Trn Huyờn, thy Bựi Tng Trớ, thy Bựi Xuõn Hi, thy Lờ Hon Hoỏ, thy u Th Cp v tt c cỏc thy cụ khỏc ó trc tip tham gia ging dy, truyn t kin thc cho tụi sut quỏ trỡnh hc Cui cựng tụi xin cm n cỏc anh ch phũng Khoa hc cụng ngh v sau i hc, cỏc ng nghip, bn bố ó ng viờn v to iu kin thun li cho tụi hc sut thi gian qua v hon thnh lun ny TP H Chớ Minh, 08/2009 Lc Vn Ho MC LC Trang ph bỡa Li cm n Mc lc M U Chng MT S VN C BN CA GII TCH p-ADIC 1.1 Chun Archimedean v chun phi Archimedean 1.2 Trng cỏc s p-adic 1.3 Trng cỏc s phc p-adic p v vnh p p Chng HAI NH L C BN CA L THUYT NEVANLINNA p-ADIC 10 2.1 Cỏc hm c trng 10 2.2 Hai nh lớ c bn ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic 15 2.3 Nhn xột v mt s nh lớ m rng 23 Chng NHNG NG DNG CA L THUYT NEVANLINNA p-ADIC 29 3.1 ng dng lớ thuyt Nevanlinna p-adic gii quyt gi thuyt abc cho trng hm p-adic 29 3.2 ng dng lớ thuyt Nevanlinna p-adic gii quyt bi toỏn Waring cho trng hm p-adic 50 KT LUN 61 TI LIU THAM KHO 62 PH LC M U Lớ chn ti Gii tớch p-adic l mt chuyờn ngnh toỏn hc mi ang c phỏt trin v ng dng lnh vc lớ thuyt s hin i, gúp cụng ln vo hai thnh tu ni bt th k 20 ca lớ thuyt s hin i l chng minh c nh lớ ln Fermat (Andrews Wiles, 1994) v chng minh c gi thuyt Taniyama Shimura (1999) L mt ni dung thuc chuyờn ngnh gii tớch p-adic, lớ thuyt Nevanlinna p-adic ó c xõy dng, nghiờn cu v cú nhiu ng dng vic kho sỏt tớnh cht ca cỏc hm nguyờn v hm phõn hỡnh p-adic Vỡ lớ ú, chỳng tụi chn ti : Lớ thuyt Nevanlinna p-adic v cỏc ng dng nhm mc ớch tip cn mt lớ thuyt toỏn hc mi ang phỏt trin Lch s Lớ thuyt Nevanlinna p-adic ln u tiờn c xõy dng bi H Huy Khoỏi, M Vinh Quang v Boutabaa vo nhng thp k cui ca th k trc (xem [2], [5]) v sau ú lớ thuyt Nevanlinna p-adic ó c m rng v tng quỏt bi nhiu tỏc gi khỏc cho trng hp nhiu chiu v cho siờu mt Gi thuyt abc v bi toỏn Waring l hai rt mi ca Lớ thuyt s hin i v hin ang c cỏc nh toỏn hc trờn th gii tỡm tũi hng gii quyt hp cỏc s nguyờn Mt thnh tu ni bt vic nghiờn cu hai trờn hp cỏc s nguyờn l ó gúp phn giỳp chng minh c nh lớ cui cựng ca Fermat mt cỏch y v ton din Trong nhng nm gn õy, nhiu tỏc gi ó ng dng thnh cụng lớ thuyt Nevanlinna p-adic gii quyt cỏc liờn quan n gi thuyt abc v bi toỏn Waring cho cỏc hm nguyờn v hm phõn hỡnh p-adic Mc ớch nghiờn cu ng dng hai nh lớ c bn ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic nghiờn cu gi thuyt abc trng cỏc hm p-adic v tỡm li gii cho bi toỏn Waring trng cỏc hm p-adic Phng phỏp nghiờn cu S dng cỏc phng phỏp c bn ca i s v Lớ thuyt s hin i, c bit l cn c vo hai nh lớ c bn lớ thuyt Nevanlinna p-adic gii quyt cỏc c t í ngha khoa hc thc tin ca ti Lun ó trỡnh by c ni dung ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic, chng