Một số định lý điểm bất động cho ánh xạ mờ và ứng dụng

Mục lục Mở đầu Một số kiến thức 1.1 Không gian metric 1.1.1 Định nghĩa ví dụ 1.1.2 Sự hội tụ tính liên tục 1.1.3 Tập không gian metric 1.1.4 Không gian đầy đủ 1.1.5 Khoảng cách Hausdorff 1.1.6 Không gian Banach 1.1.7 Một số định lý điểm bất động không gian metric 1.2 Hàm có tính chất (L) 1.3 Một số kiến thức giải tích mờ 11 Các định lý điểm bất động cho ánh xạ mờ 14 2.1 Điểm bất động chung cho ánh xạ mờ 15 2.2 Điểm bất động cho ánh xạ mờ thỏa mãn điều kiện kiểu Feng - Liu 23 Một số ứng dụng 31 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 38 Mở đầu Tổng quan tình hình nghiên cứu lý chọn đề tài Nguyên lý ánh xạ co Banach kết lý thuyết điểm bất động cơng cụ hữu ích tốn học khoa học khác Đặc biệt nguyên lý ánh xạ co Banach sử dụng nhiều nghiên cứu tồn nghiệm phương trình phi tuyến Bởi tầm quan trọng đó, nhiều nhà nghiên cứu mở rộng nguyên lý ánh xạ co ứng dụng cách mở rộng điều kiện cho ánh xạ không gian Một mở rộng quan trọng nguyên lý ánh xạ co kết Nadler [18] sựu tồn điểm bất động cho ánh xạ đa trị không gian metric đầy đủ Kết Nadler mở rộng nhiều nhà toán học Một kết mở rộng thú vị đưa Feng -Liu [12] Gần đây, Wardowski [28] giới thiệu khía niệm F -co sử dụng khái niệm đưa kết mở rộng khác cho nguyên lý ánh xạ co Kết Wardowski sau mở rộng nhiều tác giả (ví dụ,[15, 19, 22, 25, 29] tài liệu trích dẫn báo đó) Mặt khác, mơ hình tốn học sử dụng nhiều vấn đề thực tiễn liên quan tới khoa học máy tính, kinh tế, y sinh Nhiều vấn đề ”không chắn" xuất thực tiễn mà đơi mơ hình tốn học cổ điển áp dụng để giải chúng Lý thuyết tập mờ giới thiệu Zadeh [30] trở thành công cụ quan trong việc giải quyets vấn đề không chắn Heipern [14] giới thiệu khía niệm ánh xạ mờ khơng gian metric chứng minh định lý điểm bất động cho ánh xạ mờ Kết mở rộng kết Nadler cho ánh xạ mờ Abu-Donia [2] nghiên cứu khoảng cách Hausdorff metric tập mờ thông qua tập thông thường tương ứng đưa số định lý điểm bất động mờ chung cho ánh xạ mờ Nhấn mạnh rằng, khái niệm điểm bất động ánh xạ mờ có mối liên hệ mật thiết với lý thuyết trò chơi mờ [10] Các kết điểm bất động cho ánh xạ mờ xem tài liệu [1, 3, 4, 9, 11, 13, 16, 23, 21] trích dẫn tài liệu Để tìm hiểu sâu lý thuyết điểm bất động ánh xạ mờ số ứng dụng chúng, lựa chọn đề tài:"Một số định lý điểm bất động cho ánh xạ mờ ứng dụng" Mục tiêu nghiên cứu Trình bày chứng minh số định lý điểm bất động cho ánh xạ mờ, có số kết cải tiến kết có trình bày số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Các ánh xạ mờ không gian metric Phạm vi nghiên cứu: Điểm bất động ánh xạ mờ không gian metric ứng dụng Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu định tính: Chúng tơi mở rộng kết có cách đưa điều kiện, giả thiết Từ đó, đưa kết chứng minh kết đạt Chương Một số kiến thức 1.1 Không gian metric Trong phần này, chúng tơi trình bày số khái niệm kết giải tích hàm trích từ tài liệu [26] 1.1.1 Định nghĩa ví dụ Định nghĩa 1.1 Cho X tập khác rỗng Ánh xạ d : X × X → R gọi metric X thoả mãn điều kiện: (i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X d(x, y) = x = y (ii) d(x, y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y), ∀x, y, z ∈ X Khi đó, cặp (X, d) gọi khơng gian metric Nếu khơng có nhầm lẫn, ta dùng cụm từ "không gian metric X " thay dùng cụm từ "khơng gian metric (X, d)" Một số ví dụ khơng gian metric Ví dụ 1.1 Ánh xạ d : Rm × Rm → R, xác định bởi: d(x, y) = m X ! 