Bất biến afin và ứng dụng trong hình học ơclít

Đ1. không gian Afin 1.1. Không gian vectơ Cho không gian V n với các phép toán: + Cộng hai vectơ: x + y + Nhân một số với một vectơ: . x + Thoả mãn 8 tiên đề: 1. a, b V: (a+ b)+ c = a+ (b+ c) 2. a, b V: a+ b = b+ a 3. phần tử V, sao cho a V: a + = a 4. a, b V a' V: a+ a' = 5. K . a, b V: (a+b) =a + b 6. , K , a V: ( + )a = a + a 7. , K , a V: ()a = (a) 8. a V: 1.a = a Khi đó V n cùng vói các phép toán đó lập thành 1 không gian vectơ. 1.2.Không gian Afin. Cho không gian vectơ V n trên trờng K, tập A mà các phần tử của nó gọi là điểm và ánh xạ : A ì A V n Aì B AB thoả mãn Tiên đề 1. Cho trớc một điểm A và một vectơ x thì luôn tìm đợc một diểm B duy nhất sao cho: AB = x . Tiên đề 2. Cho trớc 3 điểm A;B;C thuộc A thì luôn có: AB + BC = AC 1 Khi đó (A, , V n ) gọi là không gian Afin hay gọi là không gian Afin A . V n gọi là không gian nền của A. 1.3. Phẳng trong không gian Afin. 1.3.1 Định nghĩa. Cho không gian Afin liên kết với không gian vectơ A . Gọi I là một điểm của A 1 và là một không gian vectơ con của A . Khi đó tập hợp: = M A / IM đợc gọi là cái phẳng ( cũng gọi là phẳng) qua I và có phơng là . 1.3.2. Vị trí tơng đối của các phẳng. Trong không gian Afin A n cho p - phẳng và q-phẳng . ( pq) lần lợt có phơng là: và . + Các phẳng và gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung. + gọi là song song với () nếu là không gian con của + Các phẳng và gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song song với nhau. 1.4. Khái niệm tâm tỉ cự. Cho K điểm P 1 ;P 2 ; .P k của không gian Afin A và K số thuộc trờng K: 1 , k sao cho: = k i 1 i 0 khi đó duy nhất điểm G sao cho: = k 1i i GP i = 0 điểm G gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm P; gắn với họ hệ số i + Khi các i bằng nhau. G gọi là trọng tâm của hệ điểm P i . + Khi K=2. G là trung điểm của cặp (P 1 ; P 2 ) 1.5. Tập lồi trong không gian Afin. 1.5.1. Đoạn thẳng. Cho 2 điểm P và Q của không gian Afin thực A điểm M(d) qua P và Q khi và chỉ khi điểm 0 tuỳ ý thì: ( ) OQ1OPOM += R Tập hợp những điểm M sao cho: 2 OM = OP +(1- ) OQ 0 1 gọi là đoạn thẳng PQ. 1.5.2. Tập lồi. Tập X trong không gian Afin thực gọi là tập lồi nếu với hai điểm P,Q X thì đoạn thẳng PQ nằm hoàn toàn trong X. 1.5.3. Đơn hình. Cho (m+1) điểm độc lập P o , , P m . Ta biết rằng mặt phẳng đi qua (m+1) điểm đó gồm những điểm M sao cho với mọi điểm 0 nào đó ta có: OM = = m 0i i OP i Với = m 0i i =1. Nếu i 0 i = mO, thì tập hợp đó gọi là một đơn hình với các đỉnh P 0 , ,P m và kí hiệu là: S(P 0 , ,P m ). 1.5.4. Hình hộp. Cho (m+1) điểm độc lập P o , , P m . Tập hợp những điểm M sao cho: PoM = = m 1i i PoPi Với 0 i 1 gọi là m - hộp. 1.6. Siêu mặt bậc hai. 1.6.1. Định nghĩa. Siêu mặt bậc hai là tập hợp những điểm X A n sao cho toạ độ X(x 1 ; ;x n ) thoả mãn phơng trình: = n 1j,i a ị x i x j + 2 = n 1i a i x i + a 0 = 0 (1) Trong đó: a i,j ; a i ;a 0 : là các số thực; các a ij không đồng thời bằng 0 và a ij = a ji. Nếu ký hiệu A = (a ij ) n Vì a ij = a ji A = A t 3 = = n 1 n 1 a a a x x X Khi đó (1) x t Ax + 2a t x +a 0 = 0 (2) Ngoài ra siêu mặt bậc hai (1) còn có thể đa về một trong ba dạng sau gọi là phơng trình chuẩn tắc của siêu mặt bậc