minh c cỏc nh lớ gii quyt c gi thuyt abc cho trng cỏc hm p-adic v tỡm li gii cho bi toỏn Waring trng cỏc hm p-adic Cu trỳc lun Lun c phõn b ba chng vi ni dung c th nh sau : Chng Mt s c bn ca gii tớch p-adic Chng ny trỡnh by mt s kin thc chun b cho cỏc chng sau bao gm : chun trờn trng, xõy dng trng s p-adic p v vnh cỏc s nguyờn p-adic p , xõy dng trng cỏc s phc p-adic p Hu ht ni dung cỏc phn chng minh nh lớ chng ny c b qua Cỏc ni dung chng minh chi tit u c trỡnh by cỏc ti liu tham kho c lit kờ cui sỏch 3 Chng Hai nh lớ c bn ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic Chng ny trỡnh by cỏc hm c trng v hai nh lớ c bn ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic Ngoi chỳng tụi cũn cung cp cỏc nh lớ m rng lớ thuyt Nevanlinna p-adic dng chng cui cựng ca lun Chng Nhng ng dng ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic õy l chng chớnh ca lun Trong chng ny, chỳng tụi gii thiu lch s phỏt trin cng nh cỏc kt qu nghiờn cu ó t c i vi gi thuyt abc v bi toỏn Waring hp cỏc s nguyờn, bờn cnh ú ng dng lớ thuyt Nevanlinna p-adic nghiờn cu gi thuyt abc trng cỏc hm p-adic v bi toỏn Waring trng cỏc hm p-adic Chng MT S VN C BN CA GII TCH p-ADIC Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s kin thc chun b cho cỏc chng sau bao gm : chun trờn trng, xõy dng trng s p-adic s nguyờn p-adic p, xõy dng trng cỏc s phc p-adic p p , vnh cỏc Hu ht cỏc chng minh chng ny c b qua v cú th tỡm thy nhng ti liu tham kho 1.1 Chun Archimedean v chun phi Archimedean 1.1.1 Chun trờn trng nh ngha 1.1 Cho F l mt trng, ỏnh x :F c gi l chun (giỏ tr tuyt i) trờn trng F nu tho cỏc iu kin sau : i) x F , x v x x ; ii) x, y F , xy x y ; iii) x, y F , x y x y Nu trng F l mt cỏc trng , , thỡ hm giỏ tr tuyt i thụng thng l chun trờn F nh ngha 1.2 Vi trng F bt kỡ, hm c nh ngha nh sau : : F neỏu x x x neỏu x l mt chun trờn trng F v c gi l chun tm thng Chun trờn F cú cỏc tớnh cht c bn nh sau : i) x F , x x ; ii) vi l n v ca F ; x iii) x F , x 0, x nh lớ 1.3 Nu F l trng hu hn thỡ F cú chun nht l chun tm thng nh ngha 1.4 Cho F l trng v l chun trờn F Khi ú d :FF x, y d x, y yx l mt mờtric trờn F v c gi l mờtric cm sinh bi chun 1.1.2 Chun tng ng nh ngha 1.5 Cho F l mt trng v Chun bi 1 tng ng vi chun v 2 (kớ hiu , l hai chun trờn F ) nu tụpụ cm sinh trựng nh lớ 1.6 (Cỏc iu kin tng ng ca chun) Cho F l mt trng v , i) l hai chun trờn F Cỏc phỏt biu di õy l tng ng ~ ; ii) x F , x x ; iii) x F , x x ; iv) Tn ti c cho x c v) xn l dóy Cauchy i vi x , x F ; xn l dóy Cauchy i vi 1.1.3 Chun phi Archimedean nh ngha 1.7 Chun trờn trng F c gi l chun phi Archimedean nu tho iu kin sau : iii) x, y F , x y max x , y Mt chun khụng phi phi Archimedean c