Một số áp dụng của Định lý Helly

2 Định lý Helly và một số áp dụng trong Hình học tổ hợp

2.5 Một số áp dụng của Định lý Helly

2.5.1 Định lý Klee

Định lý 2.5.1. Cho K là một vật lồi (tập lồi, compact) và S là một họ các tập compact trong Rn. Giả sử với n+ 1 tập bất kỳ trong S tồn tại một phép tịnh tiến theo vectơ v ∈Rn sao cho K+v bao phủ n+ 1 tập. Khi đó tồn tại một phép tịnh tiến theo vectơ v0 sao cho K +v0 bao phủ tất cả các tập của S.

Chứng minh. Với mỗi tập S ∈ S, xét tập compact

T(S) ={v ∈Rn : v là một phép tịnh tiến sao cho S ⊂K +v}.

Trước hết ta chứng minh rằng T(S) là một tập lồi. Chúng ta phải chỉ ra rằng S ⊂ K+v1 và S ⊂ K+v2 suy ra S ⊂ K+λv1 + (1−λ)v2 với mọi 0 ≤ λ ≤ 1. Nhưng một điểm s∈S có thể được viết s=k1+v1 =k2+v2 trong đó k1, k2∈K. Khi đó s=k+λv1+ (1−λ)v2 trong đó k=λk1+ (1−λ)k2 ∈K.

Áp dụng Định lý Helly: Tập hợp S = {T(S) : S ∈ S} là một họ tập lồi với tính chất với mọi n+ 1 tập bất kỳ của chúng T(S1), . . . , T(Sn+1) thì luôn có một

phép tịnh tiến theo vectơ v sao cho v ∈T(Sj) với mọi j = 1, . . . , n+ 1. Do đó có một phép tịnh tiến theo vectơ v0 trong mỗi tập S.

Hình 2.3. Phép tịnh tiến

Trong Hình 2.3, một phép tịnh tiến của K bao phủ S1, S2 và S3. Một phép tịnh tiến khác bao phủ S4, S5 và S6. Mỗi ba tập của Si được bao phủ bởi một phép tịnh tiến, vì vậy tất cả các tập được bao phủ bởi một phép tịnh tiến.

2.5.2 Định lý Rey-Pastó-Santaló

Định lý 2.5.2. Cho S là một họ các đoạn thẳng song song trong mặt phẳng. Nếu ba đoạn thẳng bất kỳ của S có đường ngang chung thì tất cả các đoạn thẳng của S có đường ngang chung.

Chứng minh. Để đơn giản, ta giả sử tất cả các đoạn thẳng đều thẳng đứng và có hoành độ x0 khác nhau. Do đó các đoạn thẳng có tọa độ σ ={(x0, y) : y0 ≤

y≤y1}. Một đường ngang y =ax+b giao với σ nếu y0 ≤ax0+b ≤y1.

Tất cả các đường ngang có thể tạo thành một dải trong (a, b) -mặt phẳng giới hạn bởi các đường thẳng b = −x0a+y0 và b =−x0a+y1. Các đoạn thẳng khác

nhau tương ứng với các hệ số góc khác nhau, do đó giao của hai dải là compact. Theo Định lý Helly, tất cả các dải có điểm chung tương ứng với một đường thẳng chung.

Hình 2.4. Một họ các đường thẳng song song và một đường ngang chung Nếu mỗi ba đoạn thẳng của họ các đoạn thẳng song song (chẳng hạn ba đường màu đỏ) có một đường ngang (đường thẳng màu đỏ) thì tất cả các đoạn thẳng có một đường ngang (đường thẳng màu xanh).

Jung đã chứng minh định lý trong luận án Marbeg của ông năm 1899. Sau chiến tranh thế giới lần thứ nhất, ông làm việc tại Dorpat và tại Halle sau năm 1920. Lĩnh vực nghiên cứu của ông là hàm theta và mặt đại số.

Trong phần này chúng tôi trình bày Định lý Jung về hình cầu.

Đường kính của một tập compact K ∩Rn được định nghĩa là khoảng cách lớn nhất giữa hai điểm của nó.

diam(K) = sup

x,y∈K

|x−y|.

Cho trước một tập trong Rn, cần một hình cầu lớn bao nhiêu để phủ tập hợp này?

Bán kính ngoại tiếp của tập hợp K là bán kính của đường tròn nhỏ nhất chứa K.

Định lý 2.5.3 (Jung). Một tập trong Rn có đường kính bằng 1 được chứa trong một quả cầu có bán kính rn =

r n

2(n+ 1).

