Một số kiến thức về không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh

CHƯƠNG 1. GIỚI THIỆU VỀ HÌNH HỌC SƠ CẤP VÀ CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN

1.3. CÁC ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN THEO QUAN ĐIỂM CỦA HÌNH HỌC XẠ ẢNH

1.3.1. Một số kiến thức về không gian xạ ảnh và hình học xạ ảnh

n chiều (n 0) trên trường Kvà X là một tập hợp không rỗng tùy ý. Ta kí hiệu P V( n1) là tập hợp tất cả các không gian con một chiều của Vn 1. Nếu có song ánh

: (P Vn1) X

thì bộ ba ( , ,X Vn1) được gọi là một không gian xạ ảnh n chiều liên kết với không gian vectơ Vn1trên trường Kvà được kí hiệu là n.

Định nghĩa 1.10. (Mục tiêu tọa độ xạ ảnh). Cho không gian xạ ảnh n chiều nđược sinh bởi không gian vectơ Vn 1. Trong không gian Vn 1 ta chọn một cơ sở e e1, ,...,2 en1 và vectơ 1

1 n

i i

e e . Gọi A1 là điểm có đại diện là vectơ e1, A2 là điểm có đại diện là vectơ e2,…,An1 là điểm có đại diện là vectơ en1. E là điểm có đại diện là vectơ e. Hệ các điểm A A1, 2,...,An1,E lấy theo thứ tự đó được gọi là một mục tiêu tọa độ xạ ảnh của không gian xạ ảnh

n cảm sinh bởi cơ sở .

Kí hiệu: { ,A A1 2,...,An1; }E hay { ; }A Ei i 1,n1.

Định nghĩa 1.11. (Hệ điểm độc lập). Trong n cho hệ gồm m điểm

1, 2,..., m

A A A . Hệ m điểm này được gọi là độc lập nếu m vectơ đại diện của

19

chúng a a1, 2,...,am là một hệ độc lập tuyến tính trong Vn 1. Một hệ không độc lập gọi là phụ thuộc.

Định lý 1.13 ([8]). Trong không gian xạ ảnh n, mọi hệ n 2 điểm

1, 2,..., n1,

A A A E sao cho trong số đó bất cứ n 1 điểm nào cũng độc lập đều là một mục tiêu tọa độ xạ ảnh của n.

Định nghĩa 1.12. (Tọa độ xạ ảnh của một điểm). Trong n cho mục tiêu tọa độ xạ ảnh { ; }A Ei , ứng với cơ sở { },e ii 1,n 1 của không gian vectơ Vn1. Điểm X ncó vectơ đại diện là x Vn1. Nếu đối với cơ sở { },e ii 1,n 1, vectơ x có tọa độ là ( , ,...,x x1 2 xn1) thì bộ n 1 số

1 2 1

( , ,...,x x xn ) được gọi là tọa độ của điểm X đối với mục tiêu xạ ảnh { ; }A Ei . Kí hiệu:X x x( , ,...,1 2 xn1).

Tính chất 1.1.(Điều kiện độc lập của một hệ 3 điểm trong 2). Trong mặt phẳng xạ ảnh 2, điều kiện cần và đủ để ba điểm A a a a( ,1 2, )3 ,

1 2 3

( , , )

B b b b , C c c c( , , )1 2 3 độc lập (không thẳng hàng) là

1 2 3

1 2 3

1 2 3

0 a a a b b b c c c

.

Định nghĩa 1.13. (Tọa độ của siêu phẳng xạ ảnh). Cho siêu phẳng

1

n trong n

1 1 2 2 ... n1 n1 0

u x u x u x .

Bộ n 1 số u u1, ,...,2 un1 trong phương trình trên được gọi là tọa độ của siêu phẳng n1. Kí hiệu: n1 [u ,u ,...,u ]1 2 n1 .

Tính chất 1.2. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 với mục tiêu đã chọn. Nếu hai điểm phân biệt A và B có tọa độ A a a a( ,1 2, )3 ,B b b b( , , )1 2 3 thì đường thẳng

AB có tọa độ

20

2 3 3 1 1 2

2 3 3 1 1 2

, ,

a a a a a a

AB b b b b b b .

Tính chất 1.3. Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 với mục tiêu đã chọn. Nếu hai đường thẳng phân biệt uvà vcó tọa độ u [ , , ]u u u1 2 3 , v [ , , ]v v v1 2 3 thì giao điểm của chúng M0 u v có tọa độ

2 3 3 1 1 2

0

2 3 3 1 1 2

, ,

u u u u u u

M v v v v v v .

