CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
2.7. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM XẠ ẢNH
2.7.2. Các bài toán affine, Euclide của hình học sơ cấp
Để giải các bài toán affine hoặc Euclide của hình học sơ cấp, có liên quan đến vận các định lý cổ điển theo quan điểm của hình học xạ ảnh. Chúng ta cần thực hiện các bước chung như sau :
Bước 1. Chuyển bài toán affine, Euclide về bài toán xạ ảnh.
Bước 2. Giải bài toán xạ ảnh trong không gian xạ ảnh.
Bước 3. Kết luận bài toán affine, Euclide ban đầu đúng.
a. Các bài toán minh họa
Bài toán 2.30. Trong mặt phẳng affine 2 cho tam giác ABC và ba hình bình hành sao cho mỗi hình bình hành có đường chéo là một cạnh của tam giác, còn hai cạnh kề nhau là hai cạnh còn lại của tam giác.
Chứng minh các đường chéo còn lại của các hình bình hành đồng quy tại một điểm.
Nhận xét. Theo điều kiện của bài toán, ba đỉnh thứ tư của ba hình bình hành tạo thành tam giác PQR mà các cạnh của nó tương ứng song song với các cạnh của tam giác ABC.
Đây là bài toán quen thuộc của hình học affine, tuy nhiên ở đây chúng ta sẽ sử dụng mô hình của hình học xạ ảnh để giải.
71
Trong mô hình này, khái niệm hình bình hành sẽ trở thành một hình bốn cạnh toàn phần mà giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên đường thẳng vô tận.
Giải.
Bài toán xạ ảnh tương ứng với bài toán affine đã cho. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho đường thẳng và một tam giác ABC. Các cạnh AB, BC, CA lần lượt cắt tại , ,I J K. Gọi P, Q lần lượt là giao của đường thẳng A J với các đường thẳng BK và CI , R CI BK. Chứng minh rằng các đường thẳng AR, BQ, PC đồng quy .
Giải bài toán xạ ảnh.
Xét hai tam giác ABC và 73 có
AB RQ I, AC RP K, BC QP J.
Ba điểm , ,I J K thẳng hàng nên theo định lý Desargues ta có các đường thẳng AR, BQ, PC đồng quy.
Vậy bài toán ban đầu đúng trong không gian affine 2.
Hình 2.32
P
Q
R J
I
C
A B
K
72
Bài toán 2.31. Trong mặt phẳng affine 2 cho hình thang A A B B1 2 1 2 với cạnh đáy là A A1 2 và B B1 2. Qua A1, B1 dựng các đường thẳng a b1, 1 song song với nhau. Qua A2, B2 dựng các đường thẳng a b2, 2 song song với nhau sao cho a1 không song song với a2.
Chứng minh các điểm A B1 2 A B2 1, a1 a2, b1 b2 thẳng hàng.
Nhận xét. Khi xét trên mô hình xạ ảnh thì hai đường thẳng affine song song với nhau sẽ trở thành hai đường thẳng cắt nhau trên đường thẳng vô tận
.
Giải.
Bài toán xạ ảnh tương ứng với bài toán đã cho. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho đường thẳng và một tứ giác A A B B1 2 1 2 sao cho A A1 2 và B B1 2 cắt nhau trên . Từ A B1, 1dựng các đường thẳng a b1, 1 sao cho chúng cắt nhau trên , từ A2, B2 dựng các đường thẳng a b2, 2 sao cho chúng cắt nhau trên
. Chứng minh rằng các điểm A B1 2 A B2 1, a1 a2, b1 b2 thẳng hàng .
Hình 2.33
Q
P a1
a2
b1 b2
B2 B1
A2 A1
K N
M
73
Giải bài toán xạ ảnh. Gọi P b1 b2, Q a1 a2. Xét hai tam giác
1 2
PB B và QA A1 2 có giao điểm của các cặp cạnh tương ứng A Q2 B P2 M,
1 1
AQ PB N, A A1 2 B B1 2 K. Các điểm M N K, , thuộc đường thẳng nên thẳng hàng.
Theo định lý Desargues các đường thẳng nối các đỉnh tương ứng của hai tam giác là A B B A PQ1 2, 1 2, đồng quy. Hay đường thẳng PQ đi qua giao điểm của A B v B A1 2 à 1 2. Tức là các điểm A B1 2 A B2 1, a1 a2, b1 b2 thẳng hàng.
