Một số định lý điểm bất động của ánh xạ không giãn suy rộng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - ĐỖ TRUNG HIẾU MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN SUY RỘNG Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số :8460112 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Nguyễn Thị Ngc Oanh THI NGUYấN - 2020 Mửc lửc BÊng kỵ hi»u Mð ƒu Ch÷ìng Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng khỉng gian Banach B i to¡n t…m i”m b§t ºng 1.1 Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng khỉng gian Banach 1.1.1 Khổng gian Banach lỗi ãu 1.1.2 Khæng gian Banach lỗi cht 1.1.3 Modul lỗi 1.2 im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn Chữỡng Mt s nh lỵ im bĐt ng ca Ănh x khổng giÂn 4 10 10 suy rng 2.1 Vã dÂy xĐp x im bĐt ng cho Ănh x khổng giÂn 2.2 Mºt sŁ k‚t qu£ vã im bĐt ng cho Ănh x khổng giÂn suy rºng K‚t lu“n 14 14 26 40 T i li»u tham khÊo 41 iii BÊng kỵ hiằu khổng gian Banach t“p c¡c sŁ thüc t“p c¡c sŁ thüc khỉng ¥m cĂc s tỹ nhiản vợi mồi x toĂn tò ngữổc ca toĂn tò A toĂn tò ỗng nhĐt c¡c h m li¶n tưc tr¶n o⁄n [a; b] kho£ng c¡ch tł phƒn tß x ‚n t“p hỉp C X R R+ N 8x A I C[a; b] d(x; C) lim sup n!1 x n lim infn!1 xn xn ! x0 xn * x0 Fix(T ) Lp p l giợi hn trản ca dÂy s fxng giợi hn dữợi ca dÂy s fxng dÂy fxng hi tử mnh vã x0 dÂy fxng hi tử yu vã x0 im b§t ºng cıa ¡nh x⁄ T t“p hỉp c¡c h m khÊ tch cĐp p hổp cĂc dÂy khÊ tŒng c§p p Mð ƒu B i to¡n t…m im bĐt ng ca Ănh x  v ang l mt ch ã thu hút sỹ quan tƠm ca nhiãu nh toĂn hồc v ngo i nữợc Mt nhng hữợng nghiản cứu vã b i toĂn im bĐt ng l xƠy dỹng phữỡng phĂp tm (xĐp x) im b§t ºng cıa ¡nh x⁄ khỉng gian Hilbert ho°c khổng gian Banach Nhiãu b i toĂn liản quan tợi phữỡng phĂp xĐp x n y  ữổc t v gi£i quy‚t cho tłng lỵp ¡nh x⁄ chflng h⁄n nhữ Ănh x co, Ănh x khổng giÂn, Vợi lun vôn tt nghiằp thc sắ, em lỹa chồn mºt phƒn b i to¡n x§p x¿ nghi»m cho c¡c ¡nh x⁄ khỉng gi ¢n khỉng gian Banach Dữợi sỹ hữợng dÔn ca TS Trn XuƠn Quỵ v TS Nguy„n Thà Ngåc Oanh, em chån • t i lun vôn: Mt s nh lỵ im bĐt ng ca ¡nh x⁄ khỉng gi¢n suy rºng Nºi dung lu“n vôn ữổc trnh b y hai chữỡng, cử th nhữ sau: Chữỡng 1: Trnh b y vã mt s k‚t qu£ °c tr÷ng khỉng gian Banach - B i toĂn tm im bĐt ng Chữỡng 2: Trnh b y vã nh lỵ im bĐt ng ca Ănh x khỉng gi¢n suy rºng Trong qu¡ tr…nh håc t“p v nghiản cứu ti Trữớng i hồc Khoa hồc, i hồc ThĂi Nguyản, em luổn nhn ữổc sỹ quan tƠm giúp ï v ºng vi¶n cıa c¡c thƒy cỉ Ban GiĂm hiằu, phặng o to, Khoa ToĂn Tin Vợi