Một số định lý cổ điển trong hình học tích hợp và áp dụng giải toán hình học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ PHƯƠNG DUNG MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ PHƯƠNG DUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đề tài MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC CHUN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TỐN SƠ CẤP MÃ SỐ: 8460113 Người hướng dẫn: PGS TS LÊ CƠNG TRÌNH Năm 2021 i Mục lục Định lý Sylvester-Gallai áp dụng giải tốn hình học 1.1 1.2 Định lý Sylvester-Gallai số phép chứng minh 1.1.1 Định lý Sylvester-Gallai 1.1.2 Phép chứng minh Gallai 1.1.3 Phép chứng minh Kelly 1.1.4 Phép chứng minh Steinberg 1.1.5 Chứng minh Kelly cho câu hỏi Sylvester Một mở rộng Định lý Sylvester-Gallai 11 1.2.1 Tính đối ngẫu 12 1.2.2 Công thức Euler-Pointcaré 14 1.2.3 Chứng minh Định lý Melchior 15 1.3 Định lý Sylvester-Gallai cho họ đường thẳng 16 1.4 Định lý Sylvester-Gallai cho đường tròn 17 Định lý Helly số áp dụng Hình học tổ hợp 18 2.1 Dạng chiều Định lý Helly 18 2.2 Định lý Caratheodory 19 2.2.1 Tập lồi 19 2.2.2 Bao lồi Định lý Caratheodory 20 ii 2.3 Định lý Radon 22 2.4 Dạng tổng quát Định lý Helly 23 2.5 Một số áp dụng Định lý Helly 25 2.5.1 Định lý Klee 25 2.5.2 Định lý Rey-Pastó-Santaló 26 2.5.3 Định lý Jung 27 2.5.4 Định lý Helly mặt phẳng 30 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 MỞ ĐẦU Hình học tổ hợp pha trộn nguyên lý từ lĩnh vực tổ hợp hình học Hình học tổ hợp đề cập đến kết hợp xếp đối tượng hình học với thuộc tính rời rạc đối tượng Nó liên quan đến chủ đề đếm, phủ, tô màu, gấp, đối xứng, lát, phân hoạch, đối tượng hình học Hình học tổ hợp bao gồm khía cạnh tơpơ, lý thuyết đồ thị, lý thuyết số ngành khác Mặc dù Hình học tổ hợp nghiên cứu nhà toán học cổ điển Euler Kepler, nhiều kiến thức nâng cao Hình học tổ hợp phát triển kể từ kỷ 20 Chủ đề thu hút quan tâm nh toỏn hc ti nng quỏ c Paul Erdăos Thut ngữ "Hình học tổ hợp" dường sử dụng lần vào năm 1955 H Hadwiger (Hadwiger Debrunner, 1964) Có nhiều định lý cổ điển Hình học tổ hợp, với nhiều ứng dụng thú vị giải tốn hình học, số phải kể đến Định lý Sylvester-Gallai (được đề xuất Sylvester vào năm 1893 chứng minh lần Gallai vào năm 1944), Định lý Helly (được đưa Helly vào năm 1921), Việc tìm hiểu định lý cổ điển Hình học tổ hợp với ứng dụng chúng giải tốn hình học vấn đề thực có ý nghĩa Ngoài mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn bố cục thành hai chương Chương Định lý Sylvester-Gallai áp dụng giải tốn hình học Trong chương tác giả trình bày phát biểu Định lý Sylvester-Gallai với số phép chứng minh mở rộng Định lý Chương Định lý Helly số áp dụng Hình học tổ hợp Trong chương tác giả phát biểu trình bày chứng minh Định lý Helly dạng chiều dạng tổng quát, với số ứng dụng Định lý Helly Hình học tổ hợp Đề tài hoàn thành hướng dẫn khoa