Chứng minh. Ta chứng minh rằng tồn tại một điểm y sao cho mọi điểm x∈ K ta đều có|x−y| ≤ rn. Ta chỉ cần chứng minh rằng tất cả các quả cầux+rnB là giao nhau, trong đóx∈Avà B là quả cầu đơn vị đóng. Theo Định lý Helly ta chỉ cần chứng minh điều này chon+1quả cầu: chon+1điểm tùy ýx1, . . . , xn+1∈A, tồn tại một điểmy sao cho khoảng cách từ nó đến xi lớn nhất bằngrn. Điều này được chứng minh như sau

Cho F = {x1, . . . , xn+1} ⊂ A là một tập con chứa n + 1 điểm bất kỳ. Gọi B(c, r) là quả cầu nhỏ nhất chứa F. B(c, r) là quả cầu duy nhất vì nếu F được chứa trong hai quả cầu nhỏ nhất thì giao của chúng sẽ chứa F và là quả cầu nhỏ nhất chứa F.

các điểm giao của F với biên ∂B(0, r). Bằng cách đánh số lại, F0 = {x1, . . . , xk} trong đó 2≤ k ≤ n+ 1. Quả cầu nhỏ nhất chứa F0 giống với quả cầu nhỏ nhất chứa F. Chú ý rằng |xi|=r với mọi i= 1, . . . , k.

Chúng ta kiểm tra rằng gốc thuộc bao lồi của F0, tức là 0∈convF0. Nếu ngược lại, tồn tại một nửa không gian đóng H¯ ⊂ En sao cho F0 ⊂ H¯ nhưng 0 ∈/ H¯. Nhưng điều này không thể xảy ra vì F0 ⊂ H¯ ∩B(0, r) được chứa trong quả cầu nhỏ hơn.

Vì 0∈convF0 nên tồn tại các số λi ≥0 sao cho 0 =

k P i=1 λixi,1 = k P i=1 λi. Với mỗi j, 1−λi = X i6=j λi ≥ k X i=1 λi|xi−xj|2 = k X i=1 λi |xi|2−2xi•xj+|xj|2 = 2r2 k X i=1 λi−2 k X i=1 λi(xi•xj) = 2r2−2 k X i=1 λixi ! •xj = 2r2. Cộng theo j, ta được k− k P j=1 λj =k−1≥2kr2. Suy ra n 2(n+ 1) ≥ k−1 2k ≥ r2. Tức là, r ≤ rn. Ta có chứng minh của Định lý Jung. Hình 2.5

Trong Hình 2.5, các tập hợp A ⊂ R2 có đường kính bằng đơn vị, tam giác đều T có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhất: rn > ρ.

Định lý Jung khẳng định rằng trong tất cả các tập của Rn có bán kính đơn vị, đơn hình đều có bán kính đường tròn ngoại tiếp lớn nhấtrn =

r n

2(n+ 1). Trong mặt phẳng, đơn hình đều là tam giác đều T có độ dài cạnh bằng 1.

2.5.4 Định lý Helly trong mặt phẳng

Trong phần này chúng tôi trình bày một số trường hợp riêng trong mặt phẳng của Định lý Helly tổng quát, cùng với chứng minh riêng của các trường hợp này. Đồng thời, chúng tôi trình bày một số áp dụng của Định lý Helly để giải quyết một số bài toán hình học tổ hợp trong mặt phẳng.

Đầu tiên là Định lý Helly cho họ hữu hạn các hình lồi trong mặt phẳng.

Định lý 2.5.4. Trong mặt phẳng cho n >3 hình lồi, mọi bộ ba hình đều có điểm chung, thì n hình đó có điểm chung.

Chứng minh. Ta xét trường hợp n = 4. Kí hiệu F1, F2, F3, F4 là bốn hình lồi đã cho. Cho A1 là điểm chung của F2, F3, F4; A2 là điểm chung của F1, F3, F4; A3 là điểm chung của F1, F2, F4 và A4 là điểm chung của F1, F2, F3. Như vậy, F1 chứa các điểm A2, A3, A4, suy ra tam giác A2A3A4, vì F1 là hình lồi, do đó mọi hai đỉnh của tam giác thuộc F1 thì cạnh chứa hai đỉnh này cũng thuộc F1. Tương tự, ta cũng chỉ ra rằng F2 chứa tam giác A1A3A4, F3 chứa tam giác A1A2A4 và F4 chứa tam giác A1A2A3. Ta xét ba trường hợp sau

1. Giả thiết rằng A1A2A3A4 là tứ giác lồi (Hình 2.6). Giao điểm O của các đường chéo của tứ giác này nằm trong mọi tam giác đã xét ở trên. Từ đó

suy ra O là điểm chung cho tất cả bốn hình F1, F2, F3, F4.

