CHƯƠNG 2. ỨNG DỤNG CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP
2.1. ỨNG DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ MENELAUS
Như đã trình bày ở chương 1, định lý Menelaus cho ta một hệ thức liên hệ gi a vị trí các điểm trên một cạnh của tam giác và điều kiện để nh ng điểm này thẳng hàng.
Để chứng minh các điểm thẳng hàng chúng ta thường chỉ ra các điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Tuy nhiên, trong một số trường hợp việc chứng tỏ này gặp nhiều khó khăn. Nhưng nếu chúng ta biết vận dụng các định lý cổ điển, cụ thể là định lý Menelaus, thì bài toán sẽ được giải quyết đơn giản hơn.
2.1.1. Một số bài toán minh họa
Bài toán 2.1. Cho điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp của tam giác ABC. Gọi A B C1, 1, 1 là chân các đường vuông góc hạ từ P xuống các đường thẳng BC CA AB, , tương ứng. Chứng minh rằng các điểm A B C1, 1, 1 thẳng hàng.
33
Nhận xét. Trong bài toán này ta nhận thấy ba điểm A B C1, 1, 1 đều nằm trên các cạnh khác nhau của tam giác ABC hoặc trên các đường kéo dài của các cạnh của tam giác này. Do đó nếu thiết lập được hệ thức liên hệ về tỉ số gi a các điểm này với các đỉnh, chứng minh tích các tỉ số đó bằng 1, thì theo định lý Menelaus ta sẽ có kết quả chứng minh của bài toán.
Giải.
Ta có PAC PBC PAB, PCB v PCAà PBA 1800 nên
1 1
cos cos
cos cos
A B BP PBC BP PAC
AC CP PCB CP PCB (2.1)
1 1
cos cos
cos cos
B C CP PCA CP PBA
B A AP PAC AP PAC (2.2)
1 1
cos cos
cos cos
C A AP PAB AP PCB
C B BP PBA BP PBA (2.3)
Nhân các đẳng thức (2.1), (2.2) và (2.3) vế theo vế ta được
1 1 1
1 1 1
cos cos cos
. . . . 1.
cos cos cos
A B B C C A BP PAC CP PBA AP PCB AC B A C B CP PCB AP PAC BP PBA
Theo định lý Menelaus ta có các điểm A B C1, 1, 1 thẳng hàng.
Hình 2.1
C1 B1
A1
O
P C
B A
34
Bài toán 2.2. Trong tam giác vuông ABC, kẻ đường cao CK từ đỉnh của góc vuông C, còn trong tam giác CAK kẻ đường phân giác CE. Gọi Dlà trung điểm của đoạn AC, Flà giao điểm của các đường thẳng DE v CKà . Chứng minh rằng BF / /CE.
Nhận xét. Mặc dù đây là bài toán chứng minh hai đường thẳng song song thẳng nhưng chúng liên quan đến tỉ số các cặp cạnh và tam giác đồng dạng.
Để rút được các tỉ số này ta cần dùng đến định lý Menelaus.
Giải.
Kẻ đường phân giác BH của góc CBA của tam giác ABC.
Vì EBC ACK(góc có cạnh tương ứng vuông góc), nên
900
ACE ECB CBH ECB
Suy ra BH EC, do đó EBC cân tại B (vì có đường phân giác đồng thời là đường cao), và EP CK.
Áp dụng định lý Menelaus cho CAK với ba điểm D E F, , ta được
. . 1
DC EA FK DA EK FC . Mặt khác,CD DA nên có
FK EK CK EP BP BK. FC EA CA AC BC BE
Từ FK BK
FC BE suy ra KF KB
KC KE hay FKB CKE và BF / /CE. Hình 2.2
P
H
F D
E K
C
A B
35
Bài toán 2.3. Chứng minh rằng trong tứ giác toàn phần ba trung điểm của ba đường chéo thẳng hàng.
Nhận xét. Tứ giác toàn phần có nhiều ứng dụng trong hình học sơ cấp, bài toán này là một tính chất đặc trưng của tứ giác toàn phần. Tuy nhiên để sử dụng nó, chúng ta cần chứng minh. Việc vận dụng định lý Menelaus giúp chúng ta có được lời giải cho bài toán này.
Giải.
Giả sử tứ giác toàn phần có bốn cạnh là ',
AC B C' ', CA, BC. Gọi A B C2, 2, 2 lần lượt là trung điểm của ba đường chéo A A BB CC', ', '. Ta cần chứng minh A B C2, 2, 2 thẳng hàng.
Vì BC C A A B1 1, 1 1, 1 1 là các đường trung bình của tam giác ABC nên
2, 2, 2
A B C lần lượt thuộc BC C A A B1 1, 1 1, 1 1. Ta có 2 1
2 1
' , ' A B A C
A B
A C (2.4) 2 1
2 1
' , ' B C B A
B A B C (2.5) 2 1
2 1
' . ' C A C B
C B C A (2.6) Nhân từng vế các đẳng thức (2.4), (2.5) và (2.6) ta được :
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
' ' '
. . . .
' ' '
A B B C C A A C B A C B
A C B A C B A B B C C A (2.7) Vì A B C', ', ' thẳng hàng nên vế phải (2.7) bằng 1.
Do vậy
A 1 B1 C1
C2 B2
A2
Hình 2.3
A' A
C'
B'
C B
36
2 1 2 1 2 1
2 1 2 1 2 1
. . 1.
A B B C C A A C B A C B
Hệ thức này chứng tỏ ba điểm A B C2, 2, 2 thẳng hàng.
2.1.2. Một số bài toán tham khảo
Bài toán tham khảo 2.1. Cho tam giác ABC và các điểm A B C1, 1, 1 lần lượt nằm trên các đường thẳng BC CA AB, , . Gọi A B C2, 2, 2 lần lượt là các điểm đối xứng với A B C1, 1, 1 qua trung điểm của BC CA AB, , .
Chứng minh rằng nếu ba điểm A B C1, 1, 1 thẳng hàng thì A B C2, 2, 2 cũng thẳng hàng.
Bài toán tham khảo 2.2. Cho điểm O nằm trong hình bình hành ABCD. Các đường thẳng đi qua O và song song với các cạnh của hình bình hành lần lượt cắt AB BC CD DA tại , , , M N P Q, , , . Gọi E là giao điểm của BQ và DM , F là giao điểm của BP và DN. Tìm điều kiện để , ,E F O thẳng hàng.
Bài toán tham khảo 2.3. Có bốn đường thẳng cùng đi qua một điểm K. Còn hai đường thẳng khác cắt bốn đường thẳng đó tương ứng tại các điểm
, , ,
A B C D và A B C D1, 1, 1, 1.
Chứng minh rằng 1 1 1 1
1 1 1 1
: :
AC AD AC A D BC BD B C B D . 2.2. ỨNG DỤNG ĐỊNH LÝ CEVA
Bài toán chứng minh các đường thẳng đồng quy là bài toán thường gặp trong chương trình toán phổ thông. Thông thường để chứng minh ba đường thẳng đồng quy tại một điểm ta chứng minh hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm và đường thẳng thứ ba đi qua giao điểm này. Tuy nhiên, trong một số