Các đường thẳng euler, simson, steiner và ứng dụng trong hình học sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG VĂN TẤN CÁC ĐƢỜNG THẲNG EULER, SIMSON, STEINER VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Đà Nẵng - Năm 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG VĂN TẤN CÁC ĐƢỜNG THẲNG EULER, SIMSON, STEINER VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2015 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tác giả Các số liệu kết tính tốn đưa luận văn trung thực chưa công bố cơng trình khác Tác giả luận văn Đặng Văn Tấn MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu Phƣơng pháp nghiên cứu Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƢƠNG 1: ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG THẲNG SIMSON, ĐƢỜNG THẲNG STEINER 1.1 ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG TRÒN EULER VÀ HỆ THỨC EULER 1.1.1 Đƣờng thẳng Euler 1.1.2 Đƣờng tròn Euler 1.1.3 Một vài tính chất 1.1.4 Định lí Euler 10 1.2 ĐƢỜNG THẲNG SIMSON 12 1.2.1 Định nghĩa đƣờng thẳng Simson 12 1.2.2 Một số tính chất 13 1.3 ĐƢỜNG THẲNG STEINER VÀ ĐIỂM ANTI-STEINER 18 1.3.1 Đƣờng thẳng Steiner 18 1.3.2 Một số tính chất 19 1.3.3 Điểm Anti-Steiner 21 CHƢƠNG 2: CÁC BÀI TOÁN ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP 23 2.1 ỨNG DỤNG CỦA ĐƢỜNG THẲNG EULER VÀ ĐƢỜNG TRÒN EULER 23 2.1.1 Các tốn đẳng thức, quan hệ hình học 23 2.1.2 Các toán quan hệ thẳng hàng đồng quy 30 2.1.3 Bài toán quan hệ song song 35 2.1.4 Các toán điểm đƣờng cố định 36 2.1.5 Các toán tham khảo 40 2.2 ỨNG DỤNG ĐƢỜNG THẲNG SIMSON 41 2.2.1 Các toán đẳng thức, quan hệ hình học 42 2.2.2 Các toán quan hệ thẳng hàng đồng quy 48 2.2.3 Các toán quan hệ song song vng góc 53 2.2.4 Các toán điểm đƣờng cố định 58 2.2.5 Các toán tham khảo 62 2.3 ỨNG DỤNG ĐƢỜNG THẲNG STEINER 64 2.3.1 Các toán quan hệ thẳng hàng đồng quy 64 2.3.2 Bài tốn quan hệ vng góc 69 2.3.3 Các toán điểm đƣờng cố định 73 2.3.4 Các toán tham khảo 79 KẾT LUẬN 80 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 80 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) DANH MỤC KÝ HIỆU CÁC CHỮ VIẾT TẮT R :Bán kính đƣờng trịn ngoại tiếp r : Bán kính đƣờng trịn nội tiếp SABC : Diện tích tam giác ABC , hb , hc : Độ dài đƣờng cao xuất phát từ A, B, C (ABC) : Đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC (O,R) : Đƣờng trịn tâm O, bán kính R SM(ABC) : Đƣờng thẳng Simson M đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC // : Song song ABC : Tam giác ABC  : Vng góc MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, cấp quốc gia kỳ thi olympic toán quốc tế khu vực thƣờng có tốn liên quan đến đƣờng thẳng đặc biệt điểm đặc biệt thƣờng dạng tốn khó giải Một đƣờng thẳng đặc biệt với nhiều tính chất thú vị có quan hệ mật thiết với số đƣờng thẳng đặc biệt khác nhƣ đƣờng thẳng Simson, đƣờng thẳng Steiner đƣờng thẳng Euler nối trực tâm, trọng tâm tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác Xuất phát từ thực tế giảng dạy tìm hiểu qua tài liệu tham khảo, nhận thấy việc giảng dạy học tập mơn Tốn dành cho học sinh, đặc biệt bậc phổ thông trung học gặp nhiều trở ngại khó khăn liên quan đến tốn có đặc trƣng hình học Với mong