Hình 2.6

2. Giả thiết rằng ba trong bốn điểm A1, A2, A3, A4 tạo thành một tam giác chứa điểm còn lại hoặc điểm còn lại nằm trên cạnh tam giác này. Kí hiệu đó là tam giác A1A2A3 và điểm thứ tư là A4. Vì F4 chứa A1A2A3, thì F4 chứa cả A4. Từ đó suy ra A4 là điểm chung của cả bốn hình.

3. Giả thiết mọi bộ ba điểm trong A1, A2, A3, A4 nằm trên một đường thẳng. Khi đó bốn điểm cùng nằm trên một đường thẳng. Ta giả sử đoạn thẳng A1A4 chứa những điểm A2 và A3. Khi đó A1A4 nằm trong hình F2 và F3, suy ra A2 và A3 cũng nằm trong hình F2 và F3. Như vậy, ta nhận được A2 và A3 sẽ nằm trong bốn hình.

Ba trường hợp đã xét trên bao gồm tất cả các khả năng xảy ra.

Chứng minh định lý vớin≥5 bằng phương pháp quy nạp toán học. Giả sử định lý đã đúng cho n hình lồi trong mặt phẳng. Ta xét trường hợp n+ 1 hình lồi F1, F2, . . . , Fn, Fn+1, mọi bộ ba hình trong chúng đều có điểm chung. Ta ký hiệu

Φn là giao của hai tập hợp Fn và Fn+1. Tập Φn cũng là một tập lồi, vì Fn và Fn+1 là những tập lồi. Ta xét n hình F1, F2, . . . , Fn, Fn−1,Φn. Mọi bộ ba hình của chúng có điểm chung. Thật vậy, nếu mỗi tập trong bộ ba không phải là tập Φn,

thì kết luận trên suy ra từ giả thiết quy nạp.

Nếu một tập trong bộ ba là Φn, thì cũng nhận được kết quả trên bằng cách sử dụng Định lý Helly cho trường hợp n = 4. Cuối cùng, ta áp dụng giả thiết quy nạp cho n hình. Từ đó suy ra Định lý Helly đúng với n >3 bất kì.

Hình 2.7

Nếu một trong những hình ta xét mà không lồi, thì không thể kết luận được có điểm chung cho tất cả các hình. Hình 2.7 phần gạch chéo là một hình M không lồi và được phủ bởi những hình chữ nhậtP1, P2, P3. Bốn hình này thỏa mãn điều kiện của Định lý Helly, nhưng chúng không có điểm chung.

Định lý 2.5.5. Trong mặt phẳng cho n hình lồi (n ≥4). Biết rằng giao của ba hình lồi bất kỳ trong chúng là khác rỗng. Khi đó n hình lồi có giao khác rỗng.

Chứng minh. Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp theo n, với n= 4. Gọi Ω1,Ω2,Ω3,Ω4 là các hình lồi.

                             A1 ∈Ω2∩Ω3∩Ω4 A2 ∈Ω1∩Ω3∩Ω4 A3 ∈Ω1∩Ω2∩Ω4 A4 ∈Ω1∩Ω2∩Ω3

Nếu hai điểm trong số 4 điểm A1, A2, A3, A4 trùng nhau. Giả sử A1 =A2 ⇒A1∈Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4 xong.

Nếu 4 điểm A1, A2, A3, A4 phân biệt. Xét bao lồi của tập 4 điểm A1, A2, A3, A4. Ta xét ba trường hợp sau

1. Bao lồi là tứ giác lồi

Gọi O là giao điểm của hai đường chéo A1A3 và A2A4. O ∈A1A3 tương tự ⇒O ∈Ω2∩Ω4.

O ∈A2A4 tương tự ⇒O ∈Ω1∩Ω3.⇒O ∈Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4.

Hình 2.8 2. Bao lồi là một hình tam giác

Giả sử là 4A1A2A3. Khi đó A4 thuộc miền trong 4A1A2A3. Mặt khác A1, A2, A3 đều thuộc Ω4 nên 4A1A2A3 ∈Ω4 ⇒A4 ∈Ω4.

Vậy A4 ∈Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4.

Hình 2.9 3. Bao lồi là đoạn thẳng

Giả sử A2A3⊂A1A4. Khi đóA2A3 ⊂Ω2∩Ω3. Mặt khác A2A3⊂Ω1∩Ω4 nên A2A3⊂Ω1∩Ω2∩Ω3∩Ω4.

Vậy định lý được chứng minh cho trường hợp n = 4.

Giả sử định lý được chứng minh cho trường hợp n >4, ta chứng minh nó đúng với n+ 1. Thật vậy xét các hình lồi Ω1,Ω2, . . .Ωn,Ωn+1 thỏa mãn các điều kiện của Định lý Helly.

