Định lý Radon

2 Định lý Helly và một số áp dụng trong Hình học tổ hợp

2.3 Định lý Radon

Johann Radon sinh ra ở Bohemia, Áo. Ông nhận bằng tiến sĩ tại Viên năm 1910. Ông không tham gia chiến tranh thế giới thứ nhất vì thị lực yếu. Ông giữ nhiều vị trí trước khi trở thành trở về Đại học Viên. Radon đã phát triển định lý này để đưa ra chứng minh đẹp về Định lý Helly, được công bố năm 1922. Radon được biết đến nhiều hơn nhờ Định lý Raon-Nikodym của giải tích thực và phép biến đổi Radon về chụp cắt lớp tia X.

Trong phần này chúng tôi trình bày Định lý Radon về tách tập điểm phụ thuộc affine.

Định lý 2.3.1. Mỗi tập hữu hạn các điểm phụ thuộc affine (đặc biệt mỗi tập hợp ít nhất n+ 2 điểm) có thể biểu diễn thành hợp của hai tập rời nhau mà bao lồi của chúng có điểm chung.

không đồng thời bằng 0, sao cho k P i=1 αixi= 0 và k P i=1 αi = 0.

Sau khi đánh số lại ta có thể giả sử αi >0 với i= 1, . . . , j, trong đó 0≤j < k (ít nhất có một số αi 6= 0, không phải tất cả các số đều âm hoặc đều dương). Đặt

α=α1+· · ·+αj =−(αj+1+· · ·+αk)>0. Tâm tỉ cự của hệ điểm dương là

z= j X i=1 αj αxi = k X i=j+1 −αj α xi.

Khi đó z ∈conv{x1, . . . , xj} ∩ conv{xj+1, . . . , xk} là điểm cần tìm. 2.4 Dạng tổng quát của Định lý Helly

Helly bị thương trong chiến tranh thế giới thứ nhất và bị cầm tù bởi người Nga. Ông viết giải tích hàm trong tù. Mặc dù định lý được khám phá ra năm 1913 nhưng những ghi chép này đã không được công bố cho tới năm 1921, khi ông là giáo sư ở Viên. Helly trốn khỏi Phát xít để đến Hoa Kỳ và làm việc tại trường Đại học Monmouth trong một thời gian, sau đó ông tham gia Quân đoàn Tín hiệu Hoa Kỳ vào năm 1941 tại Chicago. Helly mất năm 1943 tại Chicago.

Trong phần này chúng tôi trình bày Định lý Helly ở dạng tổng quát.

Định lý 2.4.1. Cho A1, A2, . . . , Ak ⊂Rn là các tập lồi. Nếu n+ 1 tập hợp bất kỳ có điểm chung thì tất cả các tập có điểm chung.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo k ≥1.

Không có gì để chứng minh nếu k < n+ 1 và điều khẳng định là tầm thường nếu k =n+ 1. Do đó chúng ta có thể giả sửk > n+ 1 và giả sử như giả thiết quy nạp rằng khẳng định được chứng minh chok−1tập lồi. Với mỗii∈ {1, . . . , k}, tồn tại một điểmxi∈A1∩· · · ∩Abi∩ · · ·Ak, trong đóAbichỉ raAibị xóa. Dok ≥n+2nên hệ k điểm x1, . . . , xk phụ thuộc affine. Theo Định lý Radon, sau khi đánh số lại, chúng ta có thể suy ra rằng có một điểmz ∈conv{x1, . . . , xj} ∩conv{xj+1, . . . , xk} với mọi j ∈ {1, . . . , k−1}. Vì x1, . . . , xj ∈Aj+1, . . . , Ak, ta có

z∈conv{x1, . . . , xj} ⊂Aj+1∩ · · · ∩Ak. Tương tự z ∈conv{xj+1, . . . , xk} ⊂ A1∩. . .∩Aj.

Hình 2.2 minh họa cho Định lý Helly trong mặt phẳng.

Trong một họ hữu hạn các tập lồi trong mặt phẳng, nếu ba tập bất kỳ có điểm chung thì tất cả các tập có điểm chung.

Định lý Helly có thể tổng quát hóa cho một họ vô hạn các tập lồi, tuy nhiên cần phải giả thiết thêm về tính compact của phần giao.

Định lý 2.4.2. Cho S là một họ không nhất thiết hữu hạn các tập lồi trong Rn. Giả sử giao của n+ 1 tập bất kỳ trong họ đó là một tập compact và khác rỗng. Khi đó tất cả các tập của S có điểm chung.

