Về một số định lý điểm bất động của các phép θ co suy rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TRẦN LONG HÒA VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP θ-CO SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN TRẦN LONG HÒA VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP θ-CO SUY RỘNG Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Văn Ân Nghệ An - 2018 MỤC LỤC Mục lục Lời cảm ơn Mở đầu Chương1 Điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric Chương2 21 Điểm bất động phép θ-co không gian mêtric suy rộng 2.2 11 Điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric suy rộng 2.1 21 Mở rộng nguyên lý co Banach cho phép θ-co suy rộng không gian mêtric suy rộng 26 Kết luận 33 Tài liệu tham khảo 34 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn tận tình, chu đáo PGS TS Trần Văn Ân Tác giả xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc tận tâm đầy trách nhiệm Thầy, thời gian làm khóa luận mà cịn suốt q trình học tập Tác giả xin gửi lời cám ơn chân thành đến Thầy Cô môn Giải tích tồn thể Thầy Cơ ngành Tốn, Viện Sư phạm Tự nhiên, trường Đại học Vinh, người truyền dạy kiến thức, quan tâm động viên tác giả trình học tập thời gian thực đề tài Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến gia đình, nơi chỗ dựa vững cho tác giả suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù có nhiều cố gắng chắn luận văn khơng thể tránh sai sót Tác giả mong nhận góp ý Thầy Cơ bạn đọc để luận văn hoàn thiện Nguyễn Trần Long Hòa MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Các định lý điểm bất động có vai trò quan trọng việc khảo sát tồn nghiệm toán liên quan đến phương trình vi phân, phương trình tích phân phương trình đạo hàm riêng Trong lý thuyết điểm bất động, nguyên lý ánh xạ co Banach không gian mêtric đầy đủ có vai trị quan trọng Nó đặt tên theo tên nhà toán học Stefan Banach (1892-1945) lần công bố luận án ơng vào năm 1922 Kể từ đó, nhờ vào tính đơn giản hữu dụng, nguyên lý trở thành công cụ phổ biến việc giải toán tồn nghiệm phương trình vi phân Cùng với phát triển toán học, nguyên lý ánh xạ co Banach mở rộng theo nhiều hướng khác nhau, chẳng hạn cho lớp ánh xạ khác cho không gian khác Năm 2000, Branciari [3] đưa khái niệm không gian mêtric suy rộng cách thay điều kiện bất đẳng thức tam giác bất đẳng thức tứ giác Năm 2014, Jleli Samet [9] giới thiệu lớp Θ ánh xạ θ : (0, ∞) → (1, ∞) chứng minh định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ không gian mêtric suy rộng Gần nhất, Ahmad, Al-Mazrooei, Cho Yang [2] năm 2017 mở rộng kết Sleli Samet [9] gọi ánh xạ thỏa mãn điều kiện Jleli Samet [9] phép θ-co đồng thời chứng minh số định lý điểm bất động cho ánh xạ θ-co suy rộng, cách áp dụng điều kiện đơn giản lớp hàm θ Trên sở đó, để tập dượt nghiên cứu khoa học, tiếp cận hướng nghiên cứu nhằm tìm hiểu kết điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric không gian mêtric suy rộng Dựa vào tài liệu tham khảo, hướng dẫn PGS TS Trần Văn Ân, thực đề tài: “Về số định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng” Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric compắc, không gian mêtric suy rộng; ánh xạ co, ánh xạ θ-co, ánh xạ θ-co suy rộng, ví dụ minh họa ánh xạ đó; điểm bất động ánh xạ, định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric không gian mêtric suy rộng Phạm vi nghiên cứu tính chất mối quan hệ đối tượng trên; định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng số ví dụ minh họa cho kết Phương pháp nghiên cứu Dùng phương pháp nghiên cứu giải tích, tơpơ, giải tích hàm Sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết, nghiên cứu tài liệu sử dụng số kỹ thuật chứng minh để giải vấn đề đặt Nội dung nghiên cứu - Nghiên cứu định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric, hệ chúng cho số ví dụ minh họa - Nghiên cứu định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric suy rộng, hệ chúng cho số ví dụ minh họa Cấu trúc luận văn Ngồi phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, nội dung luận văn chia thành hai chương Chương với nhan đề: Điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric Chương với nhan đề: Điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric suy rộng CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP θ-CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị Phần giới thiệu qua số kiến thức làm sở cho việc trình bày luận văn 1.1.1 Định nghĩa Cho tập hợp X = ∅ Một ánh xạ d : X × X → R gọi mêtric X thỏa mãn điều kiện sau: (i) d(x, y) với x, y, ∈ X d(x, y) = x = y ; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (iii) d(x, y) d(x, z) + d(z, y) với x, y, z ∈ X Khi đó, (X, d) gọi không gian mêtric 1.1.2 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric (i) Dãy {xn }∞ n=1 ⊂ X gọi hội tụ đến phần tử x ∈ X d(xn , x) → n → ∞ Khi ta viết xn → x lim xn = x (ii) Dãy {xn }∞ n=1 ⊂ X gọi dãy Cauchy d(xn , xm ) → đồng thời m, n → ∞ Dễ dàng thấy dãy hội tụ không gian mêtric (X, d) dãy Cauchy, nhiên điều ngược lại nói chung khơng Từ ta có định nghĩa sau 1.1.3 Định nghĩa Không gian mêtric (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ 1.1.4 Định nghĩa Không gian mêtric (X, d) gọi compắc ∞ dãy {xn }∞ n=1 ⊂ X ln có dãy {xnk }k=1 hội tụ X 1.1.5 Định nghĩa Cho (X, d) không gian mêtric ánh xạ F : X → X Một cách ngắn gọn ta viết F x = F (x) (i) Ánh xạ F gọi co tồn số k ∈ [0, 1) cho với x, y ∈ X ta ln có d(F x, F y) kd(x, y) (ii) Phần tử x ∈ X gọi điểm bất động ánh xạ F F x = x 1.1.6 Định lý (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ F : X → X Nếu F ánh xạ co F có điểm bất động X Các định nghĩa định lý nói tìm thấy [1] Một mở rộng nguyên lý ánh xạ co đáng ý Edelstein đưa vào năm 1962 báo [5] Kết thiết lập khơng gian mêtric compắc tương tự cho nguyên lý ánh xạ co Banach 1.1.7 Định lý ([5]) Cho (X, d) không gian mêtric compắc ánh xạ F : X → X Nếu d(F x, F y) < d(x, y) với x, y, ∈ X mà x = y , F có điểm bất động X Năm 2009, Suzuki [11] xem xét loại ánh xạ thu mở rộng cho nguyên lý ánh xạ co Edelstein sau 1.1.8 Định lý ([11]) Cho (X, d) không gian mêtric compắc ánh xạ F : X → X Giả sử với x, y, ∈ X mà x = y , d(x, F