Bài toán 2.32. Trong mặt phẳng affine A2 cho Hypebol ( )S có tâm là O và hai tiệm cận ,a b. Hai điểm C và D thuộc ( )S . Tiếp tuyến với ( )S tại C và D giao nhau tại N. Đường thẳng qua C và song song với a cắt đường thẳng qua D và song song với b tại P. Đường thẳng qua C và song song với
b cắt đường thẳng qua D và song song với a tại Q. Chứng minh rằng bốn điểm , , ,O N P Q thẳng hàng.
Giải.
Bài toán xạ ảnh tương ứng. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho đường thẳng và một conic ( )S cắt tại hai điểm I và J. Các tiếp tuyến tI và tJ cắt nhau tại O. Hai điểm C và D thuộc ( )S . Tiếp tuyến với ( )S tại C và D giao nhau tại N. Gọi P CJ DI, Q CI DJ.
Chứng minh rằng bốn điểm , , ,O N P Q thẳng hàng .
Giải bài toán xạ ảnh. Áp dụng định lý Pascal cho lục giác CCJDDI nội tiếp conic ta có
DD ,
, .
CC N
CI DJ Q ID JC P suy ra các điểm , ,P Q N thẳng hàng.
Áp dụng định lý Pascal cho lục giác IICJJD nội tiếp conic ta có
74 ,
, . II JJ O CI DJ Q
ID JC P suy ra các điểm ,P Q O, thẳng hàng.
Từ đó ta có bốn điểm , , ,O N P Q thẳng hàng.
Bài toán 2.33. Trong mặt phẳng affine 2 cho ellipse ( )S và hai đường thẳng song song avà b tiếp xúc với ( )S tại P và Q. Một điểm C thay đổi trên PQ (C P Q, ). Từ C kẻ hai đường thẳng Cx và Cy tiếp xúc với ( )S tại A và B. Đường thẳng Cx và Cy tương ứng cắt ,a b lần lượt tại A B1, 1 và
2, 2
A B . Gọi X PB1 QA1, Y PB2 QA2.
Chứng minh rằng các đường thẳng XY a b, , song song với nhau.
Giải.
Bài toán xạ ảnh tương ứng với bài toán affine. Trong mặt phẳng xạ ảnh
2cho đường thẳng và một conic ( )S không cắt nó. Hai đường thẳng avà b cắt nhau trên và tiếp xúc với ( )S tại P và Q. Một điểm C thay đổi trên PQ (C P Q, ). Từ C kẻ hai đường thẳng Cx và Cy tiếp xúc với ( )S tại A
b a
Hình 2.34
J I
P N Q
O
C
D
75
và B. Đường thẳng Cx và Cy tương ứng cắt ,a b lần lượt tại A B1, 1 và
2, 2
A B . Gọi X PB1 QA1, Y PB2 QA2.
Chứng minh rằng các đường thẳng XY a b, , , đồng quy.
Giải bài toán xạ ảnh.
Gọi O a b. Áp dụng định lý Brianchon cho tam giác A B O1 1 ngoại tiếp conic (tức là lục giác suy biến A POQB B1 1 ), ta có AQ1 , B P1 , OB đồng quy. Điều này có nghĩa là X OB.
Tương tự, ta chứng minh được Y OA. (2.20)
Mặt khác, AB là cực tuyến của điểm C và PQ là cực tuyến của điểm O. Theo giả thiết điểm C thay đổi trên PQ do đó đường thẳng AB thay đổi
nhưng luôn đi qua O. (2.21)
Từ (2.20) và (2.21) ta suy ra , ,X Y O thẳng hàng. Hay các đường thẳng , , ,
XY a b đồng quy.
Hình 2.35
b a
B2 A2
B1 A1
Y X
O
P
Q C
A
B
76
Bài toán 2.34. Trong mặt phẳng Euclide 2 cho đường tròn tâm O và một hình bình hành ABCD ngoại tiếp đường tròn. Gọi ,E F G H, , lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh AB BC CD DA với đường tròn. , , , M là một tiếp điểm thay đổi trên đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt DCở K , cắt BCở L. Chứng minh các đường thẳng AL BD EK, , đồng quy.
Giải.
