Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ TRUNG HIẾU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN SUY RỘNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh THÁI NGUYÊN - 2020 Mục lục Bảng ký hiệu Mở đầu Chương Một số kết đặc trưng không gian Banach Bài tốn tìm điểm bất động 1.1 Một số kết đặc trưng không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi 1.1.2 Không gian Banach lồi chặt 1.1.3 Modul lồi 10 1.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn 10 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng 14 2.1 Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ không giãn 14 2.2 Một số kết điểm bất động cho ánh xạ không giãn suy rộng 26 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41 iii Bảng ký hiệu X R R+ N ∀x A−1 I C[a, b] d(x, C) lim supn→∞ xn lim inf n→∞ xn xn → x0 xn x0 Fix(T ) Lp lp không gian Banach tập số thực tập số thực không âm tập số tự nhiên với x toán tử ngược toán tử A toán tử đồng tập hàm liên tục đoạn [a, b] khoảng cách từ phần tử x đến tập hợp C giới hạn dãy số {xn } giới hạn dãy số {xn } dãy {xn } hội tụ mạnh x0 dãy {xn } hội tụ yếu x0 tập điểm bất động ánh xạ T tập hợp hàm khả tích cấp p tập hợp dãy khả tổng cấp p Mở đầu Bài tốn tìm điểm bất động ánh xạ chủ đề thu hút quan tâm nhiều nhà toán học nước Một hướng nghiên cứu toán điểm bất động xây dựng phương pháp tìm (xấp xỉ) điểm bất động ánh xạ không gian Hilbert không gian Banach Nhiều toán liên quan tới phương pháp xấp xỉ đặt giải cho lớp ánh xạ chẳng hạn ánh xạ co, ánh xạ không giãn, Với luận văn tốt nghiệp thạc sĩ, em lựa chọn phần toán xấp xỉ nghiệm cho ánh xạ không giãn không gian Banach Dưới hướng dẫn TS Trần Xuân Quý TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh, em chọn đề tài luận văn: “Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng” Nội dung luận văn trình bày hai chương, cụ thể sau: Chương 1: Trình bày số kết đặc trưng khơng gian Banach - Bài tốn tìm điểm bất động Chương 2: Trình bày định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng Trong trình học tập nghiên cứu Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, em nhận quan tâm giúp đỡ động viên thầy Ban Giám hiệu, phịng Đào tạo, Khoa Toán –Tin Với luận văn này, em mong muốn góp phần nhỏ cơng sức vào việc gìn giữ phát huy vẻ đẹp, hấp dẫn cho định lý toán học đẹp Đây hội cho em gửi lời tri ân tới tập thể thầy cô giảng viên trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Ngun nói chung Khoa Tốn – Tin nói riêng, truyền thụ cho em nhiều kiến thức khoa học quý báu thời gian em học viên trường Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu trường THPT Dương Quảng Hàm, Hưng Yên toàn thể anh chị em đồng nghiệp tạo điều kiện tốt cho tác giả thời gian học Cao học; cảm ơn anh chị em học viên lớp Cao học Toán K12 bạn bè đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tác giả q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới giáo viên hướng dẫn, TS Trần Xuân Quý TS Nguyễn Thị Ngọc Oanh quan tâm ân cần bảo, động viên khích lệ, giúp đỡ tận tình góp ý sâu sắc cho em suốt q trình học tập thực đề tài Chặng đường vừa qua kỉ niệm đáng nhớ đầy ý nghĩa anh chị em học viên lớp K12 nói chung với thân em nói riêng Dấu ấn hiển nhiên khơng thể thiếu hỗ trợ, sẻ chia đầy yêu thương cha mẹ hai bên anh chị em cháu gia đình Xin chân thành cảm ơn tất người thân yêu