CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
2.7. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM XẠ ẢNH
2.7.1. Các bài toán của hình học sơ cấp có đặc trưng xạ ảnh
Để giải các bài toán của hình học sơ cấp đã có các đặc trưng xạ ảnh, chúng ta cần nắm thật v ng các khái niệm cơ bản, các định lý, tính chất, … Vận dụng linh hoạt các kiến thức đó, chúng ta sẽ tìm được lời giải của bài toán.
a. Các bài toán vận dụng định lý Desargues
Bài toán 2.20. Trong mặt phẳng xạ ảnh, tam giác ABC được gọi là đối cực của tam giác A B C' ' ' đối với đường cong bậc hai không suy biến ( )S nếu các đường thẳng B C C A A B' ', ' ', ' ' lần lượt là cực tuyến của các điểm
, ,
A B C đối với ( )S .
Chứng minh rằng khi đó tam giác A B C' ' ' cũng là đối cực của tam giác ABC với ( )S và các đường thẳng A A BB CC', ', ' đồng quy.
Giải.
Gọi A, B, C lần lượt là các đường đối cực của ,A B C, đối với S . Theo đề ta có, A B C' ', B C A' ' nên C' B C' ' C A' ' A B là cực điểm của đường thẳng AB. Hay AB là cực tuyến của C'.
Tương tự, ta chứng minh các đường thẳng BC, CA lần lượt là cực tuyến của ', 'A B .
Vậy A B C' ' ' là tam giác đối cực của ABC.
Để chứng minh A A', BB', CC' đồng quy, ta gọi B C' ' BC, ' '
C A CA, A B' ' AB.
Khi đó các điểm , , lần lượt là cực điểm của A A', BB', CC'. Ta cần chứng minh , , thẳng hàng.
59
Chọn mục tiêu { , , ; }A B C E và đối với mục tiêu này ( )S có phương trình dạng 3 ij
, 1 i j 0
i j
a x x .
Vì B C' ' là cực tuyến của điểm (1, 0, 0)A nên B C' ' [a a a11, 12, 13]. Đường thẳng BC [a23, 0, a21], do đó (0,a13, a12).
Tương tự, ta có (a23, 0, a21), (a32, a31, 0).
Chú ý rằng aij aji nên
13 12
23 21
32 31
0
0 0.
0
a a
a a
a a
Vậy ba điểm , , thẳng hàng.
Áp dụng định lý Desargues cho hai tam giác ABC và A B C' ' ', ta có giao điểm của các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác này thẳng hàng nên các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng A A BB CC', ', ' đồng quy.
Vậy bài toán được chứng minh.
Bài toán 2.21. Cho điểm C và hai đường thẳng a và b cắt nhau tại một điểm S nằm ngoài phạm vi của trang giấy. Chỉ dùng thước kẻ, dựng đường thẳng CS.
Hình 2.22
C' A
C
B'
B A'
60 Giải.
Phân tích. Giả sử đường thẳng c CSđã dựng được.
Ta lấy một điểm O không nằm trên các đường thẳng , ,a b cvà qua Okẻ hai đường thẳng m OC và n. Đường thẳng n cắt a, b và clần lượt tại A,
'
B và C'. Đường thẳng mcắt a, b lần lượt tại A' và B.
Hai tam giác ABC và A B C' ' ' thỏa mãn điều kiện của định lý Desargues nên các giao điểm P AB A B' ', Q AC A C' ', O BC B C' ' nằm trên một đường thẳng t. Từ đó suy ra cách dựng như sau.
Cách dựng. Lấy một điểm O không nằm trên đường thẳng a và b. Qua O dựng đường thẳng
OCvà một đường thẳng n bất kỳ.
Chúng lần lượt cắt a, b tại A', B và A, B'. Dựng P AB A B' ', dựng đường thẳng OP, đường thẳng này cắt CA tại Q. Dựng đường thẳng A Q' , đường thẳng này cắt đường thẳng n tại C'. Dựng đường thẳng c CC'.
Đó chính là đường thẳng cần dựng, tức là c đi qua S.
Bài toán 2.22. Cho tam giác ABC và ba điểm A B C0, 0, 0 nằm trên một đường thẳng s. Chỉ bằng thước kẻ, hãy dựng tam giác A B C' ' ' nội tiếp tam giác ABC sao cho các cạnh B C' ', C A' ', A B' ' tương ứng đi qua A B C0, 0, 0.
Giải.
Nhận xét. Ta xem các đỉnh của tam giác A B C' ' ' không trùng với bất cứ đỉnh nào của tam giác ABC.
a
b
S
Hình 2.23
Q P
B C
A C'
B' A'
O
61
Muốn vậy, điểm A0không nằm trên AB và AC, điểm B0 không nằm trên BA và BC còn điểm C0không nằm trên CA và CB.