x) < d(x, y) =⇒ d(F x, F y) < d(x, y) Khi đó, F có điểm bất động X Năm 2008, Berinde [4] thu kết thú vị cách giảm nhẹ điều kiện tính co ánh xạ xét, tổng quát cho nguyên lý ánh xạ co Banach 1.1.9 Định lý ([4]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn số k ∈ [0, 1) L d(F x, F y) cho kM (x, y) + L min{d(x, F x), d(y, F y), d(x, F y), d(y, F x)} với x, y ∈ X , M (x, y) = max{d(x, y), d(x, F x), d(y, F y), d(x, F y), d(y, F x)} Khi đó, F có điểm bất động X Trong phần tiếp theo, chúng tơi trình bày khái niệm kết không gian mêtric suy rộng giới thiệu [3] 1.1.10 Định nghĩa ([3]) Cho tập X = ∅ ánh xạ d : X × X → R Khi (X, d) gọi khơng gian mêtric suy rộng d thỏa mãn điều kiện sau đây: (i) d(x, y) với x, y, ∈ X d(x, y) = x = y ; (ii) d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X ; (iii) với x, y ∈ X hai điểm phân biệt u, v ∈ X mà u ∈ / {x, y}, v ∈ / {x, y} ta ln có d(x, y) d(x, u) + d(u, v) + d(v, y) 1.1.11 Ví dụ (1) Xét X = R số α ∈ X cho α > Ta xác định hàm d : X × X → R cho công thức  x = y 0 d(x, y) = 3α x, y ∈ {1, 2} x = y  α x, y không đồng thời thuộc {1, 2} x = y Khi dễ dàng thử thấy (X, d) không gian mêtric suy rộng, (X, d) không không gian mêtric, ta có d(1, 2) = 3α > α + α = d(1, 3) + d(3, 2) (2) Cho X = {1, 2, 3, 4} Ta xét d : X × X → R sau d(1, 1) = d(2, 2) = d(3, 3) = d(4, 4) = 0, d(1, 2) = d(2, 1) = 3, d(2, 3) = d(3, 2) = d(1, 3) = d(3, 1) = 1, d(1, 4) = d(4, 1) = d(2, 4) = d(4, 2) = d(3, 4) = d(4, 3) = Khi ta kiểm tra (X, d) khơng gian mêtric suy rộng đầy đủ, khơng khơng gian mêtric, bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn: d(1, 2) = > + = d(1, 3) + d(3, 2) 10 Tương tự không gian mêtric thông thường, khái niệm hội tụ, dãy Cauchy đầy đủ không gian mêtric suy rộng định nghĩa sau 1.1.12 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng (i) Dãy {xn }∞ n=1 ⊂ X gọi hội tụ phần tử x ∈ X d(xn , x) → n → ∞ Khi ta ký hiệu xn → x lim xn = x (ii) Dãy {xn }∞ n=1 ⊂ X gọi Cauchy d(xm , xn ) → đồng thời m, n → ∞ (iii) Không gian (X, d) gọi đầy đủ dãy Cauchy X hội tụ Dưới số kết thiết lập [10] [8] 1.1.13 Mệnh đề ([10]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng {xn }∞ n=1 dãy Cauchy (X, d) cho d(xn , x) → n → ∞ Khi ta có d(xn , y) → d(x, y) n → ∞ với y ∈ X 1.1.14 Mệnh đề ([10]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng, {xn }∞ n=1 dãy Cauchy (X, d) x, y ∈ X Giả sử tồn số N ∈ N cho (i) xn = xm với n, m > N ; (ii) xn x điểm phân biệt X với n > N ; (iii) xn y điểm phân biệt X với n > N ; (iv) lim d(xn , x) = lim d(xn , y) n→∞ n→∞ Khi đó, ta có x = y Gần đây, Jleli Samet báo [9] giới thiệu lớp Θ ánh xạ θ : (0, ∞) → (1, ∞) chứng minh định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ không gian mêtric suy rộng Để chuẩn bị cho việc trình bày kết điểm bất động lớp ánh xạ này, giới thiệu lại khái niệm phép θ-co CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP θ-CO SUY RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC SUY RỘNG 2.1 Điểm bất động phép θ-co không gian mêtric suy rộng Trong phần chúng tơi trình bày số định lý điểm bất động Jleli Samet [9] cho phép θ-co không gian mêtric suy rộng Branciari 2.1.1 Định lý ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử F θ-co, tức tồn θ ∈ Θ k ∈ (0, 1) cho x, y, ∈ X, d(F x, F y) = =⇒ θ(d(F x, F y)) [θ(d(x, y))]k (2.1) Khi đó, F có điểm bất động Chứng minh Đầu tiên ta F liên tục Thật vậy, xét z ∈ X dãy xn → z bất kỳ, với n, < θ(d(F xn , F z)) [θ(d(xn , z))]k Theo (Θ2 ) ta có limn→∞ θ(d(xn , z)) → 1, kéo theo θ(d(F xn , F z)) → n → ∞ Lại (Θ2 ) ta nhận limn→∞ d(F xn , F z) = Lấy x ∈ X Nếu tồn p ∈ N cho F p x = F p+1 x, F p x điểm bất động F Vì thế, khơng tính tổng quát, ta giả sử d(F n x, F n+1 x) > với n ∈ N Từ (2.1), với n ∈ N, ta có θ(d(F n x, F n+1 x)) [θ(d(F n−1 x, F n x))]k ··· [θ(d(F n−2 x, F n−1 x))]k n [θ(d(x, F x))]k Do đó, θ(d(F n x, F n+1 x)) n [θ(d(x, F x))]k , với n ∈ N 21 (2.2) 22 Cho n → ∞ (2.2) thu limn→∞ θ(d(F n x, F n+1 x)) = 1, từ giả thiết (Θ2 ) ta suy lim d(F n x, F n+1 x) = (2.3) n→∞ Từ điều kiện (Θ3 ), tồn r ∈ (0, 1) ∈ (0, ∞] cho θ(d(F n x, F n+1 x)) − lim = n→∞ [d(F n x, F n+1 x)]r • Khi < ∞ Trong trường hợp B := /2 > Theo định nghĩa giới hạn, tồn n0 ∈ N cho θ(d(F n x, F n+1 x)) − − [d(F n x, F n+1 x)]r B, với n n0 Điều kéo theo θ(d(F n x, F n+1 x)) − [d(F n x, F n+1 x)]r − B = B với n n0 Khi đó, n[d(F n x, F n+1 x)]r với A = • Khi An[θ(d(F n , F n+1 x)) − 1], với n n0 , B = ∞ Theo định nghĩa giới hạn, với số thực B > tồn n0 để θ(d(F n x, F n+1 x)) − [d(F n x, F n+1 x)]r B với n Điều dẫn đến n[d(F n x, F n+1 x)]r n0 Như vậy, với n0 An[θ(d(F n , F n+1 x)) − 1] với n ∈ (0, ∞], tồn A > n0 ∈ N cho n[d(F n x, F n+1 x)]r An[θ(d(F n , F n+1 x)) − 1], với n n0 Từ (2.2), n[d(F n x, F n+1 x)]r n An([θ(d(x, F x))]k − 1), với k Cho n → ∞ bất đẳng thức ta thu lim n[d(F n x, F n+1 x)]r = n→∞ n0 23 Khi đó, tồn n1 ∈ N cho d(F n x, F n+1 x) với n n1/r n1 (2.4) Bây ta chứng minh tồn hai số tự nhiên phân biệt m, n x0 ∈ X cho F m x0 = F n x0 Giả sử ngược lại, F n x = F m x với m, n ∈ N, m = n x ∈ X Từ (2.1) ta có θ(d(F n x, F n+2 x)) [θ(d(F n−1 x, F n+1 x))]k ··· [θ(d(F n−2 x, F n x))]k n [θ(d(x, F x))]k Cho n → ∞ sử dụng giả thiết (Θ2 ), ta thu lim d(F n x, F n+2 x) = (2.5) n→∞ Tương tự, từ điều kiện (Θ3 ), tồn n2 ∈ N cho d(F n x, F n+2 x) , với n n1/r n2 (2.6) Đặt N = max{n0 , n1 } Ta xét hai trường hợp sau: Trường hợp : Nếu m số lẻ lớn 2, ta viết m = 2L + 1, L (2.4), với n Từ N , ta có d(F n x, F n+m x) d(F n x, F n+1 x) + d(F n+1 x, F n+2 x) + · · · + d(F n+2L x, F n+2L+1 x) 1 + + ··· + 1/r 1/r n (n + 1) (n + 2L)1/r ∞ 1/r i i=n Trường hợp : Nếu m số chẵn lớn 2, ta viết m = 2L, L (2.6), với n Từ (2.4) N , ta có d(F n x, F n+m x) d(F n x, F n+2 x) + d(F n+2 x, F n+3 x) + · · · + d(F n+2L−1 x, F n+2L x) 1 + + · · · + n1/r (n + 2)1/r (n + 2L − 1)1/r ∞ 1/r i i=n 24 Như vậy, hai trường hợp ta có ∞ n d(F x, F n+m x) i=n ∞ i=1 i1/r i1/r , với n N, m ∈ N ∞ i=n i1/r → n → ∞ Từ bất đẳng thức ta kết luận {F n x}∞ n=1 dãy Cauchy Vì (X, d) đầy đủ, tồn z ∈ X cho F n x → z Từ tính khơng dãn F , ta có Do 1/r > nên chuỗi hội tụ Vì d(F n+1 x, F z) d(F n x, z) Cho n → ∞ bất đẳng thức trên, ta nhận F n+1 x → F z Từ Mệnh đề 