bÊn lun vôn n y, em mong mun ữổc gõp mt phƒn nhä cæng søc cıa m…nh v o vi»c g…n gi v phĂt huy và àp, sỹ hĐp dÔn cho nhng nh lỵ toĂn hồc dắ  rĐt àp ¥y cơng l mºt cì hºi cho em gßi líi tri Ơn tợi th cĂc thy cổ giÊng viản ca trữớng i hồc Khoa hồc i hồc ThĂi Nguyản nõi chung v Khoa ToĂn Tin nõi riảng,  truyãn thử cho em nhiãu kin thức khoa hồc quỵ bĂu thới gian em ữổc l hồc viản ca trữớng T¡c gi£ xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hiằu trữớng THPT Dữỡng QuÊng H m, Hững Yản to n th cĂc anh ch em ỗng nghiằp  to iãu kiằn tt nhĐt cho tĂc giÊ thới gian i håc Cao håc; c£m ìn c¡c anh chà em hồc viản lợp Cao hồc ToĂn K12 v bn b ỗng nghiằp  trao i, ng viản v kh‰ch l» t¡c gi£ qu¡ tr…nh håc t“p v l m lun vôn ti trữớng i hồc Khoa hồc, i hồc ThĂi Nguyản c biằt em xin ữổc b y tọ lặng bit ỡn sƠu sc tợi giĂo viản hữợng dÔn, TS Trn XuƠn Quỵ v TS Nguyn Th Ngồc Oanh  luổn quan tƠm Ơn cn ch b£o, ºng vi¶n kh ‰ch l», gióp ï t“n t…nh v gõp ỵ sƠu sc cho em sut quĂ trnh hồc cụng nhữ thỹc hiằn ã t i Ch°ng ÷íng vła qua s‡ l nhœng k¿ ni»m ¡ng nhợ v y ỵ nghắa i vợi cĂc anh ch em hồc viản lợp K12 nõi chung v vợi bÊn thƠn em nõi riảng DĐu Đn Đy hin nhiản khổng th thiu sỹ hỉ trổ, sà chia y yảu thữỡng ca cha mà hai v cĂc anh ch em ch¡u gia …nh Xin ch¥n th nh c£m ỡn tĐt cÊ nhng ngữới thƠn yảu  giúp ù, ỗng h nh em trản chng ữớng va qua CuŁi cịng tỉi xin c£m ìn tỵi gia …nh, b⁄n b, ỗng nghiằp  trao i, ng viản v khch l» tæi qu¡ tr…nh håc t“p v l m lun vôn ti trữớng i hồc Khoa hồc, i hồc ThĂi Nguyản ThĂi Nguyản, ng y 22 thĂng 06 nôm 2020 TĂc giÊ lun vôn ỉ Trung Hiu Chữỡng Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng khỉng gian Banach - B i toĂn tm im bĐt ng Chữỡng n y tr…nh b y mºt sŁ t‰nh ch§t h…nh håc khỉng gian Banach v b i to¡n i”m b§t ºng khỉng gian Banach Ki‚n thøc cıa ch÷ìng ÷ỉc tŒng hæp tł c¡c t i li»u [1], [2] v [5] 1.1 Mºt sŁ k‚t qu£ °c tr÷ng khỉng gian Banach 1.1.1 Khổng gian Banach lỗi ãu Xt X l khổng gian Banach v x X cho trữợc, x†t Sr(x0) m°t cƒu t¥m x0 b¡n k‰nh r > 0, ngh¾a l , Sr(x0) := fx X : jjx nh nghắa 1.1.1 Khổng gian Banach X bĐt ký, tỗn ti = ( ) > cho nu x; y jjx yjj > , th… 2(x + y) 61 : x0jj = rg: ÷ỉc gåi l lỗi ãu nu X vợi jjxjj = 1; jjyjj thĐy: T nh nghắa ta lỗi ãu nu bĐt ký khổng gian Banach X l tỗn ti = ( ) > cho n‚u x; y X vỵi jjxjj 1; jjyjj v jjx th… 2(x + y) 61 (0; 2] =1v (0 2] ; yjj > , Kt quÊ dữợi Ơy l mt v dử vã khổng gian lỗi ãu nh lỵ 1.1.2 Khổng gian Lp vợi < p < l khổng gian Banach lỗi