muốn tìm hiểu thêm vai trị ứng dụng đƣờng thẳng đặc biệt chƣơng trình tốn bậc phổ thông trung học đƣợc định hƣớng thầy giáo hƣớng dẫn, PGS TS Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “Các đƣờng thẳng Euler, Simson, Steiner ứng dụng hình học sơ cấp” làm đề tài luận văn thạc sỹ Trong luận văn này, trƣớc hết giới thiệu số kiến thức sở đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson đƣờng thẳng Steiner đƣợc thể chƣơng trình Chun Tốn bậc phổ thơng trung học Tiếp đó, ứng dụng để giải số dạng tốn liên quan hình học phẳng Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu đề tài khai thác đƣờng thẳng đặc biệt đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Steiner đƣờng thẳng Simson để khảo sát số chủ đề hình học thể qua dạng toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc, xác định điểm cố định, nhằm góp phần nâng cao hiệu chất lƣợng dạy học bổ sung tài liệu tham khảo cho giáo viên, học sinh chƣơng trình phổ thơng trung học Nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác đƣờng thẳng Euler, Steiner, Simson để khảo sát dạng tốn cụ thể hình học thể qua toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc, xác định điểm cố định Đối tƣợng phạm vi nghiên cứu - Ðối tƣợng nghiên cứu đề tài kiến thức đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson đƣờng thẳng Steiner, ứng dụng chúng việc giải số dạng tốn hình học phẳng - Phạm vi nghiên cứu đề tài tính chất tốn ứng dụng đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson đƣờng thẳng Steiner hình học phẳng thuộc chƣơng trình phổ thông trung học Phƣơng pháp nghiên cứu - Tổng hợp báo cáo khoa học, chuyên đề tài liệu tác giả nghiên cứu kiến thức liên quan đến đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson đƣờng thẳng Steiner -Tổng hợp toán đề thi học sinh giỏi liên quan đến đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson đƣờng thẳng Steiner, giải tốn chọn chƣa có lời giải tham khảo giải phƣơng pháp khác - Trao đổi, tham khảo ý kiến thầy hƣớng dẫn, bạn đồng nghiệp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài - Nâng cao hiệu dạy học số chủ đề hình học thuộc chƣơng trình Tốn phổ thơng trung học - Phát huy tính tự học sáng tạo học sinh - Ứng dụng đƣờng thẳng Euler, đƣờng thẳng Simson đƣờng thẳng Steiner việc giải số dạng tốn hình học phẳng thuộc chƣong trình phổ thơng trung học Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, nội dung luận văn đƣợc chia làm chƣơng: Chƣơng Các đƣờng thẳng Euler, Steiner, Simson Trong chƣơng 1, luận văn trình bày khái niệm đƣờng thẳng Euler, Steiner, Simson số tính chất liên quan đến đƣờng thẳng Chƣơng Các tốn ứng dụng hình học sơ cấp Trong chƣơng 2, luận văn trình bày số ứng dụng đƣờng thẳng Euler, Steiner, Simson vào giải tốn hình học chƣơng trình tốn bậcphổ thơng trung học Cụ thể toán quan hệ thẳng hàng, đồng quy, song song, vng góc, xác định điểmcố định, đẳng thức hình học CHƢƠNG ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG THẲNG SIMSON, ĐƢỜNG THẲNG STEINER Trong chƣơng 1, chúng tơi trình bày số kiến thức liên quan đến đƣờng thẳng Euler, Simson, Steiner để làm sở cho việc ứng dụng chƣơng Các nội dung trình bày chƣơng, chủ yếu đƣợc tham khảo tài liệu [1], [2], [3] 1.1 ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG TRÒN EULER VÀ HỆ THỨC EULER 1.1.1 Đƣờng thẳng Euler Trƣớc vào định nghĩa đƣờng thẳng Euler, có định lí sau: Định lí 1.1.1.