Nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất động chung

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ CHÚC NGUYÊN LÝ KKM SUY RỘNG VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Trần Quốc Bình HÀ NỘI, 2015 Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Quốc Bình, người thầy định hướng chọn đề tài nhiệt tình hướng dẫn để hoàn thành luận văn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Phòng Sau đại học, thầy cô giáo giảng dạy chuyên ngành Toán giải tích, trường Đại học sư phạm Hà Nội giúp đỡ suốt trình học tập trường Nhân dịp xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè cổ vũ, động viên để hoàn thành luận văn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Chúc Lời cam đoan Tôi xin cam đoan, bảo hướng dẫn TS Trần Quốc Bình, luận văn chuyên ngành Toán giải tích với đề tài:”Nguyên lý KKM suy rộng định lý điểm bất động chung” hoàn thành nhận thức tìm hiểu thân tác giả Trong trình nghiên cứu thực luận văn, tác giả kế thừa kết nhà khoa học với trân trọng biết ơn Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Chúc Mục lục Mở đầu Các kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff 1.2 Nguyên lý ánh xạ KKM 1.2.1 Bổ đề KKM 1.2.2 Nguyên lý ánh xạ KKM bất đẳng thức Ky Fan 1.2.3 Các định lý điểm bất động 12 Bổ đề KKM không gian lồi trừu tượng 14 2.1 Một số định nghĩa 14 2.2 Cấu trúc lồi trừu tượng 16 Nguyên lý KKM suy rộng định lý điểm bất động chung 20 3.1 Một số ý 20 3.2 Nguyên lý KKM suy rộng kết 22 3.3 Định lý điểm bất động chung 28 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 Bảng kí hiệu 2X X họ tất tập X lớp tập hữu hạn khác rỗng X co(A) bao lồi tập A (u.s.c) nửa liên tục (l.s.c) nửa liên tục Mở đầu Lí chọn đề tài Nguyên lý điểm bất động Browder dạng tương đương nó, bổ đề KKM chứng minh không gian hữu hạn chiều Năm 1961, Ky Fan chứng minh dạng tương tự bổ đề KKM cho không gian vô hạn chiều gọi nguyên lý ánh xạ KKM, ngày xem trung tâm lý thuyết KKM Từ nguyên lý KKM suy bất đẳng thức Ky Fan (cũng chứng minh năm 1961) loạt định lý điểm bất động Schauder, Tikhonov, Ky Fan Kể từ đến nay, người ta kể hết số lượng báo mở rộng nguyên lý KKM hệ Nhằm tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống nguyên lý KKM định lý điểm bất động Tôi chọn đề tài: “Nguyên lý KKM suy rộng định lý điểm bất động chung” Trong luận văn đề cập đến hai báo đăng tải gần hai tạp chí có uy tín giới điểm bất động giải tích phi tuyến [4] [7] Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu luận văn trình bày số kết nghiên cứu nguyên lý KMM suy rộng, bất đẳng thức Ky Fan không gian lồi trừu tượng định lý điểm bất động chung 3 Nhiệm vụ nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu luận văn nghiên cứu bổ đề KKM bất đẳng thức Ky Fan không gian lồi trừu tượng nguyên lý KKM suy rộng, định lý điểm bất động chung không gian vectơ tôpô Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng định lý điểm bất động không gian tôpô Phương pháp nghiên cứu Tổng hợp, phân tích, đánh giá sử dụng kiến thức không gian vectơ tôpô để nghiên cứu nguyên lý KKM định lý điểm bất động không gian vectơ tôpô Đóng góp Luận văn tổng quan nguyên lý KKM định lý điểm bất động chung không gian vectơ tôpô Chương Các kiến thức bổ trợ Chương trình bày số kiến thức nguyên lý KKM PGS.TSKH Đỗ Hồng Tân trình bày sách [1] Ngoài ra, chương trình bày số không gian: không gian vectơ tôpô, không gian vectơ tôpô lồi địa phương Hausdorff để phục vụ cho chương sau 1.1 Không gian tôpô