giúp đỡ, đồng hành em chặng đường vừa qua Cuối xin cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp trao đổi, động viên khích lệ tơi q trình học tập làm luận văn trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên Thái Nguyên, ngày 22 tháng 06 năm 2020 Tác giả luận văn Đỗ Trung Hiếu Chương Một số kết đặc trưng khơng gian Banach - Bài tốn tìm điểm bất động Chương trình bày số tính chất hình học khơng gian Banach tốn điểm bất động không gian Banach Kiến thức chương tổng hợp từ tài liệu [1], [2] [5] 1.1 Một số kết đặc trưng không gian Banach 1.1.1 Không gian Banach lồi Xét X không gian Banach x0 ∈ X cho trước, xét Sr (x0 ) mặt cầu tâm x0 bán kính r > 0, nghĩa là, Sr (x0 ) := {x ∈ X : ||x − x0 || = r} Định nghĩa 1.1.1 Không gian Banach X gọi lồi ∈ (0, 2] bất kỳ, tồn δ = δ( ) > cho x, y ∈ X với ||x|| = 1, ||y|| = (x + y) − δ ||x − y|| , Từ định nghĩa ta thấy: không gian Banach X lồi ∈ (0, 2] tồn δ = δ( ) > cho x, y ∈ X với ||x|| 1, ||y|| ||x − y|| , (x + y) − δ Kết ví dụ khơng gian lồi Định lý 1.1.2 Không gian Lp với < p < ∞ không gian Banach lồi Định lý 1.1.3 Giả sử X khơng gian Banach lồi Khi với d > 0, > vecto tùy ý x, y ∈ X với ||x|| d, ||y|| d, ||x − y|| , tồn δ > cho (x + y) 1−δ d d x y , z2 = , tập ¯ = Hiển nhiên d d d = ¯ Từ tính ||z1 − z2 || = ||x − y|| d d Chứng minh Với x, y ∈ X , xét z1 = ¯ > 0, ||z1 || 1, ||z2 || lồi X , tồn δ = δ d > 0, (z1 + z2 ) − δ(¯), nghĩa (x + y) 2d 1−δ d , suy (x + y) 1−δ d d Ta có điều phải chứng minh Mệnh đề 1.1.4 Cho X không gian Banach lồi giả sử α ∈ (0, 1), > Khi với d > 0, x, y ∈ X thỏa mãn ||x|| d, ||y|| d, ||x − y|| , tồn δ = δ d > cho ||αx + (1 − α)y|| − 2δ d min{α, − α} d Mối liên hệ giữ tính lồi tính phản xạ khơng gian Banach X cho định lý Định lý 1.1.5 Nếu X khơng gian Banach lồi X không gian phản xạ Chứng minh Giả sử X không gian Banach lồi đều, ta cần chứng minh X không gian Banach phản xạ Giả sử SX ∗ := {j ∈ X ∗ : j = 1} hình cầu đơn vị X ∗ f ∈ SX ∗ Giả sử {xn } dãy SX cho xn , f → Ta {xn } dãy Cauchy Giả sử {xn } không dãy Cauchy, tồn > dãy {xni } {xn } cho xni − xnj , ∀i = j Theo giả thiết, X không gian lồi đều, nên ∃δ( ) > cho xni + xnj < − δ Khi đó, ta có x ni + x nj ,f x ni + x nj < f (1 − δ) = − δ, f điều mâu thuẫn với f (xn ) → Vì vậy, {xn } dãy Cauchy tồn x ∈ X cho xn → x Rõ ràng x ∈ SX từ tính liên tục chuẩn ta có x = limn→∞ xn = Do đó, từ xn , f → 1, cho n → ∞, ta nhận x, f = Theo Định lý James1 , suy X không gian phản xạ Định nghĩa 1.1.6 Không gian Banach X gọi lồi theo hướng z ∈ X khác không, ε với < ε ≤ δz (ε) = inf − x+y : x ≤ 1, y ≤ 1, x − y ≥ ε, x − y = λz, λ > > Ta nói X lồi theo hướng (UCED), δz (ε) > với z ∈ X\{0} Chú ý 1.1.7 Mọi không gian Banach lồi lồi theo hướng Điều ngược lại chưa hẳn [13] Không gian Banach E phản xạ với j ∈ SX ∗ , tồn x ∈ SX cho x, j = Định nghĩa 1.1.8 Không gian Banach X xem có tính chất Kadec-Klee (KK), {xn } dãy thuộc X thỏa mãn xn → x {xn } hội tụ yếu tới x ∈ X , {xn } hội tụ tới x Ví dụ 1.1.9 Mọi khơng gian Hilbert H có tính chất Kadec-Klee Thật vậy, giả sử {xn } dãy H thỏa mãn xn xn → x Khi đó, ta có xn − x x = xn − x, xn − x = xn − xn , x + x → x − x + x = Do xn → x Định lý 1.1.10 Mọi không gian Banach lồi có tính chất Kadec-Klee Chứng minh Giả sử X không gian Banach lồi {xn } dãy X thỏa mãn xn x xn → x Nếu x = 0, hiển nhiên xn → Giả sử x = xn x Khi đó, ta có xn x