12 (xi − yi )2 , x = (x1 , · · · , xm ), y = (y1 , · · · , ym ) ∈ Rm i=1 metric Rm , gọi metric thông thường Rm Ánh xạ d1 : Rm × Rm → R xác định d1 (x, y) = max |xi − yi |, x = (x1 , · · · , xm ), y = (y1 , · · · , ym ) ∈ Rm 1≤i≤m metric Rm Ví dụ 1.2 Giả sử X tập tất hàm liên tục f : [a, b] → R Khi d(f, g) = sup{|f (x) − g(x)| : x ∈ [a, b]}, f, g ∈ X, metric X Ví dụ 1.3 Giả sử X tập khác rỗng, xét ánh xạ d : X × X → R xác định d(x, y) = x = y d(x, y) = x 6= y Khi d metric gọi metric rời rạc 1.1.2 Sự hội tụ tính liên tục Định nghĩa 1.2 Cho (X, d) không gian metric Dãy số {xn } X gọi hội tụ tới x ∈ X với ε > 0, tồn N ∈ N cho d(xn , a) < ε với n ≥ N Ta kí hiệu xn → a lim xn = a n→∞ Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.1 Dãy số {xn } không gian metric (X, d) hội tụ tới a ∈ X limn→∞ d(xn , a) = Mệnh đề 1.2 Giới hạn dãy số tồn Mệnh đề 1.3 Dãy số {xn } không gian metric (X, d) hội tụ tới a ∈ X dãy {xn } hội tụ tới a Định nghĩa 1.3 Giả sử (X, dX ) (Y, dY ) hai không gian metric Ánh xạ f : X → Y gọi liên tục a ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho dY (f (x), f (a)) < ε với x thoả mãn dX (x, a) < δ f gọi liên tục f liên tục a ∈ X Mệnh đề 1.4 Cho f : X → Y ánh xạ hai không gian metric Khi đó, f liên tục a ∈ X với dãy {xn } X hội tụ tới a dãy số {f (xn )} hội tụ tới f (a) Định nghĩa 1.4 Cho f ánh xạ từ không gian metric X vào R Khi f gọi nửa liên tục a ∈ X lim inf f (x) ≥ f (a) x→a 1.1.3 Tập không gian metric Định nghĩa 1.5 Cho a điểm khơng gian metric (X, d) r > Hình cầu mở tâm a bán kính r tập B(a, r) = {x ∈ X : d(x, a) < r} Hình cầu đóng tâm a bán kính r tập ¯ r) = {x ∈ X : d(x, a) ≤ r} B(a, Cho A tập X x ∈ X Khi (i) Nếu tồn hình cầu mở tâm x nằm A x gọi điểm A (ii) Nếu tồn hình cầu tâm x nằm phần bù A x gọi điểm ngồi A (iii) Nếu hình cầu tâm x có giao khác rỗng với A phần bù A x gọi điểm biên A Định nghĩa 1.6 Một tập A không gian metric X gọi mở A không chứa điểm biên nào, A gọi đóng chứa điểm biên Ta kí hiệu C(X) tập hợp tất tập đóng khác rỗng X Ta có mệnh đề sau Mệnh đề 1.5 Giả sử tập A khơng gian metric X đóng Khi đó, {xn } ⊂ A hội tụ tới a a ∈ A Định nghĩa 1.7 Tập A không gian metric (X, d) gọi bị chặn với b ∈ X , tồn M > cho d(a, b) ≤ M với a ∈ A Ta kí hiệu CB(X) tập tất tập đóng, bị chặn khác rỗng X Định nghĩa 1.8 Tập A không gian metric X gọi compact dãy số A có dãy hội tụ A Lưu ý rằng, tập compact đóng bị chặn Ta kí hiệu K(X) tập tất tập compact khác rỗng X 1.1.4 Không gian đầy đủ Định nghĩa 1.9 Dãy số {xn } không gian metric (X, d) gọi dãy Cauchy với ε > 0, tồn N ∈ N cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ N Ta có phát biểu tương đương sau, dãy {xn } dãy Cauchy lim d(xn , xm ) = n,m→∞ Mệnh đề 1.6 Mọi dãy hội tụ dãy Cauchy Định nghĩa 1.10 Không gian metric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Ví dụ 1.4 Khơng gian Rn với metric thông thường đầy đủ Q không đầy đủ với metric thông thường 1.1.5 Khoảng cách Hausdorff Cho (X, d) không gian metric A tập X , x ∈ X Khi khoảng cách từ x tới A, kí hiệu d(x, A), xác định d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A} Cho A, B ∈ CB(X), khoảng cách Hausdorff hai tập A B , kí hiệu H(A, B), xác định H(A, B) = max{sup d(x, B), sup d(y, A)} x∈A 1.1.6 y∈B Không gian Banach Định nghĩa 1.11 Cho X khơng gian tuyến tính Một chuẩn X hàm số || · || : X → R thoả mãn: (i) ||x|| ≥ 0, ∀x ∈ X , ||x|| = x = (ii) ||λx|| = |λ|||x||, với x ∈ X λ ∈ R (hoặc C) (iii) ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y||, với x, y ∈ X X với chuẩn || · || gọi không gian định chuẩn, kí hiệu (X, || · ||) Khơng gian định chuẩn (X, || · ||) không gian metric với metric d sinh chuẩn || · ||: d(x, y) = ||x − y|| Các khái niệm dãy hội tụ, hàm liên tục, dãy Cauchy, không gian đầy đủ, tập đóng, tập mở, tập compact khơng gian định chuẩn (X, || · ||) định nghĩa tương tự không gian metric (X, d) với metric d sinh chuẩn || · || Định nghĩa 1.12 Không gian Banach không gian định chuẩn đầy đủ 1.1.7 Một số định lý điểm bất động không gian metric Trong phần này, chúng tơi trình bày ngun lý ánh xạ co Banach định lý diểm bất động đa trị Nadler Định nghĩa 1.13 Phần tử x ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ T : X → X x = T (x) Từ lúc trở đi, để đơn giản, T x viết thay cho T (x) Định nghĩa 1.14 Cho (X, d) không gian metric T : X → X ánh xạ từ X X T gọi ánh xạ co tồn k ∈ [0, 1) cho d(T x, T y) ≤ kd(x, y), ∀x, y ∈ X Nguyên lý ánh xạ co Banach phát biểu sau Định lý 1.1 (Nguyên lý ánh xạ co) Mọi ánh xạ co không gian metric đầy đủ có điểm bất động Định nghĩa 1.15 Phần tử x ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ đa trị T : X → 2X x ∈ T x Định nghĩa 1.16 Cho (X, d) không gian metric T : X → CB(X) ánh xạ đa trị T gọi ánh xạ co (đa trị) tồn L ∈ [0, 1) cho H(T x, T y) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X Kết điểm bất động Nadler cho ánh xạ co đa trị phát biểu sau Định lý 1.2 ([18]) Mọi ánh xạ co đa trị không gian metric đầy đủ có điểm bất động 1.2 Hàm có tính chất (L) Trong mục này, chúng tơi giới thiệu khái niệm hàm số có tính chất (L) Khái niệm đưa báo [20] đóng vai trị quan trọng kết đề tài Định nghĩa 1.17 Cho (X, d) không gian b-metric f : X → R Hàm f gọi có tính chất (L) x ∈ X limy→x inf f (y) ≤ ⇒ f (x) ≤ Hàm f gọi có tính chất (L) X có tính chất (L) x ∈ X Nhận xét 1.1 Nếu f nửa liên tục x f có tính chất (L) x Ngược lại, khơng Ví dụ 1.5 Cho X = R với d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ X hàm f : R → R xác định sau: f (x) =   x − x <  x2 (1.1) x ≥ Xét x0 = ta có, limx→0 inf f (x) = −1 ≤ f (0) = nên f có tính chất (L) x0 = 0, f có tính chất (L) điểm x 6= f liên tục x0 Tuy nhiên, f không liên tục x0 = Ví dụ 1.6 Hàm f : R → R xác định sau:   x − x < f (x) =  x2 + x ≥ (1.2) Thì f khơng có tính chất (L) f (0) = > limx→0 inf f (x) = −1 < Ví dụ 1.7 Cho X = [−2, 10] d(x, y) = |x − y|, ∀x, y ∈ X ta có T xác định Tx =   x −1 < x ≤ 10 (1.3)  −8x − −2 ≤ x ≤ −1 Xét hàm f (x) = d(x, T (x)) với x ∈ X Ta có    |x| −1 < x ≤ 10 f (x) =  −9x − −2 ≤ x ≤ −1 (1.4) Hàm f có tính chất (L) X Thật vậy, với x 6= −1 f liên tục nên f có tính chất (L) x 6= −1 Với x = −1 ta có, limx→−1 inf