tuyến tính lồi địa phương Hausdorff Định nghĩa 1.1.1 (Không gian tôpô) Cho tập X = ∅ Một họ τ ⊆ P(X) tập X gọi tôpô X thỏa mãn tính chất sau: i) ∅, X ∈ τ ; ii) Giao số hữu hạn phần tử thuộc τ thuộc τ ; iii) Hợp họ tùy ý phần tử thuộc τ thuộc τ Khi (X, τ ) gọi không gian tôpô Định nghĩa 1.1.2 (Không gian vectơ tôpô) Cho không gian vectơ thực X Một tôpô τ X gọi tương thích với cấu trúc đại số X ánh xạ + liên tục Tức là: (i) Với x, y ∈ X lân cận W x + y , tồn lân cận U x, V y cho U + V ⊆ W (ii) Với λ ∈ R, x ∈ X với lân cận W λx, tồn ε > lân cận V x cho µV ⊆ W với µ ∈ (λ − ε, λ + ε) Khi đó, τ gọi tôpô tuyến tính X X gọi không gian vectơ tôpô hay không gian tôpô tuyến tính Định nghĩa 1.1.3 (Tập lồi) Tập X ⊂ Rn gọi lồi nếu: λx + (1 − λ) y ∈ X ∀x, y ∈ X, ∀λ ∈ [0, 1] Định nghĩa 1.1.4 (Không gian tôpô lồi địa phương) Một không gian vectơ tôpô X gọi không gian lồi địa phương (và tôpô gọi tôpô lồi địa phương) X có có sở lân cận gốc toàn tập lồi Vì tịnh tiến tập lồi ta lại tập lồi nên không gian lồi địa phương điểm có sở lân cận lồi Ví dụ Không gian định chuẩn không gian lồi địa phương sinh hình cầu đơn vị: V0 = {B (0; 1)} Lúc đó, sở lân cận gốc tương ứng V = {εB (0; 1) |ε > 0} = {B (0; ε) |ε > 0} Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian tôpô X thỏa mãn điều kiện với cặp điểm khác x1 , x2 ∈ X có hai lân cận V1 , V2 x1 , x2 cho V1 ∩ V2 = ∅ (có nghĩa là, hai điểm khác tách hai lân cận rời nhau) Khi đó, không gian tôpô X gọi không gian tách hay không gian Hausdorff tôpô gọi tôpô tách hay tôpô Hausdorff 1.2 1.2.1 Nguyên lý ánh xạ KKM Bổ đề KKM Trước hết ta nhắc lại khái niệm n-đơn hình Cho X không gian vectơ, tập hợp S X gọi nđơn hình S = co {u0 , u1 , , un } với u0 , u1 , , un ∈ X vectơ u1 − u0 , , un − u0 độc lập tuyến tính Các điểm ui gọi đỉnh Bao lồi k + đỉnh gọi k -diện S Mỗi x ∈ S biểu diễn dạng: n n xi ui , với xi ≥ 0, x= i=0 xi = i=0 Dùng bổ đề Sperner phép gán số phép tam giác phân đơn hình Sperner đưa từ 1928, Knaster, Kuratowski Mazurkiewicz chứng minh bổ đề quan trọng sau không gian Rn Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề KKM) (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz,1929) Cho n-đơn hình S = co {u0 , u1 , , un } Rn tập hợp đóng F0 , F1 , , Fn S thỏa mãn điều kiện: với tập hợp I ⊂ {0, 1, , n} ta có co {ui : i ∈ I} ⊂ Fi (KKM) i∈I n Fi = ∅ Khi i=0 Định lý 1.2.1 (Nguyên lý điểm bất động Brouwer, 1912) Mọi ánh xạ liên tục từ hình cầu đơn vị đóng Rn vào có điểm bất động Chứng minh Vì hình cầu đơn vị đóng Rn đồng phôi với n-đơn hình S nên ta cần chứng minh ánh xạ liên tục T : S → S có điểm bất động S 3.3 Định lý điểm bất động chung Định lý 3.3.1 Cho Y tập khác rỗng tuỳ ý, X tập đóng, khác rỗng không gian vectơ tôpô E T : X × Y → 2X ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng Giả sử rằng: i) Với y ∈ Y , {x ∈ X : x ∈ T (x, y)} tập hợp đóng; ii) Họ ánh xạ {T (x, )}x∈X đồng-KKM suy rộng Y ; iii) Tồn tập compắc khác rỗng K X tập hữu hạn A Y cho x ∈ X \ K , tồn y ∈ A cho x ∈ / T (x, y) Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Chứng minh Cho G : Y → 2X định nghĩa bởi: G(y) := {x ∈ X : x ∈ T (x, y)} với y ∈ Y Với y ∈ Y , từ ii), tồn z ∈ X cho z ∈ T (x, y) với x ∈ X Khi đó, z ∈ T (z, y) z ∈ G(y) Do đó, G có giá trị khác rỗng Từ i), G có giá trị đóng Bên cạnh đó, G ánh xạ KKM suy rộng Giả sử G không ánh xạ KKM suy rộng, tồn tập hữu hạn {y1 , y2 , , yn } Y cho với tập hữu hạn {z1 , z2 , , zn } X với co({z1 , z2 , , zn }) ⊆ X , tồn tập hữu hạn I {1, 