ãu nh lỵ 1.1.3 GiÊ sò X l khổng gian Banach lỗi ãu Khi õ vợi bĐt ký d > 0; > v cĂc vecto tũy ỵ x; y X vợi jjxjj d; jjyjj d; jjx yjj > , tỗn ti > cho 2(x + y) dd: x; y Chứng minh Vợi bĐt ký X, x†t z = d y ;z , v t“p Hi”n nhi¶n > 0; hìn nœa jjz1jj 1; jjz2jj lỗi ãu ca X , tỗn ti x v jjz1 z2jj = d jjx yjj > d = : Tł t‰nh > 0; 2(z1 + z2) ( ); ngh¾a l ; (x + y) 1d 21d suy 2(x + y) dd: Ta câ i•u ph£i chøng minh Mằnh ã 1.1.4 Cho X l khổng gian Banach lỗi •u v gi£ sß (0; 1), > Khi õ vợi bĐt ký d > 0, nu x; y X thäa m¢n jjxjj d; jjyjj d; jjx yjj > , th tỗn ti = d > cho jj x + (1 )yjj d minf ; g d: MŁi li¶n h» gi tnh lỗi ãu v tnh phÊn x ca khổng gian Banach X ữổc cho bi nh lỵ dữợi Ơy nh lỵ 1.1.5 Nu X l khổng gian Banach lỗi ãu th X l khổng gian phÊn x Chứng minh GiÊ sò X l khổng gian Banach lỗi •u, ta cƒn chøng minh X l khæng gian Banach ph£n x⁄ Gi£ sß S X := fj X : kjk = 1g l h…nh cƒu ìn X v f SX Gi£ sß fxng l mºt d¢y SX cho hxn; fi ! Ta s‡ ch¿ fxng l mºt d¢y Cauchy Gi£ sò fxng khổng l dÂy Cauchy, õ tỗn ti > v d¢y fx ni g cıa fxng cho kxni xnj k > ; 8i 6= j: Theo giÊ thit, X l khổng gian lỗi ãu, nản ( ) > cho x ni + xnj lỗi cht khổng lỗi ãu V dử 1.1.16 Khổng gian l1 khổng lỗi cht Tht vy, chồn x = (1; 0; 0; 0; :::); y = (0; 1; 0; 0; 0; :::) Khi â x; y l1, x 6= y v jjxjjl1 = = jjyjjl1 Tuy nhiản k(x + y)=2k = Suy l1 khổng lỗi cht V dử 1.1.17 Khổng gian l1 khổng lỗi cht Th“t v“y, x†t x = (1; 1; 0; 0; 0; :::) v y = ( 1; 1; 0; 0; 0; :::) Khi â x; y l 1, x 6= y v jjxjj1 = = jjyjj1 Tuy nhi¶n k(x + y)=2k = Do õ l1 khổng lỗi cht 27 Rª r ng rm > rm+1 v rm > Do õ, tỗn ti giợi hn r = lim rm = inffrmg: m!1 m Chú ỵ 2.2.1 Nu r = 0, th dÂy fung hi tử nh nghắa 2.2.2 N‚u d¢y fc mg hºi tư, th… c = lim m!1 cm ữổc gồi l tƠm tiằm cn ca fumg tữỡng ứng i vợi C Ta cõ nh lỵ dữợi Ơy: nh lỵ 2.2.3 Vợi X, C v fung xĂc nh nhữ trản, th dÂy fc ng hi tử v õ tƠm tiằm cn c tỗn ti Chứng minh N‚u r = 0, th… fung l d¢y Cauchy v lim un = lim cn = c: n!1 õ n!1 GiÊ sò r > v dÂy fc ng khổng hi tử Khi õ, tỗn ti > cho vợi mồi s tỹ nhiản N, tỗn ti cĂc s nguyản dữỡng n > m > N cho kc n cmk > T tnh lỗi ãu cıa X, ta câ kuk cnk rn rm; k > n; kuk cmk rm; k > m: Suy u (1( kcn cmk )) cm + cn k r m X k k rm rm(1 X( =D)); vỵi d = diam(fung) M°t kh¡c, v… (cn + cm)=2 6= cn, nản tỗn ti k > n cho cm + cn k: rn < kuk T cĂc Ănh giÊ trản, ta nhn ữổc rm rn > rm X ( =D) > r X ( =D) Tuy nhiản, iãu n y khổng th xÊy v… frng hºi tư Do â d¢y fcng hºi tư Nh“n x†t 2.2.4 i) N‚u ym ! y th… rm(ym) ! r(y) Th“t v“y, ta câ jrm(ym) r(y)j jrm(ym) rm(y)j + jrm(y) r(y)j jym Do â rm(ym) ! r(y) yj + +jrm(y) r(y)j ! 