học tận tình PGS TS Lê Cơng Trình Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy nhận lời hướng dẫn, giúp đỡ để hoàn thành luận văn Nhân đây, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám Hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau đại học, Khoa Tốn Thống kê q Thầy Cơ giáo giảng dạy lớp cao học Toán chuyên ngành Phương pháp Tốn sơ cấp khóa 22, tận tình giúp đỡ tạo điều kiện tốt thời gian học tập nghiên cứu thực đề tài Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian học tập, cơng tác có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên chắn luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý thẳng thắn, xây dựng quý thầy cô giáo bạn học viên để luận văn hoàn thiện Quy Nhơn, tháng 07 năm 2021 Học viên Phạm Thị Phương Dung Chương Định lý Sylvester-Gallai áp dụng giải tốn hình học Trong chương chúng tơi phát biểu trình bày số phép chứng minh Định lý Sylvester-Gallai, với số áp dụng Định lý để giải số tốn hình học liên quan Các khái niệm kết chương tổng hợp trình bày lại từ tài liệu [4], [5] 1.1 Định lý Sylvester-Gallai số phép chứng minh 1.1.1 Định lý Sylvester-Gallai Năm 1893, Sylvester đặt câu hỏi sau đây: "Cho tập hữu hạn điểm mặt phẳng cho đường thẳng qua hai điểm tập hợp chứa điểm thứ ba tập hợp Khi liệu điểm tập hợp có thẳng hàng khơng?" Định nghĩa 1.1.1 Cho P = {p1 , p2 , , pn }, n ≥ tập hợp điểm không thẳng hàng mặt phẳng Một đường thẳng gọi đường thẳng nối chứa hai điểm tập hợp gọi đường thẳng thường (ordinary) chứa hai điểm tập hợp Định lý 1.1.2 (Sylvester-Gallai) Mỗi tập hợp P gồm n ≥ điểm không thẳng hàng mặt phẳng xác định đường thẳng thường 1.1.2 Phép chứng minh Gallai Đây chứng minh đặt tên cho định lý Chứng minh Gallai đưa năm 1944 Đầu tiên giới thiệu khái niệm phép biến đổi xạ ảnh, sở chứng minh Ký hiệu E i không gian Euclide thực i chiều Định nghĩa 1.1.3 Một phép biến đổi xạ ảnh ánh xạ Θ : E i → E j có Ax + b , x vectơ cột Ei , A: Ei → E j cT x + d ma trận thực cỡ j xi, b vectơ cột gồm j phần tử, c vectơ cột gồm i phần dạng Θ(x) = tử d số thực Ví dụ 1.1.4 Cho P ⊆ E tập hợp Hình 1.1 Hình 1.1 Tập hợp P Trong Hình 1.1, tập hợp P gồm điểm p1 , , p7 Các đường thẳng màu đỏ đường thẳng nối P qua điểm p5 Các đường thẳng màu xanh đường thẳng nối không qua điểm p5 Áp dụng phép biến dổi xạ ảnh sau điểm pi tập hợp P Θ1 x y = x + 2y + 20 x − y 3x + 4y − 20 Trong phép biến đổi xạ ảnh này, A= ,b= 20 ,c= −20 −1 d = Nếu ta biến đổi P Θ1 đường thẳng x = y , bao gồm p5 , chiếu đến vô cực Khi ảnh Θ1 (P ) giống Hình 1.2 Chúng ta thấy ảnh đường thẳng chứa p5 song song với đường thẳng x = y điểm thẳng hàng P nằm đường thẳng nối chung Sự thẳng hàng bảo toàn trường hợp P tập hữu hạn bất kỳ, điều chứng minh Hệ 1.1.6 Bổ đề 1.1.7 Hình 1.2 Ảnh tập hợp P Định nghĩa 1.1.5 Một tập hợp P ⊂ E gọi phụ thuộc affine tồn họ hữu hạn điểm p1 , , pr ∈ P λ1 , , λr ∈ R không đồng thời cho λ1 p1 + + λr pr = λ1 + + λr = Hệ 1.1.6 Một tập hợp P = {p1 , p2 , p3 } phụ thuộc affine chúng thẳng hàng Chứng minh P = {p1 , p2 , p3 } thẳng hàng ta chọn λ1 , λ2 ∈ R{0} cho λ1 (p1 − p3 ) + λ2 (p2 − p3 ) = Hơn nữa, λ3 = −(λ1 + λ2 ) nên ta có: = λ1 (p1 − p3 ) + λ2 (p2 − p3 ) = λ1 p1 + λ2 p2 − (λ1 + λ2 ) p3 = λ1 p1 + λ2 p2 + λ3 p3 Do P phụ thuộc affine ba điểm p1 , p2 , p3 thẳng hàng Bổ đề 1.1.7 Nếu P tập hợp điểm phụ thuộc affine E cT p + d = với p ∈ P Θ (P ) phụ thuộc affine Chứng minh Xem [McMullen], trang 19 - 20 Hệ 1.1.6 Bổ đề 1.1.7 suy ba điểm thẳng hàng tập hợp P thẳng hàng qua phép biến đổi xạ ảnh Nói cách khác, phép biến đổi xạ ảnh biến đường thẳng nối thành đường thẳng nối Chứng minh Định lý 1.1.2 (Gallai, 1944) Chọn điểm p1 tập P Nếu p1 thuộc đường thẳng thường ta có điều phải chứng minh Ngược lại, giả sử p1 không thuộc đường thẳng thường nào, tức đường thẳng nối p1 điểm khác thuộc P đường thẳng nối chứa p1 hai điểm khác P Chọn đường thẳng qua p1 không qua điểm khác P , chiếu xạ ảnh đường thẳng vô cực 30 Trong Hình 2.5, tập hợp A ⊂ R2 có đường kính đơn vị, tam giác T có bán kính đường trịn ngoại tiếp lớn nhất: rn > ρ Định lý Jung khẳng định tất tập Rn có bán kính đơn vị, đơn hình có bán kính đường trịn ngoại tiếp lớn rn = n Trong 2(n + 1) mặt phẳng, đơn hình tam giác T có độ dài cạnh 2.5.4 Định lý Helly mặt phẳng Trong phần chúng tơi trình bày số trường hợp riêng mặt phẳng Định lý Helly tổng quát, với chứng minh riêng trường hợp Đồng thời, chúng tơi trình bày số áp dụng Định lý Helly để giải số tốn hình học tổ hợp mặt phẳng Đầu tiên Định lý Helly cho họ hữu hạn hình lồi mặt phẳng Định lý 2.5.4 Trong mặt phẳng cho n > hình lồi, ba hình có điểm chung, n hình có điểm chung Chứng minh Ta xét trường hợp n = Kí hiệu F1 , F2 , F3 , F4 bốn hình lồi cho Cho A1 điểm chung F2 , F3 , F4 ; A2 điểm chung F1 , F3 , F4 ; A3 điểm chung F1 , F2 , F4 A4 điểm chung F1 , F2 , F3 Như vậy, F1 chứa điểm A2 , A3 , A4 , suy tam giác A2 A3 A4 , F1 hình lồi, hai đỉnh tam giác thuộc F1 cạnh chứa hai đỉnh thuộc F1 Tương tự, ta F2 chứa tam giác A1 A3 A4 , F3 chứa tam giác A1 A2 A4 F4 chứa tam giác A1 A2 A3 Ta xét ba trường hợp sau Giả thiết A1 A2 A3 A4 tứ giác lồi (Hình 2.6) Giao điểm O đường chéo tứ giác nằm tam giác xét Từ 31 suy O điểm chung cho tất bốn hình F1 , F2 , F3 , F4 Hình 2.6 Giả thiết ba bốn điểm A1 , A2 , A3 , A4 tạo thành tam giác chứa điểm lại điểm cịn lại nằm cạnh tam giác Kí hiệu tam giác A1 A2 A3 điểm thứ tư A4 Vì F4 chứa A1 A2 A3 , F4 chứa A4 Từ suy A4 điểm chung bốn hình Giả thiết ba điểm A1 , A2 , A3 , A4 nằm đường thẳng Khi bốn điểm nằm đường thẳng Ta giả sử đoạn thẳng A1 A4 chứa điểm A2 A3 Khi A1 A4 nằm hình F2 F3 , suy A2 A3 nằm hình F2 F3 Như vậy, ta nhận A2 A3 nằm bốn hình Ba trường hợp xét bao gồm tất khả xảy Chứng minh định lý với n ≥ phương pháp quy