CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
2.3. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ DESARGUES
Định lý Desargues có nhiều ứng dụng trong hình học phẳng. Theo định lý này ta có hai tam giác có các đường thẳng nối các đỉnh đồng quy khi và chỉ khi giao điểm của các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng.
Vận dụng định lý này, chúng ta có thể chứng minh các điểm thẳng hàng, các đường thẳng đồng quy. Trong hình học phẳng chúng ta xét một số bài toán minh họa sau.
43 2.3.1. Một số bài toán minh họa
Bài toán 2.7. Chứng minh rằng đường thẳng Pascal của các lục giác ,
ABCDEF ADEBCF, ADCFEBđồng quy.
Nhận xét. Nếu gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các cặp cạnh đối diện trong lục giác, theo định lý Pascal ta có các điểm này thẳng hàng. Mặt khác, các điểm trên là giao điểm của các cặp cạnh tương của các tam giác
1 2 3 à 1 2 3
PP P v QQ Q nên chúng ta vận dụng định lý Desargues để chứng minh các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác này đồng quy.
Giải.
GọiAB DE P1,BC E F Q1,AD BC P2,DE CF Q2, AD FE P3, CF AB Q3.
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm , , , , ,A B C F E D ta có
1 3 1 3 ,
PQ Q P AB FE P
1 2 1 2 ,
PQ Q P BC ED Q
2 3 2 3 .
Q Q P P CF DA R Suy ra ,P Q R thẳng hàng. ,
Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác PQ Q1 2 3 và Q P P1 2 3, suy ra các đường thẳng PQ PQ PQ1 1, 2 2, 3 3 đồng quy. Hay đường thẳng Pascal của các
lục giác ABCDEF, ADEBCF, ADCFEB đồng quy.
Bài toán 2.8. Một đường tròn cắt các cạnh của tam giác ABC theo thứ tự tại các điểm D D E E F F1, 2, 1, 2, 1, 2. D E1 1 D F2 2 L, E F1 1 E D2 2 M,
1 1 2 2 .
F D F E N Chứng minh rằng AL BM CN, , đồng quy.
Hình 2.9
Q Q 3
P 3 Q 2
P 2
Q 1 P 1
R P
A F
B C D E
44
Nhận xét. Xét các tam giác ABC v PQR, ta chứng minh được giao à điểm của các cặp cạnh tương ứng thẳng hàng nên theo định lý Desargues ta có các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng đồng quy.
Giải.
Gọi D F1 1 D E2 2 P, E D1 1 E F2 2 Q,F E1 1 F D2 2 R .
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm E E D F F D2, 1, 1, 1, 2, 2 ta có:
2 1 1 2
1 1 2 2
1 1 2 2
, , . E E F F A E D F D L D F D E P Suy ra , ,A L P thẳng hàng.
Tương tự, ta có ,B M Q, thẳng hàng và ,C N R, thẳng hàng.
Ta có, E E2 1 D F1 2 CA D F1 2 X,F F2 1 E D1 2 AB E D1 2 Y,
2 1 1 2 1 2 .
D D F E BC F E Z
Áp dụng định lý Pascal cho sáu điểm F E D D F E1, 1, 1, 2, 2, 2 ta có:
1 1 2 2
1 1 2 2
1 2 2 1
, , . F E D F R E D F E Q D D E F Z Suy ra , ,Q R Z thẳng hàng.
Tương tự, , ,P Q Y thẳng hàng và , ,Z P X thẳng hàng.
Hình 2.10
D2 E1
D1
E2
F2 F1
N M
L
Z Y
X
Q
R P
A
B
C
45 Xét các tam giác ABC v PQR có: à
CA RP X, AB PQ Y, BC QR Z.
Áp dụng định lý Desargues cho tam giác ABC v PQRà ta có các đường thẳng AP BQ CR, , đồng quy. Hay các đường thẳng AL BM CN, , đồng quy.
Bài toán 2.9. Cho tam giác nhọn ABC, gọi , ,D E F lần lượt là ba điểm trên các cạnh BC CA AB, , sao cho ba đường thẳng AD BE CF, , đồng quy tại O. Lấy O O O1, 2, 3 lần lượt là các điểm đối xứng của Oqua E F DF DE, , . Chứng minh rằng AO BO CO1, 2, 3 đồng quy.
Giải.
Gọi Oa là điểm đối xứng với Oqua BC, từ O kẻ đường thẳng da vuông góc với AD. Thế thì O O O O, 2, 3, a cùng thuộc đường tròn tâm D và da là tiếp tuyến tại O của đường tròn đó.
Ta có O OO O O( 2 3 a) ( ,d OO OO OO2, 3, a) (DA DF DE DB, , , ) 1 (do tính chất của hình tứ giác toàn phần), do đó OO O O2 3 a điều hòa.
Mặt khác, tiếp tuyến tại O v Oà a của ( )D cắt nhau trên BC, nên ta có
2 3
, a,
BC d O O đồng quy tại một điểm A0. Xác định tương tự B C0, 0.
Hình 2.11
A 0 d a
O a
O 3
O 2
O 1
O A
B D C
F E
46
Khi đó ta có A O A O0 2. 0 3 A O0 2 hay A0 thuộc trục đẳng phương của điểm O với đường tròn (OO O1 2 3). Tương tự, ta có A B C0, 0, 0 thẳng hàng.
Theo định lý Desargues ta có AO BO CO1, 2, 3 đồng quy.
2.3.2. Một số bài toán tham khảo
Bài toán tham khảo 2.7. Cho tam giác ABC và ba điểm D E F, , theo thứ tự thuộc BC CA AB, , sao cho AD BE CF, , đồng quy và D E F, , khác trung điểm các đoạn thẳng này và gọi M N P, , lần lượt là điểm chung của các cặp đường thẳng (E F BC, ), (D F CA, ), (DE AB, ). Chứng minh
, ,
M N P thẳng hàng.
Bài toán tham khảo 2.8. Cho tam giác ABC và một điểm S. Gọi ', ', '
A B C lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng ASvà BC, BS và CA, CS và AB. Gọi M N P, , lần lượt là các giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng AB v A Bà ' ', BC v B Cà ' ', CA v C Aà ' '. Chứng minh rằng các điểm M N P, , thẳng hàng.
Bài toán tham khảo 2.9. Cho ba điểm A A A1, 2, 3 thuộc một đường tròn.
Một điểm E nằm ngoài đường tròn đó. Các đường thẳng EA ii ( 1,2,3) cắt đường tròn lần lượt tại A1', A2', A3'. Các tiếp tuyến của đường tròn tại
1', 2', 3'
A A A cắt các đường thẳng A A2 3, A A3 1, A A1 2 lần lượt tại , ,P Q R. Chứng minh rằng , ,P Q R thẳng hàng.