Ví dụ sau đây chứng tỏ rằng tính compact là cần thiết. Xét các nửa mặt phẳng

{(x, y)∈R2 : y≥k} với k = 1,2,3, . . . .

Giao của chúng là tập rỗng. Chú ý rằng trong ví dụ này, giao của ba nửa không gian bất kỳ là một nửa không gian, do đó không compact.

2.5 Một số áp dụng của Định lý Helly

2.5.1 Định lý Klee

Định lý 2.5.1. Cho K là một vật lồi (tập lồi, compact) và S là một họ các tập compact trong Rn. Giả sử với n+ 1 tập bất kỳ trong S tồn tại một phép tịnh tiến theo vectơ v ∈Rn sao cho K+v bao phủ n+ 1 tập. Khi đó tồn tại một phép tịnh tiến theo vectơ v0 sao cho K +v0 bao phủ tất cả các tập của S.

Chứng minh. Với mỗi tập S ∈ S, xét tập compact

T(S) ={v ∈Rn : v là một phép tịnh tiến sao cho S ⊂K +v}.

Trước hết ta chứng minh rằng T(S) là một tập lồi. Chúng ta phải chỉ ra rằng S ⊂ K+v1 và S ⊂ K+v2 suy ra S ⊂ K+λv1 + (1−λ)v2 với mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Nhưng một điểm s∈S có thể được viết s=k1+v1 =k2+v2 trong đó k1, k2∈K. Khi đó s=k+λv1+ (1−λ)v2 trong đó k=λk1+ (1−λ)k2 ∈K.

Áp dụng Định lý Helly: Tập hợp S = {T(S) : S ∈ S} là một họ tập lồi với tính chất với mọi n+ 1 tập bất kỳ của chúng T(S1), . . . , T(Sn+1) thì luôn có một

phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho v ∈T(Sj) với mọi j = 1, . . . , n+ 1. Do đó có một phép tịnh tiến theo vectơ v0 trong mỗi tập S.

Hình 2.3. Phép tịnh tiến

Trong Hình 2.3, một phép tịnh tiến của K bao phủ S1, S2 và S3. Một phép tịnh tiến khác bao phủ S4, S5 và S6. Mỗi ba tập của Si được bao phủ bởi một phép tịnh tiến, vì vậy tất cả các tập được bao phủ bởi một phép tịnh tiến.

2.5.2 Định lý Rey-Pastó-Santaló

Định lý 2.5.2. Cho S là một họ các đoạn thẳng song song trong mặt phẳng. Nếu ba đoạn thẳng bất kỳ của S có đường ngang chung thì tất cả các đoạn thẳng của S có đường ngang chung.

Chứng minh. Để đơn giản, ta giả sử tất cả các đoạn thẳng đều thẳng đứng và có hoành độ x0 khác nhau. Do đó các đoạn thẳng có tọa độ σ ={(x0, y) : y0 ≤

y≤y1}. Một đường ngang y =ax+b giao với σ nếu y0 ≤ax0+b ≤y1.

Tất cả các đường ngang có thể tạo thành một dải trong (a, b) -mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng b = −x0a+y0 và b =−x0a+y1. Các đoạn thẳng khác

nhau tương ứng với các hệ số góc khác nhau, do đó giao của hai dải là compact. Theo Định lý Helly, tất cả các dải có điểm chung tương ứng với một đường thẳng chung.

Hình 2.4. Một họ các đường thẳng song song và một đường ngang chung Nếu mỗi ba đoạn thẳng của họ các đoạn thẳng song song (chẳng hạn ba đường màu đỏ) có một đường ngang (đường thẳng màu đỏ) thì tất cả các đoạn thẳng có một đường ngang (đường thẳng màu xanh).

Jung đã chứng minh định lý trong luận án Marbeg của ông năm 1899. Sau chiến tranh thế giới lần thứ nhất, ông làm việc tại Dorpat và tại Halle sau năm 1920. Lĩnh vực nghiên cứu của ông là hàm theta và mặt đại số.

Trong phần này chúng tôi trình bày Định lý Jung về hình cầu.

Đường kính của một tập compact K ∩Rn được định nghĩa là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm của nó.

diam(K) = sup

x,y∈K

|x−y|.

Cho trước một tập trong Rn, cần một hình cầu lớn bao nhiêu để phủ tập hợp này?

Bán kính ngoại tiếp của tập hợp K là bán kính của đường tròn nhỏ nhất chứa K.

Định lý 2.5.3 (Jung). Một tập trong Rn có đường kính bằng 1 được chứa trong một quả cầu có bán kính rn =

r n

2(n+ 1).