2, , n} cho co {zi : i ∈ I} ∈ / Khi tồn z ∈ co {zi : i ∈ I} cho z ∈ / i∈I i∈I i∈I G(yi ) G(yi ) Do đó, z ∈ / T (z, yi ) {T (x, )}x∈X không đồng-KKM suy rộng Y Bước dẫn tới phủ định Vậy G ánh xạ KKM suy rộng Từ iii), tồn tập compắc khác rỗng K X tập hữu hạn A Y cho với x ∈ X \ K , tồn y ∈ A cho x ∈ / G(y) Từ Định lý (3.2.2), y∈Y G(y) = ∅ Do đó, tồn x¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y 28 Định lý 3.3.2 Cho Y tập tuỳ ý khác rỗng, X tập lồi, compắc, khác rỗng không gian vectơ Hausdorff lồi địa phương E cho T : X × Y → 2X ánh xạ đa trị với giá trị lồi, khác rỗng Giả sử : i) Với x ∈ X , y → T (x, y) ánh xạ KKM suy rộng; ii) Với y ∈ Y , x → T (x, y) đóng Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Chứng minh Cho G : X → 2X định nghĩa G(x) := {u ∈ X : u ∈ T (x, y)} với y ∈ Y , x ∈ X Từ Định lý (3.2.2), G có giá trị khác rỗng Do T có giá trị lồi, dễ thấy G có giá trị lồi Bên cạnh G có giá trị đóng Thật vậy, (x, u) ∈ cl(Gr(G)) tồn lưới {(xα , uα )}α∈Γ Gr(G) cho (xα , uα ) → (x, u) Do đó, với α ∈ Γ, uα ∈ T (xα , y) với y ∈ Y Từ ii), u ∈ T (x, y) với y ∈ Y kéo theo G đóng Từ bổ đề (3.1.1) G ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Từ Định lý điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ G(¯ x) Nói cách khác x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Chú ý 3.3.1 Định lý (3.3.2) Định lý điểm bất động Kakutani-FanGlicksberg tương đương Chứng minh Từ chứng minh Định lý (3.3.2) ta biết Định lý điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg kéo theo Định lý (3.3.2) Do ta cần chứng tỏ Định lý (3.3.2) kéo theo Định lý điểm bất động KakutaniFan-Glicksberg Giả sử ánh xạ F : X → 2X nửa liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Lấy u ∈ X cho u cố định Cho Y := {u} cho T : X ×Y → 29 2X định nghĩa T (x, y) := F (x) với (x, y) ∈ X × Y Khi F ánh xạ nửa liên tục với giá trị lồi, đóng, khác rỗng X tập compắc, x → T (x, y) đóng T có giá trị lồi, khác rỗng Ngoài ra, y → T (x, y) ánh xạ KKM suy rộng Thật vậy, với tập khác rỗng {y1 , y2 , , yn } ⊆ Y x ∈ X , lấy tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } X cho xi ∈ T (x, yi ) với i = 1, 2, , n Ta có, y1 = y2 = = yn = u {x1 , x2 , , xn } ⊆ T (x, u) Với tập hữu hạn khác rỗng I {1, 2, , n} v ∈ co {xi : i ∈ I}, ta biết v ∈ T (x, u) = i∈I T (x, yi ) Khi đó, T có giá trị lồi Như vậy, y → T (x, y) ánh xạ KKM suy rộng Từ định lý (3.3.2), tồn x¯ ∈ X cho x ¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Do đó, x¯ ∈ F (¯ x) Bên cạnh đó, thu kết từ Định lý (3.3.1) Định lý 3.3.3 Cho Y tập khác rỗng tuỳ ý, X tập đóng khác rỗng không gian vectơ tôpô E T : X × Y → 2X ánh xạ với giá trị khác rỗng Giả sử rằng: i) Với y ∈ Y , {x ∈ X : x ∈ T (x, y)} tập đóng; ii) Họ ánh xạ {T (x, )}x∈X đồng-KKM suy rộng Y ; iii) Tồn x0 ∈ X cho T (x0 , Y ) chứa tập compắc X Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Chứng minh Với y ∈ Y , cho G : Y → 2X định nghĩa G(y) := {x ∈ X : x ∈ / T (x, y)} với y ∈ Y Dễ thấy, G(y) tập mở X với y ∈ Y Giả sử với x ∈ X , tồn y := y(x) ∈ Y cho x ∈ / T (x, y) Khi X = y∈Y G(y) Từ (iii), cl(T (x0 , Y )) tập compắc Khi n tồn {y1 , y2 , , yn } cho T (x0 , Y ) ⊆ G(yk ) Từ tập hữu hạn k=1 30 {y1 , y2 , , yn } Y , tồn tập hữu hạn {z1 , z2 , , zn } X với co {z1 , z2 , , zn } ⊆ X cho co {zi : i ∈ I} ⊆ i∈I T (x, yi ) với tập khác rỗng I {1, 2, , n} x ∈ X n T (x0 , yi ) ⊆ T (x0 , Y ) ⊆ Đặt B = co({z1 , z2 , , zn }) Dễ thấy, B ⊆ i=1 n G(yk ) Khi {G(yk ) k=1 B}nk=1 phủ mở B Bằng cách phân