nạp toán học Giả sử định lý cho n hình lồi mặt phẳng Ta xét trường hợp n + hình lồi F1 , F2 , , Fn , Fn+1 , ba hình chúng có điểm chung Ta ký hiệu Φn giao hai tập hợp Fn Fn+1 Tập Φn tập lồi, Fn Fn+1 tập lồi Ta xét n hình F1 , F2 , , Fn , Fn−1 , Φn Mọi ba hình chúng có điểm chung Thật vậy, tập ba tập Φn , 32 kết luận suy từ giả thiết quy nạp Nếu tập ba Φn , nhận kết cách sử dụng Định lý Helly cho trường hợp n = Cuối cùng, ta áp dụng giả thiết quy nạp cho n hình Từ suy Định lý Helly với n > Hình 2.7 Nếu hình ta xét mà khơng lồi, khơng thể kết luận có điểm chung cho tất hình Hình 2.7 phần gạch chéo hình M khơng lồi phủ hình chữ nhật P1 , P2 , P3 Bốn hình thỏa mãn điều kiện Định lý Helly, chúng khơng có điểm chung Định lý 2.5.5 Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n ≥ 4) Biết giao ba hình lồi chúng khác rỗng Khi n hình lồi có giao khác rỗng Chứng minh Ta chứng minh phương pháp quy nạp theo n, với n = Gọi Ω1 , Ω2 , Ω3 , Ω4 hình lồi 33      A1 ∈ Ω2 ∩ Ω3 ∩ Ω4           A2 ∈ Ω1 ∩ Ω3 ∩ Ω4     A3 ∈ Ω1 ∩ Ω2 ∩ Ω4           A4 ∈ Ω1 ∩ Ω2 ∩ Ω3 Nếu hai điểm số điểm A1 , A2 , A3 , A4 trùng Giả sử A1 = A2 ⇒ A1 ∈ Ω1 ∩ Ω2 ∩ Ω3 ∩ Ω4 xong Nếu điểm A1 , A2 , A3 , A4 phân biệt Xét bao lồi tập điểm A1 , A2 , A3 , A4 Ta xét ba trường hợp sau Bao lồi tứ giác lồi Gọi O giao điểm hai đường chéo A1 A3 A2 A4 O ∈ A1 A3 tương tự ⇒ O ∈ Ω2 ∩ Ω4 O ∈ A2 A4 tương tự ⇒ O ∈ Ω1 ∩ Ω3 ⇒ O ∈ Ω1 ∩ Ω2 ∩ Ω3 ∩ Ω4 Hình 2.8 Bao lồi hình tam giác Giả sử A1 A2 A3 Khi A4 thuộc miền Mặt khác A1 , A2 , A3 thuộc Ω4 nên A1 A2 A3 A1 A2 A3 ∈ Ω4 ⇒ A4 ∈ Ω4 34 Vậy A4 ∈ Ω1 ∩ Ω2 ∩ Ω3 ∩ Ω4 Hình 2.9 Bao lồi đoạn thẳng Giả sử A2 A3 ⊂ A1 A4 Khi A2 A3 ⊂ Ω2 ∩ Ω3 Mặt khác A2 A3 ⊂ Ω1 ∩ Ω4 nên A2 A3 ⊂ Ω1 ∩ Ω2 ∩ Ω3 ∩ Ω4 Vậy định lý chứng minh cho trường hợp n = Giả sử định lý chứng minh cho trường hợp n > 4, ta chứng minh với n + Thật xét hình lồi Ω1 , Ω2 , Ωn , Ωn+1 thỏa mãn điều kiện Định lý Helly Xét n hình lồi sau: Ω1 , Ω2 , Ωn , Ωn ∩ Ωn+1 Ta chứng minh hình lồi thỏa mãn điều kiện Định lý Helly Thật ba hình lồi chúng không chứa Ωn ∩ Ωn+1 chúng có giao khác rỗng, có ba hình Ωn ∩ Ωn+1 quy bốn hình có giao khác rỗng chứng minh Vậy n hình lồi nói thỏa mãn điều kiện Định lý Helly Theo giả thiết quy nạp ta có Ω1 ∩ Ω2 ∩ ∩ Ωn (Ωn ∩ Ωn+1 ) = ∅ tức n + hình lồi cho có giao khác rỗng Vậy ta có điều phải chứng minh Tiếp theo chúng tơi trình bày Định lý Helly cho hình bình hành Chúng 35 cần kết sau Bổ đề 2.5.6 Cho ba hình bình hành F1 , F2 , F3 , cạnh chúng song song với hai đường thẳng cố định Khi đó, cặp hai hình chúng có điểm chung, ba hình bình hành có điểm chung Chứng minh Ta chọn mặt phẳng hệ tọa độ với trục nằm hai đường thẳng cho (không thiết hệ tọa độ vng góc, ta xét hệ tọa độ bất kì) Kí hiệu A1 điểm chung F2 F3 , A2 điểm chung F1 F3 , A3 điểm chung F1 F2 Kí hiệu xi , yi tọa độ điểm Ai hệ tọa độ chọn (i = 1, 2, 3) Khơng tính tổng qt, ta