Luận văn Góc định hướng và ứng dụng

Sau khi nêu cách định hướng mặt phẳng dựa từ các công cụ khác nhau, chúng tôi nhắc lại bổ sung thêm về đườngthẳng định hướng, độ dài đại số, góc định hướng giữa hai tia và góc định hướng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THANH

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thái Nguyên - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

NGUYỄN VĂN THANH

GÓC ĐỊNH HƯỚNG VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI

Thái Nguyên - 2015

Mục lục

1.1 Định hướng mặt phẳng 4

1.1.1 Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông 4

1.1.2 Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ 6

1.1.3 Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet 7

1.2 Đường thẳng định hướng Độ dài đại số 13

1.3 Góc định hướng 15

1.3.1 Góc định hướng của hai vector 15

1.3.2 Góc định hướng giữa hai tia 16

1.3.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng 21

1.4 Một số sự kiện hình học theo ngôn ngữ góc định hướng 26

1.4.1 Xét góc định hướng tạo bởi hai tia 26

1.4.2 Xét góc định hướng của hai đường thẳng 30

Kết luận Chương 1 34

2 Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng 35 2.1 Các bài toán ứng dụng đường thẳng định hướng 35

2.1.1 Hàng điểm điều hòa 35

2.1.2 Định lý Stewart 36

2.1.3 Một số ứng dụng 38

2.2 Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán chứng minh 42

2.2.1 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng song song và ba điểm thẳng hàng 42

2.2.2 Phương pháp chứng minh hai đường thẳng vuông góc 45

2.2.3 Phương pháp chứng minh các điểm đồng viên 49

2.3 Ứng dụng góc định hướng giải các bài toán quỹ tích 54

2.4 Các ứng dụng khác 60

2.5 Một số bài toán 65

Kết luận Chương 2 69

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này là công trình do tôi tổng hợp và nghiên cứu Trongluận văn tôi có sử dụng một số tài liệu tham khảo như đã nêu trong phần "Tài liệutham khảo"

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Thanh

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành với sự hướng dẫn của PGS.TS Nguyễn Việt Hải,nguyên là giảng viên cao cấp Trường Đại học Hải Phòng Tác giả xin được bày tỏ lòngbiết ơn chân thành và sâu sắc tới Thầy hướng dẫn, tới các thầy cô giáo Trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên Đồng thời tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớpcao học Toán K7B - Trường Đại học Khoa học đã động viên giúp đỡ trong quá trìnhhọc tập và làm luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Sở Giáo dục - Đào tạo Thành phố Hải Phòng, Ban Giámhiệu và các đồng nghiệp Trường THPT An Dương, huyện An Dương, Thành phố HảiPhòng đã tạo điều kiện về mọi mặt để tác giả được tham gia học tập và hoàn thànhchương trình đào tạo Thạc sĩ Toán, chuyên ngành "Phương pháp Toán sơ cấp"

Tác giả

Nguyễn Văn Thanh

Danh sách hình vẽ

1.1 5

1.2 11

1.3 13

1.4 14

1.5 16

1.6 17

1.7 17

1.8 18

1.9 19

1.10 19

1.11 20

1.12 20

1.13 21

1.14 22

1.15 22

1.16 23

1.17 23

1.18 24

1.19 24

1.20 24

1.21 25

1.22 28

1.23 31

1.24 31

2.1 37

2.2 39

2.3 40

2.4 42

2.5 43

2.6 44

2.7 45

2.8 46

2.9 46

2.10 47

2.11 48

2.12 50

2.13 51

2.14 51

2.15 53

2.16 54

2.17 55

2.18 55

2.19 57

2.20 58

2.21 59

2.22 61

2.23 62

2.24 63

đi sâu vào các ứng dụng của các công cụ này trong việc giải các loại toán hình học.

Để nghiên cứu sâu thêm các tính chất và bổ sung thêm các bài toán ứng dụngđường thẳng định hướng và góc định hướng vào việc giải toán phổ thông, coi như đây

là một công cụ mạnh, hữu hiệu trong giải toán hình học Chúng tôi muốn đi sâu vào

đề tài "Góc định hướng và ứng dụng" Đó là lý do nghiên cứu của tác giả luận văn.

Luận văn được chia làm hai chương

• Chương 1 Xây dựng mặt phẳng định hướng Sau khi nêu cách định hướng mặt

phẳng dựa từ các công cụ khác nhau, chúng tôi nhắc lại bổ sung thêm về đườngthẳng định hướng, độ dài đại số, góc định hướng giữa hai tia và góc định hướnggiữa hai đường thẳng, nội dung của chương này là các kiến thức chuẩn bị chochương sau Kết quả nổi bật ở đây là chúng tôi đã chứng minh chặt chẽ hệ thứcChales trong mọi trường hợp Tiếp theo đó là các sự kiện hình học được chuyểnsang ngôn ngữ của độ dài đại số hay góc định hướng

• Chương 2 Giải toán hình học trong mặt phẳng định hướng Chương 2 là trọng

tâm của luận văn Chúng tôi bắt đầu ứng dụng độ dài đại số và góc định hướng

để trình bày phương pháp giải các bài toán hình học: Chứng minh tính songsong, tính thẳng hàng, tính vuông góc, tính đồng viên của các điểm, giải các bài

toán quỹ tích, và các ứng dụng khác.