f (x) = > f (−1) = > nên f có tính chất (L) x = −1 Tuy nhiên, f không liên tục x = −1 10 Như chứng minh Định lý 2.1, ta kết luận dãy {xn } dãy Cauchy Do (X, d) không gian đầy đủ, tồn z ∈ X cho xn → z n → ∞ Vì lim inf pα (xn , T xn ) = n→∞ pα (x, T x) có tính chất (L), ta có ≤ pα (z, T z) ≤ 0, hay, pα (z, T z) = Điều mâu thuãn với giả sử ban đầu Vậy, tồn x ∈ X cho pα (x, T x) = 0, tức là, xα ⊂ T x (theo Bổ đề 1.1) Định lý chứng minh Ví dụ sau minh họa cho Định lý 2.2 Ví dụ 2.1 [21] Cho X = [0, ∞) d(x, y) = |x − y| với x, y ∈ X Khi đó, (X, d) khơng gian metric đầy đủ Xét ánh xạ mờ T : X → I X xác định  1 y = 0, (T 0)(y) = 0 y 6= 0, với x >    4 (T x)(y) =    ≤ y < 4x, 4x ≤ y ≤ 5x, 5x < y Cố định α ∈ (1/4, 1/2] Ta có [T 0]α = {0} [T x]α = [4x, 5x] với x > Do đó, [T x]α = [4x, 5x], ∀x ∈ X Ta thấy pα (x, T x) = inf y∈[T x]α d(x, y) = 3x với x ∈ X Do đó, x → pα (x, T x) liên tục Ngoài ra, lấy F1 (t) = F2 (t) = ln(t) với t > κ(t1 , t2 ) = τ > với t1 , t2 ≥ 0, σ > Khi đó, với x ∈ X thỏa mãn pα (x, T x) > 0,tức là, x > 0, tồn y = cho (2.7) (2.8) Định lý 2.2 thỏa mãn Thật vậy, pα (y, T y) = 0, nên (2.7) thỏa mãn Với x > 0, điều kiện (2.8) viết lại sau F2 (x) ≤ F1 (3x) + σ, 26 hay, ln(x) ≤ ln(3x) + σ Do đó, (2.8) thỏa mãn Vậy, tất điều kiện Định lý 2.2được thỏa mãn Áp dụng Định lý 2.2, T có điểm bất động mờ điểm bất động mờ ánh xạ mờ T Chú ý khơng thể áp dụng định lý [1] cho ví dụ Trong Định lý 2.2, ta cho κ số phù hợp cho F1 (t) = F2 (t) = ln t, ta thu hệ sau Hệ 2.4 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, α ∈ [0, 1] T : X → I X ánh xạ mờ cho [T x]α tập đóng khác rỗng X với x ∈ X Giả sử tồn r > 1, q > cho với x ∈ X tồn y ∈ X thỏa mãn rpα (y, T y) ≤ pα (x, T x), d(x, y) ≤ qpα (x, T x) Khi đó, tồn x ∈ X cho xα ⊂ T x hàm x → pα (x, T x) có tính chất (L) Hệ sau mở rộng hệ 2.5 [21] mở rộng Định lý 2.1 [22] mở rộng kết [5] Hệ 2.5 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ R : X → C(X) ánh xạ đa trị Giả sử tồn κ ∈ K, σ ∈ R, hàm F1 : (0, ∞) → R không giảm hàm F2 : (0, ∞) → R thỏa mãn (F 2), (F 3), cho với x ∈ X thỏa mãn d(x, Rx) > 0, tồn y ∈ X cho κ(d(x, Rx), d(y, Ry)) + G1 (d(y, Ry)) ≤ F1 (d(x, Rx)), G2 (d(x, y)) ≤ F1 (d(x, Rx)) + σ 27 Trong đó, Gi : [0, ∞) → R ∪ {−∞}, i = 1, 2, xác định  F (t) if t > i Gi (t) =  −∞ if t = Khi đó, tồn x ∈ X cho x ∈ Rx hàm số d(x, Rx) có tính chất (L) Chứng minh Cố định α ∈ (0, 1] Xét ánh xạ mờ T : X → I X xác định  α y ∈ Rx (T x)(y) = 0 y 6∈ Rx Ta có [T x]α = {y ∈ X : (T x)(y) ≥ α} = Rx Do đó, pα (x, T x) = inf d(x, y) y∈[T x]α = inf d(x, y) = d(x, Rx) y∈Rx Áp dụng Định lý 2.2, tồn x ∈ X cho (T x)(x) ≥ α, tức là, x ∈ Rx Nếu cho κ(t1 , t2 ) = τ > với t1 , t2 ≥ Hệ 2.5 ta thu kết mở mộng Định lý 2.1 [22] Hệ 2.6 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ R : X → C(X) ánh xạ đa trị Giả sử tồn τ > 0, σ ∈ R, hàm F1 : (0, ∞) → R không giảm hàm F2 : (0, ∞) → R thỏa mãn (F 2), (F 3), cho với x ∈ X thỏa mãn d(x, Rx) > 0, tồn y ∈ X cho τ + G1 (d(y, Ry)) ≤ F1 (d(x, Rx)), G2 (d(x, y)) ≤ F1 (d(x, Rx)) + σ Trong đó, Gi : [0, ∞) → R ∪ {−∞}, i = 1, 2, xác định  F (t) t > i Gi (t) =  −∞ t = Khi đó, tồn x ∈ X cho x ∈ Rx hàm số d(x, Rx) có tính chất (L) 28 Nhận xét 2.1 Hệ 2.6 rộng