Góc định hướng và ứng dụng trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHAN NGUYỄN ANH KHOA GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– PHAN NGUYỄN ANH KHOA GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Duy Thái Sơn ĐÀ NẴNG - NĂM 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn nhiệt tình chu đáo TS Nguyễn Duy Thái Sơn Tôi xin phép gửi đến thầy kính trọng lịng biết ơn sâu sắc tận tâm thầy thân thời gian làm luận văn mà cịn suốt q trình học tập Tơi xin phép gửi lời cám ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp PPTSCK32, người cho tơi kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Cuối cùng, xin phép gửi lời cám ơn đến người thân, bạn bè quan tâm, giúp đỡ suốt quãng đường học tập vừa qua Đà Nẵng, tháng năm 2018 Phan Nguyễn Anh Khoa MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Góc hình học 1.1.1 Góc hai tia gốc 1.1.2 Góc hai đường thẳng 1.1.3 Góc hai vectơ Góc định hướng 1.2.1 Góc định hướng hai tia gốc 1.2.2 Góc định hướng hai vectơ 1.2.3 Góc định hướng hai đường thẳng Góc lượng giác 1.3.1 Góc lượng giác hai tia gốc 1.3.2 Góc lượng giác hai vectơ 1.3.3 Góc lượng giác hai đường thẳng 10 1.4 Hai tam giác hướng, ngược hướng 11 1.5 Hai tam giác đồng dạng hướng, ngược hướng 12 1.6 Một vài kết 13 1.2 1.3 CHƯƠNG ỨNG DỤNG TRONG VIỆC GIẢI CÁC BÀI TỐN HÌNH HỌC PHẲNG 19 2.1 Ứng dụng chứng minh hai góc 19 2.2 Ứng dụng chứng minh hai đường thẳng song song 20 2.3 Ứng dụng chứng minh ba điểm thẳng hàng 21 2.4 Ứng dụng chứng minh hai đường thẳng vng góc 22 2.5 Ứng dụng chứng minh điểm đồng viên 23 2.6 Ứng dụng chứng minh tiếp tuyến đường tròn 24 CHƯƠNG CÁC BÀI TOÁN TỔNG HỢP 26 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN N Tập hợp số nguyên dương Z Tập hợp số nguyên R Tập hợp số thực A=B Các điểm A, B khác AB ≡ CD Các đường thẳng AB, CD trùng AB //CD Các đường thẳng AB, CD song song AB ⊥ CD Các đường thẳng AB, CD vng góc AB ∩ CD = O Các đường thẳng AB, CD cắt O △ABC Tam giác ABC (O) Đường tròn tâm O (O, R) Đường trịn tâm O bán kính R (ABC) Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Đ△ Phép đối xứng trục △ VOk Phép vị tự tâm O tỉ số k α ≡ β (mod π) α = β + kπ với k ∈ Z α ≡ β (mod 2π) α = β + k2π với k ∈ Z MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Trong năm qua, tốn Hình học phẳng, đặc biệt tốn góc, đường trịn, đường thẳng hay toán liên quan đến phép biến hình, phép đồng dạng thử thách lớn em học sinh kì thi quốc gia, quốc tế Trong trình học tập, nghiên cứu công tác, nhận thấy việc giải tốn Hình học phẳng địi hỏi phải xét nhiều trường hợp, vị trí điểm, góc tốn (thường gọi tắt hình) Góc định hướng mặt phẳng khái niệm tinh tế mà sách giáo khoa Toán chưa đề cập đầy đủ Tương tự xét đoạn thẳng với đồng thời hai yếu tố độ dài hướng người ta đưa khái niệm vec-tơ, xét góc với đồng thời hai yếu tố độ lớn hướng người ta có khái niệm góc định hướng Nhờ góc định hướng hệ thức chúng, ta có nhiều ý tưởng, cách tư việc tiếp cận tốn Hình học phẳng; góc định hướng giúp ta trình bày lời giải vừa gọn gàng, vừa chặt