Luận văn nguyên lý KKM suy rộng và các định lý điểm bất động chung

Bụ GIO DUC V O TAO TRNG I HC s PHM H NI NGUYN THI CHC NGUYấN Lí KKM SUY RNG V CC NH Lí IM BT NG CHUNG Chuyờn ngnh: Toỏn gii tớch Mó s: 60 46 01 02 LUN VN THC s TON HC Ngi hng dn khoa hc: TS Trn Quc Bỡnh H NI, 2015 Li cm n Tụi xin by t lũng bit n sõu sc n TS Trn Quc Bỡnh, ngi thy ó nh hng chn ti v nhit tỡnh hng dn tụi cú th hon thnh lun ny Tụi cng xin by t lũng bit n chõn thnh ti Phũng Sau i hc, cỏc thy cụ giỏo ging dy chuyờn ngnh Toỏn gii tớch, trng i hc s phm H Ni ó giỳp tụi sut quỏ trỡnh hc ti trng Nhõn dp ny tụi cng xin gi li cm n n gia ỡnh, bn bố ó c v, ng viờn tụi hon thnh lun ny H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Li cam oan Nguyn Th Chỳc Tụi xin cam oan, di s ch bo v hng dn ca TS Trn Quc Bỡnh, lun chuyờn ngnh Toỏn gii tớch vi ti:Nguyờn lý KKM suy rng v cỏc nh lý im bt ng chung c hon thnh bi s nhn thc v tỡm hiu ca bn thõn tỏc gi Trong quỏ trỡnh nghiờn cu v thc hin lun vn, tỏc gi ó k tha nhng kt qu ca cỏc nh khoa hc vi s trõn trng v bit n H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Chỳc Mc lc M u Cỏc kin thc b tr 1.1 Khụng gian tụpụ tuyn tớnh li a phng Hausdorff 5 1.2 Nguyờn lý ỏnh x KKM 1.2.1 Ro KKM 1.2.2 Nguyờn lý ỏnh x KKM v bt ng thc K Fan 12 1.2.3 Cỏc nh l im bt ng B KKM khụng gian li tru tng 14 2.1 Mt s nh ngha 14 2.2 Cu trc li tru tng 16 Nguyờn lý KKM suy rng v cỏc nh lý im bt ng chung 3.1 Mt s chỳ 20 3.2 Nguyờn l KKM suy rng v cỏc kt qu chớnh 3.3 nh l dim bt dng chng 22 28 41 42 Kt lun Ti liu tham kho Bng kớ hiu 2X (X ) h tt c cỏc ca X lp cỏc hu hn khỏc rng ca X co() bao li ca A (u.s.c) na liờn tc trờn (l.s.c) na liờn tc di M u Lớ chn ti Nguyờn lý im bt ng Browder v dng tng ng ca nú, b KKM c chng minh khụng gian hu hn chiu Nm 1961, Ky Fan ó chng minh mt dng tng t ca b KKM cho khụng gian vụ hn chiu gi l nguyờn lý ỏnh x KKM, ngy c xem nh trung tõm ca lý thuyt KKM T nguyờn lý KKM cú th suy bt ng thc Ky Fan (cng c chng minh nm 1961) v mt lot cỏc nh lý im bt ng nh Schauder, Tikhonov, Ky Fan K t ú n nay, ngi ta khụng th k ht s lng bi bỏo m rng nguyờn lý KKM v cỏc h qu ca nú Nhm tỡm hiu mt cỏch chi tit v cú h thng v nguyờn lý KKM v cỏc nh lý im bt ng Tụi chn ti: Nguyờn lý KKM suy rng v cỏc nh lý im bt ng chung Trong lun ny tụi ch cp n hai bi bỏo c ng ti gn õy trờn hai cú uy tớn trờn th gii v im bt ng v gii tớch phi tuyn [4] [7] Mc ớch nghiờn cu Mc ớch nghiờn cu ca lun l trỡnh by mt s kt qu nghiờn cu c bn v nguyờn lý KMM suy rng, bt ng thc Ky Fan khụng gian li tru tng v cỏc nh lý im bt ng chung Nhim v nghiờn cu Nhim v nghiờn cu ca lun l nghiờn cu b KKM v bt ng thc Ky Fan khụng gian li tru tng v nguyờn lý KKM suy rng, cỏc nh lý im bt ng chung khụng gian vect tụpụ i tng nghiờn cu i tng nghiờn cu ca lun l nghiờn cu nguyờn lý KKM suy rng v cỏc nh lý im bt ng khụng gian tụpụ Phng phỏp nghiờn cu Tng hp, phõn tớch, ỏnh giỏ v s dng cỏc kin thc c bn ca khụng gian vect tụpụ nghiờn cu v nguyờn lý KKM v nh lý im bt