giả thiết hình bình hành F1 , F2 , F3 gán nhãn cho với tọa độ tương ứng x1 , x2 , x3 thỏa mãn bất đẳng thức x1 ≤ x2 ≤ x3 Hình bình hành F1 chứa điểm A2 A3 (Hình 2.10) Khi đó, chứa tất điểm P với tọa độ (x, y) cho x2 ≤ x ≤ x3 , y2 ≤ y ≤ y3 với y2 ≤ y3 y3 ≤ y ≤ y2 với y3 ≤ y2 (Hình 2.10 trường hợp thứ hai) Hình 2.10 Tương tự, F2 chứa tất điểm P có tọa độ (x, y) cho x1 ≤ x ≤ x3 , y1 ≤ y ≤ y3 y3 ≤ y ≤ y1 phụ thuộc vào y1 ≤ y3 36 Ta lặp lại lí luận với hình bình hành F3 , ta nhận tồn điểm P với tọa độ (x2 , z), mà nằm ba hình bình hành Thật vậy, cho số i, j, k nhận giá trị 1, 2, giả sử bất đẳng thức sau yi ≤ yj ≤ yk Khi đó, cách đặt yi = z , nhận kết cần thiết Từ bổ đề Định lý Helly ta có phát biểu sau Định lý Helly cho hình bình hành mặt phẳng Định lý 2.5.7 Trong mặt phẳng cho n hình bình hành có cạnh song song với hai đường thẳng cố định Nếu cặp hai hình bình hành có điểm chung, tất n hình bình hành có điểm chung Chứng minh Nếu hai hình bình hành có điểm chung, ba hình bình hành có điểm chung, từ áp dụng Định lý Helly phần trước Chú ý điều kiện cạnh hình bình hành song song với hai đường thẳng cố định cần thiết, khơng thể bỏ Hình 2.11 vẽ ba hình vng nhau, cặp hai hình có điểm chung, ba hình vng khơng có điểm chung Hình 2.11 Tiếp theo chúng tơi trình bày Định lý Helly cho cung đường tròn 37 Định lý 2.5.8 Trên đường tròn cho n > cung, cung có độ dài nhỏ độ dài nửa đường trịn Khi đó, ba cung có điểm chung tất cung có điểm chung Chứng minh Ta cho tương ứng cung ứng với hình viên phân đường trịn xác định hình trịn Trên hình viên phân có dây cung khơng phải đường kính hình trịn (do giả thiết cung cho nhỏ nửa độ dài đường tròn) Từ giả thiết ba cung có điểm chung suy ba hình viên phân có điểm chung Áp dụng Định lý Helly cho tập hợp hình viên phân, ta nhận tất hình viên phân có điểm chung Điểm khơng thể trùng với tâm hình trịn Từ điểm chung hình viên phân, kẻ đường kính, điểm giao đường kính vừa kẻ đường tròn điểm chung cho n cung cho (dễ thấy đường nối từ tâm đường tròn với điểm hình viên phân cắt cung hình viên phân ấy) Chú ý giả thiết n > cần thiết Nếu ta xét đường tròn ba cung AB , BC , CA, (Hình 2.12), cung 1200 , ta nhận cặp hai cung có điểm chung, ba cung khơng có điểm chung Hình 2.12 Mệnh đề 2.5.9 Trong mặt phẳng cho k ≥ điểm Biết cặp ba điểm 38 chúng nằm đường trịn bán kính Khi tất điểm cho chứa đường trịn bán kính Chứng minh Gọi điểm cho x1 , x2 , , xk Cần phải chứng minh tồn điểm x cách điểm cho khoảng cách khơng vượt q Nghĩa phải tìm điểm nằm tất đường trịn Bi có tâm xi bán kính Theo Định lý Helly cần chứng minh ba hình trịn từ họ B1 , B2 , , Bk có điểm chung Nhưng điều giả thiết toán cho Mọi ba điểm xi1 , xi2 , xi3 chứa hình trịn bán kính tâm hình trịn nằm Bi1 , Bi2 , Bi3 Mệnh đề 2.5.10 Trên đường trịn đơn vị có hệ cung có độ dài bé 2π , có tính chất giao hai cung chúng khác rỗng