Các định lý cổ điển và ứng dụng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ NỞ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Các kết quả, số liệu nêu luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn NGUYỄN THỊ NỞ MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT 1.1.1 Tứ giác toàn phần 1.1.2 Tỉ số kép, hàng điểm điều hòa chùm điều hòa 1.1.3 Đường tròn trực giao 1.1.4 Hai điểm liên hợp 1.1.5 Cực đối cực điểm đường tròn 1.1.6 Định lý Thales tam giác 1.2 CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN 1.2.1 Định lý Menelaus 1.2.2 Định lý Ceva 1.2.3 Định lý Desargues 11 1.2.4 Định lý Pascal 13 1.2.5 Định lý Brianchon 15 1.2.6 Định lý Pappus 17 1.3 CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM CỦA HÌNH HỌC XẠ ẢNH 18 1.3.1 Một số kiến thức khơng gian xạ ảnh hình học xạ ảnh 18 1.3.2 Các định lý cổ điển theo quan điểm hình học xạ ảnh 24 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 32 2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS 32 2.1.1 Một số toán minh họa 32 2.1.2 Một số toán tham khảo 36 2.2 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ CEVA 36 2.2.1 Một số toán minh họa 37 2.2.2 Một số toán tham khảo 41 2.3 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ DESARGUES 42 2.3.1 Một số toán minh họa 43 2.3.2 Một số toán tham khảo 46 2.4 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PASCAL 46 2.4.1 Một số toán minh họa 47 2.4.2 Một số toán tham khảo 51 2.5 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BRIANCHON 52 2.5.1 Một số toán minh họa 52 2.5.2 Một số toán tham khảo 54 2.6 ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ PAPPUS 55 2.6.1 Một số toán minh họa 55 2.6.2 Một số toán tham khảo 57 2.7 ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM XẠ ẢNH 57 2.7.1 Các tốn hình học sơ cấp có đặc trưng xạ ảnh 58 2.7.2 Các tốn affine, Euclide hình học sơ cấp 70 KẾT LUẬN 79 TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN THẠC SĨ (bản sao) MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong hình học sơ cấp, định lý cổ điển đóng vai trị quan trọng việc khảo sát đối tượng hình học mối liên hệ gi a chúng, đặc biệt ứng dụng vào giải toán sơ cấp Trong chương trình tốn phổ thơng, thường gặp toán chứng minh thẳng hàng điểm, chứng minh đường thẳng đồng quy, toán dựng hình,… Có thể sử dụng phương pháp hình học phẳng để giải tốn Chẳng hạn, để chứng minh ba điểm thẳng hàng, ta chứng tỏ vectơ tạo ba điểm phương Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy, hai ba đường thẳng cắt điểm đường thẳng thứ ba qua giao điểm Nhưng số trường hợp việc sử dụng phương pháp nêu để giải gặp nhiều khó khăn Ở bậc phổ thông, học sinh biết chứng minh ba điểm thẳng hàng, ba đường thẳng đồng quy cách áp dụng định lý cổ điển định lý Menelaus, định lý Ceva [2, tr.19-24] Ngoài định lý trên, cịn sử dụng định lý cổ điển định lý Desargues, định lý Pascal, định lý Brianchon, định lý Pappus, …Tuy nhiên, khuôn khổ có hạn chương trình hình học phổ thơng, học sinh