Do đó, tồn > dãy {xnk } {xn } cho xn x x xnk − xnk x , với k ≥ Vì X khơng gian lồi nên tồn δ > cho Từ xn x xnk + xnk x x xn → x ta có 1= x x xn xn ≤ lim inf k→∞ − δ x Suy x x nk x + x nk x − δ, suy mâu thuẫn Vậy xn → x hay X có tính chất Kadec-Klee 1.1.2 Khơng gian Banach lồi chặt Định nghĩa 1.1.11 Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ X , x = y, ||x|| = ||y|| = 1, ta có ||λx + (1 − λ)y|| < ∀λ ∈ (0, 1) Nhận xét 1.1.12 Định nghĩa 1.1.11 tương đương với phát biểu sau: Không gian Banach X gọi lồi chặt với x, y ∈ X thỏa mãn x = y , ||x|| = ||y|| = 1, ta có ||(x + y)/2|| < Định lý 1.1.13 Mọi không gian Banach lồi không gian lồi chặt Định lý 1.1.13 lớp không gian lồi chặt Tuy nhiên, không gian Banach lồi chặt Dưới vài ví dụ khơng gian Banach lồi chặt khơng lồi Ví dụ 1.1.14 Cho trước µ > xét C[0, 1] với chuẩn ||.||µ xác định sau, ||x||µ := ||x||0 + µ x2 (t)dt với ||x||0 = supt∈[0,1] |x(t)| với x ∈ C[0, 1] Khi (C[0, 1], ||.||µ ) không gian lồi chặt không lồi Ví dụ 1.1.15 Xét µ0 c0 = c0 (N) với chuẩn ||.||µ xác định với x = {xn } ∈ c0 sau ∞ xi ||x||µ := ||x||c0 + µ i i=1 ||.||c0 chuẩn thơng thường Như ví dụ trên, (c0 , ||.||µ ) với µ > lồi chặt khơng lồi Ví dụ 1.1.16 Khơng gian l1 khơng lồi chặt Thật vậy, chọn x = (1, 0, 0, 0, ), y = (0, −1, 0, 0, 0, ) Khi x, y ∈ l1 , x = y ||x||l1 = = ||y||l1 Tuy nhiên (x + y)/2 = Suy l1 khơng lồi chặt Ví dụ 1.1.17 Không gian l∞ không lồi chặt Thật vậy, xét x = (1, 1, 0, 0, 0, ) y = (−1, 1, 0, 0, 0, ) Khi x, y ∈ l∞ , x = y ||x||∞ = = ||y||∞ Tuy nhiên (x + y)/2 = Do l∞ khơng lồi chặt 27 Rõ ràng rm rm+1 rm Do đó, tồn giới hạn r = lim rm = inf {rm } m→∞ m Chú ý 2.2.1 Nếu r = 0, dãy {un } hội tụ Định nghĩa 2.2.2 Nếu dãy {cm } hội tụ, c = limm→∞ cm gọi tâm tiệm cận {um } tương ứng C Ta có định lý đây: Định lý 2.2.3 Với X , C {un } xác định trên, dãy {cn } hội tụ tâm tiệm cận c tồn Chứng minh Nếu r = 0, {un } dãy Cauchy lim un = lim cn = c n→∞ n→∞ Giả sử r > dãy {cn } khơng hội tụ Khi đó, tồn > cho với số tự nhiên N , tồn số nguyên dương n > m N cho cn − cm Từ tính lồi X , ta có uk − cn uk − cm rn rm , k n, rm , k m Suy uk − cm + cn cn − cm )) rm rm (1 − δX ( /D)), rm (1 − δX ( với d = diam({un }) Mặt khác, (cn + cm )/2 = cn , nên tồn k n cho cm + cn rn < uk − Từ đánh giả trên, ta nhận rm − rn rm δX ( /D) rδX ( /D) Tuy nhiên, điều xảy {rn } hội tụ Do dãy {cn } hội tụ Nhận xét 2.2.4 i) Nếu ym → y rm (ym ) → r(y) Thật vậy, ta có |rm (ym ) − r(y)| Do rm (ym ) → r(y) |rm (ym ) − rm (y)| + |rm (y) − r(y)| |ym − y| + +|rm (y) − r(y)| → 28 ii) Với tâm tiệm cận c {un } tương ứng với C với x ∈ C \ {c}, ta có r((x + c)/2) < r(x) Thật vậy, cn → c, nên tồn N cho cn − x > c − x /2 với n N Từ tính lồi X , định nghĩa rn cn , ta có uk − (x + cn )/2 rn (x)(1 − δX ( x − c /2ρ)), ρ = r1 (x) + Do rn ((x + cn )/2) rn (x)(1 − δX ( x − c /2ρ)) Suy r((x + c)/2) r(x)(1 − δX ( x − c /2ρ)) < r(x) iii) Với tâm tiệm cận c {un } tương ứng với C với x ∈ C \ {c}, ta có r(c) < r(x) Thật vậy, ta có rm (cm ) rm (y) r(c) ≤ r(y) với y ∈ C Giả sử r(c) = r(x), với y = (x + c)/2, từ ii) ta có r(y) < r(x), mâu thuẫn với r(c) ≤ r(y) với y ∈ C Vậy ta có r(c) < r(x) Tâm tiệm cận dãy bị chặn tập C lồi đóng không gian Banach X không cần phải tập hợp có phần tử Chẳng hạn ví dụ Ví dụ 2.2.5 Nếu ta xem xét dãy bị chặn {(−1)n (0, 1)} R2 với chuẩn sup, tâm tiệm cận dãy tập lồi đóng C := {(x, 