Xét n hình lồi như sau: Ω1,Ω2, . . .Ωn,Ωn∩Ωn+1.

Ta chứng minh các hình lồi này thỏa mãn các điều kiện của Định lý Helly. Thật vậy nếu ba hình lồi bất kỳ trong chúng không chứa Ωn ∩Ωn+1 thì chúng có giao khác rỗng, nếu có một trong ba hình là Ωn ∩Ωn+1 thì quy về bốn hình có giao khác rỗng như chứng minh ở trên. Vậy n hình lồi nói trên thỏa mãn điều kiện của Định lý Helly. Theo giả thiết quy nạp ta có

Ω1∩Ω2∩. . .∩Ωn(Ωn∩Ωn+1)6=∅ tức là n+ 1 hình lồi đã cho có giao khác rỗng. Vậy ta có điều phải chứng minh.

tôi cần kết quả sau

Bổ đề 2.5.6. Cho ba hình bình hành F1, F2, F3, các cạnh của chúng song song với hai đường thẳng cố định. Khi đó, nếu mọi cặp hai hình trong chúng có điểm chung, thì cả ba hình bình hành đều có điểm chung.

Chứng minh. Ta chọn trong mặt phẳng hệ tọa độ với các trục nằm trên hai đường thẳng đã cho (không nhất thiết là hệ tọa độ vuông góc, ta đang xét hệ tọa độ bất kì). Kí hiệu A1 là điểm chung của F2 và F3, A2 là điểm chung của F1 và F3, A3 là điểm chung của F1 và F2. Kí hiệu xi, yi là tọa độ của điểm Ai đối với hệ tọa độ đã chọn (i= 1,2,3). Không mất tính tổng quát, ta có thể giả thiết những hình bình hành F1, F2, F3 được gán nhãn sao cho với các tọa độ tương ứng x1, x2, x3 thỏa mãn bất đẳng thức x1 ≤x2 ≤x3. Hình bình hành F1 sẽ chứa các điểm A2 và A3 (Hình 2.10). Khi đó, nó chứa tất cả những điểmP với tọa độ

(x, y) sao cho

x2 ≤x≤x3, y2≤y≤y3 với y2 ≤y3 hoặc là y3 ≤y≤y2 với y3≤y2. (Hình 2.10 là trường hợp thứ hai).

Hình 2.10

Tương tự, F2 sẽ chứa tất cả những điểm P có tọa độ (x, y) sao cho x1 ≤x≤x3, y1≤y ≤y3 hoặc là y3 ≤y≤y1 phụ thuộc vào y1≤y3

Ta lặp lại lí luận trên với hình bình hành F3, ta sẽ nhận được sự tồn tại điểm P với tọa độ (x2, z), mà nó nằm trên cả ba hình bình hành. Thật vậy, cho các chỉ số i, j, k nhận những giá trị 1, 2, 3 và giả sử rằng bất đẳng thức sau đúng yi ≤yj ≤yk. Khi đó, bằng cách đặt yi =z, sẽ nhận được kết quả cần thiết.

Từ bổ đề trên và Định lý Helly ta có phát biểu sau của Định lý Helly cho các hình bình hành trong mặt phẳng.

Định lý 2.5.7. Trong mặt phẳng cho n hình bình hành có các cạnh song song với hai đường thẳng cố định. Nếu mọi cặp hai hình bình hành có điểm chung, thì tất cả n hình bình hành có điểm chung.

Chứng minh. Nếu mọi hai hình bình hành có điểm chung, thì mọi ba hình bình hành cũng có điểm chung, từ đây áp dụng Định lý Helly ở phần trước.

Chú ý rằng điều kiện các cạnh của các hình bình hành song song với hai đường thẳng cố định là cần thiết, không thể bỏ được.

Hình 2.11 vẽ ba hình vuông bằng nhau, mọi cặp hai hình có điểm chung, nhưng ba hình vuông này không có điểm chung nào.

Hình 2.11

Định lý 2.5.8. Trên đường tròn cho n > 3 cung, mỗi cung có độ dài nhỏ hơn độ dài của nửa đường tròn. Khi đó, nếu mọi bộ ba cung có điểm chung thì tất cả các cung có điểm chung.

Chứng minh. Ta cho tương ứng mỗi cung ứng với một hình viên phân của đường tròn xác định trên hình tròn. Trên mỗi hình viên phân có dây cung không phải là đường kính của hình tròn (do giả thiết các cung đã cho nhỏ hơn nửa độ dài đường tròn). Từ giả thiết mọi bộ ba cung có điểm chung suy ra mọi bộ ba hình