1.1.14 ta suy F z = z , mâu thuẫn với điều giả sử ban đầu Vậy tồn số tự nhiên dương q z ∈ X cho F q z = z Giả sử tập điểm bất động F rỗng Khi p > d(z, F z) > Theo (2.1) θ(d(z, F z)) = θ(d(F n z, F n+1 z)) n [θ(d(z, F z))]k < θ(d(z, F z)), mâu thuẫn Như F có điểm bất động Giả sử z, u hai điểm bất động phân biệt F Khi d(F z, F u) = d(z, u) > 0, từ (2.1) ta có θ(d(z, u)) = θ(d(F z, F u)) [θ(d(z, u))]k < θ(d(z, u)), mâu thuẫn Vậy ta kết luận F có điểm bất động Vì khơng gian mêtric trường hợp riêng không gian mêtric suy rộng, từ Định lý 2.1.1 ta thu hệ sau đây: 2.1.2 Hệ ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn θ ∈ Θ k ∈ (0, 1) cho x, y, ∈ X, d(F x, F y) = =⇒ θ(d(F x, F y)) [θ(d(x, y))]k Khi đó, F có điểm bất động Nhận xét nguyên lý ánh xạ co Banach suy trực tiếp từ Hệ 2.1.2 Thật vậy, F ánh xạ co Banach, tức tồn λ ∈ (0, 1) cho d(F x, F y) λd(x, y) với x, y ∈ X , ta có √ √ √ d(F x,F y) e [e d(x,y) ] λ , với x, y ∈ X 25 √ Hàm số θ : (0, ∞) → (1, ∞) cho θ(t) := e t thuộc vào Θ Vì tồn điểm bất động F suy từ Hệ 2.1.2 Trong ví dụ đây, Hệ 2.1.2 mở rộng thực nguyên lý ánh xạ co Banach 2.1.3 Ví dụ ([9]) Cho tập hợp X = {tn : n ∈ N}, tn = n(n+1) , n ∈ N Ta trang bị mêtric d X d(x, y) := |x − y| với x, y ∈ X Khơng khó để thấy (X, d) không gian mêtric đầy đủ Xét ánh xạ F : X → X sau F t1 = t1 , F tn = tn−1 với n tn ,F t1 ) Ta thấy F không thỏa mãn điều kiện co Banach limn→∞ d(F d(tn ,t1 ) = Bây ta xét hàm θ : (0, ∞) → (1, ∞) cho t θ(t) := ete Dễ dàng kiểm tra θ ∈ Θ Bây ta θ thỏa mãn (2.1), tức chứng minh √ d(F tn ,F tm ) d(F tn , F tm ) = =⇒ e d(F tn ,F tm )e √ k e d(tn ,tm )ed(tn ,tm ) , với k ∈ (0, 1) Điều kiện tương đương với d(F tn , F tm ) = =⇒ d(F tn , F tm )ed(F tn ,F tm ) k d(tn , tm )ed(tn ,tm ) , ta cần kiểm tra d(F tn , F tm ) = =⇒ d(F tn , F tm )ed(F tn ,F tm )−d(tn ,tm ) d(tn , tm ) k2, (2.7) với số k ∈ (0, 1) Ta xét hai trường hợp sau đây: Trường hợp : n = m > Khi ta có d(F t1 , F tm )ed(F t1 ,F tm )−d(t1 ,tm ) m2 − m − −m = e d(t1 , tm ) m +m−2 e−1 Trường hợp : m > n > Ta có d(F tm , F tn )ed(F tm ,F tn )−d(tm ,tn ) m + n − n−m = e d(tm , tn ) m+n+1 e−1 Vì (2.7) thỏa mãn với k = e−1/2 Áp dụng Hệ 2.1.2 ta kết luận F có điểm bất động t1 26 2.1.4 Hệ ([9]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn α, k ∈ (0, 1) cho 2 − arctan π [d(F x, F y)]α 2 − arctan π [d(x, y)]α k với x, y ∈ X , F x = F y Khi đó, F có điểm bất động 2.2 Mở rộng nguyên lý co Banach cho phép θ-co suy rộng không gian mêtric suy rộng Trong mục xem xét cách tiếp cận khác Định lý 2.1.1, điều kiện tính co (2.1) giảm nhẹ, nhiên hàm θ xét cần thỏa mãn điều kiện (Θ1 ), (Θ2 ), (Θ3 ) (Θ3 ) Các kết ví dụ trình bày theo báo Jleli, Karapinar Samet [7] 2.2.1 Định lý ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn θ ∈ Θ ∩ Ω k ∈ (0, 1) cho x, y ∈ X, d(F x, F y) = =⇒ θ(d(F x, F y)) [θ(M (x, y))]k , (2.8) M (x, y) = max{d(x, y), d(x, F x), d(y, F y)} (2.9) Khi đó, F có điểm bất động Chứng minh Lấy x ∈ X Nếu tồn p ∈ N cho F p x = F p+1 x, F p x điểm bất động F Vậy, khơng tính tổng qt, ta giả sử d(F n x, F n+1 x) > với n ∈ N Từ (2.8), với