ng khụng gian vect tụpụ úng gúp mi Lun s l mt tng quan v nguyờn lý KKM v cỏc nh lý im bt ng chung khụng gian vect tụpụ Chng Cỏc kin thc b tr * Chng ny trỡnh by mt s kin thc c bn v nguyờn lý KKM c PGS.TSKH Hng Tõn trỡnh by sỏch ca mỡnh [1] Ngoi ra, chng ny cũn trỡnh by mt s khụng gian: khụng gian vect tụpụ, khụng gian vect tụpụ li a phng Hausdorff phc v cho cỏc chng sau 1.1 Khụng gian tụpụ tuyn tớnh li a phng Haus- dorff nh ngha 1.1.1 (Khụng gian tụpụ) Cho X 0- Mt hr c v { x ) cỏc ca X c gi l mt tụpụ trờn X nu nú tha cỏc tớnh cht sau: i) 0,x e r; ii) Giao ca mt s hu hn cỏc phn t thuc T thỡ thuc r; iii) Hp ca mt h tựy ý cỏc phn t thuc T thỡ thuc T Khi ú ( X , T ) c gi l mt khụng gian tụpụ nh ngha 1.1.2 (Khụng gian vect tụpụ) Cho khụng gian vect thc X Mt tụpụ T trờn X c gi l tng thớch vi cu trỳc i s ca X nu cỏc ỏnh x + v liờn tc Tc l: (i) Vi mi X, y e X v mi lõn cn w cỏc lõn cn ca X , V ca y cho ca X + y, tn ti u u + V ỗ w (ii) Vi mi A G R, X G X v vi mi lõn cn w ca Xx, tn ti Ê > v lõn cn V ca X cho iV ỗ w vi mi Ă1 G (A Ê, A + e) Khi ú, r c gi l tụpụ tuyn tớnh trờn X v X c gi l mt khụng gian vect tụpụ hay khụng gian tụpụ tuyn tớnh nh ngha 1.1.3 (Tp li) Tp X c c gi l li nu: \x + ( l - \ ) y Ê X V x , y & x,v\ G [0,1], nh ngha 1.1.4 (Khụng gian tụpụ li a phng) Mt khụng gian vect tụpụ X gi l khụng gian li a phng (v tụpụ ca nú gi l tụpụ li a phng ) nu X cú mt cú s lõn cn ca gc ton li Vỡ tnh tin mt li ta li c mt li nờn khụnggian li a phng mi im u cú mt cs lõn cn li Vớ d Khụng gian nh chun l mt khụng gian li a phng sinh bi hỡnh cu n v: Vo = {B (0; 1)} Lỳc ú, c s lõn cn gc tng ng l V = { e B (0; 1) e > 0} = { B (0; ố ) \ e > 0} nh ngha 1.1.5 Cho khụng gian tụpụ X tha iu kin vi mi cp im khỏc ^1,0^2 X u cú hai lõn cn V,V ca X , X cho V\ n v% = (cú ngha l, hai im khỏc bao gi cng cú th tỏch c bi hai lõn cn ri nhau) Khi ú, khụng gian tụpụ X c gi l khụng gian tỏch hay khụng gian Hausdorff v tụpụ ca nú gi l tụpụ tỏch hay tụpụ Hausdorff 1.2 Nguyờn lý ỏnh x KKM 1.2.1 B KKM Trc ht ta nhc li khỏi nim n-n hỡnh Cho X l mt khụng gian vect, hp s X c gi l mt 71- n hỡnh nu s = co {ô0, U i , u n } vi Mo, U i , u n G X v cỏc vect U Wo, ,u n Uo l c lp tuyn tớnh Cỏc im Ui c gi l cỏc nh Bao li ca k+ nh c gi l A;din ca s Mi X e s c biu din nht di dng: X = XU, vi Xi > 0, X) Xi = 1i=0 =0 Dựng b Sperner v phộp gỏn s phộp tam giỏc phõn mt n hỡnh Sperner a t 1928, Knaster, Kuratowski v Mazurkiewicz ó chng minh b quan trng sau khụng gian Rn B 1.2.1 (B KKM) (Knaster - Kuratowski - Mazurkiewicz, 1929) Cho mt n-n hỡnh s = co {u ỡ ui, ,u n } R n v cỏc hp úng F ,F, : F n s tha mn iu kin: vi mi hp I c {0,1,n} ta cú cou : i E 1} c u F (KKM) iÊl Khi ú n F i=0 nh lý 1.2.1 (Nguyờn lý im bt ng Brouwer, 1912) Mi ỏnh x liờn tc t hỡnh cu n v úng R n vo chớnh nú u cú im bt ng Chng minh Vỡ hỡnh cu n v úng M n ng phụi vi mt n-n hỡnh s nờn ta ch cn chng minh rng ỏnh x liờn tc T : s > s s cú im bt ng s Vi mi X s ta cú X =(xo, X i , x ) v y = Tx = (i/o, 