Các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học xạ ảnh

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN

1.3. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM CỦA HÌNH HỌC XẠ ẢNH

1.3.2. Các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học xạ ảnh

Chứng minh.

Chúng ta dùng phương pháp tọa độ để chứng minh định lý này.

Giả sử trong 2đã cho hai tam giác ABC và A B C' ' ', các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng AA BB CC', ', 'cùng đi qua điểm O.

Ký hiệu M BC B C' ', N AC A C' ', P AB A B' '. Ta chứng minh rằng M N P, , nằm trên một đường thẳng.

Thật vậy, nếu điểm O thuộc một trong các đường thẳng AB BC CA, , thì định lý hiển nhiên đúng.

Nếu có một cặp đỉnh tương ứng nào đó trùng nhau, chẳng hạn A A'. Hình 1.19

Hình 1.18

A3 A4

A5 A6

A2 A6

A1 A5

A4

A3 A2 A1

25

Khi đó các điểm P v Nà trùng với A và do đó ba điểm M, N, P nằm trên một đường thẳng. Ta chứng minh định lý trong trường hợp

à ', à ', à '

A v A B v B C v C khác nhau.

Xét mục tiêu xạ ảnh {A, B, C; }O và tính tọa độ của các điểm ', ', '

A B C đối với các mục tiêu này. Vì A' nằm trên đường thẳng OA có phương trình x2 x3 0 và A' không trùng với (1,0,0)A nên tọa độ của nó là

'( ,1,1)

A a với a là một số thực nào đó.

Tương tự, ta có '(1, , 1),B b C'(1, 1, )c .

Tọa độ giao điểm M BC B C' ' là nghiệm của hệ

1

1 2 3

0

( 1) ( 1) (1 ) 0.

x

bc x c x b x

Vậy tọa độ của M là M(0,1 b c, 1).

Tương tự, ta tính được N a( 1,0,1 c) và P a( 1,1 b,0).

Hình 1.21

A A'

Hình 1.20

B'

C C' B M

N P

A' B' C'

A C

B

O

26

Vì định thức

0 1 1

1 0 1 0

1 1 0

a a

b b

c c

nên M N P, , nằm trên một đường thẳng.

Ngược lại, nếu ba giao điểm M BC B C' ', N CA C A' ', ' '

P AB A B thẳng hàng.

Ta cần chứng minh ba đường thẳng A A BB CC', ', 'đồng quy.

Thật vậy, xét hai tam giác A A N' và BB M' có các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng là AB MN A B, , ' ' đồng quy tại P. Theo chứng minh ở phần thuận ở trên ta có ba giao điểm của các cạnh tương ứng là A A' BB' O,

,

AN BM C A N' B M' C' thẳng hàng.

Do đó, ta có A A BB CC', ', ' đồng quy tại O. □ Định lý 1.20. (Định lý Pascal). Điều kiện cần và đủ để một lục giác nội tiếp một conic (các đỉnh của nó thuộc conic) là giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên một đường thẳng (đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal).

Chứng minh.

Giả sử ( )S là một conic và A A A A A A1 2 3 4 5 6 là một lục giác nội tiếp. Gọi

1 2 4 5, 2 3 5 6, 3 4 6 1.

P A A A A Q A A A A R A A A A Theo định lý Steiner đảo, hai chùm tâm A1và tâm A5 có liên hệ xạ ảnh

1 2 1 6 1 4 1 3 5 2 5 6 5 4 5 3

{A A , A A , A A , A A ,...} {A A , A A , A A , A A ,...}

Gi a hai hàng điểm nằm trên các đường thẳng A A3 4 và A A2 3 ta có liên hệ xạ ảnh {M R A A, , 4, 3,...} { ,A Q N A2 , , 3,...}.

Vì giao của hai giá (điểm A3) là điểm tự ứng nên đó là liên hệ phối cảnh với tâm phối cảnh là giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng

27

2 4 1 2 5 4 1 2 4 5 ,

MA RQ A N A A RQ E A A A A A P tức là P RQ. Hay , ,

P R Q thẳng hàng.

Ngược lại, giả sử lục giác A A A A A A1 2 3 4 5 6có giao điểm của các cặp cạnh đối diện là , ,P Q R thẳng hàng. Gọi ( )S là conic xác định bởi năm điểm

1, 2, 3, 4, 5.

A A A A A Gọi A'6 ( )S A A Q1 6, ' A A2 3 A A5 ' .6 Cần chứng minh

6 ' .6

A A

Theo chứng minh trên ta có , ',P Q R thẳng hàng nên

2 3 5 6 5 6

' ' .

Q PR A A A A Q A A

Do đó A A5 6 A A5 6', tức là A6 A6'. □ Các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal:

Giả sử A A A A A1 2 3 4 5 là một lục giác nội tiếp conic ( )S . Ta thấy khi đó có một cặp đỉnh liên tiếp nào đó trùng nhau Ai Ai 1, 1 i 5, A6 A1, thì cặp cạnh A Ai i 1 trở thành tiếp tuyến của conic tại điểm đó.

Như vậy, ta gọi một ngũ giác nội tiếp conic là một trường hợp đặc biệt của lục giác nội tiếp khi có một cặp đỉnh liên tiếp trùng nhau.

Tương tự đối với tứ giác, tam giác nội tiếp.

Hình 1.22

A 6

A 5

A 4

A 3

A 2

A 1

M N

R

Q P

28 Minh họa như sau:

Áp dụng nguyên tắc đối ng u, từ định lý Pascal ta suy ra định lý sau.