Các bài toán đưa ra trong luận văn là những bài toán khó, điển hình cho các loại

và hay gặp trong các kỳ thi học sinh giỏi toàn quốc, thậm chí trong các kỳ thi quốc

tế Việc sử dụng góc định hướng sẽ giúp lời giải ngắn gọn, rõ ràng không phụ thuộcvào hình vẽ Hơn nữa, góc định hướng giúp định nghĩa các phép biến hình, từ đó mở

ra những ứng dụng khác

Dù đã rất nghiêm túc thực hiện luận văn, nhưng vì nhiều lý do khác nhau, luậnvăn chắc chắn còn nhiều thiếu sót Kính mong các Thầy Cô và các anh chị em đồngnghiệp góp ý để bản luận văn này hoàn thiện hơn Tác giả xin chân thành cảm ơn

Thái Nguyên, ngày 25 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Nguyễn Văn Thanh

1.1.1 Định hướng mặt phẳng theo hình học phổ thông

Xung quanh mỗi điểm trong mặt phẳng có hai chiều quay: chiều quay theo chiềuquay của kim đồng hồ và chiều ngược lại (tất nhiên ở đây mặc định đồng hồ có kimquay xung quanh một trục) Nếu ta chọn một trong hai chiều quay là chiều dương thìchiều ngược lại là chiều âm và khi đó ta bảo rằng mặt phẳng đã được định hướng.Thông thường người ta chọn chiều quay ngược với chiều quay của kim đồng hồ làmchiều dương Các giáo trình "Hình học sơ cấp" hiện nay đều xuất phát từ cách làmnày Ta giới thiệu qua các khái niệm cơ bản

Hình 1.1.

Góc lượng giác và số đo của chúng Cho điểm O, tia Om và hai tia Ou, Ov.

Nếu tia Om chỉ quay theo chiều dương hoặc âm xuất phát từ tia Ou đến trùng tia

Ov thì ta nói rằng tia Om quét một góc lượng giác có tia đầu Ou, tia cuối Ov và kí

hiệu là (Ou, Ov)

Nếu tia Om quay một góc α radian (hay a độ) thì ta nói góc lượng giác mà tia đóquét có số đo α radian (hay a độ)

Nếu một góc có số đo là a◦ (hay α rad) thì mọi góc lượng giác có cùng tia đầu vàtia cuối với nó có số đo là a◦+ k360◦(hay α + k2π) với k là số nguyên Mỗi góc ứngvới một giá trị k

Phép quay Trong mặt phẳng định hướng lấy điểm O và góc định hướng ϕ Phép

biến hình trong mặt phẳng biến điểm O thành chính nó, biến điểm M khác O thành

M0 sao cho OM0 = OM và (OM, OM0) = ϕ gọi là phép quay tâm O với góc quay

ϕ, và kí hiệu là Qϕ

O

Công thức Chales đối với góc lượng giác Với ba tia Ou, Ov, Ow tùy ý, ta có công

thức quan trọng sau đây, được gọi là công thức Chales:

sđ(Ou, Ov) + sđ(Ov, Ow) = sđ(Ou, Ow) + k2π, k ∈ Z

1.1.2 Định hướng mặt phẳng bằng công cụ tọa độ

Trong mặt phẳng E2 cho một cặp vector độc lập tuyến tính (−→e1, −→e

2)và cặp vectorkhác là (−→a1, −→a

α1 α2

β1 β2

= α1β2− α2β1

Nếu det A > 0 thì ta nói cặp vector (−→a1, −→a

2) cùng hướng với cặp vector (−→e1, −→e

2) Nếudet A < 0thì ta nói cặp vector (−→a1, −→a

2)ngược hướng với cặp vector (−→e1, −→e

2) Như vậynếu trên mặt phẳng nào đó, ta chọn một cặp vector độc lập tuyến tính là cặp có hướngdương (det A > 0) thì có thể định nghĩa hướng của các cặp vector độc lập tuyến tínhkhác là dương hay âm tùy theo nó có cùng hướng hay khác hướng với cặp vector đãđược chọn Như vậy ta đã định hướng được mặt phẳng Ta có các khẳng định sau:– Mỗi cặp vector độc lập tuyến tính thì cùng hướng với chính nó

– Nếu cặp vector (−→a1, −→a

2)cùng hướng với cặp vector (−→e1, −→e

2)thì cặp vector (−→e1, −→e

2)cũng cùng hướng với cặp vector (−→a1, −→a

nên det A = 1 > 0 Khẳng định thứ hai do định thức của A và A−1 luôn cùng dấu.Khẳng định thứ ba cũng được chứng minh dễ dàng Thật vậy, gọi ma trận chuyển từ(−→e