n ∈ N, ta có θ(d(F n x, F n+1 x)) [θ(M (F n−1 x, F n x))]k , (2.10) theo (2.9) M (F n−1 x, F n x) = max{d(F n−1 x, F n x), d(F n−1 x, F F n−1 x), d(F n x, F F n x)} = max{d(F n−1 x, F n x), d(F n−1 x, F n x), d(F n x, F n+1 x)} = max{d(F n−1 x, F n x), d(F n x, F n+1 x)} Nếu M (F n−1 x, F n x) = d(F n x, F n+1 x) ta sử dụng (2.10) để có θ(d(F n x, F n+1 x)) [θ(d(F n x, F n+1 x))]k , (2.11) 27 kéo theo ln[θ(d(F n x, F n+1 x))] k ln[θ(d(F n x, F n+1 x))], điều mâu thuẫn k ∈ (0, 1) Vì thế, từ (2.11) ta có M (F n−1 x, F n x) = d(F n−1 x, F n x), bất đẳng thức (2.10) cho ta θ(d(F n x, F n+1 x)) [θ(d(F n−1 x, F n x))]k ··· [θ(d(F n−2 x, F n−1 x))]k n [θ(d(x, F x))]k Điều dẫn đến θ(d(F n x, F n+1 x)) [θ(d(x, F x))]k n với n ∈ N (2.12) Cho n → ∞ (2.12) ta thu θ(d(F n x, F n+1 x)) → n → ∞, (2.13) điều kiện (Θ2 ) kéo theo lim d(F n x, F n+1 x) = n→∞ Từ điều kiện (Θ3 ), tồn r ∈ (0, 1) ∈ (0, ∞] cho θ(d(F n x, F n+1 x)) − lim = n→∞ [d(F n x, F n+1 x)]r • Giả sử < ∞ Đặt B = /2 > Khi đó, tồn n0 ∈ N cho θ(d(F n x, F n+1 x)) − − [d(F n x, F n+1 x)]r B với n n0 Ta suy θ(d(F n x, F n+1 x)) − [d(F n x, F n+1 x)]r −B =B với n n0 Khi n[d(F n x, F n+1 x)]r An[θ(d(F n x, F n+1 x)) − 1] với n A = 1/B • Giả sử = ∞ Khi đó, với số thực B > 0, tồn n0 ∈ N cho θ(d(F n x, F n+1 x)) − [d(F n x, F n+1 x)]r B với n n0 n0 , 28 Điều kéo theo n[d(F n x, F n+1 x)]r An[θ(d(F n x, F n+1 x)) − 1] với n n0 , với A = 1/B Như vậy, hai trường hợp, tồn A > n0 ∈ N cho n[d(F n x, F n+1 x)]r An[θ(d(F n x, F n+1 x)) − 1] với n n0 Theo (2.12) ta có n[d(F n x, F n+1 x)]r n An([θ(d(x, F x))]k − 1) với n n0 Cho n → ∞ bất đẳng thức ta nhận lim n[d(F n x, F n+1 x)]r = n→∞ Do đó, tồn n1 ∈ N cho d(F n x, F n+1 x) n1/r với n n1 (2.14) Tiếp đến ta tồn x0 ∈ X hai số tự nhiên phân biệt m, n cho F m x0 = F n x0 Giả sử ngược lại, F m x = F n x với x ∈ X với cặp số tự nhiên m = n Áp dụng (2.8) cho ta θ(d(F n x, F n+2 x)) [θ(M (F n−1 x, F n+1 x))]k , (2.15) theo (2.9), M (F n−1 x, F n+1 x) = max{d(F n−1 x, F n+1 x), d(F n−1 x, F n x), d(F n+1 x, F n+2 x)} (2.16) Vì θ hàm không giảm, ta thu từ (2.15) (2.16) θ(d(F n x, F n+2 x)) [max{θ(d(F n−1 x, F n+1 x)), θ(d(F n−1 x, F n x)), θ(d(F n+1 x, F n+2 x))}]k (2.17) Ký hiệu I tập số tự nhiên n thỏa mãn un := max{θ(d(F n−1 x, F n+1 x)), θ(d(F n−1 x, F n x)), θ(d(F n+1 x, F n+2 x))} = θ(d(F n−1 x, F n+1 x)) 29 Nếu |I| < ∞ tồn N ∈ N cho với n N, max{θ(d(F n−1 x, F n+1 x)), θ(d(F n−1 x, F n x)), θ(d(F n+1 x, F n+2 x))} = max{θ(d(F n−1 x, F n x)), θ(d(F n+1 x, F n+2 x))} Trong trường hợp này, ta nhận từ (2.17) θ(d(F n x, F n+2 x)) với n [max{θ(d(F n−1 x, F n x)), θ(d(F n+1 x, F n+2 x))}]k N Cho n → ∞ bất đẳng thức áp dụng (2.13) để có θ(d(F n x, F n+2 x)) → n → ∞ Nếu |I| = ∞ tồn dãy {un }∞ n=1 (để đơn giản ta ký hiệu dãy {un }∞ n=1 ) cho un = θ(d(F n−1 x, F n+1 x)) với n đủ lớn Khi đó, bất đẳng thức (2.17) cho ta θ(d(F n x, F n+2 x)) [θ(d(F n−2 x, F n x))]k [θ(d(F n−1 x, F n+1 x))]k ··· [θ(d(x, F x))]k n với n đủ lớn Cho n → ∞, θ(d(F n x, F n+2 x)) → (2.18) Như trường hợp ta thu (2.18) Sử dụng (2.18) giả thiết (Θ2 ) để có lim d(F n