hoạch đơn vị, tồn hàm {α1 , α2 , , αn } cho: 1) αk : B → [0, 1] liên tục với k ∈ {1, 2, , n}; 2) Nếu αk (x) > 0, x ∈ G(yk ) B; n αk (x) = với x ∈ B 3) k=1 Cho U := Span {z1 , z2 , , zn } cho p : B → B định nghĩa n αk (x)zk với x ∈ B Khi p ánh xạ liên tục B p(x) := k=1 tập lồi, compắc, khác rỗng Từ Định lý điểm bất động Brouwer, tồn xˆ ∈ B cho p(ˆ x) = xˆ Cho IB := {k ∈ {1, 2, , n} : αk (ˆ x) > 0} Khi x ˆ ∈ co {zk : k ∈ IB } ⊆ i∈IB T (ˆ x, yk ) Từ 2), x ˆ ∈ G(yk ) với k ∈ IB Do ta thấy xˆ ∈ / k∈IB T (ˆ x, yk ) Bước dẫn tới mâu thuẫn Do tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Chú ý 3.3.2 Trong Định lý (3.3.1) (Định lý (3.3.3)), T compắc, có kết sau Hệ 3.3.1 Cho Y tập khác rỗng tuỳ ý, X tập lồi, đóng, khác rỗng không gian vectơ tôpô T : X × Y → 2X ánh xạ đa trị với giá trị compắc, khác rỗng Giả sử rằng: i) Với y ∈ Y , {x ∈ X : x ∈ T (x, y)} tập đóng; ii) Họ ánh xạ {T (x, )}x∈X đồng-KKM suy rộng Y 31 Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Định lý (3.3.1) Định lý (3.3.3) tương tự chúng có khác Một số ví dụ sau minh hoạ cho khác biệt Ví dụ 3.3.1 Cho X = Y = [0, ∞], T (x, y) := [0, y] Khi điều kiện Định lý (3.3.1) thoả mãn Khi tồn x ¯∈X cho x ¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Thật vậy, x¯ = Chú ý điều kiện iii) Định lý (3.3.3) chưa đủ Thật với x ∈ X, T (x, Y ) = [0, ∞) không chứa tập compắc Ví dụ 3.3.2 Cho X = [0, ∞), Y = [0, 1], T (x, y) := [0, x + y] Khi điều kiện Định lý (3.3.3) thoả mãn tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Thật tập nghiệm X Chú ý điều kiện iii) Định lý (3.3.1) chưa đủ, với y ∈ Y, {x ∈ X : x ∈ T (x, y)} = X không tập compắc Ví dụ 3.3.3 Cho X = [0, 1], Y = [−1, 0], T (x, y) := [ x2 , x−y ] Khi y → T (x, y) ánh xạ KKM suy rộng Thật vậy, lấy x ∈ X cho x cố định, với tập hữu hạn {y1 , y2 , , yn } ⊆ Y , cho z1 = z2 = = zn = x2 Khi co {zi : i ∈ I} ⊆ i∈I T (x, yi ) với tập khác rỗng I {1, 2, , n} Ngoài ra, x → T (x, y) đóng Mọi điều kiện Định lý (3.3.2) thoả mãn, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Thật x¯ = Chú ý điều kiện ii) Định lý (3.3.1) (Định lý (3.3.3)) chưa đủ Thật với y = z ∈ X ta thấy z ∈ / T (x, 0) = x x = 2z Do đó, {T (x, )}x∈X không đồng-KKM suy rộng Y Ví dụ 3.3.4 Cho X = Y = [0, 1], T : X × Y → 2X định nghĩa: T (x, y) = [ xy x ∈ [0, 12 ] , 1] [0, x+y ] x ∈ ( , 1] 32 (3.1) Mọi điều kiện Định lý (3.3.3) (Định lý (3.3.1)) thoả mãn tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Dễ thấy, [0, 1/2] tập nghiệm Chú ý điều kiện ii) Định lý (3.3.2) chưa đủ Thật vậy, với y = với n ∈ N, lấy xn = 1/2 + 1/2n zn = Dễ thấy, zn ∈ T (xn , y) với n ∈ N, ∈ / T (1/2, y) Do đó, x → T (x, y) không đóng Định lý 3.3.4 Cho Y tập tuỳ ý khác rỗng, X tập lồi, compắc, khác rỗng không gian vectơ tôpô V Cho G : X × X → 2V F : X × Y → 2V hai ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng Giả sử rằng: i) x ∈ G(x, x) với x ∈ X ; ii) Với y ∈ Y , tồn z := z(y) ∈ X cho G(x, z) ⊆ F (x, y) với x ∈ X ; iii) x → F (x, y) đóng, x → G(x, x) nửa liên tục z → G(x, z) {0}-giống tựa lồi Khi tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈ Y Chứng minh Cho T : X × Y → 2X định nghĩa T (x, y) := {z ∈ X : G(x, z) ⊆ F (x, y)} với (x, y) ∈ X × Y Với y ∈ Y , cho My := {x ∈ X : x ∈ T (x, y)} Khi đó, My tập đóng Thật x ∈ clMy tồn lưới {xα }α∈Γ My cho xα → x Dễ thấy, G(xα , xα ) ⊆ F (xα , y) với α ∈ Γ Với u ∈ G(x, x), từ x → G(x, x) nửa liên tục dưới, tồn lưới {uα }α∈Γ V cho uα ∈ G(xα , xα ) ⊆ F (xα , y) với α ∈ Γ uα → u Từ x → F (x, y) đóng, dễ thấy G(x, x) ⊆ F (x, y) x ∈ My Như My tập đóng Lấy tập hữu hạn {y1 , y2 , , yn } Y Từ (ii), tồn tập hữu hạn {z1 , z2 , , zn } X cho G(x, zi ) ⊆ F (x, yi ) với 33 i ∈ {1, 2, , n} x ∈ X Lấy x ∈ X tập khác rỗng I {1, 2, , n} z ∈ co {zi : i ∈ I} Từ (iii), tồn j ∈ I cho G(x, z) ⊆ G(x, zj ) ⊆ F (x, yj ) Do đó, co {zi : i ∈ I} ⊆ i∈I T (x, yi ) với tập khác rỗng I {1, 2, , n} x ∈ X Như vậy, {T (x, )}x∈X đồng-KKM suy rộng Y Từ Định lý (3.3.3), tồn x¯ ∈ X cho x¯ ∈ T (¯ x, y) với y ∈ Y Do x¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈Y Ví dụ 3.3.5 Cho X = [0, 1], Y = [2, 9) (10, 11], V = R F : X×Y → 2V , G : X × X → 2V định nghĩa sau F (x, y) := [−1 − xy, ∞), G(x, y) := [z − x, ∞) z ≤ 12 [x − z, ∞) z > 21 (3.2) Dễ thấy x → G(x, x) ánh xạ nửa liên tục dưới, x → F (x, y) đóng x ∈ G(x, x) với x ∈ X Ta muốn chứng tỏ z → G(x, z) {0}-giống tựa lồi Thật vậy, với z1 , z2 ∈ X , z1 < z2 z ∈ co {z1 , z2 } = [z1 , z2 ] ta xét hai trường hợp sau: 1) Nếu z ≤ 1/2 Khi G(x, z) ⊆ G(x, z1 ) 2) Nếu z > 1/2 G(x, z) ⊆ G(x, z2 ) Khi z → G(x, z) {0}-giống tựa lồi Hơn với y ∈ Y , ta có G(x, 1) ⊆ F (x, y) với x ∈ X Do điều kiện Định lý (3.3.4) thoả mãn tồn x¯ ∈ X cho x¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈ Y Thật vậy, tập nghiệm X Ví dụ 3.3.6 Cho X = [0, 1], Y = [1/2, 2], V := R, G(x, z) := (−∞, z − x + 1] F (x, y) := (−∞, y − x + 1] Chứng minh tương tự Ví dụ (3.3.5) ta thấy điều kiện Định lý (3.3.4) thoả mãn tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈ Y Thật tập nghiệm [0, 3/4] 34 Chú ý 3.3.3 Điều kiện ii) Định lý (3.3.4) điều kiện sau thoả mãn: a) X compắc, z → G(x, z) nửa liên tục F có giá trị đóng, khác rỗng; b) Với y ∈ Y , tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } X , tồn tập hữu hạn {z1 , z2 , , zn } X cho với tập khác rỗng I {1, 2, , n} z ∈ co {zi ∈ I}, tồn j ∈ I cho G(xj , z) ⊆ F (xj , y) Chứng minh Lấy y ∈ Y cho y cố định Cho Ty : X → 2X định nghĩa bởi: Ty (x) := {z ∈ X : G(x, z) ⊆ F (x, y)} với x ∈ X Dễ thấy, Ty (x) tập khác rỗng X với x ∈ X Nếu z ∈ clTy (x), tồn lưới {zα }α∈Γ X cho zα ∈ Ty (x) với α ∈ Γ zα → z Do đó, G(x, zα ) ⊆ F (x, y) với α ∈ Γ Lấy u ∈ G(x, z) cố định u Từ z → G(x, z) nửa liên tục dưới, tồn lưới {uα }α∈Γ V cho uα → u uα ∈ G(x, zα ) ⊆ F (x, y) với α ∈ Γ Khi F (x, y) tập đóng, u ∈ F (x, y) điều kéo theo z ∈ Ty (x) Do đó, Ty (x) tập đóng X Từ b), dễ thấy Ty ánh xạ KKM suy rộng Từ Định lý (3.2.3), x∈X Ty (x) = ∅ Do đó, với y ∈ Y tồn z¯ ∈ X cho G(x, z¯) ⊆ F (x, y) với x ∈ X Trong Định lý (3.3.4), Y = X F = G ta có kết sau: Hệ 3.3.2 Cho X tập lồi, compắc, khác rỗng không gian vectơ tôpô V Cho F : X × X → 2V ánh xạ đa trị với giá trị khác rỗng Giả sử rằng: i) x ∈ F (x, x) với x ∈ X ; x → F (x, y) đóng; ii) x → F (x, x) nửa liên tục dưới; z → F (x, z) {0}-giống tựa lồi 35 Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈ Y Định lý 3.3.5 Cho Y tập tuỳ ý khác rỗng, X tập lồi, compắc, khác rỗng không gian vectơ tôpô V Cho G : X × X → 2V F : X × Y → 2V hai ánh xạ đa trị Giả sử rằng: i) Với y ∈ Y , tồn z := z(y) ∈ X cho G(x, z) F (x, y) = ∅ với x ∈ X ; ii) x → F (x, y) đóng, z → G(x, z) {0}-tựa lồi; G(x, x) = {x} với x ∈ X Khi tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈ Y Chứng minh Cho T : X × Y → 2X định nghĩa T (x, y) := {z ∈ X : F (x, y) G(x, z) = ∅} với (x, y) ∈ X × Y Với y ∈ Y , cho My := {x ∈ X : x ∈ T (x, y)} Khi đó, My tập đóng Thật vậy, x ∈ clMy tồn lưới {xα }α∈Γ My cho xα → x Dễ thấy, xα ∈ F (xα , y) x → F (x, y) đóng, x ∈ F (x, y) G(xα , xα ) với α ∈ Γ Từ đó, G(x, x) kéo theo My tập đóng Lấy tập hữu hạn {y1 , y2 , , yn } Y Từ i), tồn {z1 , z2 , , zn } ⊆ X cho F (x, yi ) G(x, zi ) = ∅ với i ∈ {1, 2, , n} x ∈ X Lấy x ∈ X bất kì, tập khác rỗng I {1, 2, , n} z ∈ co {zi : i ∈ I} Từ (ii), tồn j ∈ I cho G(x, zj ) ⊆ G(x, z) F (x, yj ) G(x, z) = ∅ Do đó, co {zi : i ∈ I} ⊆ i∈I T (x, yi ) với tập I {1, 2, , n} x ∈ X Như {T (x, )}x∈X đồng KKM suy rộng Y Do đó, từ Định lý (3.3.3), tồn x ¯ ∈ X cho x ¯∈ y∈Y T (¯ x, y) Vậy x¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈ Y Ví dụ 3.3.7 Cho X = [0, 1], Y = [1, 2], V = R, G(x, z) := {x}, F (x, y) := [−100, y − x + 1] 36 Dễ thấy điều kiện Định lý (3.3.5) thoả mãn tồn x ¯∈X cho x ¯ ∈ F (¯ x, y) với y ∈ Y Thật vậy, tập nghiệm X Chú ý 3.3.4 Điều kiện (i) Định lý (3.3.5) điều kiện sau thoả mãn: a) X compắc, F có giá trị compắc, khác rỗng; z → G(x, z) đóng; b) Với y ∈ Y , tập hữu hạn {x1 , x2 , , xn } X , tồn tập hữu hạn {z1 , z2 , , zn } X cho với tập khác rỗng I {1, 2, , n} z ∈ co {zi : i ∈ I} tồn j ∈ I cho F (xj , y) G(xj , y) = ∅ Chứng minh Lấy y ∈ Y cho y cố định Cho Ty : X → 2X định nghĩa bởi: Ty (x) := {z ∈ X : F (x, y) G(x, z) = ∅} với x ∈ X Dễ thấy Ty có giá trị khác rỗng Nếu z ∈ clTy (x), tồn lưới {zα }α∈Γ X cho zα ∈ Ty (x) với α ∈ Γ zα → z Như vậy, tồn lưới {vα }α∈Γ cho vα ∈ F (x, y) G(x, zα ) với α ∈ Γ Từ F có giá trị compắc, khác rỗng, giả sử tồn v ∈ V cho vα → v ∈ F (x, y) Từ đó, z → G(x, y) đóng, v ∈ G(x, z) Khi đó, F (x, y) G(x, z) = ∅ z ∈ Ty (x) Từ (ii), dễ thấy Ty ánh xạ KKM suy rộng Từ định lý (3.2.3), cho F (x, y) x∈X Ty (x) = ∅ Do đó, với y ∈ Y , tồn z¯ ∈ X G(x, z¯) = ∅ với x ∈ X Định lý 3.3.6 Cho X tập đóng không gian vectơ tôpô E Cho S T hai họ ánh xạ từ X vào 2X Giả sử rằng: i) Với S ∈ S, {x ∈ X : x ∈ S(x)} tập đóng; 37 ii) S KKM suy rộng T; iii) Với T ∈ T, tồn zT ∈ X cho zT ∈ T (x) với x ∈ X ; iv) Tồn tập compắc K X tập hữu hạn A S cho với x ∈ X \ K tồn S ∈ A cho x ∈ / S(x) Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ S(¯ x) với S ∈ S Chứng minh Cho G : S → 2X định nghĩa bởi: G(S) := {x ∈ X : x ∈ S(x)} với S ∈ S Với S ∈ S, tồn T ∈ T cho T (x) ⊆ S(x) với x ∈ X Từ iii), tồn zT ∈ X cho zT ∈ T (zT ) ⊆ S(zT ) Khi đó, zT ∈ G(S) Do đó, G có giá trị khác rỗng Từ (i), G có giá trị đóng Với {S1 , S2 , , Sn } ⊆ S, từ (ii), tồn {T1 , T2 , , Tn } ⊆ T cho co( i∈I Ti (x)) ⊆ i∈I Si (x) với tập khác rỗng I {1, 2, , n} x ∈ X Với i ∈ {1, 2, , n}, từ (iii), tồn zTi ∈ Xi cho zTi ∈ Ti (x) với x ∈ X Dễ thấy, co {z1 , z2 , , zn } ⊆ X Như với tập I {1, 2, , n}, z ∈ co {zTi : i ∈ I} z ∈ co ( i∈I Ti (z)) ⊆ i∈I Si (z) Do đó, tồn j ∈ I cho z ∈ Sj (z) z ∈ G(Sj ) Theo G ánh xạ KKM suy rộng Từ (iv), tồn tập compắc khác rỗng K X tập hữu hạn A S cho với x ∈ X \ K , tồn S ∈ A cho x ∈ / G(S) Từ Định lý (3.2.2), S∈S G(S) = ∅ Khi đó, x¯ ∈ S(¯ x) với S ∈ S Định lý 3.3.7 Cho X tập lồi, đóng, khác rỗng không gian vectơ tôpô Hausdorff E Cho S T hai họ ánh xạ từ X vào 2X Giả sử rằng: i) S KKM suy rộng T; ii) Với S ∈ S, {x ∈ X : x ∈ S(x)} đóng; 38 iii) Với T ∈ T, tồn zT ∈ X cho zT ∈ T (x) với x ∈ X ; iv) Tồn x0 ∈ X cho S∈S S(x0 ) chứa tập compắc Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ S(¯ x) với S ∈ S Chứng minh Cho F : X × S → 2X định nghĩa bởi: F (x, S) := S(x) với (x, S) ∈ X × S Từ ii), với S ∈ S, {x ∈ X : x ∈ F (x, S)} tập đóng.Từ i), với họ hữu hạn {S1 , S2 , , Sn } ⊆ S, tồn họ hữu hạn {T1 , T2 , , Tn } ⊆ T cho co ( k∈I Tk (x)) ⊆ k∈I Sk (x) với tập khác rỗng hữu hạn I {1, 2, , n} x ∈ X Từ (iii), tồn tập hữu hạn {z1 , z2 , , zn } ⊆ X cho co({zk : k ∈ I}) ⊆ k∈I Sk (x) với tập hữu hạn I {1, 2, , n} x ∈ X Khi đó, {F (x, )}x∈X đồng-KKM suy rộng S Từ (iv), tồn x0 ∈ X cho F (x0 , S) = S∈S S(x0 ) chứa tập compắc Từ Định lý (3.3.3), tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ F (¯ x, S) = S(¯ x) với S ∈ S Định lý 3.3.8 Cho X tập lồi, compắc khác rỗng không gian vectơ tôpô Hausdorff lồi địa phương Cho S T hai họ ánh xạ từ X vào 2X Giả sử rằng: i) S KKM suy rộng T; ii) Với S ∈ S, {x ∈ X : x ∈ S(x)} đóng; iii) Với T ∈ T, T có phép chọn tT liên tục Khi đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ S(¯ x) với S ∈ S Chứng minh Với S ∈ S, cho GS := {x ∈ X : x ∈ / S(x)} Dễ thấy, GS tập mở Giả sử kết luận sai Khi đó, X = S∈S G(S) Từ X tập compắc, tồn họ hữu hạn {S1 , S2 , , Sn } ⊆ S cho X = n GSk Từ (i), tồn họ hữu hạn {T1 , T2 , , Tn } ⊆ T cho k=1 39 co( k∈I Tk (x)) ⊆ k∈I Sk (x) với tập hữu hạn I {1, 2, , n} x ∈ X Từ phân hoạch đơn vị X , tồn hàm {α1 , α2 , , αn } cho: 1) αk : X → [0, 1] liên tục với k ∈ {1, 2, , n}; 2) Nếu αk (x) > x ∈ GSk ; n αk (x) = với x ∈ X 3) k=1 Với i ∈ {1, 2, , n}, tồn phép chọn liên tục tTi Ti Cho n p : X → X định nghĩa bởi: p(x) := αk (x)tTk (x) với x ∈ X k=1 Dễ thấy, p liên tục Từ Định lý điểm bất động Tikhonov, tồn x ˆ∈X cho p(ˆ x) = xˆ Cho IX := {k ∈ {1, 2, , n} : αk (ˆ x) > 0} Khi đó, xˆ ∈ co {tTk (ˆ x) : k ∈ IX } ⊆ k ∈ IX Khi đó, xˆ = k∈IX k∈IX Sk (ˆ x) Mặt khác, từ (2), xˆ ∈ GSk với Sk (ˆ x) với S ∈ S Điều dẫn tới mâu thuẫn Do đó, tồn x ¯ ∈ X cho x¯ ∈ S(¯ x) với S ∈ S 40 Kết luận Ngày nay, lý thuyết KKM phát triển không ngừng Luận văn hi vọng góp phần làm phong phú thêm lý thuyết KKM định lý điểm bất động chung không gian vectơ tôpô Mặc dù tác giả cố gắng, song khả kiến thức thời gian hạn chế nên luận văn không tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong nhận ý kiến đóng góp Thầy, Cô giáo bạn để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Chúc 41 Tài liệu tham khảo [A] Tài liệu Tiếng Việt [1] Đỗ Hồng Tân Nguyễn Thị Thanh Hà (2002), Các định lý điểm bất động, NXB Đại học Sư Phạm Hà Nội [B] Tài liệu Tiếng Anh [2] K.Fan (1952),“ Fixed point and minimax theorems in locally convex topological linear spaces ”, Proc Natl Acad Sci USA (38), 121-126 [3] K.Fan (1961),“ A generalization of tychonoff’s fixed point theorem ”, Math Ann (142), 306-310 [4] L-J Lin, C-S Chuang, Z-T Yu (2011), “ Generalized KKM theorems and common fixed point theorems ”, Nonlinear Analysis (74), 55915599 [5] J.Schauder (1930), “ Der Fixpunktsatz in Funktionalraumen ”, Studia Math (2), 171-180 [6] A Tychonoff (1935), “ Ein Fixpunktsatz ”, Math Ann (111), 767-776 [7] Shuwen Xiang, Shunyou Xia, Jing Chen (2013), “ KKM lemmas and minimax inequality theorems in abstract convexity spaces ”, Fixed Point Theory and Applications (209) 42 [...]... lý điểm bất động chung Trong chương này, chúng ta nghiên cứu nguyên lý KKM suy rộng và đồng -KKM suy rộng, sử dụng nó để nghiên cứu các định lý điểm bất động chung cho họ ánh xạ đa trị Trước hết, ta có một số chú ý sau 3.1 Một số chú ý Định nghĩa 3.1.1 Cho X là tập khác rỗng tùy ý và Y là tập con khác rỗng của không gian vectơ E Ánh xạ đa trị T : X → 2Y gọi là ánh xạ KKM suy rộng nếu với bất kì tập... Định lý (2.2.1) ta có trường hợp đặc biệt sau Định lý 2.2.2 Cho (Y, coC ) là không gian lồi trừu tượng, cho X là tập con của Y và cho F : X → 2Y là ánh xạ KKM với giá trị đóng Nếu Y là không gian tôpô compắc