0: 28 ii) Vỵi mỉi tƠm tiằm cn c ca fung tữỡng ứng vợi C v vỵi x C n fcg, ta câ r((x + c)=2) < r(x) cho kcn Th“t v“y, v cn ! c, nản tỗn ti N n > N T tnh lỗi ãu ca X, nh nghắa ca rn kuk (x + cn)=2k rn(x)(1 â = r1(x) + Do X (kx ck=2 )); X (kx â rn((x + cn)=2) rn(x)(1 ck=2 )): Suy r((x + c)=2) r(x)(1 xk > kc xk=2 vỵi måi v cn, ta câ X (kx ck=2 )) < r(x): iii) Vợi mỉi tƠm tiằm cn c ca fung tữỡng ứng vợi C v vợi x C n fcg, ta câ r(c) < r(x) Th“t v“y, ta câ rm(cm) rm(y) v â r(c) r(y) vỵi måi y C Gi£ sß r(c) = r(x), â vỵi y = (x + c)=2, tł ii) ta câ r(y) < r(x), mƠu thuÔn vợi r(c) r(y) vợi mồi y C V“y ta câ r(c) < r(x) T¥m tiằm cn ca mt dÂy b chn i vợi mt C lỗi õng khổng gian Banach X khỉng cƒn ph£i l t“p hỉp câ mºt phƒn tß Chflng hn nhữ v dử dữợi Ơy n V‰ dư 2.2.5 N‚u ta xem x†t d¢y bà ch°n f( 1) (0; 1)g R vỵi chu'n sup, th… tƠm tiằm cn ca dÂy n y i vợi lỗi õng C := f(x; 0) : x 1)g l ch‰nh l t“p C Tuy nhi¶n, bŒ sung v i gi£ thi‚t Łi vỵi t“p C v Łi vợi khổng gian X s Êm bÊo rng tƠm tiằm c“n l t“p hỉp ch¿ câ mºt phƒn tß, chflng hn nhữ hai b ã dữợi Ơy B ã 2.2.6 GiÊ sò X l khổng gian Banach lỗi ãu v C l mt lỗi õng khĂc rỉng ca X Khi õ, tƠm tiằm cn ca mồi dÂy b ch°n X Łi vỵi t“p hỉp C l l t“p hỉp ch¿ câ mºt phƒn tß Ngo i ra, nu fxng l mt dÂy b chn X vợi tƠm tiằm cn x i vợi hổp C v n‚u fymg l mºt d¢y C cho r(y m; fxng) ! r(x0; fxng) m ! 1, th… ym ! x0 29 BŒ • 2.2.7 Gi£ sò X l khổng gian Banach lỗi ãu theo mồi hữợng v C X l mt lỗi, khĂc rØng v compact y‚u cıa X Khi â t¥m ti»m cn ca mồi dÂy b chn X i vợi C l hổp ch cõ mt phn tò Trữợc h‚t mưc n y, ta • c“p ‚n sü tỗn ti x T t C v o chnh nõ v thọa mÂn iãu kiằn T c f g n > N n o â, ð ¥y c l t¥m ti»m c“n cıa T k n T k x Łi vợi im bĐt ng ca Ănh n n C c T x x vợi nh lỵ 2.2.8 Cho C l mt lỗi õng khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi ãu Xt T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ cho fT nxg bà ch°n vợi mỉi x C Nu c l tƠm tiằm c“n cıa fT nxg Łi vỵi t“p hỉp C v tỗn ti N cho n kT c T xk c T n 1x vỵi n > N, th… c l mºt i”m b§t ºng cıa T Chøng minh Gi£ sß d = T c Khi â kT nx dk = kT nx T ck kT n 1x ck vỵi måi n > N: r(c) Tł Nh“n x†t 2.2.4 iii), rn (d) rn 1(c) vỵi n > N, suy r(d) ta câ r(c) = r(d), i•u n y ch¿ x£y d = c V“y T c = c, hay c l i”m b§t ng ca T V vy Chú ỵ 2.2.9 Vn dửng B ã 2.2.7, th nh lỵ 2.2.8 úng i vợi lỗi compact yu C ca khổng gian