Bài toán xạ ảnh tương ứng. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho đường thẳng và một conic không cắt ( )S . Một tứ giác ABCD ngoại tiếp conic sao cho giao điểm của các cặp cạnh đối diện nằm trên . Gọi , , ,E F G Hlần lượt là các tiếp điểm của các cạnh AB BC CD DA với ( ), , , S . Giả sử M là một điểm thay đổi tùy ý trên ( )S . Tiếp tuyến tại M cắt DC ở K, cắt BCở L. Chứng minh các đường thẳng AL BD EK, , đồng quy.
Giải bài toán xạ ảnh.
Áp dụng định lý Brianchon cho lục giác BEADKL ngoại tiếp conic ta suy ra các đường thẳng AL BD EK, , đồng quy.
Hình 2.36
G
F H E
L D
B A
K C M
77
Bài toán 2.35. Trong mặt phẳng Euclide, cho hình bình hành ABCD (AB/ /CD và AD/ /BC). E F, tương ứng là hai điểm bất kì trên đường thẳng AB và CD. Kí hiệu G AF DE, H BF CE.
Chứng minh rằng đường thẳng GHchia hình bình hành đã cho thành hai phần có diện tích bằng nhau.
Nhận xét. Để chứng minh đường thẳng GHchia hình bình hành ABCD thành hai phần có diện tích bằng nhau ta chỉ cần chứng minh GHđi qua tâm
I của nó, đây là một bài toán affine. Dùng mô hình xạ ảnh để giải bài toán.
Giải.
Bài toán xạ ảnh tương ứng. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho đường thẳng và một tứ giác ABCD sao cho AB CD , AD BC . ,E F tương ứng là hai điểm bất kỳ trên đường thẳng AB và CD. Kí hiệu G AF DE, H BF CE. Chứng minh rằng ba điểm ,G Hvà I AC BD thẳng hàng.
Giải bài toán xạ ảnh. Áp dụng định lý Pappus cho hai bộ ba điểm , ,
A B E và ,D C F, ta được AC DB I AF, DE G BF, CE H. Suy ra các điểm , ,I G H thẳng hàng hay GHđi qua tâm I của hình bình
Hình 2.37
I H G
A
D
C B
E F
78 hành. Ta có điều phải chứng minh.
b. Các bài toán tham khảo
Bài toán tham khảo 2.25. Trong mặt phẳng affine 2 cho hình bình hành ABCD có hai đỉnh đối diện ,A C nằm trên Hypebol ( )H cho trước và có các cạnh song song với các đường tiệm cận của Hypebol. Tiếp tuyến của (H) tại A cắt các tiệm cận thứ nhất và tiệm cận thứ hai lần lượt tại A1 và A2. Tiếp tuyến của ( )H tại C cắt tiệm cận thứ nhất và tiệm cận thứ hai lần lượt tại C1và C2. Hai tiếp tuyến đó cắt nhau tại H . Chứng minh rằng ba đường thẳng
AC, AC1 2, A C2 1 song song với nhau.
Bài toán tham khảo 2.26. Trong mặt phẳng Euclide 2 cho đường tròn tâm O và một hình bình hành ABCD ngoại tiếp đường tròn. Gọi ,E F G H, , lần lượt là các tiếp điểm của các cạnh AB BC CD DA với đường tròn. , , , M là một tiếp điểm thay đổi trên đường tròn. Tiếp tuyến tại M cắt DCở K , cắt BCở L. Gọi X là giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn tại M với AB, còn Y là giao của hai đường thẳng EH và FM . Chứng minh XY song song với AD.
Bài toán tham khảo 2.27. Trong mặt phẳng affine 2 cho một Hypebol (H)tâm Ovà một điểm D ( )H . Từ D dựng hai đường thẳng tiếp xúc với (H)tại ,P Q. Các tiếp tuyến này cắt hai tiệm cận của Hypebol tại ,A C. Chứng minh rằng AC/ /PQ.
Bài toán tham khảo 2.28. Trong mặt phẳng affine 2 cho một Hypebol (H)tâm Ovà một điểm D ( )H . Từ D dựng hai đường thẳng tiếp xúc với (H)tại ,P Q. Các tiếp tuyến này cắt hai tiệm cận của Hypebol tại
,
A C. Từ P và Q kẻ hai đường thẳng Px/ /b, Qy/ /a, ký hiệu E Px Qy. Chứng minh rằng E AC OD.
79