2/1, , Vn)- Vi n mi = , , n ta t= {a: G liờn tc nờn cỏc ằS': a:j > 7/} Do T F u úng Ta s chng minh cỏc Fi tha iu kin (KKM) Ly I c {0,1,n} v X e co {lớ : /} Vy a: = (a:o, X, xn) vi Xi = nu i I v X > nu i G / v y = (y , y u y n ) vi ji > n 0) s Ui = 1- e chng minh a: u F ta cn chng minh tn ti G / =1 ie/ cho X E F , tc l X > y i Gi s ngc li rng X < Ui vi mi G I Khi ú ta gp mõu thun: = Xi =0 = E Xi e/ < E V i < V i = e/ =0 Vy iu kin KKM c tha Theo b KKM , tn ti X* n F- i =0 Khi ú ta cú X* > y* vi = 0,1,n ú cỏc y* l ta trng tõm ca y* = Tx* Mnh 1.2.1 Nguyờn lý im bt ng Brouwer tng ng vi b KKM Chng minh Ch cn chng minh b KKM t nguyờn lý im bt ng Brouwer Ta s dựng phn chng Cho s = {lớo, U i , u } l mt n hỡnh v F n ỡ F , F n l cỏc hp úng s tha iu kin (KKM), nhng n F = Khi ú vi =0 mi X s v vi mi = 0,1, n ta t OLi(x ) = d(x, F ) l khong cỏch n t X n F Vỡ n F = nờn vi mi X Ei s tn ti i cho X F, tc i =0 l ai(x ) > F úng Vy ta cú th nh ngha hm aAx) t*i(x) = n > G D,ớ = 0,1,n i vi An v ỏnh x n hỡnh p rng Ly u E X v cho u c nh Cho Y := {li} v cho T : X xY X c nh ngha bi T ( x , y ) := F ( x ) vi mi (x , y ) X X y Khi ú F l ỏnh x na liờn tc trờn vi giỏ tr li, úng, khỏc rng v X l compc, X > T ( x : y ) l úng v T cú giỏ tr li, khỏc rng Ngoi ra, y > T ( x ỡ y ) l ỏnh x KKM suy rng Tht vy, vi mi khỏc rng {yi, y X 2: x n ỡ y n } ỗ Y v mi X G X , ly hu hn bt kỡ { x i , } ca X cho X G T ( x : y i ) vi mi i = 1,2, ,71 Ta cú, V i = V y n u Y { X I , X 2, ầT ( x , ự ) Vi mi hu hn khỏc rng I ca {1,2, , 77,} v mi V c o { x : i /}, ta bit rng V G T ( x : u ) = Uie/ y*)- KM ú, T c ú giỏ tr li Nh vy, y ằ T ( x , y ) l ỏnh x KKM suy rng T nh lý (3.3.2), tn ti X X cho ó; Ê T ( x , y ) vi mi y EY Do ú, X G F ( x ) Bờn cnh ú, chỳng ta cng thu c cỏc kt qu t nh lý (3.3.1) nh lý 3.3.3 Cho Y l khỏc rng tu ý, X l úng khỏc rng ca khụng gian vect tụpụ E v T : X X Y > X l ỏnh x vi giỏ tr khỏc rng Gi s rng: i) Vi mi y G Y, {x G X : X G T ( x , y ) } l úng; il) H ỏnh x { T ( x : OJae* l ng-KKM suy rng trờn Y ; Ui) Tn ti x E X cho T ( x : Y ) cha compc ca X Khi ú, tn ti X & X cho X T ( x , ) vi mi y & Y Chng minh Vi mi y E Y, cho G : Y > X c nh ngha bi G ( y ) ' = { % X : X T ( x , y ) } vi mi y Y D thy, G ( y ) l m ca X vi mi y G Y Gi s vi mi X Ê X , tn ti y := y ( x ) Ê Y cho X T ( x , y ) Khi ú X 31 i vi An v ỏnh x n hỡnh p = u j e yG(y) T ( i ) , c l ( T ( x ỡ Y )) l compc Khi ú n tn ti { y i , y , , y n } cho T ( X Q , Y ) ỗ u G { y ) T hu hn k =1 { y i i V 2i ; V n } ca Y , tn ti hu hn { z i , Z 2i z n } ca X vi c o { z i , Z 2, z n} c X cho c o { Z : e } Q \ J i I T ( x , y ỡ ) vi mi khỏc rng I ca {1, , 7 , } v mi X & X t B = c o ( { z i , Z 2, z n } ) D thy, B c u T ( x , y i ) c T ( x , Y ) C i= u G ( y k ) - Khi ú { G ( y k ) n B}^ = l ph m ca B Bng cỏch phõn k=l hoch n v, tn ti hm {qới,q; 2) Qớn} sa o cho: 1) ot : B > [0,1] l liờn tc vi mi k {1, , 7 , } ; 2) Nu a k ( x ) > 0, thỡ X G ( y k ) n B \ n 3) a k { x ) = vi mi X Ê B k= Cho u := /Span {^1, ^2, , ^n} v cho p : B ỡ B c nh ngha bi n p ( x ) := a k { x ) z k vi mi X E B Khi ú p l ỏnh x liờn tc v B l fc=1 li, compc, khỏc rng T nh lý im bt ng Brouwer, X B cho p ( x ) = X Cho I g ' = { k G {1, , 7 , } : a k ( x ) tn ti > 0}.Khi ú X Ê c o { z k : k Ê I B } C Uie/B T { x , y k ) T 2), X Ê G { y ) vi mi k I B - Do ú ta thy X UfceJ ^(^5 V k ) - Bc ny dn ti s mõu thun Do ú tn ti X G X cho X G T ( x , y ) vi mi y Y Chỳ ý 3.3.2 Trong nh lý (3.3.1) (nh lý (3.3.3)), nu T l compc, chỳng ta cú kt qu sau H qu 3.3.1 Cho Y l khỏc rng tu ý, X l li, úng, khỏc rng ca khụng gian vect tụpụ v T : X X Y > X l ỏnh x a tr vi 32 i vi An v ỏnh x n hỡnh p giỏ tr compc, khỏc rng Gi s rng: i) Vi mi y e Y, {x G X : X G T ( x , y ) } l úng; ii) H ỏnh x { T ( x , Olaex l ng-KKM suy rng trờn Y 33 i vi An v ỏnh x n hỡnh p Khi ú, tn ti X & X cho ẽ T(, ) vi mi y G Y nh lý (3.3.1) v nh lý (3.3.3) l tng t nhng chỳng cú s khỏc Mt s vớ d sau s minh ho cho s khỏc bit ú Vớ d 3.3.1 Cho X = Y = [o, oo], T ( x , y ) := [0, y ] Khi ú mi iu kin ca nh lý (3.3.1) tho Khi ú tntiX X cho X G T { x , y ) vi mi y G Y Tht vy, X Chỳ ý rng iu kin iii) ca nh lý (3.3.3) l cha Tht vy vi mi X E X : T ( x , Y ) = [0,oo) khụng cha compc Vớ d 3.3.2 Cho X = [0,oo); Y = [0,1], T ( x , y ) := [ , x + y ] K h i ú mi iu kin ca nh lý (3.3.3) tho v tn ti X X cho X E T ( x , y ) vi mi y G Y Tht vy nghim l X Chỳ ý rng iu kin iii ) ca nh lý (3.3.1) cha , tht vy vi mi y G Y, {x G X : X G T ( x ỡ y ) } = X khụng l compc Vớ d 3.3.3 Cho X = [0,1], Y = [-1,0], T { x , y ) := [f, ^] K h i ú y ẽ T ( x , y ) l ỏnh x K K M suy rng Tht vy, ly bt kỡ X G X v cho X c nh , v i m i h u h n {yi, y , y n } ỗ Y , c h o Z z = z n = Khi ú co {Z : ợ E /} ầ Uje/ T ( x : yỡ) vi mi khỏc rng I ca {1, 2,n} Ngoi ra, X > T ( x : y ) l úng Mi iu kin ca nh lý (3.3.2) u tho món, tn ti X G X cho X E T ( x , y) vi mi y e Y Tht vy X = Chỳ ý rng iu kin ii ) ca nh lý (3.3.1) (nh lý (3.3.3)j l cha Tht vy vi y = v mi z G X ta thy rng z T ( x , ) = {|} nu X 2* Do ú, { T ( x , )} ổeZ khụng l ng-KKM suy rng trờn Y Vớ d 3.3.4 Cho X = Y = [0,1], T : X X y > X c nh ngha: n u X G [0, |] 34 n u X G (|, 1] i vi An v ỏnh x n hỡnh p (3.1) 35 i vi An v ỏnh x n hỡnh p Mi iu kin ca nh lý (3.3.3) (nh lý (3.3.1)) u tho v tn ti X G X cho X G T(ó;,y) vi mi y G Y D thy, [0,1/2] l nghim Chỳ ý rng iu kin i) ca nh lý cha (3.3.2) l Tht vy, vi mi y ^ v vi mi ỡ G H , ly x n = 1/2 + 1/2n v z n D thy, z n G T ( x n , y ) vi mi n G N, nhng T ( l / , y ) D o ú , X > T ( x , y ) khụng úng nh lý 3.3.4 Cho Y l tu ý khỏc rng, X l li, compc, khỏc rng ca khụng gian vect tụpụ V Cho G : X X X > V v F : X X Y V l hai ỏnh x a tr vi giỏ tr khỏc rng Gi s rng: i) X G ( x , x ) v i m i ii) Vi mi y G Y, tn F(x,y) X X; t i z := z ( y ) X s a o c h o G ( x , z ) ầ vi m i X E X ; i n ) X > F ( x , y ) l úng, X > G ( x , x ) l na liờn tc di z G ( x , z ) l {0} -gi n g t a l i K h i ú t n t i X X s a o c h o X G F ( x , y) vi mi y G Y Chng minh Cho