2) sang (−→b1,−→

b2) Vì det(AB) = (det A)(det B)nên khẳng định thứ ba được chứng minh

Như vậy quan hệ cùng hướng của các cặp vector là một quan hệ tương đương, ta

có thể phân tập hợp các cặp vector trên mặt phẳng thành đúng hai lớp tương đương,các cặp vector thuộc cùng một lớp thì cùng hướng với nhau

1.1.3 Định hướng mặt phẳng theo hệ tiên đề của Choquet

Theo Choquet (xem [11]), khái niệm hướng cùng với khái niệm góc là khó khănlớn nhất trong giảng dạy hình học Định nghĩa toán học của khái niệm này thường dựavào quy tắc vặn nút chai, quy tắc bàn tay phải hoặc trái Tuy nhiên, định nghĩa kháiniệm hướng xuất hiện trong hình học theo con đường hoàn toàn tự nhiên từ tính chấtcủa nhóm các phép dời Khái niệm hướng gắn với chất liệu mà nó xây dựng Thôngthường đó là tập hợp các cặp (x, y) chung gốc, không thuộc một đường thẳng Nhưngvẫn cặp tia ấy mà ta đổi vị trí thành cặp (y, x), nhận được cặp mới có hướng ngượclại Như vậy, xuất hiện khái niệm cặp được sắp thứ tự (hay tổng quát hơn là tập hợp

được sắp thứ tự) Trước hết Choquet định nghĩa khái niệm góc sau khi đã xây dựng

nhóm các phép dời hình trên mặt phẳng

Định nghĩa 1.1 Cho Π là mặt phẳng định hướng Với điểm bất kỳ O ∈ Π ta định

nghĩa mỗi phép quay tâm O là một góc có đỉnh tại O

Với mọi cặp tia (a1, a2) có chung gốc O, góc của cặp tia này là phép quay biến tia

a1 thành tia a2, góc này được ký hiệu là ∠(a1, a2) Như vậy tập hợp các góc với đỉnh

Okhông có gì khác chính là tập hợp các phép quay tâm O Do đó, đây là một nhómgiao hoán Theo truyền thống ta ký hiệu phép toán trong nhóm này theo lối cộng, kýhiệu như thế là hợp lệ vì như sẽ thấy dưới đây, khái niệm số đo góc thực hiện mối liênkết chặt chẽ giữa phép cộng các số và cộng các góc

So sánh các góc với đỉnh khác nhau Khái niệm góc hầu như vô nghĩa nếu ta không

so sánh được các góc có đỉnh khác nhau, phép tịnh tiến cho ta khả năng so sánh haigóc bất kỳ

Với mọi A, B ∈ Π phép tịnh tiến T−→

BA biến A thành B là một đẳng cấu (đối vớicấu trúc không gian vector và cấu trúc không gian metric), ánh xạ mặt phẳng tâm(Π, A)thành mặt phẳng tâm (Π, B), phép đẳng cấu này có tính bắc cầu theo nghĩa,với mọi A, B, C ∈ Π thì T−→

ký hiệu đẳng cấu này là T−→

BA Như vậy, ở đây ta đã sử dụng cách định nghĩa của tập số

B, ta nhận được ∠(a1, a2) = ∠(b1, b2) Suy luận này làm cơ sở cho định nghĩa sau,

mà chỉ phụ thuộc vào việc chọn gốc O

Định nghĩa 1.2 Trong mặt phẳng tâm (Π, O), góc giữa hai tia (d1, d2) với gốc tùy

ý là góc đỉnh O giữa hai tia (d0

1, d02) (chung gốc O) tương ứng song song với các tia

d1, d2 Góc này ký hiệu là ∠(d1, d2)

Nhóm cộng tính các góc sẽ được ký hiệu là G

Các ký hiệu tiếp theo Trong trường hợp tổng quát giả sử E là tập hợp tất cả các

đối tượng toán học sao cho mỗi đối tượng đó có liên hệ với các tia của mặt phẳng Πhoặc tập hợp các tia song song của Π Với mọi x, y ∈ E ta sẽ ký hiệu ∠(x, y) là gócgiữa tia gắn với đối tượng x và tia gắn với đối tượng y Ví dụ, với mỗi vector x 6= 0của mặt phẳng (Π, O) gắn với tia Ox, với mỗi đường thẳng định hướng d gắn với tiadương của đường thẳng này, với quy ước trên có thể nói về góc ∠(Ox, d) Tương tự

với mọi A, B, C ∈ Π mà A 6= B, C 6= B, ký hiệu tắt ∠(ABC) là góc giữa các tia

BAvà tia BC

Góc không và góc bẹt Trong nhóm cộng tính các góc phần tử trung hòa ký hiệu là

0còn góc liên quan tới phép đối xứng tâm với tâm O, được ký hiệu là $ (khác với kýhiệu π) Như vậy, với mọi cặp tia chung gốc (a1, a2)ta có các điều kiện tương đươngsau

• ∠(a1, a2) = 0khi và chỉ khi a1 ≡ a2;