chẽ, chung cho hình có tốn Với lí nói với mong muốn tìm hiểu kĩ góc định hướng có thêm tài liệu tham khảo cho đối tượng học sinh giỏi, tơi chọn đề tài “GĨC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC PHẲNG” làm đề tài luận văn 36 Lời giải Gọi I, J theo thứ tự tâm đường tròn (ω), (BCD) t tiếp tuyến chung D (O) (ω) Từ giả thiết ta suy O, J nằm đường trung trực BD I, J nằm đường trung trực CD Vì ĐOJ : BA → t BJ → DJ Tức (BA, BJ) ≡ (DJ, t) (mod π) (1) ĐIJ : DJ → CJ t → CA Tức (DJ, t) ≡ (CA, CJ) (mod π) (2) Từ (1) (2) ta (BA, BJ) ≡ (CA, CJ) (mod π) Vậy tâm J đường tròn ngoại tiếp △BCD nằm đường trịn ngoại tiếp △ABC Bài tốn (lấy ý từ [6]) Cho △ABC có BAC = 90◦ Gọi D điểm cố định cạnh BC, P điểm nằm △ABC Gọi B1 , C1 hình chiếu vng góc P lên AC, AB DB1 cắt AB C2 , DC1 cắt AC B2 Gọi Q giao điểm khác A đường tròn (AB1 C1 ), (AB2 C2 ) Chứng minh đường thẳng P Q qua điểm cố định P di chuyển △ABC Lời giải Trên AB, AC theo thứ tự lấy điểm F , E cho AF DE hình bình hành Gọi H trực tâm △DEF Vì A, C1 , Q, P , B1 đồng viên nên (QP, QA) ≡ (C1 P, C1 A) (mod π) π hay (QP, QA) ≡ (1) Ta có (B1 Q, B1 B2 ) ≡ (B1 Q, B1 A) ≡ (C1 A, C1 Q) ≡ (C1 C2 , C1 Q) (mod π) Tương tự (B1 B2 , B2 Q) ≡ (C1 C2 , CQ) (mod π) 37 Do △QB1 B2 , △QC1 C1 đồng dạng hướng Suy (B1 Q, B1 B2 ) ≡ (C1 Q, C1 C2 ) (mod π) hay (B1 Q, B1 E) ≡ (C1 Q, C1 F ) (mod π) (2) B2 A E C1 H B B1 Q F P D C C2 Vì ED//AC1 F D//AB2 nên theo định lí Thales ta có FA , suy EB2 F C1 = EA.F A F C1 Tương tự EB1 F C2 = EA.F A Vì ta thu EB2 F C1 = EB1 F C2 hay B1 E C1 F B1 E B1 B2 = , tức = B1 B2 C1 C2 C1 F C1 C2 DB2 EB2 = = EA DC1 F C1 EB1 = , suy EB2 F C2 Mà △QB1 B2 , △QC1 C1 đồng dạng hướng nên B1 Q B1 B2 = C1 Q C1 C2 38 B1 Q B1 E = (3) C1 Q C1 F Từ (2) (3) ta △QB1 E, △QC1 F đồng dạng hướng Do Suy (QB1 , QE) ≡ (QC1 , QF ) (mod π) Do (QF, QE) ≡ (QF, QB1 )+(QB1 , QE) ≡ (QF, QB1 )+(QC1 , QF ) ≡ (QC1 , QB1 ) (mod π) hay (QF, QE) ≡ (QC1 , QB1 ) (mod π) (4) QE QF QE QB1 = = (5) hay Mặt khác QC1 QF QB1 QC1 Từ (4) (5) ta △QEF , △QB1 C1 đồng dạng hướng Khi (QE, QF ) ≡ (QB1 , QC1 ) ≡ (AB1 , AC1 ) ≡ (AE, AF ) ≡ (QE, QF ) (mod π) Vì năm điểm Q, E, F , A, H đồng viên Do (QA, QH) ≡ (EA, EH) ≡ (DF, EH) (mod π) hay (QA, QH) ≡ π (mod π) (6) Từ (1) (6) ta (QP, QH) ≡ (mod π), tức ba điểm P , Q, H thẳng hàng Vậy đường thẳng P Q qua điểm cố định H P di chuyển △ABC Bài toán Cho △ABC Đường thẳng △ tiếp xúc với đường tròn (ABC) △A , △B , △C theo thứ tự ảnh △ qua ĐBC , ĐCA , ĐAB A1 = △B ∩ △C , B1 = △C ∩ △A , C1 = △A ∩ △B Chứng minh đường tròn (ABC), (A1 B1 C1 ) tiếp xúc với (IMO 2011) Lời giải Gọi T tiếp điểm △ (ABC) Gọi A2 , B2 , C2 theo thứ tự ảnh T qua ĐBC , ĐCA , ĐAB Suy A2 ∈ △A , B2 ∈ △B , C2 ∈ △C Theo định lí Steiner (Bài tốn 3), A2 , B2 , C2 thẳng hàng Gọi K điểm Miquel △A1 B1 C1 điểm A2 , B2 , C2 Theo định lí Miquel, K ∈ (A1 B1 C1 ) (1) 39 Ta có ĐBC : A2 → T A2 B1 → △ ĐAB : T → C2 △ → C2 B1 Do (A2 B1 , A2 B) ≡ (T B, △) ≡ (C2 B1 , C2 B) (mod π), suy B, B1 , A2 , C2 đồng viên k B2 A1 K A T C2 △B C1 O △ B C △A △C A2 B1 40 Kết hợp (1), ta K, B, B1 , A2 , C2 