([3], đƣờng thẳng Euler)Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O Gọi H, G trực tâm trọng tâm tam giác ABC Khi ba điểm O, H, G thẳng hàng Chứng minh Gọi E, F, J lần lƣợt hình chiếu A, B, C lên BC, AC, AB M trung điểm BC; N điểm đối xứng H qua M; K điểm đối xứng H qua BC Ta chứng minh K, N thuộc đƣờng tròn (ABC), thật vậy:   EBH   HAF  (do tứ giác AFEB nội Vì  BHK cân B nên KBE   KAC  hay K   ABC  tiếp) Nên KBC Ta có tứ giác BNCH hình bình hành (do M trung điểm BC HN)   BHC   JHF   1800  JAF  (do tứ giác AJHF nội tiếp) Suy BNC 68 Từ áp dụng định lí Miquel vào tam giác PYZ, ta có H YZ, Hc ZP, Hb  YP Suy đƣờng tròn (PHbHc), (ZHHc), (YHHb) đồng quy Do đƣờng trịn (ABC), (Ma ; XX ' YY ' ) (Mb ; ) đồng quy 2 ZZ '   YY '  Tƣơng tự đƣờng tròn (ABC),  M c ; , Mb;  đƣờng tròn    XX '   ZZ '  (ABC),  M a ; , M c;  đồng quy    XX '   YY '   ZZ '  Từ suy đƣờng tròn  M a ; , Mb; , M c;  đồng 2     quy điểm khác H Do tâm chúng thẳng hàng Hay Ma, Mb, Mc thẳng hàng Để kết thúc phần xét tốn khác áp dụng định lí Collings nhƣ sau: Bài toán [2] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm (O) P điểm mặt phẳng Gọi A 1, B1, C1 giao điểm AP, BP, CP với (O) A2, B2, C2 điểm đối xứng A 1, B1, C1 với BC, CA, AB Chứng minh bốn đường tròn (ABC), (PA 1A2), (PB1B2), (PC1C2) đồng quy Bài giải Gọi A3 điểm đối xứng P qua BC Khi ta có PA3A1A2nội tiếp đƣờng tròn Gọi Q điểm Anti - Steiner đƣờng thẳng HP với tam giác ABC (trong H trực tâm tam giác ABC), suy Q  (ABC) Ta chứng minh Q thuộc (PA1A2), (PB1B2), (PC1C2) 69 Hình 2.30 Thật vậy, gọi Ha giao điểm AH với (O), ta có HaA3 đối xứng với HP qua BC nên theo định lí Collings suy HaA3 qua Q Mặt khác tứ giác HHaA3P nội tiếp đƣờng tròn hình thang cân nên: 0     QA P  H a HP  180  QA3 P  HH aQ  180 (2.37) Hơn Ha, Q, A1 thuộc (ABC) nên tứ giác AHaQA1 nội tiếp 0    HH  AAQ Suy   AH aQ  180 hay PAQ aQ  180 (2.38)   Từ (2.37) (2.38) suy QA P  PAQ Do Q thuộc (PA1A2) Chứng minh tƣơng tự ta có (PC1C2), (PB1B2) qua Q Vậy toán đƣợc chứng minh 2.3.2 Bài toán quan hệ vng góc Bài tốn (Nguyễn Văn Linh, mathley round 2) [2] Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H Một đường thẳng qua H cắt đường tròn (O) hai điểm P Q Qua P, Q kẻ đường thẳng vng góc với AP AQ, đường thẳng cắt BC M, N Chứng minh đường thẳng qua P vng góc với OM, 70 đường thẳng qua Q vng góc với ON cắt điểm nằm đường tròn (O) Bài giải Cách 1: Sử dụng đƣờng thẳng Simson A Q O H P B M Z Y N X T C S Hình 2.31       Ta có OX  AP ; OY  AH ; OZ  AQ Do P, Q, H thẳng hàng suy 2 X, Y, Z thẳng hàng Theo định nghĩa đƣờng thẳng Simson suy O, M, N, S nội tiếp   MSN   1800 Từ ta có MON   MON   1800 (do OM  PT ON  QT) Suy PTQ (2.39) (2.40)   MSN   PSQ  Từ (2.39) (2.40) suy PTQ Suy S, T, P, Q nội tiếp hay T  (O) Cách 2: Lời giải toán dài nhƣng áp dụng vào đƣờng thẳng Steiner có nhiều điều thú vị Lời giải cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) với trực tâm H Một đường thẳng qua O cắt AB, AC