• ∠(a1, a2 = $khi và chỉ khi a1và a2 có hướng ngược nhau

Ngoài ra, ta có $ + $ = 0 hay $ = −$

Công thức Chales Giả sử a, b, c là ba tia tùy ý với gốc O chung, phép quay biến a

thành c bằng tích của phép quay biến a thành b và phép quay biến b thành c, nói cáchkhác ∠(a, c) = ∠(a, b) + ∠(b, c) Đặc biệt, ta có ∠(a, b) + ∠(b, a) = ∠(a, a) = 0 Từ

đó, ∠(a, b) = −∠(b, a) và tổng quát hơn với mọi dãy hữu hạn các tia (d1, d2, , dn)chung gốc O ta có ∠(d1, dn) = ∠(d2, d3) + + ∠(dn−1, dn).Đẳng thức này mang

tên công thức Chales, hiển nhiên nó cũng đúng trong trường hợp các tia có gốc khác

nhau (nhờ tịnh tiến)

Thứ tự bộ phận trên mặt phẳng Trước hết, ta xét một số ví dụ sau.

Ví dụ 1.1 Trong mặt phẳng Π tồn tại tập hợp gồm các bộ ba điểm mà khoảng cách

giữa ba điểm này là 2, 3, 4 Mỗi tập hợp như thế không thuộc một đường thẳng vì

4 < 2 + 3

Giả sử E là tập hợp các tập hợp con như thế của mặt phẳng Tập hợp này ổn địnhđối với nhóm các phép dời D của mặt phẳng, hơn nữa, D tác động bắc cầu trên E.Thật vậy, với mọi X1, X2 ∈ Ehiển nhiên tìm được (hơn nữa duy nhất) phép dời f từtập X1lên tập X2 và có thể kéo dài f một cách duy nhất lên toàn bộ mặt phẳng, ánh

xạ từ mặt phẳng lên chính nó vì X1không chứa trọn vẹn một đường thẳng

Ta nói hướng các tập hợp X1, X2 trùng nhau nếu phép dời f của mặt phẳng Π

mà X2 = f (X1) là phép dời hình thuận (loại 1) Trong trường hợp ngược lại ta nói

X1, X2có hướng ngược nhau Từ sự kiện tập hợp các phép dời hình thuận D+là mộtnhóm lập tức suy ra: hướng là một quan hệ tương đương trên E

Nếu X1, X2có hướng ngược nhau, X2, X3cũng có hướng ngược nhau thì X1, X3

sẽ cùng hướng vì tích của hai phép dời nghịch lại là phép dời thuận Do đó, quan hệtương đương đã cho trên E có đúng hai lớp tương đương, cụ thể, hai tập hợp ảnh củaphần tử X0 tùy ý của tập hợp E qua các phép biến đổi trong D+, D−tương ứng.Bây giờ ta sẽ giải thích hướng gọi là dương hoặc âm: Chọn một phần tử X0 tùy ý

thuộc E, mà sẽ được gọi là mục tiêu cơ sở Ta nói phần tử X của E có hướng dương (tương ứng âm) nếu hướng của X và X0 trùng nhau (tương ứng ngược nhau) Nhưvậy, để hoàn toàn chính xác ta sẽ nói: Hướng của tập hợp X là dương khi đã chọn mụctiêu cơ sở X0 Dấu của hướng hiển nhiên không thay đổi khi ta đổi mục tiêu cơ sở nàysang mục tiêu cơ sở khác có cùng hướng

Một vài ví dụ tương tự.

Ví dụ 1.2 Trong trường hợp tổng quát, giả sử A là một tập con nào đó của mặt phẳng

Π, không thuộc một đường thẳng sao cho phép dời duy nhất của tập hợp này ánh xạ

nó thành chính nó là biến đổi đồng nhất Hơn nữa giả sử E là tập hợp các tập con (bộphận) của mặt phẳng Π, có dạng f(A) với f ∈ D

Hiển nhiên E ổn định đối với D và D tác động đơn trị trên E sao cho đối với E

có thể lặp lại tất cả những gì đã nói trong ví dụ trước Chẳng hạn có thể coi A là nửamặt phẳng cực gồm điểm a, tia mở d với gốc a và một nửa mặt phẳng mở xác địnhbởi đường thẳng d

Ví dụ 1.3 Tổng quát hơn, giả sử A là tập con của Π, không thuộc một đường thẳng

và mọi phép dời ánh xạ tập hợp này lên chính nó là phép dời hình thuận (theo nghĩakéo dài phép biến đổi này lên mặt phẳng Π là phép dời hình thuận) Khi đó ta xácđịnh tập hợp E như sau: Tập hợp E ổn định đối với nhóm các phép dời D Với mọi

X1, X2 ∈ E tìm được ít nhất một phép dời f ∈ D biến X1 thành X2; theo giả thiếttất cả các phép dời đồng thời là dời hình thuận hoặc đồng thời là dời hình nghịch.