Chứng minh. Ta chứng minh rằng tồn tại một điểm y sao cho mọi điểm x∈ K ta đều có|x−y| ≤ rn. Ta chỉ cần chứng minh rằng tất cả các quả cầux+rnB là giao nhau, trong đóx∈Avà B là quả cầu đơn vị đóng. Theo Định lý Helly ta chỉ cần chứng minh điều này chon+1quả cầu: chon+1điểm tùy ýx1, . . . , xn+1∈A, tồn tại một điểmy sao cho khoảng cách từ nó đến xi lớn nhất bằngrn. Điều này được chứng minh như sau

Cho F = {x1, . . . , xn+1} ⊂ A là một tập con chứa n + 1 điểm bất kỳ. Gọi B(c, r) là quả cầu nhỏ nhất chứa F. B(c, r) là quả cầu duy nhất vì nếu F được chứa trong hai quả cầu nhỏ nhất thì giao của chúng sẽ chứa F và là quả cầu nhỏ nhất chứa F.

các điểm giao của F với biên ∂B(0, r). Bằng cách đánh số lại, F0 = {x1, . . . , xk} trong đó 2≤ k ≤ n+ 1. Quả cầu nhỏ nhất chứa F0 giống với quả cầu nhỏ nhất chứa F. Chú ý rằng |xi|=r với mọi i= 1, . . . , k.

Chúng ta kiểm tra rằng gốc thuộc bao lồi của F0, tức là 0∈convF0. Nếu ngược lại, tồn tại một nửa không gian đóng H¯ ⊂ En sao cho F0 ⊂ H¯ nhưng 0 ∈/ H¯. Nhưng điều này không thể xảy ra vì F0 ⊂ H¯ ∩B(0, r) được chứa trong quả cầu nhỏ hơn.

Vì 0∈convF0 nên tồn tại các số λi ≥0 sao cho 0 =

k P i=1 λixi,1 = k P i=1 λi. Với mỗi j, 1−λi = X i6=j λi ≥ k X i=1 λi|xi−xj|2 = k X i=1 λi |xi|2−2xi•xj+|xj|2 = 2r2 k X i=1 λi−2 k X i=1 λi(xi•xj) = 2r2−2 k X i=1 λixi ! •xj = 2r2. Cộng theo j, ta được k− k P j=1 λj =k−1≥2kr2. Suy ra n 2(n+ 1) ≥ k−1 2k ≥ r2. Tức là, r ≤ rn. Ta có chứng minh của Định lý Jung. Hình 2.5

Trong Hình 2.5, các tập hợp A ⊂ R2 có đường kính bằng đơn vị, tam giác đều T có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất: rn > ρ.

Định lý Jung khẳng định rằng trong tất cả các tập của Rn có bán kính đơn vị, đơn hình đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhấtrn =

r n

2(n+ 1). Trong mặt phẳng, đơn hình đều là tam giác đều T có độ dài cạnh bằng 1.

2.5.4 Định lý Helly trong mặt phẳng

Trong phần này chúng tôi trình bày một số trường hợp riêng trong mặt phẳng của Định lý Helly tổng quát, cùng với chứng minh riêng của các trường hợp này. Đồng thời, chúng tôi trình bày một số áp dụng của Định lý Helly để giải quyết một số bài toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng.

Đầu tiên là Định lý Helly cho họ hữu hạn các hình lồi trong mặt phẳng.

Định lý 2.5.4. Trong mặt phẳng cho n >3 hình lồi, mọi bộ ba hình đều có điểm chung, thì n hình đó có điểm chung.

Chứng minh. Ta xét trường hợp n = 4. Kí hiệu F1, F2, F3, F4 là bốn hình lồi đã cho. Cho A1 là điểm chung của F2, F3, F4; A2 là điểm chung của F1, F3, F4; A3 là điểm chung của F1, F2, F4 và A4 là điểm chung của F1, F2, F3. Như vậy, F1 chứa các điểm A2, A3, A4, suy ra tam giác A2A3A4, vì F1 là hình lồi, do đó mọi hai đỉnh của tam giác thuộc F1 thì cạnh chứa hai đỉnh này cũng thuộc F1. Tương tự, ta cũng chỉ ra rằng F2 chứa tam giác A1A3A4, F3 chứa tam giác A1A2A4 và F4 chứa tam giác A1A2A3. Ta xét ba trường hợp sau

1. Giả thiết rằng A1A2A3A4 là tứ giác lồi (Hình 2.6). Giao điểm O của các đường chéo của tứ giác này nằm trong mọi tam giác đã xét ở trên. Từ đó

suy ra O là điểm chung cho tất cả bốn hình F1, F2, F3, F4.