I, Khi đó: 71 a) Các đường trịn đường kính BI, CJ cắt điểm F nằm (O) b) Gọi G điểm đối xứng F qua IJ G thuộc (O), HF đường thẳng Steiner G tam giác ABC Chứng minh Bổ đề L A M K H G I P O B C J F Hình 2.32 a) Dựng đƣờng kính CP BK (O) Áp dụng định lí Pascal đảo cho điểm A, B, C, P, F, K ta suy PJ IK cắt F thuộc (O)(xem hình 2.33) Do CP, BK đƣờng kính (O) nên ta dễ thấy F thuộc đƣờng trịn đƣờng kính BI CJ Định lí Pascal đảo: "Cho điểm A, A’, B, B’, C, C’ Gỉa sử CA’ BC’cắt taị N AC’ CB’cắt P cho AA’, BB’, NP đồng quy Khi điểm thuộc đường conic điểm cịn lại thuộc đường conic Ngồi A, B, C thẳng hàng A’, B’, C’ thẳng hàng" b) Gọi L giao điểm BH với (O), M giao điểm GL AC    900  ABH  BAC Ta có    BKC   900  KBC    BKC  (do chắn cung BC) suy   ABH  KBC Do BAC Khi ta có LK //AC Suy ra: 72   1800  GMA  GMC 1    1800   GA  LC  2   1800   1800     GOA  LOC      1 GOA  AOK  1800  GOK 2  (Góc nội tiếp số đo góc tâm)  1800  GFK   GFK   1800 Nên GMC Suy tứ giác GMIF nội tiếp   FGI   GFI   LMC  Khi ta có FMI (2.41) Do MF MG đối xứng qua AC nên điểm đối xứng với G nằm MF Mặt khác từ (2.41) ta có H, L đối xứng với qua AC L thuộc MG H thuộc MF Vậy HF đƣờng thẳng Steiner G tam giác ABC Trở lại toán A Q H O P B M N C J=J' Hình 2.33 Áp dụng bổ đề ta suy giao điềm J (O) đƣờng thẳng qua P vng góc OM điểm Anti- Steiner đƣờng thẳng PH tam giác 73 ABC Tƣơng tự giao điểm J’ (O) đƣờng thẳng qua Q vng góc với ON điểm Anti- Steiner đƣờng thẳng QH tam giác ABC Vậy J  J’ Nhận xét: Qua toán thấy cách làm thuận lợi cách nhƣng cách thể việc sử dụng điểm Anti-Steiner hay Tiếp theo đến dạng toán điểm cố định 2.3.3 Các toán điểm đƣờng cố định Phương pháp Bước 1:Khai thác, phân tích giả thiết kết luận để tìm mối liên hệ với tính chất đối tƣợng dự định ứng dụng đƣờng thẳng Steiner Bước 2: Vận dụng đƣờng thẳng Steiner cho yếu tố liên quan Chúng ta xét toán đƣợc chứng minh ứng dụng đƣờng thẳng Simson Bây xem thử ứng dụng đƣờng thẳng Steiner có điều thú vị Bài toán Cho tam giác ABC M điểm thay đổi BC Gọi D, E điểm đối xứng M qua AB, AC Chứng minh trung điểm X DE thuộc đường thẳng cố định M thay đổi BC Bài giải A B' X D E I C' B J H Hình 2.34 M C 74 Gọi I, J lần lƣợt giao điểm DM với AB, EM với AC Dựng đƣờng cao AH tam giác ABC Gọi B’, C’ lần lƣợt điểm đối xứng H qua AC AB Khi ta có B’, C’ cố định Ta thấy tứ giác XIMJ hình bình hành nên XI//MJ Do MJ  AJ Suy IX  AJ Tƣơng tự JX  AI Do X trực tâm tam giác AIJ Ta có tứ giác AIMJ AHMJ nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính AM nên H  (AIJ) Theo cách dựng B’, C’ B’C’ đƣờng thẳng Steiner H tam giác AIJ Do B’C’ qua trực tâm X tam giác AIJ Vậy X thuộc đƣờng thẳng cố định M thay đổi Nhận xét: Qua toán ta thấysử dụng đường thẳng Steiner giải nhanh hay so với đường thẳng Simson Bài toán Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Giả sử S 1, S2 hai điểm di động đối xứng qua O Gọi d1, d2 tương ứng đường thẳng Simson S1, S2 tam giác ABC Chứng minh d1 vng góc với d2 giao điểm d1, d2 chạy đường tròn cố định Bài giải Gọi D, E, F lần lƣợt hình chiếu S1 lên BC, AC, AB Và D’, E’, F’ lần lƣợt hình chiếu S2 lên BC, AC, AB S giao điểm S1 S2 75 F' S2 A E' E O H E S D B C D' F S1 Hình 2.35 '  