T : X X Y > X c nh ngha bi T ( x , y ) : = { z G X : G ( x , z ) ầ F ( x , y ) } vi mi ( x , y ) G X X Y Vi mi y Y , cho M y { x Ê X : X Ê T ( x , y ) } Khi ú, M y l úng Tht vy nu X clMy thỡ tn ti mt li {^a}aer My cho x a > X D thy, G ( x a , x a) ầ F ( x a , y ) vi mi a Ê r Vi mi u Ê G ( x , x ) , t X G ( x , x ) l na liờn tc di, tn ti li {w a} er V cho u a G G ( x a , x a) ầ F ( x a , y ) vi mi a Ê r v u a - - u T X > F { x , y ) úng, d thy G ( x , x ) ỗ F ( x , y ) v X G M y Nh vy M y l 36 i vi An v ỏnh x n hỡnh p úng Ly hu hn bt kỡ { y i , V 2, iVn} ca Y T (i ), tn ti hu hn { z i , Z 2i z n } ca X cho G ( x , Z ) ỗ F ( x , ỡ j i ) vi mi 37 i vi An v ỏnh x n hỡnh p { , , , 77,} v mi X G X Ly X X bt kỡ v khỏc rng bt kỡ I ca {1, , } v z E c o { Z : e /} T (m), tn ti j Ê I cho (:r,z) c G ( x , Z j ) C F ( x , j j ) Do ú, co{zj : /} C Uiej vi mi khỏc rng / ca {1,2, v mi X e X Nh vy, {T(a:, -)}a:ex l ng-KKM suy rng trờn Y T nh lý (3.3.3), tn ti X E X cho X G T ( x , y ) vi mi y Ê Y Do ú T F ( x , y ) vi mi y e Y Vớ d 3.3.5 C h o X = [0,1], Y = [2, 9) U(10,11], V = R v F : X x Y - v , G : X X X V c nh ngha nh sau F ( x , y) := [1 x y , oo), n u z < I n u z > (3.2) D thy X > G ( x , x ) na liờn tc di, X > F ( x , y ) úng v X G l ỏnh G{x,x) x vi mi X G X Ta mun chng t z Ơ G ( x , z ) {0}-ging ta li Tht vy, vi mi z : z G X , Z < z v z G c o { z i : z } = [ 21, 22] ta xột hai trng hp sau: 1) Nu z < 1/2 Khi ú G ( x , z ) C G ( x , Z i ) 2) iViớ 2; > 1/2 t h ỡ G ( x , z ) C (:r,.Z2) K h i ú z > G ( x : z ) l {0}-ging ta li Hn th na vi mi y Ê Y, ta cú G ( x , 1) C F ( x : y ) vi mi X & X Do ú mi iu kin ca nh lý (3.3.4) u t h o m ón v t n ti X X ch o X G F(ó;,y) v i m i y G Y Tht vy, nghim l X Vớ d 3.3.6 Cho X = [0,1], Y = [1/2, 2], V := K, (a;, z) := (-00, z X + 1] ti F ( x , y ) := ( o o , y X + 1] Chng minh tng t nh Vớ d (3.3.5) ớa thy mi iu kin ca nh l ý (3.3.4) u tho v tn ti X X cho [0,3/4] X F ( x , y ) vi mi y Y Tht vy nghim l 38 i vi An v ỏnh x n hỡnh p Chỳ ý 3.3.3 Diu kin ii) ca nh lý (3.3.4) ỳng nu cỏc iu kin sau tho món: a) X l compc, z > G ( x , z ) l na liờn tc di v F cú giỏ tr úng, khỏc rng; b) Vi mi y Y, mi hu hn {xi, X2 , xn } ca X, tn ti hu hn { z i , z ca { , , : z n } ca X cho vi mi khỏc rng I v mi z G co{z G I}, tn ti j I cho G ( x j , z ) ầ F{xj,y) Chng minh Ly y G Y v cho y c nh Cho Ty : X > X c nh ngha bi: T y ( x ) := { z X : G ( x : z ) ầ F ( x : y ) } vi mi X X D thy, T y { x ) l khỏc rng ca X vi mi X G X Nu c l T y ( x ) , thỡ tn ti mt li {2a}aer X cho z a T y x ) vi mi a Ê r v z a > z Do ú, G ( x , z a) ầ F ( x , y ) vi mi G r Ly u G ( x , z ) v c nh u T ằ G ( x , z ) l na liờn tc di, tn ti li {w a}aer V cho u a ằ u v u a G G ( x , z a ) ỗ F { x , y ) vi mi a Khi ú F ( x , y ) l úng, u G F ( x , y ) v iu ny kộo theo z G T y x ) Do ú, T y ( x ) l úng ca X T b), d thy T y l ỏnh x KKM suy rng T nh lý (3.2.3), T y { x ) 7^ Do ú, vi mi y G Y tn ti z & X cho G ( x , z ) ầ F ( x , y ) vi mi X