Do đó, có thể xác định một cách hiển nhiên hướng của hai phần tử của E, suy luậncòn lại tương tự như ví dụ trước Chẳng hạn, tập hợp A có thể là hợp của hai cạnhđối diện hình vuông và một đường chéo của hình vuông (hình chữ cái Z) hoặc hợpcủa các đoạn thẳng nhận được từ đoạn thẳng [a, b] nào đó qua các phép tịnh tiến tn

(n ∈ Z), trong đó t là phép tịnh tiến theo phương không song song và không vuônggóc với đoạn thẳng [a, b]

Hình 1.2

Hướng của các đối tượng hình học liên quan đến mặt phẳng định hướng Ta đã

biết một số đối tượng hình học có liên quan đến mặt phẳng định hướng nhưng không

là bộ phận của nó: cặp điểm, bộ ba điểm, cặp tia, đường thẳng định hướng, phép biếnđổi, góc, Ta sẽ định nghĩa hướng của các khái niệm này

Giả sử E là tập hợp các cặp (Ox, Oy) các tia vuông góc của mặt phẳng, có chunggốc O Tập hợp này ổn định đối với nhóm các phép dời D và nhóm này tác động bắccầu đơn trị lên E, các cặp (Ox, Oy) và O0x0, O0y0 có cùng hướng, được ký hiệu

(Ox, Oy) = (O0x0, O0y0)

Nhưng ở đây xuất hiện vấn đề mới, cụ thể tồn tại biến đổi (Ox, Oy) 7→ (Oy, Ox)trong tập hợp E, trở thành tương ứng biến mọi phần tử (Ox, Oy) của E thành phần

tử đối (Oy, Ox) Ta lại biết rằng phép dời biến (Ox, Oy) thành (Oy, Ox) là phép đốixứng trục Do đó, các cặp tia (Ox, Oy) và (Oy, Ox) có hướng đối nhau

Trong trường hợp tổng quát có thể qui ước trên E tập hợp các cặp tia (A, B) với gốcchung sao cho ∠(A, B) = θ hay ∠(A, B) = −θ (với θ là góc cho trước khác 0 và $)

Hướng của cặp tia không nằm trên một đường thẳng Giả sử E là tập hợp các

cặp tia (Ox, Oy) của mặt phẳng, không nằm trên một đường thẳng, có gốc chung Vớimọi (Ox, Oy), (O0x0, O0y0) ta sẽ nói (Ox, Oy) và (O0x0, O0y0)có cùng hướng nếu cóphép dời thuận f biến tia Ox thành tia O0x0, tia Oy thành tia O0y0

Vì mọi phép dời biến nửa mặt phẳng thành nửa mặt phẳng và các phép dời hìnhthuận tạo thành một nhóm nên quan hệ này là một quan hệ tương đương trên E Dễthấy rằng có đúng hai lớp tương đương trên E (theo quan hệ tương đương này) Đểchứng minh điều đó chỉ cần xét tập hợp các cặp (A, X) với A là tia cho trước Do đó,trong các phần tiếp theo có thể nói về mục tiêu cơ sở và về hướng dương hoặc âm nhưtrong các ví dụ trước đây

Các góc định hướng Giả sử θ, θ0 là hai góc tùy ý khác 0 và $ Ta nói θ và θ0cùnghướng nếu tìm được hai cặp các tia chung gốc (x, y) và (x0, y0)sao cho

(x, y) = θ, (x0, y0) = θ0

và (x, y) và (x0, y0)có cùng một hướng

Dễ thấy rằng đây là một quan hệ tương đương trên tập hợp các góc khác 0 và $.Với quan hệ tương đương này ta có đúng hai lớp tương đương

Mệnh đề 1.1 Với mọi bộ ba (A, B, C) các điểm không thẳng hàng, các góc ∠(ABC),

∠(BCA), ∠(CAB) có cùng một hướng.

Chứng minh. Ta chứng minh kết luận đối với hai góc đầu Giả sử A0 là điểm nào đóthuộc trung trực của cặp (B, C) nằm cùng phía với A đối với đường thẳng BC Các

góc ∠(ABC), ∠(A0BC)cùng hướng Cũng đúng như thế, các góc ∠(BCA), ∠(BCA0)cũng cùng hướng Tuy nhiên ∠(A0

BC) = ∠(A0CB)do đối xứng Vậy ∠(A0BC) =

∠(BCA0) Từ đó suy ra điều phải chứng minh

1.2 Đường thẳng định hướng Độ dài đại số

Định nghĩa 1.3 Trên đường thẳng d lấy một điểm O, cố định một điểm E sao cho

−→

OE = −→e (đơn vị) Khi đó {d, O, −→e }được gọi là đường thẳng định hướng.

Chú ý rằng, thông thường hướng được chọn như sau:

Hình 1.3

Ta có thể dùng kí hiệu đường thẳng định hướng xx0 Mỗi điểm M thuộc xx0tươngứng 1-1 với vector−−→OM và luôn tồn tại số thực m là tọa độ của nó Ta kí hiệu−−→OM (m)hoặc M(m)

Định nghĩa 1.4 Giả sử có hai điểm M(m) và N(n) trên xx0 Ta nói độ dài đại số

của đoạn thẳng MN, kí hiệu: MN, là số n − m, tức là MN = n − m

Chú ý, đại lượng MN dương hay âm tùy theo thứ tự của ba điểm O, M, N Ta có

Định nghĩa 1.5 Trên đường thẳng định hướng xx0 cho ba điểm A, B, C ta địnhnghĩa tỷ số

CA

là tỉ số đơn của ba điểm A, B, C theo thứ tự đó.