Định nghĩa 1.14. ( Ánh xạ xạ ảnh). Cho hai không gian xạ ảnh có cùng số chiều là n và 'n lần lượt liên kết với hai không gian vectơ Vn1 và V'n 1. Một ánh xạ :f n 'n được gọi là ánh xạ xạ ảnh nếu có một phép đẳng cấu tuyến tính :Vn1 V'n1 sao cho nếu a là vectơ đại diện của điểm A của n thì ( )a là vectơ đại diện của điểm ( )f A thuộc 'n.

Định nghĩa 1.15. (Phép chiếu xuyên tâm trong 2). Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho hai đường thẳng 1 và 2 và một điểm O không thuộc chúng.

Một ánh xạ f : 1 2 được xác định như sau: với mỗi điểm M 1 được đặt tương ứng với một điểm f M( ) M' 2, trong đó M ' là giao của đường thẳng OMvới đường thẳng 2. Ta gọi f là phép chiếu xuyên tâm từ đường thẳng 1lên đường thẳng 2 với tâm chiếu O.

Định lý 1.14 ([8]). Trong 2 cho hai đường thẳng phân biệt 1, 2 và một ánh xạ xạ ảnh f : 1 2. Khi đó f là phép chiếu xuyên tâm khi và chỉ khi f I( ) I với I 1 2.

Định nghĩa 1.16. (Mô hình xạ ảnh của không gian affine). Trong không gian xạ ảnh n, chọn một siêu phẳng n1, gọi An n\ n1 là tập hợp nh ng điểm của n mà không thuộc n1. Ta có An là một không gian affine

n chiều. Đây là mô hình xạ ảnh của không gian affine n chiều.

21

Định nghĩa 1.17. (Mệnh đề đối ngẫu). Giả sử là một mệnh đề đúng của hình học xạ ảnh trong không gian xạ ảnh nchỉ nói về các m phẳng và quan hệ liên thuộc gi a chúng. Nếu trong ta thay các từ m phẳng bởi các từ (n m 1) phẳng còn tất cả các từ khác gi nguyên thì ta được một mệnh đề đúng *của hình học xạ ảnh n chiều. Mệnh đề * được gọi là mệnh đề đối ng u của mệnh đề .

Nguyên tắc đối ngẫu. Trong không gian xạ ảnh n nếu là mệnh đề đúng thì mệnh đề đối ng u * cũng đúng.

Định nghĩa 1.18. (Siêu mặt bậc hai của n). Trong không gian xạ ảnh

n với một mục tiêu xạ ảnh đã chọn, tập hợp tất cả nh ng điểm X mà tọa độ

1 2

( , ,...,x x xn) của chúng thỏa mãn một phương trình bậc hai có dạng

1

1 2 ij

, 1

( , ,..., ) 0

n

n i j

i j

f x x x a x x

với các hệ số aij aji và các aij không đồng thời bằng 0 là một siêu mặt bậc hai của n.

Tính chất 1.4. (Siêu mặt bậc hai trong không gian affine An). Mỗi siêu mặt bậc hai trong không gian affine An chính là một siêu mặt bậc hai trong không gian xạ ảnh n sau khi bỏ đi nh ng điểm thuộc siêu phẳng n1 (nếu có).

Nhận xét 1.3. Phương trình tiệm cận của siêu mặt bậc hai trong An chính là giao điểm của siêu mặt bậc hai trong n với siêu phẳng vô tận n 1.

Trong mô hình A2 2\ 1:

- Nếu conic cắt 1 tại hai điểm: ta có đường hypebol.

- Nếu conic không cắt 1: ta có đường elip.

- Nếu conic tiếp xúc với 1: ta có đường parabol.

22

Định nghĩa 1.19. (Đường đối cực của một điểm). Trong mặt phẳng xạ ảnh 2 cho đường bậc hai không suy biến ( )S có phương trình

3 3 3

1 1 2 2 3 3

1 1 1

i i i i i i 0

i i i

a u x a u x a u x

và U u u u( , , )1 2 3 là một điểm của mặt phẳng.

Ta gọi đường thẳng có tọa độ

3 3 3

1 2 3

1 1 1

, ,

i i i i i i

i i i

a u a u a u

là đường thẳng đối cực (hay cực tuyến) của điểm U.