x, F n+2 x) = n→∞ Tương tự, từ giả thiết (Θ3 ), tồn n2 ∈ N cho với n n2 d(F n x, F n+2 x) n1/r Đặt N = max{n0 , n1 } Ta xét hai trường hợp sau: (2.19) Trường hợp : Khi m số lẻ lớn 2, ta viết m = 2L + 1, L Từ (2.14), với n N , ta có d(F n x, F n+m x) d(F n x, F n+1 x) + d(F n+1 x, F n+2 x) + · · · + d(F n+2L x, F n+2L+1 x) 1 + + · · · + n1/r (n + 1)1/r (n + 2L)1/r ∞ 1/r i i=n 30 Trường hợp : Khi m số chẵn lớn 2, ta viết m = 2L, L (2.14) (2.19), với n Theo N , ta có d(F n x, F n+m x) d(F n x, F n+2 x) + d(F n+2 x, F n+3 x) + · · · + d(F n+2L−1 x, F n+2L x) 1 + + ··· + 1/r 1/r n (n + 2) (n + 2L − 1)1/r ∞ 1/r i i=n Như hai trường hợp ta nhận ∞ n d(F x, F n+m x) i=n Từ hội tụ chuỗi ∞ i=1 i1/r i1/r N , m ∈ N với n (do 1/r > 1), ta kết luận {F n x}∞ n=1 dãy Cauchy Lại (X, d) đầy đủ nên tồn z ∈ X cho F n x → z n → ∞ Không tính tổng quát ta giả sử F n x = z với n Giả sử d(z, F z) > Từ (2.8) ta có θ(d(F n+1 x, F z)) [θ(M (F n x, z))]k , với n ∈ N, M (F n x, z) = max{d(F n x, z), d(F n x, F n+1 x), d(z, F z)} Cho n → ∞ bất đẳng thức trên, kết hợp với (Θ3 ) Mệnh đề 1.1.13, ta thu θ(d(z, F z)) [θ(d(z, F z))]k < θ(d(z, F z)), điều vô lý Vì z = F z , tiếp tục mâu thuẫn với điều ta giả sử: F m x = F n x với x ∈ X với cặp số tự nhiên m = n Do đó, tồn điểm X , ký hiệu z , số tự nhiên q cho F q z = z Nếu tập điểm bất động F rỗng, ta có q > d(z, F z) > Sử dụng (2.8) để thu θ(d(z, F z)) = θ(d(F q z, F q+1 z)) q [θ(z, F z)]k < θ(d(z, F z)), 31 mâu thuẫn Do vậy, ánh xạ F có điểm bất động Tiếp đến, giả sử z, u hai điểm bất động phân biệt F Điều dẫn đến d(F z, F u) = d(z, u) > Tiếp tục áp dụng (2.8) để có θ(d(z, u)) = θ(d(F z, F u)) [θ(d(z, u))]k < θ(d(z, u)), điều vô lý Cuối ta kết luận F có điểm bất động 2.2.2 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn λ ∈ (0, 1) cho d(F x, F y) λ max{d(x, y), d(x, F x), d(y, F y)} với x, y ∈ X (2.20) Khi đó, F có điểm bất động Chứng minh Từ điều kiện (2.20), ta có √ √ e d(F x,F y) e max{d(x,y),d(x,F x),d(y,F y)} √ λ với x, y ∈ X √ Nhận xét hàm θ : (0, ∞) → (1, ∞) cho θ(t) := e t thuộc vào Θ ∩ Ω Khi đó, Định lý 2.2.1 cho ta tồn điểm bất động Từ Hệ 2.2.2, ta suy kết sau 2.2.3 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn λ, µ, ν d(F x, F y) với λ + µ + ν < cho λd(x, y) + µd(x, F x) + νd(y, F y) với x, y ∈ X Khi đó, F có điểm bất động Xét hàm θ : (0, ∞) → (1, ∞) cho θ(t) = − π2 arctan( t1α ), < α < 1, t > Khi θ ∈ Θ ∩ Ω Áp dụng Hệ 2.2.2 cho ta mở rộng Hệ 2.1.4 sau: 2.2.4 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric suy rộng đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn α, k ∈ (0, 1) cho 2 − arctan π [d(F x, F y)]α 2 − arctan π [M (x, y)]α k với x, y ∈ X , F x = F y , M (x, y) cho (2.9) Khi đó, F có điểm bất động 32 Vì khơng gian mêtric trường hợp riêng khơng gian mêtric suy rộng, ta có kết sau đây: 2.2.5 Hệ ([7]) Cho (X, d) không gian mêtric đầy đủ ánh xạ F : X → X Giả sử tồn θ ∈ Θ ∩ Ω k ∈ (0, 1) cho x, y, ∈ X, d(F x, F y) = =⇒ θ(d(F x, F y)) [θ(M (x, y))]k , M (x, y) cho (2.9) Khi đó, F có điểm bất động KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu tài liệu liên quan đề tài “Về số định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng”, thu kết sau: Hệ thống lại khái niệm, tính chất ví dụ minh họa về: không gian mêtric, không gian mêtric đầy đủ, không gian mêtric compắc, không gian mêtric suy rộng; ánh xạ co, ánh xạ θ-co, ánh xạ θ-co suy rộng; điểm bất động ánh xạ Hệ thống hóa trình bày chứng minh chi tiết số kết gần điểm bất động phép θ-co suy rộng (Định lý 1.2.2) phép θ-co kiểu Suzuki-Berinde (Định lý 1.2.5) không gian mêtric đầy đủ Đồng thời nêu số kết thu từ định lý trên, Định lý 1.2.3, Định lý 1.2.6, Hệ 1.2.7 Hệ 1.2.8 Trình bày chứng minh chi tiết định lý điểm bất động phép θ-co θ-co suy rộng không gian mêtric suy rộng (theo nghĩa Branciari), Định lý 2.1.1 Định lý 2.2.1 Đồng thời hệ chúng trình bày, Hệ 2.1.2, Hệ 2.1.4, Hệ 2.2.2, Hệ 2.2.3, Hệ 2.2.4 Hệ 2.2.5 Trình bày chi tiết Ví dụ 2.1.3 minh họa cho Định lý 2.1.1 Hệ 2.1.4 Ví dụ 1.2.9 minh họa cho Định lý 1.2.5 33 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đỗ Văn Lưu (1998), “Tôpô đại cương”, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [2] J Ahmad, A E Al-Mazrooei, Y J Cho and Y-O Yang (2017), “Fixed point results for generalized Θ-contractions”, J Nonlinear Sci Appl., 10, 2350–2358 [3] A Branciari (2000), “A fixed point theorem of Banach-Caccioppoli type on a class of generalized metric spaces”, Publ Math (Debr.), 57, 31-37 [4] V Berinde (2008), “General constructive fixed point theorems for ´ c-type almost contractions in metric spaces”, Carpathian J Math., Ciri´ 24, 10–19 [5] M Edelstein (1962), “On fixed and periodic points under contractive mappings”, J London Math Soc., 37, 74–79 [6] N Hussain, V Parvaneh, B Samet, C Vetro (2015), “Some fixed point theorems for generalized contractive mappings in complete metric spaces”, Fixed Point Theory Appl., 2015, 17 pages [7] M Jleli, E Karapinar and B Samet (2014), “Further generalizations of the Banach contraction principle”, J Inequal Appl., 1, 2014:439 [8] M Jleli and B Samet (2009), “The Kannan’s fixed point theorem in a cone rectangular metric space”, J Nonlinear Sci Appl., 2(3), 161–167 34 35 [9] M Jleli and B Samet (2014), “A new generalization of the Banach contraction principle”, J Inequal Appl., 10, 2350–2358 [10] WA Kirk, N Shahzad (2013), “Generalized metrics and Caristi’s theorem”, Fixed Point Theory Appl., Article ID 129 [11] T Suzuki (2009), “A new type of fixed point theorem in metric spaces”, Nonlinear Anal., 71 (11), 5313–5317 ... nhan đề: Điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric Chương với nhan đề: Điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric suy rộng CHƯƠNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA CÁC PHÉP θ-CO SUY RỘNG TRONG... mêtric suy rộng; ánh xạ co, ánh xạ θ-co, ánh xạ θ-co suy rộng, ví dụ minh họa ánh xạ đó; điểm bất động ánh xạ, định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric không gian mêtric suy rộng. .. cảm ơn Mở đầu Chương1 Điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.2 Một số định lý điểm bất động phép θ-co suy rộng không gian mêtric