Với điều kiện đó khi cho một đỉnh của tam giác A B C' ' ' thì hai đỉnh còn lại được xác định một cách duy nhất.
Phân tích. Giả sử bài toán đã giải được.
Qua điểm A0 ta kẻ một đường thẳng a1 bất kì. Đường thẳng này cắt AB và AC tại các điểm C1và B1. Xét các tam giác A B C' ' ' và ABC1 1 1. Các giao điểm của các cặp cạnh tương ứng của hai tam giác này chính là các điểm
0, 0, 0
A B C , nằm trên đường thẳng s. Do đó, theo định lý Desargues, các đường thẳng nối các cặp đỉnh tương ứng A A1 ', B B1 ', C C1 ' cắt nhau tại một điểm, điểm đó chính là điểm A.
Vậy A A1 ' đi qua A. Nói cách khác, đường thẳng A A1 cắt đường thẳng BC tại điểm A'. Từ đó suy ra cách dựng như sau.
Cách dựng. Dựng tam giác ABC1 1 1 như đã chỉ ra ở trên.
Dựng đường thẳng A A1, ta nhận được điểm A' A A1 BC.
Dựng các đường thẳng A B' 0và A C' 0,ta nhận được điểm C' A B' 0 AB và B' A C' 0 AC. Tam giác vừa dựng thỏa mãn các điều kiện của bài toán.
Hình 2.24
a 1
A 1
B 1
C 1
A 0
B 0
C 0
A
B
C C'
A' B '
62
Bài toán tham khảo 2.17. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho một tam giác ABC và một điểm P. Gọi A' PA BC, B' PB CA, C' PC AB. Chứng minh rằng các điểm AB A B' ', AC A C' ', BC B C' ' thẳng hàng.
Bài toán tham khảo 2.18. Cho đường thẳng cvà hai điểm A và B không nằm trên nó. Dựng giao điểm của đường thẳng cvới đường thẳng AB nhưng không được phép dựng đường thẳng AB.
b. Các bài toán vận dụng định lý Pascal
Bài toán 2.23. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 cho conic ( )S và hai điểm ,
A B cố định trên ( )S . Gọi I là giao điểm của hai tiếp tuyến với ( )S tại A và B. Cho M là điểm biến thiên trên ( )S (không trùng với ,A B). Đường thẳng IM cắt conic ( )S tại điểm thứ hai N. Các tiếp tuyến của ( )S tại
, ,
N A B lần lượt cắt AB, BM , MA tại ,P Q R. , Chứng minh , ,P Q R thẳng hàng.
Giải.
Gọi , , ,t t tA B M tN lần lượt là tiếp tuyến với conic tại điểm ,A B, M , N. Áp dụng định lý Pascal cho tam giác ABM nội tiếp conic ta có các giao điểm
Q tA BM, R tB AM, K tM AB thẳng hàng. (2.18)
Hình 2.25
L K
R
Q
I
A
B M
P
N
63
Mặt khác, gọi L tM tN, vì AB là cực tuyến của điểm I MN nên L AB.
Hay K (AB tM) tN AB (tM tN) L tM (AB tN) P, tức là K P (2.19)
Từ (2.18) và (2.19) suy ra , ,P Q R thẳng hàng.
Bài toán 2.24. Trong mặt phẳng xạ ảnh cho conic ( )S và bốn điểm , , ,
A B C D thuộc ( )S . Giả sử a và b là hai tiếp tuyến của ( )S tại A và B. Gọi M AC b, M' BC a, N AD b, N' BD a.
Chứng minh rằng các đường thẳng AB CD M N MN, , ' , ' đồng quy.
Giải.
Kí hiệu S AB CD.
Để chứng minh các đường thẳng AB CD M N MN, , ' , ' đồng quy ta chỉ cần chứng minh hai bộ ba điểm M S N, , ' và M N S', , thẳng hàng.
Xét lục giác CAABBD nội tiếp conic và gọi CA tB M , tA BD N', AB CD S. Theo định lý Pascal, ta có M N S, ', thẳng hàng.
Xét lục giác DAABBC nội tiếp và gọi AD tB N, tA BC M', AB CD S. Theo định lý Pascal, ta có M N S', , thẳng hàng.
Hình 2.26
I N'
M S
O
N
M'
A
D
B
C
64
Do đó các đường thẳng AB CD M N MN, , ' , ' đồng quy tại S.