chưa có điều kiện để tìm hiểu sâu rộng định lý Nhằm mục đích tìm hiểu định lý cổ điển, vai trò chúng hình học sơ cấp Mong muốn bổ sung, hồn thiện kiến thức để phục vụ cơng tác giảng dạy, bồi dư ng học sinh phổ thông gợi ý, hướng d n Thầy PGS.TS Trần Đạo D ng, chọn đề tài Các định lý cổ điển ứng dụng hình học sơ cấp làm đề tài nghiên cứu cho luận văn Mục đích nghiên cứu đề tài Mục đích đề tài nhằm nghiên cứu định lý cổ điển ứng dụng vào giải tốn sơ cấp chương trình tốn phổ thơng Để đạt mục đích nêu trên, luận văn tập trung khảo sát định lý cổ điển định lý Menelaus, định lý Ceva, định lý Desargues, định lý Pascal, định lý Brianchon, định lý Pappus, … ứng dụng vào giải số dạng tốn hình học sơ cấp Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài trình bày chứng minh số định lý cổ điển theo quan điểm hình học phẳng hình học xạ ảnh Từ đưa ứng dụng định lý vào giải tốn hình học sơ cấp Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài định lý cổ điển ứng dụng định lý giải tốn hình học sơ cấp Phạm vi nghiên cứu gồm nh ng vấn đề thuộc chương trình tốn hình học bậc phổ thông Vận dụng định lý cổ điển vào giải tốn chương trình tốn phổ thơng, đề thi học sinh giỏi quốc gia quốc tế Phƣơng pháp nghiên cứu - Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức liên quan đến nội dung nghiên cứu đề tài - Thu thập dạng toán chương trình phổ thơng có liên quan đến đề tài, tốn kì thi học sinh giỏi, thi Olympic toán,… - Tổng quan tài liệu thể tường minh kết đạt luận văn - Trao đổi, thảo luận kết nghiên cứu buổi seminar với giáo viên hướng d n Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn trình bày định lý cổ điển theo mạch kiến thức r ràng Làm sáng tỏ ứng dụng định lý cổ điển vào khảo sát đối tượng hình học, đặc biệt ứng dụng vào giải toán sơ cấp Luận văn làm tài liệu tham khảo cho giáo viên học sinh bậc phổ thơng có nhu cầu nghiên cứu sâu định lý Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận có hai chương: - Chương Giới thiệu hình học sơ cấp định lý cổ điển Chương giới thiệu khái niệm, định lý tính chất hình học sơ cấp Trình bày nội dung chứng minh định lý cổ điển theo quan điểm hình học phẳng hình học xạ ảnh - Chương Ứng dụng định lý cổ điển vào giải toán sơ cấp Chương trình bày ứng dụng định lý cổ điển vào giải toán hình học sơ cấp Vận dụng định lý cổ điển theo quan điểm hình học phẳng theo quan điểm hình học xạ ảnh để giải toán sơ cấp Các toán hệ thống mạch lạc theo định lý CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN Trong chương giới thiệu kiến thức hình học sơ cấp Trình bày nội dung chứng minh định lý cổ điển theo quan điểm hình học phẳng theo quan điểm hình học xạ ảnh Các kiến thức tham khảo tài liệu [4],[7],[8],[9] 1.1 MỘT SỐ ĐỊNH NGHĨA, ĐỊNH LÝ VÀ TÍNH CHẤT 1.1.1 Tứ giác toàn phần Định nghĩa 1.1 (Tứ giác toàn phần) Tứ giác tồn phần hình tạo nên bốn đường thẳng, đôi cắt khơng có ba đường thẳng đồng quy Một hình tứ giác tồn phần có cạnh đường thẳng, đỉnh giao điểm đường chéo đoạn thẳng qua hai đỉnh đối diện (hai đỉnh khơng thuộc cạnh) A Ví dụ: Trên hình ta có tứ giác tồn phần với bốn cạnh AC ', B ' C ', CA, BC Sáu đỉnh A, B, C , A ', B ', C ' Ba đường chéo AA ', BB ', CC ' B B' A' C' Hình 1.1 C 1.1.2 Tỉ số kép, hàng điểm điều hòa chùm điều hòa Định nghĩa 1.2 (Điểm chia đoạn thẳng với tỉ số k ) Cho hai điểm A, B phân biệt số thực k Điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k điểm M nằm đường thẳng AB MA kMB ) MA MB k (hoặc viết MA kMB hay Nhận xét 1.1 Với k ta có điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k Khơng có điểm chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k A B Định nghĩa 1.3 (Tỉ số kép) Cho tập hợp có thứ tự gồm bốn điểm A, B, C, D phân biệt nằm đường thẳng định hướng Tỉ số CA DA : gọi tỉ số kép bốn điểm A, B, C, D CB DB Ký hiệu: ABCD Định nghĩa 1.4 (Hàng điểm điều hòa) Hàng điểm A, B, C, D theo thứ tự gọi hàng điểm điều hòa ABCD Định nghĩa 1.5 (Chùm đường thẳng) Chùm đường thẳng tập hợp gồm tất đường thẳng mặt phẳng qua điểm Điểm gọi tâm chùm Kết cho tính chất quan trọng chùm đường thẳng Định lý 1.1 ([7]) Một chùm bốn đường thẳng cắt cát tuyến thay đổi theo hàng điểm có tỉ số kép khơng đổi 1.1.3 Đƣờng trịn trực giao Định nghĩa 1.6 (Đường tròn trực giao) Hai đường tròn gọi trực giao với điểm chung A chúng, hai tiếp tuyến A hai đường trịn vng góc với A O O' B Hình 1.2 66 Bài tốn 2.27 Trong mặt phẳng xạ ảnh conic (S ) không cắt cho đường thẳng Ba điểm A, B, C nằm (S ) Gọi tiếp tuyến với (S ) A, B, C t A , tB , tC Kí hiệu tA tB , D tC , tB tC tA , B A Chứng minh ba điểm C, D, thẳng hàng Giải Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác ngoại tiếp A , B , C đồng quy D , tức C, D, ABC ta có thẳng hàng A D B C Hình 2.29 Bài tốn tham khảo 2.21 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho conic (S ) , bốn đường thẳng d1 , d2 , d3 , d4 tiếp xúc với conic (S ) M , N , P, Q Chứng minh đường thẳng MP, NQ qua điểm cố định Bài toán tham khảo 2.22 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho ba điểm A, B, C cố định thuộc conic (S ) Kí hiệu tiếp tuyến với (S ) A, B, C t A , tB , tC Gọi M tB tC , N tC tA , P tA Chứng minh ba điểm C, O, P thẳng hàng tB , O AM BN 67 d Các toán vận dụng định lý Pappus Bài toán 2.28 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tam giác A1 A2 A3 hai đường thẳng p q phân biệt không qua đỉnh tam giác Ba cạnh tam giác A2 A3 , A3 A1 , A1 A2 cắt p P2 , P1 , P3 cắt q Q1 , Q2 , Q3 Chứng minh điểm PQ Q2 P3 , PQ Q1P3 , PQ Q1P2 nằm đường thẳng Nhận xét Có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải toán cách : chọn mục tiêu {A1, A2 , A3 ; E} cho đường thẳng p có tọa độ p [1, 1, 1] Điều làm cách chọn điểm E cho giao điểm cặp đường thẳng A1 A2 E1E2 , A2 A3 E2 E3 , A3 A1 E3 E1 nằm đường thẳng p , E1 E3 A3 E AE A2 A3 , E2 A2 E A1 A3 , A1 A2 Tuy nhiên, tốn cịn có cách giải khác sử dụng định lý Pappus G iải q A3 Q1 P2 M P1 Q2 N p A2 A1 Q3 P3 Hình 2.30 Áp dụng định lý Pappus cho hai ba điểm P1 , P2 , P3 Q1 , Q2 , Q3 có 68 PQ Q1P2 A3 , PQ Q1P3 M, PQ Q2 P N Suy điểm A, M , N thẳng hàng hay điểm PQ PQ Q1P3 , PQ Q1P2 nằm đường thẳng Bài toán 2.29 Trong mặt phẳng xạ ảnh điểm E Gọi E1 Q2 P3 , AE A2 A3 , E2 A2 E , cho tam giác A1 A2 A3 A1 A3 , E3 A3 E A1 A2 Các điểm M , M , M nằm cạnh E2 E3 , E3 E1 , E1E2 tam giác E1E2 E3 Chứng minh đường thẳng E1M1 , E2 M , E3M qua điểm đường thẳng AM , A2 M , A3M qua điểm 1 Giải Ta giải toán với điểm M đường thẳng E2 E3 tất nhiên xảy điểm M E2 E3 Do tạm xem M điểm cố định, M M biến thiên Để chứng minh A1M1 , A2 M , A3M đồng quy ta chứng minh chùm A2{A M , } A3{A3 M , } mà AM trục phối cảnh 1 Ta có E2{E2 M , } E3{E3 M , } A2{A2 M , } E1E3{M , } E1E2{M , } A3{ A3 M , } Mặt khác, A2 A3 tự ứng nên A2{A2 M , } A3{A3M , } Khi M E3 M E2 nên A1 vị trí điểm A2 M Vậy A1 thuộc trục phối cảnh Cần chứng minh M thuộc trục phối cảnh A3M 69 Thật vậy, gọi M '2 A2 M1 E1E3 , M '3 A3M1 E2 E1 cần chứng minh E2 M '2 , E3M '3 , E1M1 đồng quy Áp dụng định lý Pappus cho hai ba điểm E3M1E2 A2 E1 A3 suy M '2 , E, M '3 thẳng hàng Áp dụng định lý Pappus cho hai ba điểm A2 A3 E1 E2 E3M1 suy A1 , M ''3 , M ''2 thẳng hàng Hai tam giác A1E3 E M ''3 M1M '3 có ba điểm A2 , E1 , A3 thẳng hàng, nên EM '3 , E3M1 , AM ''3 đồng quy Do M '2 M '3 , E2 E3 , M ''2 M ''3 đồng quy Hai tam giác E1E2 E3 M1M '2 M '3 thỏa mãn định lý Desargues nên E2 M '2 , E3M '3 , E1M1 đồng quy M'' A1 M'' E2 M1 E3 M‘ M' E M M M2 A2 A3 E1 Hình 2.31 Bài toán tham khảo 2.23 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tứ giác ABCD có cạnh đối diện không song song Gọi E, F hai điểm 70 nằm hai đường thẳng AB CD Gọi H , K , I giao điểm cặp đường thẳng MF QE , NF PE , MP NQ Chứng minh H , K , I thẳng hàng Bài toán tham khảo 2.24 Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tam giác ABC điểm M Gọi A', B ', C ' giao điểm cặp đường thẳng MA BC , MB CA , MC AB P, Q hai điểm di động đường thẳng AC A ' C ' Gọi R AQ C ' P, S CQ A' P Chứng minh đường thẳng RS qua điểm cố định 2.7.2 Các tốn affine, Euclide hình học sơ cấp Để giải toán affine Euclide hình học sơ cấp, có liên quan đến vận định lý cổ điển theo quan điểm hình học xạ ảnh Chúng ta cần thực bước chung sau : Bước Chuyển toán affine, Euclide toán xạ ảnh Bước Giải toán xạ ảnh không gian xạ ảnh Bước Kết luận toán affine, Euclide ban đầu a Các toán minh họa Bài toán 2.30 Trong mặt phẳng affine cho tam giác ABC ba hình bình hành cho hình bình hành có đường chéo cạnh tam giác, hai cạnh kề hai cạnh lại tam giác Chứng minh đường chéo cịn lại hình bình hành đồng quy điểm Nhận xét Theo điều kiện toán, ba đỉnh thứ tư ba hình bình hành tạo thành tam giác PQR mà cạnh tương ứng song song với cạnh tam giác ABC Đây toán quen thuộc hình học affine, nhiên sử dụng mơ hình hình học xạ ảnh để giải 71 Trong mơ hình này, khái niệm hình bình hành trở thành hình bốn cạnh toàn phần mà giao điểm cặp cạnh đối diện nằm đường thẳng vô tận Giải Bài toán xạ ảnh tương ứng với toán affine cho Trong mặt phẳng xạ ảnh cho đường thẳng cắt tam giác ABC Các cạnh AB , BC , CA I , J , K Gọi