G X Trong nh lý (3.3.4), nu Y = X v F = G thỡ ta cú kt qu sau: H qu 3.3.2 Cho X l li, compc, khỏc rng ca khụng gian vect tụpụ V Cho F : X X X ằ V l ỏnh x a tr vi giỏ tr khỏc rng Gi s rng: 39 i vi An v ỏnh x n hỡnh p i) X E F ( x , x ) v i m i X Ê X ; X > F ( x , y ) l úng; il) X > F ( x , x ) l na liờn tc di; z F ( x , z ) l {0}-ging ta li Khi ú, tn ti X & X cho X G F ( x , y ) vi mi y G Y nh lý 3.3.5 Cho Y l tu ý khỏc rng, X l li, compc, khỏc rng ca khụng gian vect tụpụ V Cho G : X X X ỡ V v F : X X Y > V l hai ỏnh x a tr Gi s rng: i) Vi mi y G Y, tn ti z := z(y ) G X cho G ( x , z ) f ] F ( x , y ) v i m i X e X; i i ) X F ( x , y ) l úng, zG ( x , z ) l {0}-ta li; G ( x , x ) = {ổ} v i m i X G X Khi ú tn ti X X cho X G F ( x , y) vi mi y G Y Chng minh Cho T : X X Y > X c nh ngha bi z ) 7^ 0} vi mi T ( x , y ) := { z X : F ( x , y ) nG ( x , (ổ, y ) & X X Y Vi mi y G Y , cho My := { x e X : X G T ( x , y ) } Khi ú, M y l úng Tht vy, nu X clMy thỡ tn ti mt li {ỡ:a}r My cho x a > X D thy, x a e F ( x a , y ) f ] G ( x a , x a ) vi mi a E r T ú, X > F ( x , y ) l úng, X F ( x , y ) n G ( x , x) v kộo theo M y l úng Ly bt kỡ hu hn { y i ỡ V ỡ T ), tn ti { Z , z ca Y , z n } ỗ X cho F ( x , y i ) n G ( x , Z ) ^ vi mi G {1, , } v mi X G X Ly X G X bt kỡ, khỏc rng I ca {1, , 7 , } v Ê c o { Z : / } T ( ) , tn t i j I c h o G ( x , Z j ) ầ G ( x , z ) v F ( x , y j ) n G(x, z) C Do ú, c o { Z i : e } yi) 40 ui ỗ j T ( x , i vi An v ỏnh x n hỡnh p vi mi I ca {1, 2,77,} v mi X X Nh vy { T ( x : )} l ng KKM suy rng trờn Y Do ú, t nh lý (3.3.3), tn ti X E X cho X e ớ\y T ( x , y ) Vy X e F ( x , y ) vi mi y Y Vớ d 3.3.7 C h o X = [0,1], Y = [1,2], V = M, G ( x , z ) := {x}; F ( x , y ) := [-100, y X + 1] D thy mi iu kin ca nh lý (3.3.5) u tho v tn ti X & X cho X e F ( x , y ) vi mi y EY Tht vy, nghim l X Chỳ ý 3.3.4 iu kin (%) ca nh lý (3.3.5) ỳng nu cỏc iu kin sau tho món: a) X l compc, F cú giỏ tr compc, khỏc rng; z > G ( x , z ) l úng; b) Vi mi y G Y, mi hu hn { x i , x ,x n } ca X, tn ti mt hu hn { z i , Z 2, z n } ca X cho vi mi khỏc rng I ca { , , , n } v mi z G co{z : i G 1} tn ti j G I cho F ( x j , y ) f ] G ( x j , y ) ^ Chng minh Ly bt kỡ y E Y v cho y c nh Cho Ty : X > X c nh ngha bi: T y ( x ) := { z Ê X : F ( x , y ) n G ( x , z ) 0} v z Nh vy, tn ti mt li {^a}aer cho v a G F ( x , y ) n G ( x , z a ) vi mi a G r T F cú giỏ tr compc, khỏc rng, chỳng ta cú th gi s tn ti V Ê V cho v a > V F ( x , y ) T ú, z > G ( x , y ) l úng, V e G ( x , z ) Khi ú, F ( x , y ) f ] G ( x , z ) v 41 i vi An v ỏnh x n hỡnh p G Ty{x) T (), d thy rng T y l ỏnh x KKM suy rng T nh lý (3.2.3), T y x ) 0- Do ú, vi mi y Y , tn ti z G X cho F ( x , y ) n G ( x , z ) ^ vi mi X G X nh lý 3.3.6 Cho X l úng ca khụng gian vect tụpụ E Cho v l hai h ỏnh x i t X vo X Gi s rng: i) Vi mi S & , {x & X : X & 'S'(ổ)} l úng; i) l KKM suy rng i vi 7; Ui) Vi mi T g T , tn ti Z T X cho Z T T(x ) vi mi X IV) Tn ti compc K ca X v hu hn G X; ca