Bài toán 2.25. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 cho conic ( )S và ba điểm , ,
A B C cố định nằm trên ( )S . Gọi K là một điểm cố định không nằm trên ( )S . Các đường thẳng KA KB KC, , cắt ( )S tại các điểm thứ hai A B C', ', '. Giả sử P là một điểm biến thiên trên ( )S . Các đường thẳng PA PB PC, , theo thứ tự cắt B C' ', C A' ', A B' ' tại '',A B C'', ''.
Chứng minh rằng '', '', ''A B C cùng nằm trên một đường thẳng và đường thẳng này luôn đi qua một điểm cố định.
Giải.
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác PA A C B B' ' ' nội tiếp conic ta có ba điểm '', '',A B K thẳng hàng.
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác PCC A B B' ' ' ta được ba điểm '', '',
B C K thẳng hàng.
Từ đó suy ra bốn điểm '', '', '',A B C K nằm trên một đường thẳng.
Điều này có nghĩa là đường thẳng '', '', ''A B C luôn luôn đi qua điểm cố định K.
Hình 2.27 B''
C' '
A'' K
A'
B
C' A
B' C P
65
Bài toán tham khảo 2.19. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho conic ( )S và hai điểm ,I J ( )S . Lấy hai điểm ,A B lần lượt thuộc các tiếp tuyến với ( )S tại ,I J. Vẽ AC và BD tiếp xúc với ( )S tại C và D. Kí hiệu P ID AC,
Q JC BD.
Chứng minh rằng PQ AB IJ.
Bài toán tham khảo 2.20. Trong 2 cho bốn điểm , ,A B C D, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Gọi ( )S là một conic biến thiên luôn luôn đi qua bốn điểm đó. Tiếp tuyến của ( )S tại B cắt AC tại B', tiếp tuyến của
( )S tại C cắt BD tại C'.
Chứng minh rằng đường thẳng B C' ' luôn đi qua một điểm cố định.
c. Các bài toán vận dụng định lý Brianchon
Bài toán 2.26. Các cạnh BC CA AB, , của tam giác ABC tiếp xúc với một đường conic tại các điểm , ,K L M . Chứng minh rằng hai tam giác ABC và KLM thỏa mãn điều kiện của định lý Desargues.
Giải.
Ta xem tam giác ABC là lục giác suy biến AMBKCL ngoại tiếp conic.
Khi đó áp dụng định lý Brianchon ta có các đường thẳng AK, CM, BL đồng quy. Tức là hai tam giác ABCvà KLM thỏa mãn điều kiện của định lý Desargues.
Hình 2.28
C A
B
L M
K
66
Bài toán 2.27. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho đường thẳng và một conic ( )S không cắt . Ba điểm , ,A B C nằm trên ( )S . Gọi các tiếp tuyến với ( )S tại A B C, , lần lượt là tA,tB,tC. Kí hiệu tB tC, tC tA,
A B
t t , D A B .
Chứng minh ba điểm , ,C D thẳng hàng.
Giải.
Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác ngoại tiếp ABC ta có
, ,
A B C đồng quy tại D, tức là , ,C D thẳng hàng.
Bài toán tham khảo 2.21. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho conic ( )S , bốn đường thẳng d d d d1, 2, 3, 4 tiếp xúc với conic ( )S lần lượt tại
, , , M N P Q.
Chứng minh rằng các đường thẳng MP NQ, cùng đi qua một điểm cố định.
Bài toán tham khảo 2.22. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 cho ba điểm , ,
A B C cố định thuộc conic ( )S . Kí hiệu các tiếp tuyến với ( )S tại ,A B C, lần lượt là , ,tA tB tC. Gọi M tB tC, N tC tA, P tA tB, O AM BN.
Chứng minh rằng ba điểm , ,C O P thẳng hàng.
Hình 2.29
D A
B
C
67
d. Các bài toán vận dụng định lý Pappus
Bài toán 2.28. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho tam giác A A A1 2 3 và hai đường thẳng p và q phân biệt không đi qua đỉnh nào của tam giác. Ba cạnh của tam giác A A2 3, A A3 1, A A1 2 cắt p lần lượt tại P2, P1, P3 và cắt q lần lượt tại Q1, Q2, Q3.
Chứng minh rằng các điểm PQ2 3 Q P2 3, PQ1 3 Q P1 3, PQ1 2 Q P1 2 nằm trên một đường thẳng.
Nhận xét. Có thể sử dụng phương pháp tọa độ để giải bài toán bằng cách : chọn mục tiêu { ,A A A E1 2, 3; } sao cho đường thẳng p có tọa độ
[1, 1, 1]
p . Điều này có thể làm được bằng cách chọn điểm E sao cho các giao điểm của các cặp đường thẳng A A1 2 và E E1 2, A A2 3 và E E2 3 , A A3 1 và
3 1
E E nằm trên đường thẳngp, trong đó E1 A E1 A A2 3, E2 A E2 A A1 3,
3 3 1 2
E A E A A. Tuy nhiên, bài toán còn có thể có cách giải khác đó là sử dụng định lý Pappus.