và (Y, coC ) có tính chất H0q Khi đó, {F (x) : x ∈ X} có tính chất giao hữu hạn và vì vậy X có tính chất điểm bất động Fan-Browder mạnh 19 Chương 3 Nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất. .. y ∈ Y và kéo theo G đóng Từ bổ đề (3.1.1) G là ánh xạ nửa liên tục trên với giá trị lồi, đóng, khác rỗng Từ Định lý điểm bất động Kakutani-Fan-Glicksberg tồn tại x ¯ ∈ X sao cho x¯ ∈ G(¯ x) Nói cách khác x¯ ∈ T (¯ x, y) với mỗi y ∈ Y Chú ý 3.3.1 Định lý (3.3.2) và Định lý điểm bất động Kakutani-FanGlicksberg là tương đương Chứng minh Từ chứng minh Định lý (3.3.2) ta biết rằng Định lý điểm bất động. .. Vì C compắc nên ta có x∈C x∈C F (x) ta được f (x, y ∗ ) ≤ 0 với mọi x ∈ C Định lý đã được chứng minh 1.2.3 Các định lý điểm bất động Trong mục này trình bày một số định lý điểm bất động nổi tiếng: Ky Fan, Schauder, Tikhonov Định lý 1.2.3 (Định lý Ky Fan, 1961) Cho C là một tập hợp lồi, compắc trong không gian định chuẩn X và T : C → X là một ánh xạ liên tục Khi đó tồn tại x0 ∈ C sao cho: T x0 − x0... chất điểm bất động Fan-Browder (viết tắt FBFP) nếu với mọi ánh xạ Fan-Browder F : X → 2X với giá trị khác rỗng có điểm bất động X được cho là có tính chất điểm bất động Fan-Browder mạnh (viết tắt 15 SFBFP) nếu với mỗi ánh xạ Fan-Browder yếu F : X → 2X với giá trị khác rỗng có điểm bất động Định lý 2.1.1 Cho (Y, C) là không gian lồi trừu tượng, X là tập con compắc của (Y, C) Khi đó, X là KKMP khi và chỉ... vì µi (x ) > 0 khi và chỉ khi x ∈ / Fi với mọi i ∈ I , nên x∗ ∈ / Fi i∈I Điều này mâu thuẫn với x ∗ = T x∗ = µi (x∗ )ui ∈ co {ui : i ∈ I} ⊂ i∈I Fi i∈I do điều kiện (KKM) Vậy mệnh đề được chứng minh 1.2.2 Nguyên lý ánh xạ KKM và bất đẳng thức Ky Fan Nguyên lý ánh xạ KKM là một mở rộng của bổ đề KKM ra không gian vô hạn chiều và là trung tâm của lý thuyết KKM, một bộ phận cơ bản và quan trọng của giải... (x, x) = 0 với mọi x ∈ C Theo bất đẳng thức Ky Fan, tồn tại x0 ∈ C sao cho 12 f (x, x0 ) ≤ 0 với mọi x ∈ C Từ đây ta được T x0 − x0 = min{ T x0 − x : x ∈ C} Định lý đã được chứng minh Hai định lý sau là hệ quả của Định lý 1.2.3 Định lý 1.2.4 (Định lý Schauder, 1930 ) Mọi ánh xạ liên tục từ một tập hợp lồi, compắc của một không gian định chuẩn vào chính nó đều có điểm bất động Chứng minh Trong 1) cho... là T x0 = x0 và hệ quả được chứng minh Định lý 1.2.5 (Định lý điểm bất động Tikhonov,1935) Cho C là một tập hợp lồi, compắc trong không gian lồi địa phương tách (X, P ), T : C → C là ánh xạ liên tục Khi đó T có điểm bất động Trong chứng minh bổ đề KKM, tính đóng của các tập hợp {F0 , F1 , , Fn } là bắt buộc Điều bất ngờ ở đây là tính đóng có thể thay bằng tính mở Đó là nội dung của Định lý Shih mà ta... của không gian vectơ và T, S là hai họ ánh xạ với giá trị khác rỗng từ X vào Y Ta gọi S là KKM suy rộng đối với T nếu với bất kì họ con hữu hạn khác rỗng {S1 , S2 , , Sn } ⊆ S, tồn tại {T1 , T2 , , Tn } ⊆ T sao cho co( i∈I Ti (x)) ⊆ i∈I Si (x) với mỗi tập con I khác rỗng của {1, 2, , n} và mỗi x ∈ X 3.2 Nguyên lý KKM suy rộng và các kết quả chính Bổ đề 3.2.1 Cho Y là tập khác rỗng và X là tập con đóng... Từ Định lý (3.2.1), y∈Y ⊆ K K là tập compắc và y∈A T (y) là tập compắc T (y) = ∅ Ví dụ 3.2.1 Cho X = R, Y = {0, 1, 2, 3} và T : Y → 2X được định nghĩa bởi T (0) := [0, ∞), T (1) = (−∞, 100], T (2) := [2, ∞) và T (3) := (−∞, 5] Từ Định lý (3.2.2), y∈Y T (y) = ∅ Thật vậy, y∈Y T (y) = [2, 5] Định lý (3.2.1) và (3.2.2) là tương đương Ngoài ra, ta có một số trường hợp đặc biệt của Định lý (3.2.1) sau Định