Định lý 2.1 [22] điểm sau Trong Định lý Định lý 2.1 báo [22], hàm d(x, Rx) giả sử hàm nửa liên tục dưới, nhiên Hệ 2.6, giả sử hàm d(x, Rx) có tính chất (L) - tính chất yếu tính nửa liên tục Định lý 2.3 Cho (X, d) không gian metric đầy đủ, α ∈ [0, 1] T : X → I X ánh xạ mờ cho [T x]α tập đóng khác rỗng X với x ∈ X Giả sử tồn τ > 0, σ ∈ R, hàm F1 : (0, ∞) → R thỏa mãn (F 2) hàm F2 : (0, ∞) → R thỏa mãn điều kiện (F 2), (F 3), cho với x ∈ X mà pα (x, T x) > 0, tồn y ∈ X thỏa mãn τ + G1 (pα (y, T y)) ≤ F1 (pα (x, T x)), (2.17) G2 (d(x, y)) ≤ F1 (pα (x, T x)) + σ (2.18) Trong đó, Gi : [0, ∞) → R ∪ {−∞}, i = 1, 2, xác định  F (t) t > i Gi (t) =  −∞ t = Khi đó, tồn x ∈ X cho xα ⊂ T x hàm x → pα (x, T x) có tính chất (L) Chứng minh Giả sử pα (x, T x) > với x ∈ X Lấy x0 ∈ X Theo giả thiết ta xây dựng dãy {xn } X cho: τ + G1 (pα (xn+1 , T xn+1 )) ≤ F1 (pα (xn , T xn )) (2.19) G2 (d(xn , xn+1 ) ≤ F1 (pα (xn , T xn )) + σ (2.20) và pα (xn , T xn ) > với n Vì τ > 0, theo (2.19) ta có xn 6= xn+1 với n Do ta biểu diễn (2.19) (2.20) lại sau: τ + F1 (pα (xn+1 , T xn+1 )) ≤ F1 (pα (xn , T xn )) 29 (2.21) F2 (d(xn , xn+1 ) ≤ F1 (pα (xn , T xn )) + σ (2.22) Theo (2.21) ta có F1 (pα (xn , T xn )) ≤ F1 (pα (x0 , T x0 )) − nτ ∀n (2.23) Cho n → ∞, ta lim F1 (pα (xn , T xn )) = −∞ n→∞ Vì F1 thỏa mãn (F 2), nên ta có lim pα (xn , T xn ) = n→∞ Từ (2.20) (2.23), ta có F2 (d(xn , xn+1 )) ≤ F1 (pα (x0 , T x0 )) + σ − nτ, ∀n Cho n → ∞ ta lim F2 (d(xn , xn+1 )) = −∞ n→∞ Tiếp tục trình chứng minh Định lý 2.2, ta kết luận tồn x ∈ X cho xα ⊂ T x Chứng minh kết thúc Nhận xét 2.2 Trong Định lý 2.3, giải thiết hàm F1 thỏa mãn điều kiện (F 2), trong Định lý 2.2, hàm F1 hàm không giảm Định lý 2.3 mở rộng Định lý 2.2 báo [22] Tương tự trường hợp Định lý 2.2, ta thu hệ tương ứng Định lý 2.3 30 Chương Một số ứng dụng Lý thuyết điểm bất động công cụ quan trọng giải tích có nhiều úng dụng việc chứng minh tồn nghiệm phương trình tốn tử bao gồm phương trình vi phân, phương trình sai phân, phương trình tích phân, ma trận, phương trình đạo hàm riêng (xem tài liệu [1, ?, 8, ?, 15, 25, 29] tài liệu trích dẫn đó) Chương trình bày số ứng dụng kết điểm bất động chương vào nghiên cứu tồn nghiệm hệ phương trình hàm xuất trình phân tầng quy hoạch động ứng dụng vào giải tốn điển hình khoa học máy tính Tài liệu tham khảo chương báo [21, 1] Trước hết, chúng tơi trình bày ứng dụng vào q trình quy hoạch động Một cách tổng quát, trình quy hoạch động gồm: không gian trạng thái (trạng thái ban đầu, hành động hình thức thay đổi trạng thái) khơng gian định (các tác động có q trình) Cho U V không gian Banach, W ⊂ U không gian trạng thái, D ⊂ V không gian định Xét trình phân tầng dẫn đến phương trình hàm: qi (x) = sup{g(x, y) + Gi (x, y, qi (φ(x, y)))}, x ∈ W (3.1) y∈D đó, φ : W × D → W , g : W × D → R, Gi : W × D × R → R, i = 1, 2, ánh xạ Để hiểu rõ tốn, xem tài liệu [7, 8, 15, 25] Mục đích chứng minh tồn nghiệm cho hệ phương trình hàm (3.1) với số điều kiện cụ thể Xét giả thiết sau: 31 (A1) Các ánh xạ g , G1 G2 bị chặn (A2) Tồn dãy tăng chặt {γn } thỏa mãn γ0 = 0, γn ≥ 1, γn − γn−1 ≤ với n ≥ γn → ∞ cho với n ≥ 1, |G1 (x, y, a1 ) − G2 (x, y, a2 )| ≤ |a1 − a2 | + γn (γn − γn−1 ) (3.2) với x ∈ W , y ∈ D a1 , a2 ∈ R thỏa mãn |a1 − a2 | < γn Nhận xét 3.1 Giả thiết (A2) xuất phát từ giải thiết đưa Wardowski báo [29], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm phương trình tích phân dạng Volterra Kí hiệu B(W ) tập tất hàm thực bị chặn W Với x ∈ B(W ), ta định nghĩa chuẩn B(W ) sau: ||h|| = sup |h(x)| x∈W Khi đó, (B(W ), || · ||) khơng gian Banach Thật vậy, hội tụ B(W ) ứng với chuẩn || · || hội tụ {hn } dãy Cauchy B(W ), hội tụ tới hàm h∗ thỏa mãn h∗ ∈ B(W ) Ta có kết sau: Định lý 3.1 ([21]) Nếu (A1) (A2) thỏa mãn, hệ phương trình hàm (3.1) có nghiệm bị chặn Chứng minh Xét toán tử Ti : B(W ) → B(W ), i = 1, 2, cho bởi: với h ∈ B(W ), x ∈ W Ti h(x) = sup{g(x, y) + Gi (x, y, h(φ(x, y)))} y∈D Các tốn tử hồn tồn xác định g, G1 G2 bị chặn Cố định n ≥ 2và lấy h1 , h2 ∈ B(W ) cho γn−1 ≤ ||h1 − h2 || < γn Khi đó, ta có + ||h1 − h2 ||(γn − ||h1 − h2 ||) < + γn (γn − γn−1 ) 32 (3.3) Với ε > x ∈ W , tồn y1 , y2 ∈ D cho T1 h1 (x) < g(x, y1 ) + G1 (x, y1 , h1 (φ(x, y1 ))) + ε, (3.4) T2 h2 x < g(x, y2 ) + G2 (x, y2 , h2 (φ(x, y2 ))) + ε, (3.5) T1 h1 x ≥ g(x, y2 ) + G1 (x, y2 , h1 (φ(x, y2 ))), (3.6) T2 h2 (x) ≥ g(x, y1 ) + G2 (x, y1 , h2 (φ(x, y1 ))) (3.7) Do đó, (3.4) (3.7), ta có T1 h1 (x) − T2 h2 (x) − ε < G1 (x, y1 , h1 (φ(x, y1 ))) − G2 (x, y1 , h2 (φ(x, y1 ))) ≤ |G1 (x, y1 , h1 (φ(x, y1 ))) − G2 (x, y1 , h2 (φ(x, y1 )))| Vì |h1 (φ(x, y1 ))) − h2 (φ(x, y1 )))| ≤ ||h1 − h2 || < γn , từ (A2) (3.3) ta có T1 h1 (x) − T2 h2 (x) − ε < |h1 (φ(x, y1 ))) − h2 (φ(x, y1 )))| + γn (γn − γn−1 ) ||h1 − h2 || ≤ + γn (γn − γn−1 ) ||h1 − h2 || < + ||h1 − h2 ||(γn − ||h1 − h2 ||) Tương tự, từ (3.5) (3.6), ta có T2 h2 (x) − T1 h1 (x) − ε < ||h1 − h2 || + ||h1 − h2 ||(γn − ||h1 − h2 ||) |T1 h1 (x) − T2 h2 (x)| − ε < ||h1 − h2 || + ||h1 − h2 ||(γn − ||h1 − h2 ||) Do đó, Tương tự, ta chứng minh bất đẳng thức với n = Vì ε > tùy ý, ta có, với h1 , h2 ∈ B(W ) n ≥ 1, ||T1 h1 − T2 h2 || ≤ ||h1 − h2 || + ||h1 − h2 ||(γn − ||h1 − h2 ||) 33 Vì vậy, giải thiết Hệ 2.2 thỏa mãn với L = 0, F (t) = −1/t, t > 0, τ : [0, ∞) → (0, ∞) có dạng:  −s + γ τ (s) = −t + γn < s < γ1 , γn−1 ≤ s < γn , n ≥ 2, T1 , T2 tương ứng với R, Q Áp dụng Hệ 2.2, tồn h ∈ B(W ) cho T1 h = T2 h = h, hay, hệ phương trình hàm (3.1) có nghiệm bị chặn Tiếp theo, chúng tơi trình bày ứng dụng Hệ 2.2 vào giải toán lý thuyết khoa học máy tính Kí hiệu, Σ tập khác rỗng chữ Σ∞ tập tất dãy hữu hạn vô hạn phần tử thuộc Σ Ta ký hiệu dãy rỗng ∅ giả sử ∅ ∈ Σ∞ Ngoài ra, Σ∞ , xét quan hệ v sau: xvy x tiền tố y Cho dãy x 6= ∅ Σ∞ , ta kí hiệu `(x) ∈ [1, +∞] độ dài x Quy ước, `(∅) = Với x, y ∈ Σ∞ , ta kí hiệu x u y phần tiền tố chung x y Rõ ràng, x = y x v y y v x `(x) = `(y) Trên Σ∞ ta xét hàm dv : Σ∞ × Σ∞ → [0, ∞) xác định   x = y dv (x, y) = 2−`(xuy) x 6= y Mệnh đề 3.1 (Σ∞ , dv ) không gian metric dầy đủ Chứng minh Dễ thấy dv metric Σ∞ Giả sửa {xn } dãy Cauchy Σ∞ Tức là, dv (xn , xm ) → m, n → ∞ Khi đó, {xn } dãy n đủ lớn 2−`(xn uxm ) → m, n → ∞ Nếu 2−`(xn uxm ) → m, n → ∞, `(xn u xm ) → ∞ m, n → ∞ Điều suy ra, dãy {xn } dãy vô hạn n đủ lớn Tóm lại, hai trường hợp, dãy {xn } hội tụ Do đó, (Σ∞ , dv ) khơng gian metric dầy đủ Xét phức tạp thời gian trung bình thuật tốn