Điểm U được gọi là cực điểm của đường thẳng đối với ( )S .

Định nghĩa 1.20. (Hai điểm liên hợp trong 2). Trong mặt phẳng xạ ảnh 2cho đường bậc hai ( )S . Hai điểm U và V được gọi là liên hợp với nhau đối với ( )S nếu đường thẳng UV cắt ( )S tại hai điểm M và N sao cho

( , ,U V M N, ) 1.

Định lý 1.15 ([8]). Cho đường bậc hai không suy biến ( )S và U là một điểm không nằm trên ( )S . Khi đó cực tuyến của điểm Ulà tập hợp tất cả nh ng điểm V liên hợp với U đối với ( )S .

Định nghĩa 1.21. (Liên hệ xạ ảnh giữa hai hàng điểm). Hai hàng điểm { }m và { '}m được gọi là liên hệ xạ ảnh với nhau nếu có một ánh xạ xạ ảnh

:{ } { '}

f m m biến mỗi điểm của hàng điểm { }m thành một điểm của hàng điểm của { '}m .

Kí hiệu: { } { '}m m .

Định nghĩa 1.22. (Phép phối cảnh). Một ánh xạ xạ ảnh gi a hai hàng điểm gọi là phép phối cảnh (phép chiếu xuyên tâm) nếu đường thẳng nối các điểm tương ứng luôn đi qua một điểm O cố định. O được gọi là tâm phối

23

cảnh. Ánh xạ xạ ảnh gi a hai chùm đường thẳng gọi là phép phối cảnh nếu giao điểm của các cặp đường thẳng tương ứng luôn luôn nằm trên một đường thẳng t cố định, t được gọi là trục phối cảnh.

Kí hiệu sự liên hệ xạ ảnh gi a hai hàng điểm hoặc hai chùm đường thẳng A B C, , ,... A B C', ', ',... , a b c, , ,... a b c', ', ',... .

Ta có các kết quả sau liên quan đến phép phối cảnh.

Định lý 1.16 ([8]). Điều kiện cần và đủ để phép ánh xạ xạ ảnh :{ } { '}

f m m trở thành phép phối cảnh là đường thẳng nối hai tâm tự ứng.

Định lý 1.17 ([8]). (Định lý Steiner thuận). Nếu ánh xạ xạ ảnh

1 2

:{ } { }

f A A gi a hai chùm tâm A1 và A2 không phải là phép phối cảnh thì giao điểm của các đường thẳng tương ứng nằm trên một đường conic.

Định lý 1.18 ([8]). (Định lý Steneir đảo). Nếu A v A1 à 2 là hai điểm cố định trên conic ( )S và M là một điểm di động trên ( )S . Khi đó ánh xạ

1 2

:{ } { }

f A A sao cho f AM( 1 ) A M2 là một ánh xạ xạ ảnh nhưng không phải là phối cảnh.

Định nghĩa 1.23. (Hình 3-đỉnh). Tập hợp gồm 3 điểm không cùng nằm trên một đường thẳng và 3 đường thẳng đi qua các cặp điểm này gọi là một hình 3-đỉnh.

Mỗi điểm gọi là một đỉnh, mỗi đường thẳng gọi là cạnh của hình 3-đỉnh.

Một hình 3-đỉnh với các đỉnh , ,A B C được ký hiệu là ABC. Ta có thể gọi một hình 3-đỉnh ABC là tam giác ABC.

Các đỉnh, cạnh của hình 3-đỉnh gọi là đỉnh và cạnh của tam giác.

Định nghĩa 1.24. (Hình 6-đỉnh). Trong mặt phẳng xạ ảnh cho tập hợp gồm sáu điểm A A A A A A1, 2, 3, 4, 5, 6 lấy theo thứ tự đó và sáu đường thẳng

1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 1

A A A A A A A A A A A A trong đó không có hai đường thẳng nào trùng nhau, được gọi là hình 6-đỉnh (hay là một hình lục giác).

24

Các điểmA A A A A A1, 2, 3, 4, 5, 6 gọi là các đỉnh của lục giác, các đường thẳng A A A A A A A A A A A A1 2, 2 3, 3 4, 4 5, 5 6, 6 1 gọi là các cạnh của lục giác.

Ký hiệu: A A A A A A1 2 3 4 5 6.

Với 6 điểm, ta có thể tạo thành nh ng hình lục giác khác nhau.