Khi giao hệ cung khác rỗng Chứng minh Giả sử có n cung Ai Bi , i = 1, 2, , n cho độ dài Ai Bi < 2π , hai cung số cung có giao khác rỗng Xét cung tùy ý Ak Bk Gọi M trung điểm cung này, gọi N điểm đối xứng M qua 2π mà có giao tâm O Từ Hình 2.13, ta thấy cung có độ dài bé với cung Ak Bk khơng chứa N Hình 2.13 Cắt hình trịn N trái thành đường thẳng N1 N2 , cung trở thành 39 đoạn thẳng nằm đoạn thẳng N1 N2 , theo giả thiết hai cung có điểm chung nên hai đoạn thẳng có điểm chung Theo Định lý Helly, đoạn thẳng có điểm chung cung có điểm chung Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.11 Trên đường trịn cho n cung, cung có độ dài nhỏ cung đường tròn Khi cặp hai cung cho có điểm chung tất cung có điểm chung Chứng minh Trên hình trịn cho K tồn điểm P mà khơng phụ thuộc cung cho Ta xây dựng đường tròn tâm P bán kính R thực phép nghịch đảo đường tròn này, nghĩa với điểm M mặt phẳng, ta đặt tương ứng với điểm M nằm đường thẳng P M P M.P M = R2 Ảnh K với phép biến đổi đường thẳng, ảnh cung đoạn thẳng Kết mệnh đề suy từ Định lý Helly cho đoạn thẳng đường thẳng Tiếp theo chúng tơi trình bày Định lý Helly cho hình lồi Định lý 2.5.12 Cho n hình lồi, cặp hai hình có điểm chung Khi đó, qua điểm mặt phẳng kẻ đường thẳng cắt tất n hình Chứng minh Ta xét đường trịn k có tâm điểm O Trên hình từ hình cho, ta cho tương ứng với cung đường tròn theo cách sau: Mỗi điểm P hình tương ứng nối với tâm O đường tròn k cho P tương ứng với điểm cắt tia OP với đường tròn k Nếu P trùng với O cách đặt tương ứng khơng có nghĩa, nên ta định nghĩa cho phép tương ứng cho hình khơng có chứa điểm O Ta thấy hình khơng chứa điểm O, với cách cho tương ứng cung 40 k Những cung thỏa mãn giả thiết định lí vừa chứng minh Điều tồn đường thẳng qua O cắt tất cung cắt tất hình cho (đường thẳng hiển nhiên cắt tất hình, với chúng khơng xác định trên, chúng chứa O) Đó điều ta cần phải chứng minh Định lý 2.5.13 Trên đường thẳng cho n hình lồi Biết giao hai hình lồi chúng khác rỗng Khi giao n hình lồi khác rỗng Chứng minh Hình lồi đoạn thẳng có dạng: Đoạn thẳng [a, b], khoảng (a, b), nửa khoảng [a, b), (a, b] (ở a −∞, b +∞) Ta xét hình lồi có dạng đoạn thẳng, dạng khác xét tương tự Xét n đoạn thẳng [ai , bi ], i = 1, , n, hai đoạn chúng có giao khác rỗng Ta chứng minh n đoạn có giao khác rỗng Đặt a = max{ai }ni=1 , b = min{bi }ni=1 , ta chứng minh a ≤ b Thật giả sử a > b, tồn số i j cho a = , b = bj , > bj đoạn thẳng [ai , bi ] [aj , bj ] rời Trái với giả thiết tốn Vậy a < b ta cần chọn c cho a < c < b Ta có c ∈ n i=1 [ai , bi ] Vậy ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 2.5.14 Cho họ đa giác lồi đôi cắt Khi tồn đường thẳng cắt tất đa giác Chứng minh Hình 2.14 41 Xét tất đa giác Fi , i = 1, , n, chọn đường thẳng d cho tất đa giác chứa nửa mặt phẳng với bờ đường thẳng d Chiếu đa giác Fi , i = 1, , n xuống đường thẳng