Quicksort (xem [24] Khi đó, quan hệ truy hồi sau xuất T (1) = 0, and T (n) = 2(n − 1) n + + T (n − 1), n = 2, 3, · · · (3.8) n n 34 Ta áp dụng kết điểm bất động cho ánh xạ mờ để xét sựu tồn nghiệm (3.8) Ta xét Σ tập [0, ∞) xét ánh xạ φ : Σ∞ → Σ∞ tương ứng với x := x1 x2 , · · · φ(x) := (φ(x))1 (φ(x))2 · · · xác định (φ(x))1 = T (1) = (φ(x))n = 2(n − 1) n + + xn−1 n n Chú ý rằng, x có hữu hạn từ, tức, `(x) = n < ∞, ta viết x = x1 x2 xn Từ định nghĩa φ, ta có `(φ(x)) = `(x) + với x ∈ Σ∞ `(φ(x)) = +∞ `(x) = +∞ Mệnh đề 3.2 Ánh xạ φ có điểm bất động Σ∞ Chứng minh Cho α ∈ (0, 1], xét ánh xạ mờ S Σ∞ xác định bởi: S(x) = (φ(x))α , ∀x ∈ Σ Xét tường hợp: Trường hợp Nếu x = y , Hv ((φ(x))α , (φ(x))α ) = = dv (x, x) Trường hợp Nếu x 6= y , Hv ((φ(x))α , (φ(y))α ) = dv ((φ(x))α , (φ(x))α ) = 2−`((φ(x))α u(φ(x))α ) ≤ 2−`(φ(xuy)) = 2−`(xuy)+1 1 = 2−`(xuy) = dv (x, y) 2 Áp dụng hệ 2.1, với L = 0, τ (t) = ln F (t) = ln t, ta suy S có ddiemr bất động mờ u = u1 u2 · · · ∈ Σ∞ , cho u ∈ [Su]α Từ định nghĩa S , ta có u điểm bất động φ Với u điểm bất động φ, u nghiệm quan hệ truy hồi (3.8) Ta có: u1 = 0, un = 2(n − 1) n + + un−1 , n ≥ n n 35 Kết luận Nội dung đề tài trình bày số kết điểm bất động cho ánh xạ đa mờ không gian metric số ứng dụng Kết đạt đề tài bao gồm: Trình bày tóm tắt số khái niệm tính chất liên quan tới không gian metric giải tích mờ Trình bày khái niệm hàm có tính chất (L) số ví dụ liên quan Trình bày số định lý hệ điểm bất động cho ánh xạ mờ không gian metric Trong định lý 2.2, Định lý 2.3 hệ chúng kết cải tiến mở rộng số kết có Trình bày số ứng dụng định lý điểm bất động vào toán quy hoạch động toán liên quan thuật toán Quicksort khoa học máy tính 36 Các cơng trình liên quan tới khóa luận L V Nguyen, L.T Phuong, N.T Hong, X Qin, Some fixed point theorems for multivalued mappings concerning F -contractions, Journal of Fixed Point Theory and Applications 20 (2018), 139 37 Tài liệu tham khảo [1] M Abbas, B Ali, O Rizzo and C Vetro, Fuzzy fixed points of generalized F2 -Geraghty type fuzzy mappings and complementary results, Nonlinear Analysis: Modelling and Control 21 (2016) 274- 292 [2] H.M Abu-Donia, Common fixed point theorems for fuzzy mappings in metric space under φ-contraction condition, Chaos Solitons Fractals, 44 (2007) 538–543 [3] J Ahmad, A E Al-Mazrooei and I Altun, Generalized θ-contractive fuzzy mappings, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems 35 (2018) 1935-1942 [4] A, E, Al-Mazrooei, J Ahmad, Fixed point theorems for fuzzy mappings with applications, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems 36 (2019) 3903–3909 [5] I Altun, G Minaka and M Olgun, Fixed points of multivalued nonlinear F contractions on complete metric spaces, Nonlinear Analysis: Modelling and Control 21 (2016) 201-210 [6] A Azam, M Arshad and P Vetro, On a pair of fuzzy ϕ-contractive mappings, Mathematical and Computer Modelling 52 (2010) 207-214 [7] R Bellman and E.S Lee, Functional equations in dynamic programming, Aequationes mathematicae 17 (1978) 1-18 [8] T C Bhakta and S Mitra, Some existence theorems for functional equations arising in dynamic programming, Journal of Mathematical Analysis and Applications 