G iải.
Áp dụng định lý Pappus cho hai bộ ba điểm P1, P2,P3 và Q1, Q2, Q3 có Hình 2.30 .
N M
Q 3
Q 2
Q 1
P 3
P 2
P 1
q
p
A3
A1
A2
68
1 2 1 2 3
1 3 1 3
2 3 2
, , . PQ Q P A PQ Q P M P Q Q P N
Suy ra các điểm A M N, , thẳng hàng hay các điểm PQ2 3 Q P2 3,
1 3 1 3
PQ Q P, PQ1 2 Q P1 2 nằm trên một đường thẳng.
Bài toán 2.29. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2, cho tam giác A A A1 2 3 và một điểm E. Gọi E1 A E1 A A2 3, E2 A E2 A A1 3, E3 A E3 A A1 2. Các điểm
2, 2, 3
M M M lần lượt nằm trên các cạnh E E2 3, E E3 1, E E1 2 của tam giác
1 2 3
E E E .
Chứng minh rằng nếu các đường thẳng E M1 1, E M2 2, E M3 3 đi qua một điểm thì các đường thẳng AM1 1, A M2 2, A M3 3 cũng đi qua một điểm.
Giải.
Ta giải bài toán với một điểm M1 nào đó của đường thẳng E E2 3 thì tất nhiên nó xảy ra đối với bất kì điểm M1 nào đó của E E2 3. Do đó có thể tạm xem M1 là điểm cố định, còn M2 và M3 biến thiên.
Để chứng minh A M1 1, A M2 2, A M3 3 đồng quy ta sẽ chứng minh rằng chùm A2{A2M2,...} A3{A3M3,...} mà AM1 1 là trục phối cảnh.
Ta có
2{ 2 2,...} 3{ 3 3,...} 1 3{ 2,...} 1 2{ 3,...}
E E M E E M E E M E E M
2{ 2 2,...} 3{ 3 3,...}
A A M A A M . Mặt khác, A A2 3tự ứng nên A A M2{ 2 2,...} A A M3{ 3 3,...}
Khi M2 E3thì M3 E2 nên A1 là một vị trí của điểm A M2 2 A M3 3. Vậy A1 thuộc trục phối cảnh.
Cần chứng minh M1 thuộc trục phối cảnh.
69
Thật vậy, gọi M'2 A M2 1 E E1 3, M'3 A M3 1 E E2 1 thì chỉ cần chứng minh E M2 '2, E M3 '3, E M1 1 đồng quy.
Áp dụng định lý Pappus cho hai bộ ba điểm E M E3 1 2 và A E A2 1 3 suy ra
2 3
' , , '
M E M thẳng hàng.
Áp dụng định lý Pappus cho hai bộ ba điểm A A E2 3 1 và E E M2 3 1 suy ra
1, '' ,3 ''2
A M M thẳng hàng.
Hai tam giác A E E1 3 và M''3M M1 '3 có ba điểm A E A2, 1, 3 thẳng hàng, nên EM' ,3 E M AM3 1, 1 ''3 đồng quy.
Do đó M M'2 ' ,3 E E M2 3, ''2M''3 đồng quy.
Hai tam giác E E E1 2 3 và M M M1 '2 '3 thỏa mãn định lý Desargues nên
2 ' ,2 3 ' ,3 1 1
E M E M E M đồng quy.
Bài toán tham khảo 2.23. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho tứ giác ABCD có các cạnh đối diện không song song. Gọi ,E F lần lượt là hai điểm
Hình 2.31
M '' 3
M '' 2
M 3
M 2
M 1
E 3
E 2
E 1
A 3
A 2
A 1
M M ‘ 2 E
M ' 3
70
bất kỳ nằm trên hai đường thẳng AB và CD. Gọi , ,H K I lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng MF và QE, NF và PE, MP và NQ.
Chứng minh rằng , ,H K I thẳng hàng.
Bài toán tham khảo 2.24. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 cho tam giác ABC và điểm M . Gọi ', ', 'A B C lần lượt là giao điểm của các cặp đường thẳng MA v BCà , MB v CAà , MC v ABà . P Q, là hai điểm di động trên đường thẳng AC v A Cà ' '. Gọi R AQ C P' , S CQ A P' .
Chứng minh rằng đường thẳng RSluôn đi qua một điểm cố định.