gi l chun Archimedean Vớ d 1.8 Xõy dng mt chun phi Archimedean trờn trng Vi mi m v p l s nguyờn t c nh, m vit c nht di dng m p m1 vi m1 , p , Khi ú c gi l s m ca p m, kớ hiu ord p (m) Vi r * ,r m , ta nh ngha ord p (r ) = ord p (m) ord p (n) n Nu biu din r p m1 vi , (n1 , p ) 1, (m1 , p ) thỡ ord p (r ) n1 Quy c : ord p (0) Ta cú cỏc tớnh cht sau : i) ord p ( rs) ord p (r ) ord p ( s ) ; r , s ii) ord p ( r s) ord p r , ord p s Vi c nh, ta xõy dng chun p : p trờn nh sau : x x x p ord x p x Chun p nh trờn l mt chun phi Archimedean trờn nh lớ 1.9 (Cỏc iu kin tng ng ca chun phi Archimedean) Cho F l mt trng v ng : l chun trờn F Cỏc khng nh sau l tng i) l chun phi-Archimedean ; ii) ; iii) n 1, n ; b chn ( A : n , n A ) iv) Tp cỏc s t nhiờn Nhn xột 1.10 Mt vi tớnh cht c bit ca chun phi Archimedean i) x y max x , y nu x y ii) Mi tam giỏc u l tam giỏc cõn iii) Mi im thuc hỡnh trũn u l tõm ca hỡnh trũn v) B (a, r ) x F / x a r - va úng va m iv) B(a, r ) x F / x a p r - va úng va m p nh lớ 1.11 (nh lớ Ostrowsky) Mi chun khụng tm thng trờn trng s hu t hoc tng ng vi chun vi giỏ tr tuyt i thụng thng 1.2 Trng cỏc s p-adic p trờn v vnh 1.2.1 Xõy dng trng cỏc s p-adic Theo nh lớ Ostrowsky, trờn p p ( p nguyờn t) hoc tng ng p v vnh ch cú hai chun l giỏ tr tuyt i thụng thng v giỏ tr tuyt i phi Archimedean p Mt khỏc, lm y i thụng thng, ta nhn c trng cỏc s thc c trng cỏc s p-adic chi tit hn v cỏch xõy dng p p , lm y (tng t p-adic ca trng s thc p theo giỏ tr tuyt theo p ta ) Ta s mụ t mc ny Kớ hiu S l cỏc dóy Cauchy hu t theo tng ng nh sau : xn yn p xn yn nlim p Trờn S ta xỏc nh mt quan h Ta gi p l hp tt c cỏc lp tng ng theo quan h trờn : S p Trang b cho p x x S n n hai phộp toỏn cng v nhõn nh sau : xn yn xn yn ; xn . yn xn yn p , ,.) Rừ rng ( Chun p Vi xn Rừ rng l mt trng, trng ny gi l trng cỏc s p-adic p c m rng p nh sau : ( xn l dóy Cauchy p ), x = xn thỡ x p lim xn p n l chun phi-Archimedean p Mt phn t x p vi x p p m cú biu din p-adic l : x b m p m b m1 p m1 b0 b1 p bn p n vi m , b m 0, bi 0, p Tp hp p p x p x p cựng vi phộp toỏn cng v phộp toỏn nhõn lp thnh mt vnh c gi l vnh cỏc s nguyờn p-adic 1.2.2 Mt s tớnh cht c bn ca vnh p, p nh lớ 1.12 (Cỏc tớnh cht c bn ca vnh i) ii) iii) p l vnh chớnh, mi ideal ca p l compact i vi chun p p p, p ) cú dng l p m p p (m ) l compact a phng 1.3 Trng cỏc s phc p-adic p Ta ó bit, theo nh lớ Ostrowsky, trờn ch cú hai chun l giỏ tr tuyt i thụng thng v giỏ tr tuyt i phi Archimedean thụng thng, ta c trng Trng s thc p Lm y theo chun khụng úng i s, bao úng i s ca p-adic p l trng s phc Trng s ca trng Vi p p Chun trờn p p p , ta c trng cỏc s c xõy dng nh sau : p thỡ l phn t i s trờn Irr( , theo y nhng khụng úng