98 (1984) 348-362 38 [9] R.K Bose and D Sahani, Fuzzy mappings and fixed point theorems, Fuzzy Sets and Systems 21 (1987) 53-58 [10] D Butnariu, Fixed point for fuzzy mapping, Fuzzy Sets and Systems (1982) 191-207 [11] V.D Estruch and A Vidal, A note on fixed fuzzy points for fuzzy mappings, Rendiconti dell’Istituto di Matematica dell’Università di Trieste 32 (2001) 39-45 [12] Y Feng and S Liu, Fixed point theorems for multi-valued contractive mappings and multi-valued Caristi type mappings Journal of Mathematical Analysis and Applications 317 (2006) 103-112 [13] V Gregori and S Romaguera, Fixed point theorems for fuzzy mappings in quasi-metric spaces, Fuzzy Sets and Systems 115 (2000), 477-483 [14] S Heilpern, Fuzzy mappings and fixed point theorem, Journal of Mathematical Analysis and Applications 83 (1981) 566-569 [15] D Klim and D Wardowski, Fixed points of dynamic processes of set-valued F -contractions and application to functional equations, Fixed Point Theory and Applications (2015) 2015:22 [16] G Minak, I Altun and M Olgun, Fixed points of F -contractive type fuzzy mappings, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems 33 (2017) 1435-1439 [17] G Minak, M Olgun and I Altun, A new approach to fixed point theorems for multivalued contractive maps, Carpathian Journal of Mathematics 31 (2016) 241-248 [18] B Nadler, Multivalued contraction mappings, Pacific Journal of Mathematics 30 (1969) 475-488 [19] H K Nashine, M Imdad and M Ahmadullah, Common fixed point theorems for hybrid generalized (F, ϕ)-contractions under the common limit 39 range property with applications, Ukrainian Mathematical Journal 69 (2018) 1784-1804 [20] L.V Nguyen, X Qin, D.T.N Tram, A fixed point theorem with applications to involution mappings, Submitted [21] L.V Nguyen, N.H Hoc, On nonlinear F -contractive fuzzy mappings, Journal of Intelligent & Fuzzy Systems (Nhận đăng) [22] L.V Nguyen, L.T Phuong, N.T Hong and X Qin, Some fixed point theorems for multivalued mappings concerning F -contractions, Journal of Fixed Point Theory and Applications (2018) 20:139 [23] D Qiu and L Shu, Supremum metric on the space of fuzzy sets and common fixed point theorems for fuzzy mappings, Information Sciences 178 (2008) 3595-3604 [24] R Saadati, S.M Vaezpour, Y.J Cho, Quicksort algorithm: Application of a fixed point theorem in intuitionistic fuzzy quasi-metric spaces at a domain of words, J Comput Appl Math., 228 (2009) 219–225 [25] M Sgroi and C Vetro, Multi-valued F -contractions and the solution of certain functional and integral equations Filomat 27 (2013) 1259-1268 [26] H Tuỵ, Hàm thực giải tích hàm (Giải tích đại), NXB Đại học quốc gia Hà Nội, 2003 [27] M D Weiss, Fixed points and induced fuzzy topologies for fuzzy sets, Journal of Mathematics Analysis and Applications 50 (1975) 142-150 [28] D Wardowski, Fixed points of a new type of contractive mappings in complete metric spaces, Fixed Point Theory and Applications 94 (2012) 1-6 [29] D Wardowski, Solving existence problems via F -contractions, Proceedings of the American Mathematical Society 146 (2018) 1585 - 1598 [30] L A Zadeh, Fuzzy sets, Information and Control (1965) 338-353 40