Định lý 1.21. (Định lý Brianchon). Điều kiện cần và đủ để một lục giác ngoại tiếp conic (có các cạnh tiếp xúc với conic) là các đường thẳng nối các cặp đỉnh đối diện đồng quy tại một điểm – gọi là điểm Brianchon của lục giác.

Các trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon:

Các trường hợp đặc biệt của định lý Brianchon được suy ra từ các trường hợp đặc biệt của định lý Pascal bằng cách lấy đối ng u và được minh họa qua các hình sau.

Hình 1.23

A2 A2

A4 A4

A3 A3

A5 A5

A6 A6

A1

A4

A5

A1 A6

A3 A2

A1

Hình 1.24 Hình 1.25

A2

A4 A3

A5 A6

A1

Hình 1.27

A2

A4 A3

A5 A6

A4

A5

A1 A6

A3 A2

A1

Hình 1.26

Hình 1.28

29

Định lý 1.22. (Định lý Pappus). Trong mặt phẳng xạ ảnh 2, cho ba điểm , ,A B C nằm trên đường thẳng và ba điểm ', ', 'A B C nằm trên đường thẳng '. Khi đó giao điểm của các cặp đường thẳng AB v A B' à ' ,

' à ' ,

AC v A C BC v B C' à ' thẳng hàng.

Chứng minh.

Ta dùng phương pháp tọa độ để chứng minh định lý này.

Ở đây ta chọn mục tiêu { , , '; '}A B A B . Khi đó ta có (1,0,0)A , (0,1,0)B , '(0,0,1)

A , '(1, 1, 1)B .

[0, 0, 1], ' [1,-1,0], 'A B [1, 0, 0], AB' [0,1,-1]. Vì C nên ( , 1, 0)

C c , C' 'nên '(1, 1, ')C c .

Gọi AB' A B' , AC' A C' , BC' B C' .

Ta có 0 0 0 1 1 0

' , , [0, ', 1]

1 ' ' 1 1 1

AC c

c c .

Tương tự, 'A C [ 1, ,0]c , BC' [ ', 0, 1]c , 'B C [ 1, , 1c c].

Ta có (0, 1, 1) , ( , 1, ')c c , ( , 1c c'(1 c cc), '). Hình 1.29

'

A

B

C

A' B' C'

30

Do định thức

0 1 1

1 ' 0

1 '(1 ) '

c c

c c c cc

nên ba điểm , , thẳng hàng. □

Nhận xét 1.4. (Mối liên hệ giữa hình học xạ ảnh và hình học affine).

Gi a hình học xạ ảnh và hình học affine có một mối liên hệ mật thiết.

Trên cơ sở này, từ một mặt phẳng affine ta sẽ xây dựng được một mô hình của mặt phẳng xạ ảnh bằng cách thêm vào mặt phẳng affine nh ng phần tử mới hay còn gọi là điểm ở vô tận , gọi là mô hình affine. Ngược lại, từ một mặt phẳng xạ ảnh, bằng cách chọn một đường thẳng nào đó làm đường thẳng vô tận ta được một mặt phẳng xạ ảnh – affine, sau đó bỏ bớt đi đường thẳng vô tận này ta thu được một mô hình của mặt phẳng affine hay gọi là mô hình xạ ảnh. Do vậy, chúng ta có :

Từ một kết quả của hình học xạ ảnh có thể suy ra những kết quả khác nhau của hình học affine. Giả sử ta có một định lý nào đó của hình học xạ ảnh trong mặt phẳng xạ ảnh. Bằng cách chọn một đường thẳng nào đó làm đường thẳng vô tận và chỉ xét nh ng điểm thông thường của mặt phẳng xạ ảnh – affine tương ứng ta thu được một mặt phẳng affine. Nh ng đối tượng của hình học xạ ảnh trở thành nh ng đối tượng của hình học affine tương ứng và do đó định lý xạ ảnh nói trên trở thành một định lý của hình học affine. Do đường thẳng vô tận có thể chọn tùy ý nên từ một định lý của hình học xạ ảnh ta thu được nh ng định lý khác nhau của hình học affine.

Từ một kết quả của hình học affine có thể suy ra một kết quả của hình học xạ ảnh. Đây là quá trình ngược lại với quá trình trên. Chẳng hạn, khi cho một định lý về các đối tượng affine. Thực hiện bổ sung thêm nh ng phần tử vô tận ta thu được một mặt phẳng xạ ảnh và các đối tượng affine nói trên trở thành đối tượng xạ ảnh tương ứng. Do chỉ có một cách bổ sung duy nhất

31

các phần tử vô tận nên từ một định lý affine chỉ nhận được một định lý xạ ảnh tương ứng.

Từ một kết quả của hình học affine suy ra được những kết quả khác nhau của hình học affine. Đây chính là sự kết hợp của hai quá trình trên.

Như vậy, ta có thể sử dụng các định lý và kết quả của hình học xạ ảnh để giải một loạt các bài toán của hình học sơ cấp có đặc trưng xạ ảnh. Đó là lớp các bài toán nói về các điểm nằm trên đường thẳng (thẳng hàng), các đường thẳng thuộc một chùm (đồng quy), tỉ số kép của 4 điểm thẳng hàng, v.v... Mặt khác, nhờ mối liên hệ trên mà có thể sử dụng hình học xạ ảnh để giải một lớp khá rộng các bài toán affine của hình học sơ cấp.

32 CHƯƠNG 2