Banach lỗi ãu theo mồi hữợng Kt quÊ dữợi Ơy l tng quĂt nh lỵ 2.2.8 ca Edelstein (xem t i liằu [6], 1974) liản quan tợi hu hn lỗi õng thay v mt hổp cõ nhĐt phn tò nh lỵ 2.2.10 Vợi s tỹ nhiản k 2, xt dÂy A 1; A2; :::; Ak cĂc lỗi õng khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi ãu v Ănh x T k :[ i=1Ai k i=1Ai ![ v T (Ak) thäa m¢n T (Ai) Ai+1 vỵi i = 1; 2; :::; k T (A1) GiÊ sò tỗn k n thọa mÂn bĐt flng thøc t⁄i x0 [i =1Ai cho d¢y fT x0g bà ch°n v i n T n 1(x ) kT (ci) T (x0)k ci n Tx øng i = 1; 2; :::; k Khi â T (ci) = ci+1 vỵi i = 1; 2; :::; k vỵi måi n N, â ci l t¥m ti»m c“n cıa f g v t÷ìng T c k = c Łi vỵi t“p A 1v 30 Chøng minh Theo BŒ • 2.2.6, h m x ! lim supn!1 kx T nx0k câ cüc ti”u nh§t t⁄i i”m ci trản Ai vợi i = 1; 2; :::; k Do â h m f : A1 A2 ::: Ak ! [0; 1) ÷ỉc x¡c ành bði ( k k X )= i= f a ; a ; :::; a câ cüc ti”u nh§t t⁄i Ti‚p theo câ ( k1 k )= i=1 ki n!1 lim sup a n T x i”m (c1; c2; :::; ck): k x!1 k i X 0k lim sup T c T nx v T c k = c 1: Do â ci+1 = T ci vỵi i = 1; 2; :::; k f T c ; T c ; :::; T c 0k k f (c ; c ; :::; c ): Chú ỵ 2.2.11 nh lỵ 2.2.8 ca Edelstein l mt trữớng hổp c biằt ca nh lỵ 2.2.10 bng cĂch chồn A1 = A2 = = Ak: Trong khflng nh ca nh lỵ 2.2.10, ta sò dửng B ã 2.2.6 khflng nh n rng tƠm tiằm cn ca dÂy (T x0) l l cõ nhĐt mt phn tò Tữỡng tỹ, dửng B ã 2.2.7 ta thu ữổc nh lỵ sau nh lỵ 2.2.12 Vợi s tỹ nhiản k 2, x†t d¢y A 1; A2; :::; Ak c¡c t“p lỗi õng khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi ãu theo mồi hữợng v Ănh x T k :[ i=1Ai k i=1Ai ![ l mºt ¡nh x⁄ cho T (Ai) Ai+1 vỵi i = 1; 2; :::; k v T (Ak) T (A1): k n thọa mÂn bĐt GiÊ sò cõ tỗn ti x0 [i =1Ai cho fT x0g l d¢y bà ch°n v n flng thøc kT ci T x0k ci n T x0 ; =12 i t¥m ti»m c“n cıa i f T x0 Łi vỵi t“p n â c l hỉpc A vỵi i ; ; :::; k: 1, v T ck = c1: Khi â T ci = ci+1 vỵi i = 1; 2; :::; k g K‚t qu£ dữợi Ơy, trnh b y kt quÊ ch sỹ tỗn ti ca cĂc im bĐt ng i vợi kiu ¡nh x⁄ khỉng gi¢n ti»m c“n suy rºng khỉng gian Banach lỗi ãu 31 nh lỵ 2.2.13 GiÊ sò C l mt lỗi õng khĂc rỉng ca khổng gian n Banach lỗi ãu X Xt T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ thäa m¢n dÂy fT x0g b chn vợi mỉi x0 C GiÊ sò C0 C l mt lỗi õng khĂc rỉng, bĐt bin i vợi Ănh x T n Cho c l t¥m ti»m c“n cıa fT x0g Łi vợi hổp C0 v tỗn ti N thọa mÂn b§t flng thøc p kT c T n+p x0k knpkc n (2.18) T x0k; 8n; p > N; â limp!1limn!1knp = 1: p Khi â T c hºi tử mnh tợi c Hỡn na, nu T liản tửc t⁄i c th… c l b§t ºng cıa T Chøng minh Tł gi£ thi‚t p T