0) : ≤ x ≤ 1)} là tập C Tuy nhiên, bổ sung vài giả thiết tập C không gian X đảm bảo tâm tiệm cận tập hợp có phần tử, chẳng hạn hai bổ đề Bổ đề 2.2.6 Giả sử X không gian Banach lồi C tập lồi đóng khác rỗng X Khi đó, tâm tiệm cận dãy bị chặn X tập hợp C là tập hợp có phần tử Ngoài ra, {xn } dãy bị chặn X với tâm tiệm cận x0 tập hợp C {ym } dãy C cho r(ym , {xn }) → r(x0 , {xn }) m → ∞, ym → x0 29 Bổ đề 2.2.7 Giả sử X không gian Banach lồi theo hướng C ⊂ X tập lồi, khác rỗng compact yếu X Khi tâm tiệm cận dãy bị chặn X C tập hợp có phần tử Trước hết mục này, ta đề cập đến tồn điểm bất động ánh xạ T từ C vào thỏa mãn điều kiện T c − T n x ≤ c − T n−1 x với n N đó, c tâm tiệm cận {T n x} C Định lý 2.2.8 Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Banach lồi Xét T : C → C ánh xạ cho {T n x} bị chặn với x ∈ C Nếu c tâm tiệm cận {T n x} tập hợp C tồn N cho T c − T n x ≤ c − T n−1 x với n N , c điểm bất động T Chứng minh Giả sử d = T c Khi T nx − d = T nx − T c T n−1 x − c với n > N Vì rn (d) rn−1 (c) với n > N , suy r(d) r(c) Từ Nhận xét 2.2.4 iii), ta có r(c) = r(d), điều xảy d = c Vậy T c = c, hay c điểm bất động T Chú ý 2.2.9 Vận dụng Bổ đề 2.2.7, Định lý 2.2.8 tập lồi compact yếu C không gian Banach lồi theo hướng Kết tổng quát Định lý 2.2.8 Edelstein (xem tài liệu [6], 1974) liên quan tới hữu hạn tập lồi đóng thay tập hợp có phần tử Định lý 2.2.10 Với số tự nhiên k ≥ 2, xét dãy A1 , A2 , , Ak tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach lồi ánh xạ T : ∪ki=1 Ai → ∪ki=1 Ai thỏa mãn T (Ai ) ⊂ Ai+1 với i = 1, 2, , k − T (Ak ) ⊂ T (A1 ) Giả sử tồn x0 ∈ ∪ki=1 Ai cho dãy {T n x0 } bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức T (ci ) − T n (x0 ) ≤ ci − T n−1 (x0 ) với n ∈ N, ci tâm tiệm cận {T n x0 } tập Ai tương ứng i = 1, 2, , k Khi T (ci ) = ci+1 với i = 1, 2, , k − T ck = c1 30 Chứng minh Theo Bổ đề 2.2.6, hàm x → lim supn→∞ x − T n x0 có cực tiểu điểm ci Ai với i = 1, 2, , k Do hàm f : A1 ×A2 × ×Ak → [0, ∞) xác định k lim sup − T n x0 f (a1 , a2 , , ak ) = i=1 n→∞ có cực tiểu điểm (c1 , c2 , , ck ) Tiếp theo có k lim sup T ci − T n x0 f (T ck , T c1 , , T ck−1 ) = i=1 x→∞ ≤ f (c1 , c2 , , ck ) Do ci+1 = T ci với i = 1, 2, , k − T ck = c1 Chú ý 2.2.11 Định lý 2.2.8 Edelstein trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.10 cách chọn A1 = A2 = · · · = Ak Trong khẳng định Định lý 2.2.10, ta sử dụng Bổ đề 2.2.6 để khẳng định tâm tiệm cận dãy (T n x0 ) là tập có phần tử Tương tự, vận dụng Bổ đề 2.2.7 ta thu định lý sau Định lý 2.2.12 Với số tự nhiên k ≥ 2, xét dãy A1 , A2 , , Ak tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach lồi theo hướng ánh xạ T : ∪ki=1 Ai → ∪ki=1 Ai ánh xạ cho T (Ai ) ⊂ Ai+1 với i = 1, 2, , k − T (Ak ) ⊂ T (A1 ) Giả sử có tồn x0 ∈ ∪ki=1 Ai cho {T n x0 } dãy bị chặn thỏa mãn bất đẳng thức T ci − T n x0 ci − T n−1 x0 , ci tâm tiệm cận {T n x0 } tập hợpc Ai với i = 1, 2, , k Khi T ci = ci+1 với i = 1, 2, , k − 1, T ck = c1 Kết đây, trình bày kết tồn điểm bất động kiểu ánh xạ không giãn tiệm cận suy rộng không gian Banach lồi 31 Định lý 2.2.13 Giả sử C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach lồi X Xét T : C → C ánh xạ thỏa mãn dãy {T n x0 } bị chặn với x0 ∈ C Giả sử C0 ⊂ C tập lồi đóng khác rỗng, bất biến ánh xạ T Cho c tâm tiệm cận {T n x0 } tập hợp C0 tồn N thỏa mãn bất đẳng thức T p c − T n+p x0 