i s Ta kớ hiu bao úng i p l Lm y p Do ú tn ti mt a thc , x) = x n an1x n1 a1 x a0 (ai p) bt kh quy nhn lm nghim Ta nh ngha p p trờn l mt chun trờn Trng p p p nh sau : x v p p p trờn : x p p n a0 p úng i s nhng nú khụng y theo chun Nu ta tip tc lm y adic, c kớ hiu l p Trng s phc p-adic p p p theo p va xõy dng thỡ s nhn c trng cỏc s phc p- cú cỏc tớnh cht c bn sau : v cú vai trũ tng t nh trng s phc p p úng i s, y gii tớch phc Chng HAI NH L C BN CA L THUYT NEVANLINNA p-ADIC Trong chng ny chỳng tụi trỡnh by mt s hm c trng, hai nh lớ c bn ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic v mt s h qu, nhn xột kốm theo nhm phc v cho chng 2.1 Cỏc hm c trng 2.1.1 Chun trờn trng Kớ hiu z f ( z) p p l vnh cỏc chui lu tha an z n an n hỡnh thc p Vi r , t Ar Nhn xột 2.1 Ar ( Vi f ( z) a z n p) n f ( z) a z n n an n l vnh ca vnh Ar ( thỡ p) p, f p n an p r n z hi t v f l hm gii tớch n p-adic trờn Dr Vi f Ar ( p p) 0, r z p zp r v f , ta t ( r , f ) max an p r n n nh lớ 2.2 r ,. l chun phi Archimedean trờn vnh A r ( i) r , f v ch f ; ii) r , f g r , f r , g ; iii) (r, f + g) max r , f , r , g p) , ngha l Cho D l m p, kớ hiu H D l cỏc hm gii tớch trờn D, M D l trng cỏc thng ca H D nh ngha 2.3 Hm f thuc M D c gi l hm phõn hỡnh trờn D Kớ hiu M ( p) Vi f M ( p) g g , h A h p , h ( ), tn ti g , h A ( p) cho f g h Ta t r, f (r , g ) ( r ) ( r , h) 1 Nhn xột 2.4 r , f r f ( , ) Ta cng cú mt nh lớ tng t nh nh lớ 2.2 nh sau : nh lớ 2.5 Vi r , hm (r,.) l chun phi Archimedean trờn M p , ngha l i) r , f v ch f ; ii) r , f1 f r , f1 r , f ; iii) r , f1 f max r , f1 , r , f nh lớ 2.6 (nh lớ Weierstrass) Cho f Ar a thc g z b0 b1z bv z v tha h c z n n vi h s n i) f z g z h z ; ii) r , g bv r v ; iii) h Ar p ; p z p, p vi r Tn ti cp v v r , f v mt chui lu tho : iv) r , h ; v) r , f g r , f c bit, h khụng cú nghim p p 0, r v f ch cú v nghim 0, r 2.1.2 Cỏc hm c trng Cho f ( z ) a z n n A ( p) (0 , am 0, m 0) v a p Ta nm nh ngha cỏc i lng sau n r, l s cỏc nghim (tớnh c nghim bi) ca f a trờn f a p 0, r ; n r, l s cỏc nghim phõn bit ca f a trờn f a p 0, r Vi r , ta nh ngha cỏc i lng sau n t, r f a N r, dt ; t f a n t, r f a N r, dt t f a Cho f M ( p) v a p , r , tn ti f , f1 Ar ( khụng cú nhõn t chung vnh Ar ( trờn, ta nh ngha cỏc i lng sau p) cho f p) , f1 Vi hm f nh f0 n r , f n r , a f0 n r, ; f a a n r , f af N r , f N r , a f0 N r, ; f a a N r , f af m r , f log r , f max 0,log r , f ; T r, f m r, f N r, f Cỏc hm n v N cng c nh ngha tng t nh trng hp trờn nh lớ 2.7 Cho fi M ( k fi i) N r , i ii) m r , k i iii) T r , k i i 1, 2, , k , vi r , ta cú N r , fi , N r , k i fi max m r , fi , m r , 1ik i k p) fi T r , fi , T r , i k fi k i k i k N r, f ; i i fi fi k m r, f ; i i k T r, f i v T r , f l i mt hm tng theo r Vớ d 2.8 Cho a thc A z k a z j j j 1 k a j k j , t r A max j k ak a p k Nu r r A , ta c ak Ta s tỡm T r , A ak p rk a j r j j k p v ú r , A ak p r k Suy : T r , A m r , A log r , A k log r log ak Cho f , a j M p , j 1, 2, , k vaứ ak Vi a thc A z c xỏc nh nh vớ d 2.8., ta nh ngha : A f z A z, f z nh lớ 2.9 Nu f M k a z f j j j p khỏc hm hng thỡ ta cú : i) N r , A f kN r , f O N r, a j N r, aj j k ii) m r , A f km r , f O iii) T r , A f kT r , f O k m r, a j m r, ak j ; ; T r, a j j k 2.1.3 Cụng thc Jensen Cho f A ( p) v r , ta cú cụng thc Jensen nh sau : N r , log r , f log , f f Cho f M ( p) v r , ỏp dng cụng thc Jensen trng hp ny, ta cú : N r , N r , f log r , f log , f f v cú th biu din li nh sau : T r , T r , f log , f f vi lu ý rng : log r , f log r , f log 1 m r, f m r, r, f f 2.2 Hai nh lớ c bn ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic 2.2.1 nh lớ c bn th nht nh lớ 2.10 Cho f l mt hm phõn hỡnh khỏc hm hng trờn Khi ú, vi mi a p, p 0, vi ta cú : m r, N r, T r , f O r f a f a Chng minh p dng cụng thc Jensen, ta cú : m r, N r, T r, f a f a f a T r , f a log , f a Mt khỏc : T (r , f a) T (r , f ) T (r , a) T r, f m r, a N r, a T r , f log r , a T r , f log a p Chng minh tng t, ta cng cú : T (r , f ) T (r , f a ) log a p T (1), (2) v (3), ta cú c iu phi chng minh 2.2.2 nh lớ c bn th hai Trc vo ni dung chớnh ca nh lớ c bn th hai ca lớ thuyt Nevanlinna p-adic, ta xột b sau : [...]... phi-Archimedean p Một phần tử x trong p với x p  p m có biểu diễn p- adic là : x  b m p  m  b m1 p  m1   b0  b1 p   bn p n  với m  , b m  0, bi  0, p  1 T p h p trong p p   x p  x p  1 cùng với ph p toán cộng và ph p toán nhân l p thành một vành được gọi là vành các số nguyên p- adic 1.2.2 Một số tính chất cơ bản của vành p, p Định lí 1.12 (Các tính chất cơ bản của vành i) ii) iii) p. .. và p  p p trên : x p p  n a0 p đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo chuẩn Nếu ta ti p tục làm đầy đủ adic, được kí hiệu là p  Trường số phức p- adic p p p theo  p vừa xây dựng thì sẽ nhận được trường các số phức p- có các tính chất cơ bản sau : và có vai trò tương tự như trường số phức p p đóng đại số, đầy đủ trong giải tích phức Chương 2 HAI ĐỊNH LÍ CƠ BẢN CỦA LÍ THUYẾT NEVANLINNA p- ADIC Trong... là vành chính, mọi ideal của p là t p compact đối với chuẩn p p p, p ) có dạng là p m p p (m  ) là t p compact địa phương 1.3 Trường các số phức p- adic p Ta đã biết, theo định lí Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimedean thông thường, ta được trường Trường số thực p Làm đầy đủ theo chuẩn không đóng đại số, bao đóng đại số của p- adic p. ..  