ES   Ta có tứ giác DES1C E’S2CD’ nội tiếp nên SDD 1C  90  ACS1    SD ' D  CS E '  90  ACS2 0   Do S 1CS2  90 nên ACS1  ACS2  90 '  SD  Suy SDD ' D  900 Do ta có d1  d2 S Gọi H trực tâm tam giác ABC (E) tâm đƣờng tròn Euler tam giác ABC Xét phép vị tự tâm H tỉ số k=2, ta có: H: d1  d1’ d2  d2’ S  S’ (E)  (O) E O Áp dụng đƣờng thẳng Steiner suy S1 d1’, S2 d2’ Mặt khác S1S2 đƣờng kính (O) d1  d2nên S’ trùng với giao điểm d’1, d’2và thuộc (O) Mà phép vị tự tâm H tỉ số k = biến (E)  (O) nên S (E) Vậy giao điểm S d1và d2 thuộc đƣờng tròn Euler tam giác ABC cố định Nhận xét: Bài toán áp dụng phép vị tự để suy điều cần chứng minh Tiếp theo đến toán sử dụng tam giác đồng dạng thuận tiện 76 Bài toán Cho tam giác ABC có trực tâm H M trung điểm BC Phân giác góc A cắt HM K Đường tròn thay đổi qua A K cắt AB, AC theo thứ tự J L a) Chứng minh trực tâm tam giác AJL thuộc đườngthẳng cố định Gọi d đường thẳng cố định b) Gọi P giao điểm d với HM Chứng minh HP=HK Bài giải A V P U H Y O L K X S T J M B C I Hình 2.36 a) Gọi U, V lần lƣợt điểm đối xứng K qua AB, AC Khi U, V cố định UV đƣờng thẳng Steiner tam giác ALJ nên UV qua trực tâm tam giác ALJ Nhƣ trực tâm tam giác ALJ thuộc đƣờng thẳng d có định b) Gọi O tâm đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Gọi X, Y lần lƣợt giao điểm KU AB, KV AC I giao điểm AK với (O) S, T theo thứ tự giao điểm đƣờng thẳng qua I vng góc AB đƣờng thẳng qua I vng góc AC với XY Ta cần chứng minh XY đƣờng thẳng Steiner tam giác ABC ứng với điểm Anti-Steiner I Thật ta có: AHK đồng dạng IMK (g-g) 77 AK AH AK AH AK AH     hay IK IM AK  KI AH  IM AI AH  IM (2.42)   MCI  (Vì chắn cung BI) Hơn BAI Xét tam giác IMC vng M ta có  A BOC A A IM  MC.tg  OM tg tg  OM tgA.tg 2 2 (2.43) Và OM=2AH ( áp dụng phép chứng minh tính chất 1.1.5) (2.44) Từ (2.42), (2.43) (2.44) suy AK  AI A  tgA.tg Xét tam giác AXK vng X Ta có AX  AK cos 2cos A A  AI A 2  tgA.tg (2.45) Ta cần chứng minh XI  IK IA Thật vậy: Giả sử có điều trên, ta cần chứng minh điều Ta có XI  IK IA  ( AI  AK ) AI  AX  AI  AI AX cos Suy AX  AX AI cos  AX AI cos A  AI   AI  IK  A  AK AI (2.46) Lấy (2.45) thay vào (2.46) rút gọn hai vế cho AI ta đƣợc A A 4cos 2 2   A A A   tgA.tg  tgA.tg  tgA tg   2 2  4cos A 78 2cos  A 2  tgA.tg A  2cos A  Điều VP = cos A VT = = 2cos A A   tgA.tg  A A A 2cos tg  2 tgA tgA A tg 2cos A A tg 2  cos A 1  tg A   cos A  sin A   A 2 2 2 2tg 2 A  tg 2cos = cos A Do VT=VP Vậy điều cần chứng minh Tức XI  IK IA Vậy ta có IXK đồng dạng IAX tứ giác AXKY nội tiếp đƣờng trịn đƣờng kính AK   hay XK tia phân giác YXI  Suy KXI XAK  YXK   AX  K  900 Mặt khác BXK   hay XB phân giác SXI  Từ ta có IXB AXY  SXB Do XB đƣờng cao nên tam giác SXI cân X Tƣơng tự tam giác IYT cân Y Suy ST đƣờng thẳng Steiner ứng với điểm Anti- Steiner I tam giác ABC Do ST qua H hay XY qua H Khi XHY đƣờng trung bình tam giác UKV Suy HP=HK 79 Nhận xét: Để HP=HK ta áp dụng đường trung bình ,và để có điều ta cần chứng minh H thuộc XY Vậy xét số toán liên quan đến đƣờng thẳng Steiner Để kết thúc phần này, chúng tơi giới thiệu số tốn tham khảo sau 2.3.4 Các toán tham khảo Bài toán 1.Cho tam giác ABC nội tiếp đƣờng tròn tâm O hai điểm P, Q nằm đƣờng tròn (O) Gọi M, N điểm đối xứng P qua BC A’ giao điểm QM với BC Tƣơng tự cho việc xác định B’ C’ Chứng minh A’, B’, C’ thẳng hàng Bài toán (Dự tuyển PTNK, 2008) Cho góc xOy điểm P cố định nằm góc xOy Đƣờng trịn tâm I thay đổi qua O P Giả sử đƣờng tròn (I) cắt Ox, Oy M N Chứng minh rằng: a) Trung điểm MN thuộc đƣờng thẳng cố định b) Trực tâm tam giác OMN thuộc đƣờng thẳng cố định Bài toán [2] Cho tam giác ABC với A’, B’, C’ lần lƣợt trung điểm BC, CA, AB Gọi Q điểm mặt phẳng M, N, P lần lƣợt hình chiếu Q lên BC, CA, AB Chứng minh hai giao điểm đƣờng tròn (MNP) (A’B’C’) điểm Anti-Steiner Q tam giác A’B’C’ Bài toán (IMO, 2011) Cho tam giác ABC nhọn với đƣờng tròn ngoại tiếp (O) Gọi a tiếp tuyến (O) a1, a2, a3 lần lƣợt đƣờng thẳng đối xứng với a qua BC, CA, AB Chứng minh đƣờng tròn ngoại tiếp tam giác tạo a1, a2, a3 tiếp xúc với đƣờng tròn (O) 80 KẾT LUẬN Với mục tiêu đề tài, luận văn “Các đƣờng thẳng Euler, Simson, Steiner ứng dụng vào hình học sơ cấp” thực đƣợc nội dung sau:  Hệ thống kiến thức ba đƣờng thẳng Euler, Simson, Steiner chƣơng trình Tốn bậc phổ thơng trung học  Hệ thống phân loại chủ đề toán hình học cụ thể nhƣ sau: - Bài tốn chứng minh đẳng thức hình học; - Bài tốn quan hệ thẳng hàng đồng quy; - Bài toán quan hệ song song vng góc; - Bài tốn điểm cố định Đối với chủ đề, có toán minh họa toán đề nghị tham khảo kèm theo Đối với dạng toán, có phân tích định hƣớng giải phần có nhận xét, tùy vào nội dung tốn phần chúng tơi có nhận xét đầu cuối phần Hy vọng nội dung luận văn đƣợc tiếp tục mở rộng hồn thiện để giải đƣợc nhiều chủ đề tốn hình học thuộc chƣơng trình Tốn bậc phổ thơng trung học Trong q trình làm luận văn hạn chế thời gian lực nên luận văn cịn nhiều thiếu sót, mong nhận đƣợc ý kiến nhận xét từ quý thầy bạn để luận văn đƣợc hồn thiện Xin chân thành cảm ơn ! 81 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Văn Nho (2007), Những định lí chọn lọc hình học phẳng qua kỳ thi Olympic, NXB Giáo dục [2] Ong Thế Phƣơng (2012), Đường thẳng Simson, đường thẳng Steiner điểm Anti-Steiner, Chuyên đề trƣờng THPT chuyên Lƣơng Thế Vinh, Đồng Nai [3] Đoàn Quỳnh (2010), Tài liệu giáo khoa chuyên tốn, NXB Giáo dục [4] Văn Phú Quốc, Huỳnh Cơng Thái (2013), Các chuyên đề bồ dưỡng học sinh giỏi luyện thi Olympic toán 10, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội [5] Diễn đàn http://forum.mathscope.org/ [6] Diễn đàn http://diendantoanhoc.net/forum/ [7] Diễn đàn https://www.scribd.com/ 82 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI LUẬN VĂN (Bản sao) ... tốn hình học liên quanđến đƣờng thẳng đặc biệt 23 CHƢƠNG CÁC BÀI TỐN ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Trong chương này, chúng tơi trình bày số ứng dụng đường thẳng Euler, Steiner, Simson vào giải...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ĐẶNG VĂN TẤN CÁC ĐƢỜNG THẲNG EULER, SIMSON, STEINER VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC SƠ CẤP Chuyên ngành : Phƣơng pháp Toán sơ cấp Mã số : 60.46.01.13... thức hình học 4 CHƢƠNG ĐƢỜNG THẲNG EULER, ĐƢỜNG THẲNG SIMSON, ĐƢỜNG THẲNG STEINER Trong chƣơng 1, trình bày số kiến thức liên quan đến đƣờng thẳng Euler, Simson, Steiner để làm sở cho việc ứng dụng