d, đa giác ứng với đoạn thẳng [ai , bi ], đường thẳng qua điểm thuộc đoạn [ai , bi ] vng góc với d cắt Fi Như ta cần chứng minh đoạn thẳng [ai , bi ], i = 1, , n có điểm chung Vì hai đa giác có điểm chung nên hai đoạn thẳng có điểm chung Áp dụng Định lý Helly đoạn thẳng [ai , bi ] có điểm chung Vậy ta có điều phải chứng minh 42 KẾT LUẬN Luận văn chúng tơi tổng hợp tài liệu trình bày số phép chứng minh Định lý Sylvester-Gallai, trình bày phép chứng minh cho Định lý Helly Đồng thời, chúng tơi trình bày số áp dụng Định lý Sylvester-Gallai Định lý Helly để giải số tốn hình học tổ hợp mặt phẳng Cụ thể, luận văn đạt số kết sau (1) Trình bày số phép chứng minh mở rộng Định lý Sylvester - Gallai (2) Trình bày Định lý Sylvester-Gallai cho họ đường thẳng, cho đường tròn áp dụng Định lý Sylvester-Gallai để giải số tốn hình học (3) Trình bày dạng chiều Định lý Helly, định lý chuẩn bị để chứng minh dạng nhiều chiều Định lý Helly (gồm Định lý Caratheodory, Định lý Radon), Định lý Helly tổng quát áp dụng định lý để chứng minh số định lý Hình học, gồm Định lý Klee, Định lý Rey-Pastór-Santaló, Định lý Jung (4) Trình bày số dạng Định lý Helly mặt phẳng, cho họ hình bình hành, cho họ cung đường tròn cho hình lồi 43 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Dũng, Tạp san Toán học 2009 - Nam Định, THPT Chuyên Thái Bình, 2009 [2] Nguyễn Hữu Điển, Một số chuyên đề Hình học tổ hợp, NXB Giáo Dục, 2005 [3] P Borwein, W.O.J Moser, A survey of Sylvester’s problem and its generalizations, Aequationes Math, 40(2-3):111-135, 1990 [4] H Hadwiger, H Debrunes, Combinatorial Geometry in the Plane, Seattl, Washington, October, 1963 [5] O Huggenberger, Student Seminar: The Sylvester-Gallai Theorem and Its Relatives A Survey on the Theorem: Part October 2, 2012, 08-915-514 [6] P McMullen, G.C Shephard, Convex Polytopes and the Upper Bound Conjecture, Cambridge Univ Press, 1971 [7] A Treibergs, Helly’s Theorem with Applications in Combinatorial Geometry, Univ Utah, 2016 44 Quy Nhơn, ngày 28 tháng 07 năm 2021 Người hướng dẫn PGS TS Lê Công Trình Chủ tịch Hội đồng bảo vệ Học viên Phạm Thị Phương Dung Phòng Đào tạo sau đại học ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ PHƯƠNG DUNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đề tài MỘT SỐ ĐỊNH LÝ CỔ ĐIỂN TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP VÀ ÁP DỤNG GIẢI TỐN HÌNH HỌC CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN... Helly, định lý chuẩn bị để chứng minh dạng nhiều chiều Định lý Helly (gồm Định lý Caratheodory, Định lý Radon), Định lý Helly tổng quát áp dụng định lý để chứng minh số định lý Hình học, gồm Định lý. .. Sylvester-Gallai áp dụng giải tốn hình học Trong chương tác giả trình bày phát biểu Định lý Sylvester-Gallai với số phép chứng minh mở rộng Định lý Chương Định lý Helly số áp dụng Hình học tổ hợp Trong