a p  r - vừa đóng vừa mở p Định lí 1.11 (Định lí Ostrowsky) Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỉ hoặc tương đương với chuẩn với giá trị tuyệt đối thông thường 1.2 Trường các số p- adic p trên và vành 1.2.1 Xây dựng trường các số p- adic Theo định lí Ostrowsky, trên p p ( p nguyên tố) hoặc tương đương p và vành chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường và giá trị tuyệt đối phi... Archimedean p Mặt khác, làm đầy đủ đối thông thường, ta nhận được trường các số thực được trường các số p- adic chi tiết hơn về cách xây dựng p p , làm đầy đủ (tương tự p- adic của trường số thực p theo giá trị tuyệt theo p ta ) Ta sẽ mô tả trong mục này Kí hiệu S là t p các dãy Cauchy hữu tỉ theo tương đương như sau : xn  yn p  0  xn   yn   nlim  p Trên S ta xác định một quan hệ Ta gọi p là t p h p. .. phức Trường số của trường Với   p p Chuẩn trên p p p , ta được trường các số được xây dựng như sau : p thì  là phần tử đại số trên Irr(  , theo đầy đủ nhưng không đóng đại số Ta kí hiệu bao đóng đại p là Làm đầy đủ p Do đó tồn tại một đa thức , x) = x n  an1x n1   a1 x  a0 (ai  p) bất khả quy nhận  làm nghiệm Ta định nghĩa p p trên là một chuẩn trên Trường p p p như sau : x  và p. .. của p trong m, kí hiệu ord p (m)   Với r  * ,r  m , ta định nghĩa ord p (r ) = ord p (m) – ord p (n) n Nếu biểu diễn r  p m1 với   , (n1 , p )  1, (m1 , p )  1 thì ord p (r )   n1 Quy ước : ord p (0)   Ta có các tính chất sau : i) ord p ( rs)  ord p (r )  ord p ( s ) ;    r , s   ii) ord p ( r  s)  min ord p r , ord p s Với 0    1 cố định, ta xây dựng chuẩn p : p trên... cả các l p tương đương theo quan hệ trên : S p Trang bị cho  p  x  x   S n n hai ph p toán cộng và nhân như sau : xn    yn   xn  yn  ; xn . yn    xn yn  p , ,.) Rõ ràng ( Chuẩn trong p   Với xn  Rõ ràng là một trường, trường này gọi là trường các số p- adic p được mở rộng trong p như sau :   (  xn  là dãy Cauchy trong p ), x = xn thì x p  lim xn p n là chuẩn phi-Archimedean... thì p) p, f p  n an p r n   0   z  hội tụ và f là hàm giải tích n 0 p- adic trên Dr  Với f  Ar ( p p) 0, r    z  p  zp r và f  0 , ta đặt  ( r , f )  max an p r n n Định lí 2.2   r ,. là chuẩn phi Archimedean trên vành A r ( i)   r , f   0 khi và chỉ khi f  0 ; ii)   r , f g     r , f    r , g  ; iii)  (r, f + g)  max   r , f  ,   r , g  p) ... hai định lí cơ bản của lí thuyết Nevanlinna p- adic và một số hệ quả, nhận xét kèm theo nhằm phục vụ cho chương 3 2.1 Các hàm đặc trưng 2.1.1 Chuẩn trên trường Kí hiệu     z f ( z)     p      p  là vành các chuỗi luỹ thừa  an z n an  n 0 hình thức  p Với r  0 , đặt Ar Nhận xét 2.1 Ar (  Với f ( z)  a z n p) n    f ( z)    a z n n an  n 0 là vành con của vành  Ar