Định lí 1.1 Cho hai điểm A, B trên đường thẳng định hướng xx0 và một số k 6= 1, tồn tại duy nhất C ∈ xx0 sao cho (ABC) = k.

Vậy tồn tại duy nhất điểm C theo yêu cầu

Các tính chất của tỷ số đơn được cho trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.3.

(1) AB = −BA

(2) AB + BC = AC

(3) (ABC) = −1 khi và chỉ khi C là trung điểm của AB

(4) AB là hình chiếu của vector−−−→A1B1trên trục xx0.

Hình 1.4

1.3 Góc định hướng

Trước lớp 11 phổ thông khi nói đến góc ta thường nói tới các góc không vượt quá

360 độ như góc nhọn, góc vuông, góc tù, góc bẹt, góc lồi, góc lõm nhưng trong thực

tế cũng như trong kỹ thuật nhiều khi chúng ta phải quan niệm góc với nghĩa rộng hơn

Ví dụ khi một bánh xe quay một vòng rưỡi thì người ta phải nói nó đã quay một góc

540 độ Hơn nữa việc quay đó có thể thực hiện theo hai chiều quay khác nhau Cùngvới việc định hướng cho đoạn thẳng, đường thẳng việc định hướng cho góc sẽ manglại cho chúng ta nhiều điều thuận lợi khi nghiên cứu Hình học

1.3.1 Góc định hướng của hai vector

a Hai vector chung gốc

Cho hai vector chung gốc (khác vector không)−→OA,−OB Trong mặt phẳng (OAB)→cho tia Ox quay quanh điểm O theo một hướng nhất định từ tia OA đến tia OB, tanói tia Ox quét một góc định hướng, ký hiệu là (−→OA,−→

OB)với−→OAlà vector đầu,−OB→

là vector cuối Như vậy góc định hướng của các vector chính là góc lượng giác của haitia OA, OB đã biết (SGK Đại số và Giải tích 11) Thông thường ta quy ước hướngquay của tia Ox quay quanh điểm O là hướng dương nếu hướng quay này ngược vớihướng quay của kim đồng hồ và là hướng âm nếu hướng quay này là hướng quay thuậnchiều kim đồng hồ

Khi xác định góc định hướng ta chỉ quan tâm đến độ lớn và hướng mà không quantâm đến độ dài các vector, bởi thế để thuận tiện ta coi các vector này có độ dài bằngnhau |−→OA| = |−→

OB| = r.Khi cho điểm X chuyển động trên đường tròn tâm O, bán kính r từ điểm A đếnđiểm B và quay |k| vòng theo một hướng xác định thì điểm X vẽ một cung địnhhướng, ký hiệu là−−→AB_

, trong đó k > 0 nếu quay theo hướng dương và k < 0 nếu quaytheo hướng âm Ta có công thức về số đo cung định hướng (SGK Đại số và Giải tích11)

sđ−−→AB_

= α◦+ k.360◦

OB) = 30◦+ 2.360◦ = 750◦ = −330◦+ 3.360◦ = 1110◦− 1360◦.

b Hai vector không chung gốc

Góc định hướng của hai vector không chung gốc được xác định nhờ phép tịnhtiến Như thế góc định hướng (−→OA,−→

OB) không phụ thuộc vào vị trí cuả gốc O Đểxác định góc (−→AB,−−→

1.3.2 Góc định hướng giữa hai tia

Trong mặt phẳng định hướng E ta gọi góc định hướng giữa hai tia Ox, Oy lấy theothứ tự đó là góc mà tia Ox phải quay theo chiều xác định đến trùng với vị trí của Oy

Hình 1.6.

Hình 1.7

Góc định hướng đó được ký hiệu là (Ox, Oy) trong đó Ox gọi là cạnh đầu, Oygọi là cạnh cuối của góc Số đo của góc định hướng là dương hay âm tùy theo cạnhđầu quay xung quanh điểm O đến trùng với cạnh cuối theo chiều dương hay chiều âmcủa mặt phẳng (đã định hướng) Ví dụ (Ox, Oy) = 45◦, (Oy, Ox)) = −45◦

Chú ý rằng sau khi quay tia Ox cho trùng với tia Oy ta có thể quay thêm một, haihay một số vòng nữa đến trùng với Oy Tất cả các giá trị của các góc nói trên đềugọi là các giá trị của góc định hướng suy rộng Như vậy góc định hướng suy rộng(Ox, Oy)có vô số giá trị sai khác bội của hay bội của (radian), ký hiệu như sau:

(Ox, Oy) = α + k.360◦,hoặc nếu đo bằng radian (Ox, Oy) = α + k.2π với k là số nguyên Ta còn dùng kýhiệu (Ox, Oy) = α (mod 2π) Khi chú ý đến bội k ta viết (Ox, Oy)k

Ta có định lí sau mà phép chứng minh dựa theo [3]:

Định lí 1.2 Với ba tia Ox, Oy, Oz và ba số k, l, m ∈ Z ta có hệ thức Chales cho

góc lượng giác giữa hai tia:

(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π)

Chứng minh. Bỏ qua các trường hợp đơn giản : các tia Ox, Oy trùng nhau hoặc Ox,

Theo hệ thức Chales dạng mịn (k = 0) cho góc giữa hai tia ta có

(Ox, Oy)0 = ∠xOy = ∠xOy + ∠yOz = (Ox, Oy)0+ (Oy, Oz)0

Do đó

(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π)

Trường hợp 2.Tia Oz nằm trong góc ∠yOx0 Có hai khả năng xảy ra:

2.a Tia Oz không trùng với tia Ox0 Theo Hệ thức Chales cho góc giữa hai tia, tacó

(Ox, Oy)0 = ∠xOy = ∠xOy + ∠yOz = (Ox, Oy)0+ (Oy, Oz)0

Do đó

(Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π)

Hình 1.9.

Hình 1.10

2.b Tia Oz trùng với tia Ox0 Có 2 tình huống xảy ra:

– Khi (Ox, Oz)0 = π theo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia ta có:

(Ox, Oy)0 = ∠xOy = π − ∠zOy = (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0

– Khi (Ox, Oz)0 = −π theo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia ta có:(Ox, Oy)0 = ∠xOy = π − ∠zOy = 2π − π − ∠zOy

= 2π + (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0

Do đó (Ox, Oy)=(Ox, Oz)l+ (Oz, Oy)m (mod 2π)

Trường hợp 3.Tia Oz nằm trong góc ∠x0Oy0 Có hai khả năng xảy ra

3.a Tia Oz không trùng với tia Oy0 Theo hệ thức Chales cho góc giữa hai tia, ta có:(Ox, Oy)0 = ∠xOy = 2π − ∠xOz − ∠zOy = 2π + (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0

Do đó (Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π)

3.b Tia Oz trùng với tia Oy0 Có hai tình huống xảy ra:

Hình 1.11.

Hình 1.12

– Khi (Oz, Oy)0 = π theo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:

(Ox, Oy)0 = ∠xOy = π − ∠xOz = (Oz, Oy)0+ (Ox, Oz)0

Do đó (Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π)

– Khi (Oz, Oy)0 = −π theo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:

(Ox, Oy)0 = π − ∠xOz

= 2π − π − ∠xOz = 2π + (Oz, Oy)0+ (Ox, Oz)0

Do đó (Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π)

Trường hợp 4.Tia Oz nằm trong góc y0Ox

Theo hệ thức Chales giữa hai tia ta có:

(Ox, Oy)0 = ∠(xOy) = −∠(xOz) + ∠(zOy) = (Ox, Oz)0+ (Oz, Oy)0

Do đó (Ox, Oy)k = (Ox, Oz)l + (Oz, Oy)m (mod 2π) Định lí được chứng minh

Hình 1.13.

Hệ quả 1.1 (Ox, Oy)k = (Oz, Oy)m − (Oz, Ox)l (mod 2π)

Đó là vì (Ox, Oz)l = −(Oz, Ox)l

Chú ý Khi không quan tâm tới chu kì của góc định hướng giữa hai tia định lí được

viết đơn giản như sau (Ox, Oy) = (Ox, Oz) + (Oz, Oy) (mod 2π)

Hệ quả 1.2 (Ox, Oy) = (Oz, Oy) − (Oz, Ox) (mod 2π).

Hệ quả 1.3 Với ba vector khác không −→a , −→

1.3.3 Góc định hướng giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng x0Ox, y0Oy cắt nhau tại O Đặt ∠(xOy) = ∠(x0Oy0) = α,khi đó ∠(x0Oy) = ∠(xOy0) = π − α Vậy góc (định hướng) giữa đường thẳng x0Ox,

y0Oy, ký hiệu ∠(x0Ox, y0Oy) hay (x0Ox, y0Oy)là góc α + kπ, k ∈ Z

Ta có nhận xét: Nếu α = β (mod 2π) thì α = β (mod π) Điều ngược lại nóichung không đúng

Hình 1.14.

Định lí 1.3 (Chales) Với ba đường thẳng a, b, c và ba số nguyên k, l, m ta có

(a, b)k = (a, c)l+ (c, b)m (mod π)

Để chứng minh định lí trên ta xét bổ đề sau (xem [3])

Bổ đề 1.1 Với hai đường thẳng AB, CD và hai số nguyên k, l ta có

CD)0(AB, CD)0 = (−→

Hình 1.20.

AB,−−→CD)0 = −π.

⇒



(AB, CD)0 = (−→

AB,−−→

CD)0− π(AB, CD)0 = (−→

AB,−−→CD)0+ π(AB, CD)0 = (−→

Chú ý Khi không quan tâm tới chu kỳ của góc định hướng giữa hai đường thẳng và

góc lượng giác giữa hai vector, bổ đề thường được viết đơn giản như sau

Hệ quả 1.4 Ta có (a, b)k = (c, b)m− (c, a)l (mod π).