knp c − T n x0 , ∀n, p N, (2.18) limp→∞ limn→∞ knp = Khi T p c hội tụ mạnh tới c Hơn nữa, T liên tục c c điểm bất động T Chứng minh Từ giả thiết T p c − T n+p x0 knp c − T n x0 ∀n, p N, ta thu lim sup T p c − T n+p x0 n→∞ lim knp lim sup c − T n x0 n→∞ ∀n, p N n→∞ Vì c tâm tiệm cận dãy {T n x0 } tập hợp C0 nên ta có r (c, (T n x0 )) r (T p c, (T n x0 )) lim knp r (c, (T n x0 )) với p ≥ N Do đó, r (T p c, (T n x0 )) → r (c, (T n x0 )) p → ∞ Áp dụng Bổ đề 2.2.6, suy T p c → c p → ∞ Do đó, c điểm bất động T Trong trường hợp tổng quát, không dễ để kiểm tra liệu ánh xạ có phải ánh xạ khơng giãn tiệm cận hay khơng Ví dụ ánh xạ không ánh xạ không giãn tiệm cận, thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.2.13 Thực tế ví dụ C0 = C bất đẳng thức (2.18) thỏa mãn với x0 ∈ C Ví dụ 2.2.14 Xét X = R2 với chuẩn Euclide Xác định T : R2 → R2 xác định sau √ π √ π T (r cos θ, r sin θ ) = r cos θ + , r sin θ + 2 32 với r 0, θ 0, (r cos θ, r sin θ) biểu diễn tọa độ cực điểm R2 Điểm (0, 0) tâm tiệm cận quỹ đạo (r cos θ, r sin θ ) R2 Đây ánh xạ khơng giãn tiệm cận, chí không giãn tiệm cận điểm xét báo Kirk năm 2008 (xem tài liệu [8]), thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.2.13 Ngồi ví dụ khơng thỏa mãn Định lý 2.2.8 với x0 = (r cos θ, r sin θ ) với < r < Chú ý 2.2.15 Nếu bỏ giả thiết liên tục ánh xạ T Định lý 2.2.13, T khơng có điểm bất động Ví dụ 2.2.16 Xét ánh xạ T : R2 → R2 xác định sau: T (x, y) = (−x, −y) với y = 0, x T (x, 0) = , với x = T (0, 0) = (1, 0) T ánh xạ tự bất động Nhưng T thỏa mãn tất điều kiện Định lý 2.2.13 với x0 = (0, 1) C0 = R2 Hệ 2.2.17 Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng khơng gian Banach lồi X cho T : C → C ánh xạ không giãn tiệm cận Khi ánh xạ T có điểm bất động Hệ 2.2.18 Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi X Giả sử T : C → C ánh xạ không giãn tiệm cận điểm Khi ánh xạ T có điểm bất động Chứng minh Vì T ánh xạ khơng giãn tiệm cận điểm tập C lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi đều, với x0 ∈ C, (T n x0 ) dãy bị chặn Xét c tâm tiệm cận (T n x0 ) C Do đó, T p c − T n+p x0 αp (c) c − T n x0 Theo Định lý 2.2.13, kn p = αp (c) lim lim knp = lim αp (c) = p→∞n→∞ p→∞ Vậy tất điều kiện Định lý 2.2.13 thỏa mãn T có điểm bất động 33 Tiếp theo chúng tơi trình bày số kết tác giả Alfuraidan Khamsi tài liệu [3] số định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ không giãn tiệm cận đơn điệu Ta nhắc lại quan hệ tựa thứ tự tập hợp khác rỗng có tính chất liên kết tập không gian Banach Quan hệ ” ≤ ” tập C khác rỗng gọi hệ thức tựa thứ tự, có tính phản xạ tính bắc cầu Ngồi quan hệ có tính phản xứng, gọi quan hệ có thứ tự phận Một tập hợp có quan hệ tựa thứ tự (quan hệ thứ tự phận) gọi tập hợp tựa thứ tự (tập hợp tựa thứ tự phận) Giả sử C tập hợp tựa thứ tự với quan hệ tựa thứ tự ” ≤ ” Một dãy (xn ) X gọi đơn điệu tăng xn ≤ xn+1 , với n ∈ N Các phần tử x, y thuộc X cho so sánh x ≥ y x ≤ y Một ánh xạ T C gọi bảo toàn thứ tự T x ≤ T y x, y ∈ X x ≤ y Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach X với chuẩn · cho ” ≤ ” quan hệ tựa thứ tự C Ta định nghĩa khoảng tựa thứ tự [a, →) (←, a] C sau [a, →) = {x ∈ C : a ≤ x} , (←, a] = {x ∈ C : x ≤ a} Trong trường hợp quan hệ thứ tự phận ” ≤ ”, ta biết đến khoảng thứ tự Trong dàn Banach, khoảng thứ tự tập hợp lồi đóng, Định nghĩa 2.2.19 Cho ” ≤ ” hệ thức tựa thứ tự tập C khác rỗng không gian Banach Một ánh xạ bảo toàn thứ tự T C gọi (1) không giãn đơn điệu T x − T y ≤ x − y x, y ∈ C so sánh được, (2) khơng giãn tiệm cận đơn điệu có tồn dãy số thực dương (kn ) với limn→∞ kn = cho với số nguyên dương n ta có T n x − T n y ≤ kn x − y với x, y ∈ X so sánh 34 Định nghĩa 2.2.20 Cho ” ≤ ” quan hệ tựa thứ tự không gian Banach X với chuẩn · chuẩn cho đơn điệu với x, y ∈ X 0≤x≤y⇒ x ≤ y Định lý 2.2.21 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach X lồi với chuẩn · cho “ ≤ ” quan hệ thứ tự phần C cho khoảng thứ tự lồi đóng Cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự liên tục Giả sử có tồn x0 thuộc C cho x0 T x0 so sánh dãy (T n x0 ) bị chặn Giả sử tồn dãy (kn ) với limn→∞ kn = T n x0 − T n x ≤ kn x0 − x ∀ x0 ≤ x Khi T có điểm bất động Chứng minh Trước tiên, giả sử x0 ≤ T x0 Khi ta có x0 ≤ T x0 ≤ T x0 ≤ · · · ≤ T n x0 ≤ T n+1 x0 Tiếp theo, dãy (T n x0 ) dãy tăng bị chặn C X không gian Banach phản xạ suy dãy (T n x0 ) chứa dãy hội tụ yếu Giả sử dãy (T N x0 ) có hai dãy với hai giới hạn yếu x y , tức w w T nk x − → x, T ml x0 − → y Khoảng thứ tự đóng yếu, với x ∈ T mi0 x0 , → cho ml0 cho trước Với l0 T ml0 x0 ∈ (←, x] Vậy nên ta có y ≤ x tương tự ta có x ≤ y Do x = y Vậy (T n x0 ) hội tụ yếu tới x ∈ C dễ thấy T n x0 ≤ x với n Do C0 = ∩n [T n x0 , →) tập lồi đóng khơng trống C Dễ thấy C0 bất biến ánh xạ T Cho c tâm tiệm cận (T n x0 ) C0 Vì c ∈ C0 nên T n x0 ≤ c với n = 0, 1, 2, Vì T n x0 T n+p x0 T p c với n, p = 0, 1, 2, Do T p c − T n+p x0 kp c − T n x0 với n, p = 0, 1, 2, Vì tất điều kiện Định lý 2.2.13 thỏa mãn, c điểm bất động T Tương tự ta chứng minh kết T x0 ≤ x0 35 Định lý 2.2.22 Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi X với chuẩn · cho ” ≤ ” quan hệ tựa thứ tự C cho khoảng tựa thứ tự lồi đóng Cho T : C → C ánh xạ không giãn tiệm cận đơn điệu, liên tục Giả sử có tồn x0 thuộc C cho x0 T x0 so sánh Khi ánh xạ T có điểm bất động Chứng minh Giả sử x0 ≤ T x0 Ta có C0 = ∩n [T n x0 , →) lồi đóng khác rỗng ([T n x0 , →)) dãy giảm tập đóng compact yếu C Phần lại chứng minh giống với Định lý 2.2.21 Hệ 2.2.23 Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi X với chuẩn · cho ” ≤ ” quan hệ thứ tự phận C cho khoảng thứ tự lồi đóng Cho T : C → C ánh xạ không giãn tiệm cận đơn điệu liên tục có tồn x0 ∈ C cho x0 T x0 so sánh Khi T có điểm bất động Chú ý 2.2.24 Ta có Hệ 2.2.17 trường hợp đặc biệt Định lý 2.2.22 Đặc biệt, ta lấy C × C quan hệ tựa thứ tự C (tức x ≤ y ,với x, y ∈ C ) tất điều kiện Định lý 2.2.22 thỏa mãn quan hệ tựa thứ tự ta có điểm bất động ánh xạ T Ta có định lý sau sử dụng phương pháp chứng minh Định lý 2.2.21 Định lý 2.2.25 Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi X với chuẩn · cho ” ≤ ” quan hệ thứ tự phận C cho khoảng thứ tự lồi đóng Cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự Giả sử tồn x0 thuộc C cho x0 T0 so sánh dãy (T n x0 ) bị chặn Giả sử có bất đẳng thức T x0 − T x ≤ x0 − x Khi ánh xạ T có điểm bất động Định lý chứng minh Bin Dehaish Khamsi (tài liệu [4]) cho ánh xạ đơn điệu không giãn xác định tập lồi compact yếu không gian Banach lồi theo hướng Định lý Bin Dehaish Khamsi ta xét quan hệ tựa thứ tự thay quan hệ thứ tự phận 36 Hệ 2.2.26 Cho C tập lồi compact yếu khác rỗng không gian Banach lồi theo hướng X với chuẩn · cho “ ≤ ” quan hệ tựa thứ tự C cho