P , Q giao đường thẳng AJ với đường thẳng BK CI , R CI BK Chứng minh đường thẳng AR , BQ , PC đồng quy Giải toán xạ ảnh Xét hai tam giác ABC 73 có AB RQ I , AC RP K , BC QP J Ba điểm I , J , K thẳng hàng nên theo định lý Desargues ta có đường thẳng AR , BQ , PC đồng quy Vậy tốn ban đầu khơng gian affine K Q P A J B I R C Hình 2.32 72 Bài tốn 2.31 Trong mặt phẳng affine cho hình thang A1 A2 B1B2 với cạnh đáy A1 A2 B1B2 Qua A1 , B1 dựng đường thẳng a1 , b1 song song với Qua A2 , B2 dựng đường thẳng a2 , b2 song song với cho a1 không song song với a2 Chứng minh điểm AB A2 B1 , a1 a2 , b1 b2 thẳng hàng Nhận xét Khi xét mô hình xạ ảnh hai đường thẳng affine song song với trở thành hai đường thẳng cắt đường thẳng vơ tận Giải Bài tốn xạ ảnh tương ứng với toán cho Trong mặt phẳng xạ ảnh cho đường thẳng trên tứ giác A1 A2 B1B2 cho A1 A2 B1B2 cắt Từ A1 , B1 dựng đường thẳng a1, b1 cho chúng cắt , từ A2 , B2 dựng đường thẳng a2 , b2 cho chúng cắt Chứng minh điểm AB A2 B1 , a1 a2 , b1 b2 thẳng hàng a2 N Q a1 A2 A1 K b2 B1 B2 P b1 Hình 2.33 M 73 Giải tốn xạ ảnh Gọi P b1 b2 , Q a1 a2 Xét hai tam giác PB1B2 QA1 A2 có giao điểm cặp cạnh tương ứng A2Q AQ PB1 N , A1 A2 B1B2 B2 P M , K Các điểm M , N , K thuộc đường thẳng nên thẳng hàng Theo định lý Desargues đường thẳng nối đỉnh tương ứng hai tam giác A1B2 , B1 A2 , PQ đồng quy Hay đường thẳng PQ qua giao điểm A1B2 B1 A2 Tức điểm AB A2 B1 , a1 a2 , b1 b2 thẳng hàng Bài toán 2.32 Trong mặt phẳng affine A2 cho Hypebol (S ) có tâm O hai tiệm cận a, b Hai điểm C D thuộc (S ) Tiếp tuyến với (S ) C D giao N Đường thẳng qua C song song với a cắt đường thẳng qua D song song với b P Đường thẳng qua C song song với b cắt đường thẳng qua D song song với a Q Chứng minh bốn điểm O, N , P, Q thẳng hàng Giải Bài toán xạ ảnh tương ứng Trong mặt phẳng xạ ảnh thẳng conic (S ) cắt cho đường hai điểm I J Các tiếp tuyến t I t J cắt O Hai điểm C D thuộc (S ) Tiếp tuyến với (S ) C D giao N Gọi P CJ DI , Q CI DJ Chứng minh bốn điểm O, N , P, Q thẳng hàng Giải toán xạ ảnh Áp dụng định lý Pascal cho lục giác CCJDDI nội tiếp conic ta có CC DD N, CI DJ Q, ID JC P suy điểm P, Q, N thẳng hàng Áp dụng định lý Pascal cho lục giác IICJJD nội tiếp conic ta có 74 II JJ O, CI DJ Q, ID JC P suy điểm P, Q, O thẳng hàng Từ ta có bốn điểm O, N , P, Q thẳng hàng I C a O P N Q b D J Hình 2.34 Bài tốn 2.33 Trong mặt phẳng affine cho ellipse (S ) hai đường thẳng song song a b tiếp xúc với (S ) P Q Một điểm C thay đổi PQ (C P, Q) Từ C kẻ hai đường thẳng Cx Cy tiếp xúc với (S ) A B Đường thẳng Cx Cy tương ứng cắt a, b A1 , B1 A2 , B2 Gọi X PB1 QA1 , Y PB2 QA2 Chứng minh đường thẳng XY , a, b song song với Giải Bài toán xạ ảnh tương ứng với toán affine Trong mặt phẳng xạ ảnh cho đường thẳng b cắt PQ (C conic (S ) không cắt Hai đường thẳng a và tiếp xúc với (S ) P Q Một điểm C thay đổi P, Q) Từ C kẻ hai đường thẳng Cx Cy tiếp xúc với (S ) A 75 B Đường thẳng Cx Cy tương ứng cắt a, b A1 , B1 A2 , B2 Gọi X PB1 QA1 , Y PB2 QA2 Chứng minh đường thẳng