cho vi mi X G X \ K tn ti s A cho X S ( x ) Khi ú, tn ti X G X cho X G S(x) vi mi s G s Chng minh Cho G : s Ơ X c nh ngha bi: G ( S ) := {x G X : X G ^(a:)} vi mi s & Vi mi s & , tn ti T G T cho T(x) C 5(0;) vi mi X Ê X T U i ) , tn ti Z T G X cho Zy G T(ZT) C T ( i ) , G Khi ú, Zy G Cr(.S') Do ú, G cú giỏ tr khỏc rng cú giỏ tr úng Vi mi { S i , S 2, , S n } C , t ( i i ) , tn ti {Ti, T2,T n } c T cho co(U ie/ T i 0*0) uie, (S'j(x) vi mi khỏc rng I ca {1,2, , 77,} v mi X Ê X Vi mi e { , , n } , t (m), tn ti Zy G X cho Z t - T ( x ) vi mi X X D thy, c o { Z , Z 2, z ca {1, 2,n}, nu z G CO{ZT n } c X Nh vy vi mi I : G /} thỡ z G co (Uie/ T ( z ) ) C UieJ /Si (2) Do ú, tn ti j I cho z S j ( z ) v z G G ( S j ) Theo ú G l ỏnh x KKM suy 42 i vi An v ỏnh x n hỡnh p rng T ( i v ) , tn ti mt compc khỏc rng K ca X v hu hn A ca s cho vi mi X G X \ K , tn ti s Ê A cho X G ( S ) T nh lý (3.2.2), Dses G ( S ) 0- Khi ú, X G S ( x ) vi mi s E s nh lý 3.3.7 Cho X l li, úng, khỏc rng ca khụng gian vect tụpụ Hausdor E Cho s v l hai h ỏnh x i t X vo X Gi s rng: i) l KKM suy rng i vi 7; ii) Vi mi s , { x X : X Ê , cho Gs '= {x X : X X c nh ngha bi: p(x) n := a k ( x ) t T k ( x ) vi mi X X k=1 D thy, p liờn tc T nh lý im bt ng Tikhonov, tn ti X X cho p(x) = X Cho l '= {k G {1, , 7 , } : c o { è T k { x ) : k G l } Q UfceJ ot{x) > 0} Khi ú, X Ê Mt khỏc, t (2), X e G s k vi mi k l - Khi ú, X 7^ Ujfcej S k ( x ) vi mi s G s iu ny dn ti s mõu thun Do ú, tn ti X e X cho X e S ( x ) vi mi s G s 44 Kt lun Ngy nay, lý thuyt KKM ang phỏt trin khụng ngng Lun hi vng s gúp phn lm phong phỳ thờm lý thuyt KKM v cỏc nh lý im bt ng chung khụng gian vect tụpụ Mc dự tỏc gi ó ht sc c gng, song kh nng kin thc v thi gian cũn hn ch nờn lun khụng trỏnh nhng thiu sút, tỏc gi rt mong nhn c ý kin úng gúp ca cỏc Thy, Cụ giỏo v cỏc bn lun c hon thin hn H Ni, thỏng nm 2015 Tỏc gi Nguyn Th Chỳc 45 [...]... gian vụ hn chiu v l trung tõm ca lý thuyt KKM, mt b phn c bn v quan trng ca gii tớch phi tuyn Trc khi phỏt biu nguyờn lý ỏnh x KKM, chỳng ta nh ngha ỏnh x KKM nh ngha 1.2.1 (nh x KKM) Cho c l mt tp hp trong khụng gian vect tụpụ, ỏnh x a tr F : c > 2 X c gi l ỏnh x KKM nu vi mi tp hu hn A trong c ta cú co(A ) c F ( A ) , (KKM) õy F ( A ) = u F ( x ) xeA Nguyờn lý ỏnh x KKM (Ky Fan, 1961) Cho c l mt tp... rng v cỏc nh lý im bt ng chung Trong chng ny, chỳng ta nghiờn cu nguyờn lý KKM suy rng v ng -KKM suy rng, s dng nú nghiờn cu cỏc nh lý im bt ng chung cho h ỏnh x a tr Trc ht, ta cú mt s chỳ ý sau 3.1 Mt s chỳ ý nh ngha 3.1.1 Cho X l tp khỏc rng tựy ý v y l tp con khỏc rng ca khụng gian vect E nh x a tr T : X > 2y gi l ỏnh x KKM suy rng nu vi bt kỡ tp conhu hn ca X tn ti tp hu hn { y i , y 2, khỏc rng... cht H q T nh lý (2.2.1) ta cú trng hp c bit sau nh lý 2.2.2 Cho (y, C0c) l khụng gian li tru tng, cho X l tp con ca Y v cho F : X ỡ 2 Y ỏnh x KKM vi giỏ tr úng Nu Y l khụng gian tụpụ compc v ( Y : C 0c ) cú tớnh cht H Khi ú, {F(x) : X X} cú tớnh cht