khoảng tựa thứ tự lồi đóng Nếu T : C → C ánh xạ không giãn đơn điệu tồn x0 thuộc C thỏa mãn x0 T x0 so sánh Khi T có điểm bất động C Ví dụ 2.2.27 Cho C := {x = (x1 , x2 , ) ∈ l2 : x ≤ 2, x1 ≥ 1} Thì C tập lồi đóng bị chặn l2 Định nghĩa quan hệ x ≤ y y = cx với c > T (x) = 2x x Dễ dàng thấy T liên tục C Ngoài T không giãn đơn điệu không giãn khoảng thứ tự đóng lồi Vận dụng Hệ 2.2.26, suy tồn điểm bất động T Tiếp theo, trình bày số kết điểm bất động cho ánh xạ bảo toàn thứ tự Định lý 2.2.28 Cho C tập lồi đóng bị chặn khác rỗng không gian Banach lồi X với chuẩn · cho “ ≤ quan hệ tựa thứ tự C cho khoảng tựa thứ tự tập lồi đóng Cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự, chuẩn đơn điệu C Giả sử tồn x0 thuộc C cho ≤ x0 ≤ T x0 dãy (T n x0 ) bị chặn Khi dãy lặp Picard x0 hội tụ mạnh tới x thuộc C Nếu T liên tục x điểm bất động T Chứng minh Từ tính chất bảo tồn thứ tự T ta có ≤ x0 ≤ T x0 ≤ T x0 ≤ Quỹ đạo x0 bị chặn dãy (T n x0 ) chứa dãy hội tụ yếu Giả sử dãy (T n x0 ) có hai dãy với giới hạn yếu x y , tức w w → x, T ml x0 − → y T nk x − T n x0 x T n x0 y Như chứng minh Định lý 2.2.21, ta thu ≤ x ≤ y ≤ y ≤ x Vì khoảng tựa thứ tự tập lồi x x+y y Vì x = y = x+y X khơng gian tuyến tính chuẩn lồi chặt suy x = y 37 Vì (T n x0 ) hội tụ yếu tới điểm x C T n x0 ≤ x với n = 0, 1, 2, Từ tính chất đơn điệu chuẩn ta có x0 T x0 T x0 Vì ( T n x0 ) dãy tăng ( T n x0 ) lim T n x0 x , ta có x n→∞ Lưu ý x→ x ánh xạ nửa liên tục tơ pơ yếu X Vì xn hội tụ yếu tới x suy x lim inf n→∞ T n (x0 ) Do lim T n (x0 ) = x n→∞ w T n x0 − →x Do X không gian Banach lồi suy T n x0 hội tụ mạnh tới x Vì T ánh xạ liên tục, nên x điểm bất động T Chú ý 2.2.29 Cho C tập lồi khác rỗng không gian Banach lồi chặt, cho “ ≤ quan tựa thứ tự C cho khoảng thứ tự tập lồi chuẩn thỏa mãn tính chất đơn điệu Khi “ ≤ quan hệ thứ tự phận C+ = {x ∈ C : x ≥ 0} Nếu ta xem xét quan hệ thứ tự phận thay cho quan hệ tựa thứ tự Định lý 2.2.28 ta có kết sau Định lý 2.2.30 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ với tính chất KK cho “ ≤ ” quan hệ thứ tự phận C cho khoảng thứ tự tập lồi, đóng chuẩn đơn điệu C Cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự Giả sử tồn x0 thuộc C cho ≤ x0 ≤ T x0 dãy (T n x0 ) bị chặn Khi dãy lặp Picard x0 hội tụ mạnh tới điểm x thuộc C Ngoài T liên tục x điểm bất động T Chứng minh định lý giống với chứng minh Định lý 2.2.28 38 Ví dụ 2.2.31 Cho C : {x = (x1 , x2 , ) ∈ l2 : xi ≥ 0} Thì C tập lồi đóng l2 Với x, y ∈ C xác định quan hệ x ≤ y xi ≤ yi với i = 1, 2, xác định T : C → C T (x1 , x2 , x3 , ) = x21 , x22 , x23 , + 1 , , , Khi T ánh xạ bảo tồn thứ tự liên tục quỹ đạo T bị chặn Vì vậy, (T n 0) hội tụ tới điểm bất động T Định nghĩa 2.2.32 Không gian véc tơ thực X với quan hệ thứ tự phần “ ≤ ” cho không gian véc tơ thứ tự tiên đề sau thỏa mãn: (a) x ≤ y → x + z ≤ y + z với x, y, z ∈ X (b) x ≤ y → tx ≤ ty với t ≥ 0, x, y ∈ X Một không gian véc tơ thứ tự gọi dàn véc tơ x ∨ y := sup {x, y} x ∨ y := inf {x, y} tồn với x, y ∈ X Định nghĩa 2.2.33 Không gian Banach thực X với chuẩn · , gọi dàn Banach (a) X có cấu trúc thứ tự “ ≤ ” cho (X, ≤) dàn véc tơ, (b) |x| ≤ |y| ⇒ x ≤ y |x| := sup {x, 0} + sup {−x, 0} Định lý 2.2.34 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Banach phản xạ X trên trường R với chuẩn · Ngồi giả sử X khơng gian véc tơ thứ tự cho khoảng thứ tự tập lồi đóng chuẩn