XY , a, b, đồng quy Giải toán xạ ảnh Gọi O a b Áp dụng định lý Brianchon cho tam giác A1B1O ngoại tiếp conic (tức lục giác suy biến APOQB , B1P , OB đồng B ), ta có AQ 1 quy Điều có nghĩa X OB Tương tự, ta chứng minh Y OA (2.20) Mặt khác, AB cực tuyến điểm C PQ cực tuyến điểm O Theo giả thiết điểm C thay đổi PQ đường thẳng AB thay đổi qua O (2.21) Từ (2.20) (2.21) ta suy X , Y , O thẳng hàng Hay đường thẳng XY , a, b, đồng quy C A1 A2 P a B A O Y X b B2 Q B1 Hình 2.35 76 Bài toán 2.34 Trong mặt phẳng Euclide cho đường trịn tâm O hình bình hành ABCD ngoại tiếp đường tròn Gọi E, F , G, H tiếp điểm cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn M tiếp điểm thay đổi đường tròn Tiếp tuyến M cắt DC K , cắt BC L Chứng minh đường thẳng AL, BD, EK đồng quy Giải Bài toán xạ ảnh tương ứng Trong mặt phẳng xạ ảnh thẳng cho đường conic không cắt (S ) Một tứ giác ABCD ngoại tiếp conic cho giao điểm cặp cạnh đối diện nằm Gọi E, F , G, H tiếp điểm cạnh AB, BC, CD, DA với (S ) Giả sử M điểm thay đổi tùy ý (S ) Tiếp tuyến M cắt DC K , cắt BC L Chứng minh đường thẳng AL, BD, EK đồng quy Giải toán xạ ảnh Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác BEADKL ngoại tiếp conic ta suy đường thẳng AL, BD, EK đồng quy A H E B F M D K G C L Hình 2.36 77 Bài tốn 2.35 Trong mặt phẳng Euclide, cho hình bình hành ABCD ( AB / /CD AD / / BC ) E, F tương ứng hai điểm đường thẳng AB CD Kí hiệu G DE , H AF BF CE Chứng minh đường thẳng GH chia hình bình hành cho thành hai phần có diện tích Nhận xét Để chứng minh đường thẳng GH chia hình bình hành ABCD thành hai phần có diện tích ta cần chứng minh GH qua tâm I nó, tốn affine Dùng mơ hình xạ ảnh để giải toán Giải Bài toán xạ ảnh tương ứng Trong mặt phẳng xạ ảnh tứ giác ABCD cho AB CD , AD cho đường thẳng E, F tương BC ứng hai điểm đường thẳng AB CD Kí hiệu G H BF CE Chứng minh ba điểm G, H I AC AF DE , BD thẳng hàng Giải toán xạ ảnh Áp dụng định lý Pappus cho hai ba điểm A, B, E D, C, F ta AC DB I , AF DE G, BF CE H Suy điểm I , G, H thẳng hàng hay GH qua tâm I hình bình A G E I H D F C B Hình 2.37 78 hành Ta có điều phải chứng minh b Các toán tham khảo Bài toán tham khảo 2.25 Trong mặt phẳng affine cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh đối diện A, C nằm Hypebol ( H ) cho trước có cạnh song song với đường tiệm cận Hypebol Tiếp tuyến ( H ) A cắt tiệm cận thứ tiệm cận thứ hai A1 A2 Tiếp tuyến ( H ) C cắt tiệm cận thứ tiệm cận thứ hai C1 C2 Hai tiếp tuyến cắt H Chứng minh ba đường thẳng AC , AC , A2C1 song song với Bài toán tham khảo 2.26 Trong mặt phẳng Euclide cho đường trịn tâm O hình bình hành ABCD ngoại tiếp đường tròn Gọi E, F , G, H tiếp điểm cạnh AB, BC, CD, DA với đường tròn M tiếp điểm thay đổi đường tròn Tiếp tuyến M cắt DC K , cắt BC L Gọi X giao điểm tiếp tuyến đường tròn M với AB , Y giao hai đường thẳng EH FM Chứng minh XY song song với AD Bài toán tham khảo 2.27 Trong mặt phẳng affine cho Hypebol ( H ) tâm O điểm D ( H ) Từ D dựng hai đường thẳng tiếp xúc với ( H ) P, Q Các