giao hu hn v vỡ vy X cú tớnh cht im bt ng FanBrowder mnh 20 i vi An v ỏnh x n hỡnh p Chng 3 Nguyờn lý KKM suy rng v cỏc nh lý im bt ng chung Trong chng... tr li, úng, khỏc rng T nh lý im na btng Kakutani-Fan-Glicksberg tn ti X Ê X sao cho X G ( x ) Núi cỏch khỏc X Ê T ( x , y ) vi mi y E Y Chỳ ý 3.3.1 nh lý (3.3.2) v nh lý im bt ng Kakutani-FanGlicksberg l tng ng Chng minh T chng minh nh lý (3.3.2) ta bit rng nh lý im bt ng Kakutani-Fan-Glicksberg kộo theo nh lý (3.3.2) Do ú ta ch cn chng t rng nh lý (3.3.2) kộo theo nh lý im bt ng Kakutani- Fan-Glicksberg... c T õy ta c \\T X Q XoII = min{\\Tx 0 a;|| : X G } nh lý ó c chng minh Hai nh lý sau l h qu ca nh lý 1.2.3 nh lý 1.2.4 (nh lý Schauder, 1930 ) Mi ỏnh x liờn tc t mt tp hp li, compc ca mt khụng gian nh chun vo chớnh nú u cú im bt ng 1 4 Chng minh Trong 1) cho X = Tx 0 ta c \\T X Q rcoII = 0, tc l Tx = x v h qu c chng minh nh lý 1.2.5 (nh lý im bt ng Tikhonov,1935) Cho c l mt tp hp li, compc trong... Y Ta gi s l KKM 22 i vi An v ỏnh x n hỡnh p suy rng i vi T nu vi bt kỡ h con hu hn khỏc rng { S i , S 2, , S n } ỗ s, tn ti { T , T 2 , T n } ầ 7 sao cho co{\J i G l Ti{x)) ầ UieJ S ( x ) vi mi tp con I khỏc rng ca {1,2, , 77,} v mi X X 3.2 Nguyờn lý KKM suy rng v cỏc kt qu chớnh B 3.2.1 Cho Y l tp khỏc rng v X l tp con úng khỏc rng ca khụng gian vect E Cho T : Y 2 X l ỏnh x KKM suy rng vi giỏ... Theo nguyờn lý Brouwer, tn ti X* G s V * r I I * m X I X t I = {i : ới{x*) > 0} Khi ú ta cú Tx* = J2 ^i{x*)u = J2 ^i{x*)ui i=0 iei Nhng vỡ >i(x*) > 0 khi v ch khi X* F vi mi G I, nờn X* u F ie/ iu ny mõu thun vi X* = Tx* = fớ(x*)ui co{ui : i G 1} c u Fi iel iel do iu kin (KKM) Vy mnh c chng minh 1.2.2 Nguyờn lý ỏnh x KKM v bt ng thc Ky Fan Nguyờn lý ỏnh x KKM l mt m rng ca b KKM ra khụng... /(S OL X i , 2 Oớ X ) f ( x , x ) > 0, trỏi vi iu kin ii ) i=1 i= 1 Vy F l ỏnh x KKM Vỡ c compc nờn ta cú n F ( x ) 7^ 0- Ly y * nx e C ^ ( x ) c xốc f { x , y * ) < 0 vi mi X c nh lý ó c chng minh 1.2.3 Cỏc nh lý im bt ng Trong mc ny trỡnh by mt s nh lý im bt ng ni ting: Ky Fan, Schauder, Tikhonov nh lý 1.2.3 (nh lý Ky Fan, 1961) Cho c l mt tp hp li, compc trong khụng gian nh chun X v T : c X l... CỡytY T { y ) vi mi T T nh lý (3.2.2), G cú giỏ tr compc khỏc rng Ta thy, G l ỏnh x KKM suy rng Vi mi h con hu hn {Ti, T2,T n} ca T, tn ti tp con hu hn { z i , Z 2i z n } ca X sao cho vi mi i Ê I , Z Ê C ỡ y^Y^i i y) T (ii ), ta cú co {Z : i 1} ầ uie7 G (T) vi mi tp con I ca {1,2, , n} D thy, co { z i , z 2 , z } ầ u G (Ti) ỗ X Do ú, G l ỏnh x KKM suy n rng i= 1 T nh lý (3.2.3), Htg G ( t ) ^ 0... cnh ú, G l ỏnh x KKM suy rng Gi s G khụng l ỏnh x KKM suy rng, khi ú tn ti tp con hu hn {2/1,2/2J 5 V n } ca Y sao cho vi mi tp con hu hn { z , Z 2, z n \ ca X vi c o ( { z , ti tp con hu hn I ca {1, 2,77,} sao cho c o { Z : Z 2i z n}) i c X , tn 1} Uie/ Khi ú tn ti z G c o { Z : i G 1 } sao cho z ui e I G ( y i ) Do ú, z Uj l T ( z , y i ) { T ( x , ) } x e X khụng l ng -KKM suy rng trờn Y