hai: 1). = r 1i i x 2 i = 1 i = 1; 1 r n 2). = r 1i i x 2 i = 0 i = 1; 1 r n 3). = r 1i i x 2 i = 2x r+1 i = 1; 1 r n-1 1.6.2. Các khái niệm liên quan đến siêu mặt bậc hai. + Tâm của siêu mặt bậc hai: Nếu gọi = n 1 x . x x là toạ độ tâm của siêu mặt bậc hai (S) thì ta có phơng trình: Ax + a = 0 4 + Điểm kì dị: Điểm I gọi là điểm kì dị của (S) nếu I (S) và I là tâm của (S) Phơng trình điểm kì dị: =+ =+ 0aAx 0axa 0 t + Phơng trình tiệm cận: Vectơ C (c 1 , .,c n ) gọi là phơng tiệm cận của (S): Nếu C 0 và C t AC = 0. + Khái niệm đờng tiệm cận: Đối với siêu mặt bậc hai có tâm duy nhất. Một đờng thẳng đi qua tâm và có phơng là phơng tiệm cận gọi là đờng tiệm cận. Gọi C (c i ) là phơng tiệm cận của (S) I(d i ) là tâm của (S) phơng trình đờng tiệm cận: x i = d i + c i . + Siêu phẳng kính: Cho hai điểm M 1 ; M 2 thay đổi của một siêu mặt bậc hai (S) sao cho đ- ờngthẳng M 1 M 2 có phơng cố định ( C 0) khôngphải là phơng tiệm cận. Khi đó tập hợp trung điểm của các đoạn thẳng M 1 M 2 nằm trên một siêu phẳng đi qua tâm (nếu có) của (S). Siêu phẳng đó gọi là siêu phẳng kính của (S) liên hợp với phơng C Phơng trình siêu phẳng kính: C t (Ax + a) = 0. + Hai phơng liên hợp: V và W gọi là hai phơng liên hợp với nhau đối với siêu mặt bậc hai (S) nếu thoả mãn phơng trình: [V] t A[W] = 0. + Khái niệm siêu tiếp diện: Một điểm B(b i ) (S) và B không phải là điểm kì dị thì tập hợp các tiếp tuyến của (S) tại B tạo thành 1 siêu phẳng gọi là siêu thiết diện của (S) tại B. Phơng trình: (b t A + a t )(x-b) = 0. 5 Đ2. ánh xạ Afin và biến đổi Afin 2.1. ánh xạ Afin. Cho A; A là các không gia Afin trên trờng K có các không gian vectơ liên kết A ; 'A . ánh xạ f: A A gọi là ánh xạ Afin nếu thoả mãn điều kiện: ttf : A 'A sao cho M;N A ; M =f(M) ; N = f(N) thì: f ( MN ) = )N(f).M(f = 'N'M ( f : đồng cấu) 2.2. Đẳng cấu Afin 2.2.1 Định nghĩa. ánh xạ f: A A gọi là đẳng cấu Afin nếu thoả mãn hai điều kiện: + f là ánh xạ Afin tức f và f tuyến tính. + f là song ánh. 2.2.2 Các tính chất. 6 Tính chất 1: ánh xạ f: A A' là đẳng cấu Afin, suy ra f biến hệ độc lập thành hệ độc lập biến mục tiêu thành mục tiêu. Chứng minh. Do f là đẳng cấu Afin f là đẳng cấu tuyến tính. Giả sử trong không gian Afin A n cho: S 0 ; ;S n điểm độc lập suy ra: SoSi , SoSn là cơ sở của A n . Vì f là đẳng cấu tuyến tính nên nếu một ánh xạ Afin f: A n A n thoả mãn: f(S i ) = S i (i = n,0 ) thì '1 S So , , 'Sn'So độc lập tuyến tính và nó cũng là cơ sở của A n So , ,S n độc lập. Tính chất 2: Nếu f: A A là đẳng cấu Afin thì ánh xạ ng ợc: f -1 : A A cũng là đẳng cấu Afin liên kết với đẳng cấu tuyến tính ( f ) -1 và ( f ) -1 = f -1 Chứng minh. Do f đẳng cấu với Afin nên ( f ) -1 : 'A A là đẳng cấu với M ; N A. Gọi: M =f -1 (M) N =f -1 (N) thì: ( f ) -1 ( 'N'M ) = ( f ) -1 . f ( MN ) = MN = )'N(f).'M(f 11 Và f là song ánh f -1 : A A đẳng cấu Afin và f -1 = ( f ) -1 Tính chất 3: Cho A, A , A là các không gian Afin trên cùng tr ờng K; f: A A g: A A Là các ánh xạ Afin Chứng minh g.f:A A là ánh xạ Afin và: f.g = g . f Chứng minh. Do f, g là các ánh xạ Afin nên: f , g là ánh xạ đồng cấu và g . f : 'A A là đồng cấu và M ,N A ta có: g . f ( MN ) = g ( )N(f).M(f ) = )N(fg).M(fg (( ) = )N)(f.g).M)(f.g (( . Vậy g.f: A A là ánh xạ Afin và f.g = g . f . 