tiếp tuyến cắt hai tiệm cận Hypebol A, C Chứng minh AC / / PQ Bài toán tham khảo 2.28 Trong mặt phẳng affine cho Hypebol ( H ) tâm O điểm D ( H ) Từ D dựng hai đường thẳng tiếp xúc với ( H ) P, Q Các tiếp tuyến cắt hai tiệm cận Hypebol A, C Từ P Q kẻ hai đường thẳng Px / /b , Qy / / a , ký hiệu E Chứng minh E AC OD Px Qy 79 KẾT LUẬN Luận văn thu nh ng kết sau : Trình bày lý thuyết ứng dụng định lý cổ điển định lý Menelaus, định lý Ceva, định lý Desargues, định lý Pascal, định lý Brianchon, định lý Pappus, Ứng dụng định lý vào giải toán sơ cấp chương trình tốn phổ thơng Trong chủ yếu toán chứng minh đồng quy đường thẳng, tốn chứng minh tính thẳng hàng hệ điểm tốn dựng hình Vận dụng khái niệm định lý cực đối cực, hàng điểm điều hịa hình học phẳng để chứng minh số định lý giải số tốn Để luận văn hồn thiện hơn, tác giả tìm hiểu thể định lý cổ điển định lý Desargues, định lý Pascal, định lý Briachon, định lý Pappus theo quan điểm hình học xạ ảnh Kết hợp vận dụng nguyên tắc đối ng u, định lý mối liên hệ gi a hình học affine, hình học Euclide hình học xạ ảnh để giải tốn hình học sơ cấp Trong giới hạn cho phép, luận văn giải định lý cổ điển nêu Trong thời gian đến, tác giả mong muốn tiếp tục mở rộng để nghiên cứu thêm ứng dụng định lý cổ điển khác sở mối liên hệ gi a hình học affine, hình học Euclide hình học xạ ảnh 80 TÀI LIỆU THAM KHẢO TIẾNG VIỆT [1] Đậu Thế Cấp (2004), ình học sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục Tp Hồ Chí Minh [2] Văn Như Cương - Phạm Vũ Khê - Trần H u Nam (2007), Bài tập ình ọc 10, Nhà xuất Giáo dục [3] Nguyễn Trọng Chiến - Nguyễn Thị Kim Thoa (2011), Toán sơ cấp, Nhà xuất Đại học Huế [4] Hồng Đức Chính – Tơn Thân (2008), Tốn tập 2, Nhà xuất Giáo dục [5] Hồng Đức Chính - Nguyễn Đễ (2002), Các tốn hình học phẳng, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hồ Chí Minh [6] Nguyễn Mộng Hy (2003), Bài tập ình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục [7] Nguyễn Mộng Hy (2004), Các phép biến hình mặt phẳng, Nhà xuất Giáo dục [8] Nguyễn Mộng Hy (2001), ình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục [9] Võ Xuân Ninh (1955), Giáo trình hình học xạ ảnh, Đại học Huế [10] Đào Tam (2005), Cơ sở hình học ình học sơ cấp, Nhà xuất Giáo dục [11] Nguyễn Cảnh Tồn (1979), ình học cao cấp, Nhà xuất Giáo dục TIẾNG ANH [12] O Bottema (2007), Topics in Elementary Geometry, Lecture Notes, Springer ... sử dụng hình học xạ ảnh để giải lớp rộng toán affine hình học sơ cấp 32 CHƢƠNG ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Trong chương chúng tơi trình bày ứng dụng định lý cổ điển nêu vào... theo định lý 4 CHƢƠNG GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN Trong chương giới thiệu kiến thức hình học sơ cấp Trình bày nội dung chứng minh định lý cổ điển theo quan điểm hình học. .. khái niệm, định lý tính chất hình học sơ cấp Trình bày nội dung chứng minh định lý cổ điển theo quan điểm hình học phẳng hình học xạ ảnh - Chương Ứng dụng định lý cổ điển vào giải tốn sơ cấp Chương