đơn điệu Cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự Giả sử tồn x0 thuộc C cho x0 T x0 so sánh dãy (T n x0 ) bị chặn Khi (T n x0 ) hội tụ mạnh tới điểm x thuộc C Hơn nữa, T liên tục, x điểm bất động T Chứng minh Cho x0 ≤ T x0 Khi đó, chứng minh Định lý 2.2.21, ta có (T n x0 ) hội tụ yếu tới điểm x C T n x0 ≤ x với n = 0, 1, 2, Bao đóng yếu con(T n x0 ) = bao đóng chuẩn con(T n x0 ) Do x nằm bao đóng chuẩn con(T n x0 ) Với > tồn y con(T n x0 ) cho y − x < ε Khi y = λ0 x0 + λ1 T x0 + + λk T k x0 39 λi ≥ λi = Với n ≥ k ta có y ≤ T n x0 ≤ x, ≤ x − T n x0 ≤ x − y Vậy x − T n x0 x − y < ε với n ≥ k Do (T n x0 ) hội tụ mạnh tới x Vì T liên tục, nên x bất động T Tương tự ta chứng minh kết x0 ≥ T x0 Hệ 2.2.35 Cho C tập lồi đóng khác rỗng dàn Banach phản xạ cho T : C → C ánh xạ bảo toàn thứ tự Giả sử tồn x0 thuộc C cho x0 T x0 so sánh dãy (T n x0 ) bị chặn Khi (T n x0 ) hội tụ mạnh tới x Hơn T liên tục x điểm bất động T Ta đưa ví dụ sau để minh họa cho Hệ 2.2.35 Ví dụ 2.2.36 Xét Ví dụ 2.2.31 chuẩn · x = max ( x , b x ∞) b > 1, x ∞ · theo thứ tự chuẩn sup chuẩn Euclide l2 Dễ thấy l2 , · dàn Banach phản xạ Tất điều kiện Hệ 2.2.35 thỏa mãn T có điểm bất động Kết luận Luận văn trình bày hai phương pháp lặp giải toán bất đẳng thức biến phân tập điểm bất động chung họ vô hạn đếm ánh xạ không giãn không gian Hilbert không gian Banach Cụ thể (1) Trình bày số kết đặc trưng không gian Banach (Không gian Banach lồi đều, không gian Banach lồi chặt Modul lồi) (2) Bài toán điểm bất động (3) Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ khơng giãn (4) Trình bày số kết điểm bất động cho ánh xạ không giãn suy rộng 40 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đỗ Văn Lưu (2000), Giải tích lồi, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Hoàng Tụy (2003), Hàm thực Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật Tiếng Anh [3] Alfuraidan M R., Khamsi M A (2018) “A fixed point theorem for monotone asymptotically nonexpansive mappings”, Proceedings of the American Mathematical Society, 146(6), pp.2451–2456 [4] B A Bin Dehaish, M A Khamsi (2016), “Browder and Gohde fixed point theorem for monotone nonexpansive mappings”, Fixed Point Theory Appl., 20 [5] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and Nonlinear Iterations, Springer-Verlag, New York [6] M Edelstein (1974), “Fixed point theorems in uniformly convex Banach spaces” Proc Amer Math Soc., 44, pp 369–374 [7] K Goebel, W.A Kirk (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [8] W A Kirk, H.K Xu (2008), “Asymptotic pointwise contractions”, Nonlinear Anal., 69(12), pp.4706–4712 [9] Samir Kar, P Veeramani (2019), "Fixed-Point Theorems for Generalized Nonexpansive Mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, 40, pp 888–901 41 ... 1.2 Điểm bất động ánh xạ không giãn 10 Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng 14 2.1 Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ không giãn 14 2.2 Một số. .. x − y Suy λ = β , tức T z = z Do đó, z ∈ F ix(T ) Vậy F ix(T ) tập lồi Chương Một số định lý điểm bất động ánh xạ không giãn suy rộng 2.1 Về dãy xấp xỉ điểm bất động cho ánh xạ không giãn Mục... T xn , n ≥ 0, hội tụ tới điểm bất động ánh xạ T Từ định nghĩa ánh xạ khơng giãn trên, ta có bổ đề sau tồn dãy xấp xỉ điểm bất động ánh xạ không giãn Bổ đề 1.2.3 Cho X không gian Banach C tập