Hình 2.6

2. Giả thiết rằng ba trong bốn điểm A1, A2, A3, A4 tạo thành một tam giác chứa điểm còn lại hoặc điểm còn lại nằm trên cạnh tam giác này. Kí hiệu đó là tam giác A1A2A3 và điểm thứ tư là A4. Vì F4 chứa A1A2A3, thì F4 chứa cả A4. Từ đó suy ra A4 là điểm chung của cả bốn hình.

3. Giả thiết mọi bộ ba điểm trong A1, A2, A3, A4 nằm trên một đường thẳng. Khi đó bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Ta giả sử đoạn thẳng A1A4 chứa những điểm A2 và A3. Khi đó A1A4 nằm trong hình F2 và F3, suy ra A2 và A3 cũng nằm trong hình F2 và F3. Như vậy, ta nhận được A2 và A3 sẽ nằm trong bốn hình.

Ba trường hợp đã xét trên bao gồm tất cả các khả năng xảy ra.

Chứng minh định lý vớin≥5 bằng phương pháp quy nạp toán học. Giả sử định lý đã đúng cho n hình lồi trong mặt phẳng. Ta xét trường hợp n+ 1 hình lồi F1, F2, . . . , Fn, Fn+1, mọi bộ ba hình trong chúng đều có điểm chung. Ta ký hiệu

Φn là giao của hai tập hợp Fn và Fn+1. Tập Φn cũng là một tập lồi, vì Fn và Fn+1 là những tập lồi. Ta xét n hình F1, F2, . . . , Fn, Fn−1,Φn. Mọi bộ ba hình của chúng có điểm chung. Thật vậy, nếu mỗi tập trong bộ ba không phải là tập Φn,

thì kết luận trên suy ra từ giả thiết quy nạp.

Nếu một tập trong bộ ba là Φn, thì cũng nhận được kết quả trên bằng cách sử dụng Định lý Helly cho trường hợp n = 4. Cuối cùng, ta áp dụng giả thiết quy nạp cho n hình. Từ đó suy ra Định lý Helly đúng với n >3 bất kì.

Hình 2.7

Nếu một trong những hình ta xét mà không lồi, thì không thể kết luận được có điểm chung cho tất cả các hình. Hình 2.7 phần gạch chéo là một hình M không lồi và được phủ bởi những hình chữ nhậtP1, P2, P3. Bốn hình này thỏa mãn điều kiện của Định lý Helly, nhưng chúng không có điểm chung.

Định lý 2.5.5. Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n ≥4). Biết rằng giao của ba hình lồi bất kỳ trong chúng là khác rỗng. Khi đó n hình lồi có giao khác rỗng.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n, với n= 4. Gọi Ω1,Ω2,Ω3,Ω4 là các hình lồi.

                             A1 ∈Ω2∩Ω3∩Ω4 A2 ∈Ω1∩Ω3∩Ω4 A3 ∈Ω1∩Ω2∩Ω4 A4 ∈Ω1∩Ω2∩Ω3

Nếu hai điểm trong số 4 điểm A1, A2, A3, A4 trùng nhau. Giả sử A1 =A2 ⇒A1∈Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4 xong.

Nếu 4 điểm A1, A2, A3, A4 phân biệt. Xét bao lồi của tập 4 điểm A1, A2, A3, A4. Ta xét ba trường hợp sau

1. Bao lồi là tứ giác lồi

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo A1A3 và A2A4. O ∈A1A3 tương tự ⇒O ∈Ω2∩Ω4.

O ∈A2A4 tương tự ⇒O ∈Ω1∩Ω3.⇒O ∈Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4.

Hình 2.8 2. Bao lồi là một hình tam giác

Giả sử là 4A1A2A3. Khi đó A4 thuộc miền trong 4A1A2A3. Mặt khác A1, A2, A3 đều thuộc Ω4 nên 4A1A2A3 ∈Ω4 ⇒A4 ∈Ω4.

Vậy A4 ∈Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4.

Hình 2.9 3. Bao lồi là đoạn thẳng

Giả sử A2A3⊂A1A4. Khi đóA2A3 ⊂Ω2∩Ω3. Mặt khác A2A3⊂Ω1∩Ω4 nên A2A3⊂Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4.

Vậy định lý được chứng minh cho trường hợp n = 4.

Giả sử định lý được chứng minh cho trường hợp n >4, ta chứng minh nó