Hệ quả 1.5 Ta có (a, c)0 = −(c, a)0 suy ra (a, c)l = −(c, a)l Từ đó, theo chứngminh trên suy ra (a, b)k = (c, b)m − (c, a)l (mod π)

Chú ý Khi không quan tâm tới chu kỳ của góc định hướng giữa hai đường thẳng định

lý trên được viết đơn giản như sau

(1) (a, b) = (a, c) + (c, b) (mod π)

(2) (a, b) = (c, b) − (c, a) (mod π)

1.4 Một số sự kiện hình học theo ngôn ngữ góc định hướng

Trước hết, ta hãy tìm cách chuyển đổi ngôn ngữ khi mặc định xét trong mặt phẳngđịnh hướng Các sự kiện sau được phát biểu trên mặt phẳng định hướng

1.4.1 Xét góc định hướng tạo bởi hai tia

a Tổng các góc định hướng trong tam giác Từ hệ thức hiển nhiên

được phát biểu thành: “Tổng ba góc cùng hướng trong một tam giác bằng 180 độ theo

modul 360 độ” Nếu chỉ xét góc định hướng dương nhỏ hơn 180 độ thì ta có:“Tổng ba

góc trong tam giác bằng 180 độ”

b Góc ngoài của tam giác Ta có

CB) Từ đó hệ thức (1.2) được phát biểu là: “Tổng hai góc trong cùng

hướng của một tam giác bằng góc ngoài cùng hướng ở đỉnh thứ ba theo mô đun 360◦”.

c Góc nội tiếp và góc ở tâm.

Mệnh đề 1.4 Giả sử tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O, giữa góc định hướng

nội tiếp và góc định hướng ở tâm cùng chắn dây AB có mối liên hệ qua hệ thức:

(−→

OA,−→OB) = 2(−→

BC,−→OB)

CA,−→CB) + (−→

CO) + (−→

CO,−→CB)

CA,−→CB) + (−→

CA,−→CB) = 2(−→

CA,−→CB)

Mệnh đề được chứng minh

Ta có thể viết hệ thức (1.3) thành

(−→

OA,−→OB) = 2(−→

CA,−→

CA, −−→

Chú ý Hệ thức (1.3) xảy ra đối với điểm C bất kỳ (khác A, B) nằm trên đường tròn

đi qua A và B Nhưng với góc thông thường thì ta có:

• Khi C và O nằm cùng phía nhau đối với đường thẳng AB thì

∠(AOB) = 2∠(ACB)

• Khi D và O nằm khác phía nhau đối với đường thẳng AB thì

∠(AOB) = 2 (π − ∠(ADB))

d Bốn điểm cùng nằm trên một đường tròn Trước hết ta có kết quả sau:

Mệnh đề 1.5 Giả sử bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn tâm O.

(1) Khi C, D nằm cùng phía nhau đối với đường thẳng AB thì

(−→

CA,−→CB) = (−→

e Cung chứa góc Cho tam giác ABC Từ các hệ thức về bốn điểm nằm trên đường

tròn ta suy ra: Tập hợp điểm M sao cho

là cung tròn đi qua C và chắn dây AB.

Trên hình vẽ thì tập hợp điểm M thỏa mãn

1.4.2 Xét góc định hướng của hai đường thẳng

Trước hết, ta có mối liên hệ giữa góc định hướng tia và góc định hướng đườngthẳng

Mệnh đề 1.6 Giả sử M, O, N thuộc đường thẳng a và P, O, Q thuộc đường thẳng

b với ON, OQ lần lượt là tia đối của các tia OM, OP Khi đó ta có

OM , −−→

OP ) = (−−→

OQ) = π + α (mod 2π),(−−−→

(3) Hệ thức Chales: (b, c) = (a, b) − (a, b) (mod π) với mọi a, b, c

Ta có các định lý về góc định hướng của hai đường thẳng như sau

Định lí 1.4 Tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Khi đó

(OA, OB) ≡ 2(CA, CB) (mod π)

Chứng minh. Hệ thức này suy từ hệ thức (1.3) theo modulo 2π

Định lí 1.5 Cho tam giác ABC Tập hợp

{M | (M A, M B) = (CA, CB) (mod π)}

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Chứng minh Phần thuận.Xét các điểm M sao cho

... data-page="22">

1.3 Góc định hướng< /b>

Trước lớp 11 phổ thơng nói đến góc ta thường nói tới góc khơng vượt q

360 độ góc nhọn, góc vng, góc tù, góc bẹt, góc lồi, góc lõm thực

tế... ngữ góc định hướng< /b>

Trước hết, ta tìm cách chuyển đổi ngơn ngữ mặc định xét mặt phẳngđịnh hướng Các kiện sau phát biểu mặt phẳng định hướng

1.4.1 Xét góc định hướng. ..

1.3.2 Góc định hướng hai tia

Trong mặt phẳng định hướng E ta gọi góc định hướng hai tia Ox, Oy lấy theothứ tự góc mà tia Ox phải quay theo chiều xác định đến trùng với