7 Tính chất 4: Quan hệ đẳng cấu giữa không gian Afin trên trờng K là một quan hệ tơng đơng. Chứng minh: Tính phản xạ: + A A vì I d : A A + Tính đối xứng: Giả sử f là đẳng cấu Afin từ A A thì theo tính chất 2 ta có f - 1 : A A đẳng cấu Afin . + Tính chất bắc cầu: Nếu f là đẳng cấu Afin : A A. g là đẳng cấu Afin : A A Thì theo tính chất (3) ta có g.f: A A cũng đẳng cấu Afin Vậy quan hệ đẳng cấu giữa các không gian Afin là quan hệ tơng đơng . 2.3 Phép biến đổi Afin. 2.3.1 Định nghĩa. f là phép biến đổi Afin ánh xạ Afin f: A A và f là đẳng cấu Afin Phơng trình phép biến đổi: [x] = A t [x] + [a] đối với mục tiêu{0, 1 e , n e }. 2.3.2 Tính chất. + @= {f bđ : A f A } lập thành một nhóm 8 Chứng minh: + Tính chất kết hợp ; f ; g ; h là các phép biến đổi Afin từ A A. Ta có (f.g)h = f(g.h) (Do tích các ánh xạ có tính chất kết hợp) + phần tử đơn vị là I d ( @): f @: f. I d = I d .f = f . + phần tử nghịch đảo là f -1 ta có: f (@) thì f -1 . f = f. f -1 =I d 2.4. Hai hình tơng đơng Afin. 2.4.1 Định nghĩa. Gọi F là một nhóm biến đổi của không gian X: H 1 và H 2 là hai hình nào đó X . Khi đó hình H 1 gọi là tơng đơng với hình H 2 , nếu có phép biến đổi fF sao cho f(H 1 ) = H 2 2.4.2 Các tính chất. Tính chất 1: Hai đơn hình có cùng số đỉnh thì tơng đơng Afin Chứng minh. Giả sử S ( P o ; ;P m ) và S( P o ; ;P m ) là hai đơn hình có cùng số đỉnh của không gian A n . Ta bổ sung vào hệ (m + 1) điểm độc lập {P 0 , . P m } các điểm P m+1 , , P n và bổ sung vào hệ (m +1) điểm độc lập ( P o ; ;P m ) Các điểm P m +1 , , P m để đợc hai hệ (n +1) điểm độc lập: {Po ; ;Pn} và {Po ; ;P n} . Khi đó một phép biến đổi f của A sao cho: f(P i) = Pi ( i = 0 , n ) . Ta cần chứng minh f biến đơn hình S(Po , ,Pm ) thành S(P o , ,P m ). Ta có với điểm M S(P o , ,P m ) thì với 1 điểm 0 nào đó ta có: OM = = m 0i i OP i ; = m 0i i = 1; i 0 i = m,1 Đặt 0 = f(0) Ta có: )M(f'0 = f ( OM ) = f ( = m 0i i OP i ) )M(f'0 = = m 0i i f ( OP i ) = = m 0i i )Pi(f).0(f = = m 0i i 'Pi'O Vậy )M(f'0 = = m 0i i 'Pi'O Với = m 0i i = 1 ; i 0 9 Suy ra: f(M) S(P 0 , , P m ) và một điểm 0 nào đó Ta có: 'M'O = = m 0i i 'Pi'O ; = m 0i i =1 ; i 0 Gọi 0 = f -1 (0) và M = f -1 (M) thì: OM = )'M(f).'0(f 11 = )f( -1 )'M'O( = f -1 ( = m 0i i 'Pi'O ) = = m 0i i f -1 ( 'Pi'O ) = = m 0i i )'Pi(f).'0(f 11 = = m 0i i OPi Suy ra: MS(P 0 , ,P m ) Điều đó chứng tỏ hai đơn hình có cùng số đỉnh thì tơng đơng Afin với nhau. Tính chất 2: Mọi cặp mặt m - phẳng phân biệt song song đều tơng đơng. Chứng minh. Giả sử (;) và (;) là hai cặp mặt phẳng song song. Chọn trong () (m+1) điểm độc lập M 0 ,M 1 , ,M m và một điểm M m+1 (). Khi đó hệ gồm (m+2) điểm M 0 , , M m+1 độc lập ( do // và ) Ta bổ sung vào hệ đó M m+2 , , M n điểm để đợc hệ (n+1) điểm độc lập trong A n . Bằng phơng pháp trên ta lấy hệ điểm độc lập: M 0 , ,M m , M m+1 , ,M n của A n sao cho: M 0 , M m () ; M m+1 (). Khi đó theo định lý thì sẽ có phép biến đổi Afin f sao cho: f(M i ) = M i (i = n,0 ). Khi đó f() = Vì f(M m+1 ) = M m+1 () Và f ( ) = f ( ) (do // ) = f() = Vậy qua phép biến đổi Afin f thì 2 cặp mặt phẳng (,) và (, ) là t- ơng đơng. Tính chất 3 : Hai siêu mặt bậc hai cùng loại thì tơng đơng Afin. Chứng minh. 10