thuộc đường tròn (2) Tương tự K, C, C1 , A2 , B2 thuộc đường trịn (3) Ngồi T2 B = T B = A2 B nên △BA2 C2 cân B Và B2 C = T C = A2 C nên △CA2 B2 cân C Vậy (KB, KC) ≡ (KB, KA2 ) + (KA2 , KC) (mod π) ≡ (C2 B, C2 A2 ) + (B2 A2 , B2 C) (mod π)(vì (2) (3)) ≡ (A2 C2 , A2 B) + (A2 C, A2 B2 ) (mod π) ≡ (A2 C, A2 B) ≡ (T B, T C) (mod π) (mod π) Từ ta T , B, C, K đồng viên hay K ∈ (ABC) Gọi k tiếp tuyến (ABC) K (4) Vì △ tiếp xúc với (T BC) T ĐBC (△) = △A , ĐBC (T ) = A2 nên △A tiếp xúc với (A2 BC) A2 (5) Vậy (k, KB1 ) ≡ (k, KB) + (KB, KB1 ) (mod π) ≡ (CK, CB) + (A2 B, A2 B1 ) (mod π)(vì (2) (4)) ≡ (CK, CA2 ) + (CA2 , CB) + (A2 B, A2 B1 ) (mod π) ≡ (CK, CA2 ) + (A2 B1 , A2 B2 ) + (A2 B, A2 B1 ) ≡ (CK, CA2 ) + (A2 B1 , A2 B1 ) ≡ (CK, CA2 ) (mod π)(vì (5)) (mod π) (mod π) ≡ (C1 K, C1 A2 ) (mod π)(vì (3)) ≡ (C1 K, C1 B1 ) (mod π) Do k tiếp xúc với (A1 B1 C1 ) K (6) Từ (4) (6) suy (ABC), (A1 B1 C1 ) tiếp xúc với 41 KẾT LUẬN Trên tồn nội dung luận văn “Góc định hướng ứng dụng Hình học phẳng” Trong trình tìm hiểu, nghiên cứu thực luận văn, bước đầu làm quen với cách thức làm việc khoa học Qua đó, tơi củng cố lại số kiến thức Hình học phẳng biết thêm số kiến thức Luận văn trình bày lại cách xây dựng Góc định hướng (định nghĩa tính chất nó) Luận văn tập trung chủ yếu vào việc đưa ứng dụng quan trọng Góc định hướng việc giải tốn Hình học phẳng Các ký hiệu kiến thức Hình học phẳng liên quan đến đề tài trình bày lại cách hệ thống chương đầu luận văn Do thời gian thực có hạn, lực thân cịn nhiều hạn chế nên dù cố gắng, luận văn khó tránh khỏi sai sót Tơi kính mong quý thầy cô bạn học viên thông cảm góp ý cho luận văn hồn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Minh Hà, Nguyễn Việt Hải, Góc định hướng, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 339, 340, Nhà xuất Giáo dục, 2005 [2] Nguyễn Minh Hà, Ứng dụng góc định hướng vào giải số tốn hình học phẳng, Tạp chí Tốn học Tuổi trẻ số 343, 344, Nhà xuất Giáo dục, 2006 [3] Nguyễn Minh Hà, Hướng hình học phẳng, Nhà xuất Dân Trí, 2015 [4] Nguyễn Minh Hà, Hình học phẳng định hướng, Nhà xuất Dân Trí, 2015 [5] Nguyễn Lái, Bài tốn hình học phẳng qua cách giải góc định hướng, http://tailieu.vn/doc/bai-toan-hinh-hoc-phang- qua-cach-giai-bang-goc-dinh-huong-1892866.html, truy cập ngày 6/7/2017 Tiếng Anh [6] Viktor Prasolov, Problems in Plane and Solid Geometry (translated and edited by Dimitry Leites), Moscow Textbooks, 2006 ... kiến thức góc định hướng trình bày ứng dụng góc định hướng việc giải tốn hình học phẳng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Góc định hướng ứng dụng việc giải tốn hình học phẳng Phạm... xây dựng Góc định hướng (định nghĩa tính chất nó) Luận văn tập trung chủ yếu vào việc đưa ứng dụng quan trọng Góc định hướng việc giải tốn Hình học phẳng Các ký hiệu kiến thức Hình học phẳng liên... bày ứng dụng góc định hướng việc giải tốn hình học phẳng Chương 3: Các tốn tổng hợp Chương trình bày số toán sử dụng tổng hợp ứng dụng Chương để giải 4 CHƯƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Góc hình học