c T ta thu n+p mºt i”m n x0 knp kc T x0k 8n; p > N; ÷ỉc p lim sup T c T n+px n!1 lim k n!1 n V c l tƠm tiằm cn ca dÂy fT n p lim sup kc np n T x 0k n; p > N: n!1 x0g Łi vỵi t“p hỉp C0 n¶n ta câ n n r (c; (T x0)) r (T c; (T x0)) lim knpr (c; (T x0)) vỵi p N p p n n Do â, r (T c; (T x0)) ! r (c; (T x0)) p ! p dưng BŒ • 2.2.6, suy T c ! c p ! Do â, c l mºt i”m b§t ºng cıa T Trong tr÷íng hỉp tŒng qu¡t, khỉng d„ ” ki”m tra li»u mºt ¡nh x⁄ câ ph£i l ¡nh x⁄ khổng giÂn tiằm cn hay khổng V dử dữợi Ơy ch¿ mºt ¡nh x⁄ khæng l ¡nh x⁄ khæng giÂn tiằm cn, thọa mÂn tĐt cÊ cĂc iãu kiằn ca nh lỵ 2.2.13 Thỹc t v dử n y C = C v b§t flng thøc (2.18) thọa mÂn vợi mồi x0 C 2 V‰ dư 2.2.14 X†t X = R vỵi chu'n Euclide X¡c ành T : R ! R x¡c ành nh÷ sau T (r cos ; r sin ) = p r cos + ;p r sin + 32 vỵi r > 0; > 0; â (r cos ; r sin ) l bi”u di„n tåa º cüc cıa mºt i”m R i”m (0; 0) l t¥m ti»m c“n cıa mºt quÿ ⁄o t⁄i (r cos ; r sin ) Łi vỵi R Ơy khổng phÊi l mt Ănh x khổng giÂn ti»m c“n, th“m ch‰ khỉng ph£i l khỉng gi¢n ti»m c“n tłng i”m x†t b i b¡o cıa Kirk nôm 2008 (xem t i liằu [8]), nõ thọa mÂn tĐt cÊ nhng iãu kiằn ca nh lỵ 2.2.13 Ngo i v‰ dư n y khỉng thäa m¢n nh lỵ 2.2.8 vợi x0 = (r cos ; r sin ) vợi < r < Chú ỵ 2.2.15 N‚u bä gi£ thi‚t li¶n tưc cıa ¡nh x⁄ T nh lỵ 2.2.13, th T khổng cõ mt i”m b§t ºng V‰ dư 2.2.16 X†t ¡nh x⁄ T : R2 ! R2 x¡c ành nh÷ sau: T (x; y) = ( x; y) vỵi y 6= 0; T (x; 0) = x ; vỵi x 6= v T (0; 0) = (1; 0) : Tl mt Ănh x tỹ bĐt ng Những T thọa mÂn tĐt cÊ nhng iãu kiằn ca nh lỵ 2.2.13 vỵi x0 = (0; 1) v C0 = R H» qu£ 2.2.17 Cho C l mºt t“p lỗi õng b chn khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi ãu X v cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ khỉng gi¢n ti»m c“n Khi â ¡nh x⁄ T câ i”m b§t ºng H» qu£ 2.2.18 Cho C l mt lỗi õng b chn khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi ãu X GiÊ sß T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ khỉng gi¢n ti»m c“n tłng i”m Khi â ¡nh x⁄ T câ i”m b§t ºng Chøng minh V… T l mt Ănh x khổng giÂn tiằm cn tng im trản C lỗi n õng b chn khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi ãu, vợi x C; (T x0) l d¢y bà ch°n X†t c l t¥m ti»m c“n cıa (T nx0) p n+p T c T x0 Theo nh lỵ 2.2.13, th knp = i vỵi C Do â, n p (c) kc T x0k : p(c) v lim lim knp = lim p!1n!1 p (c) = 1: p!1 Vy tĐt cÊ cĂc iãu kiằn ca nh lỵ 2.2.13 ãu thọa mÂn v â T câ i”m b§t ºng 33 Ti‚p theo chóng tỉi tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ cıa c¡c t¡c gi£ Alfuraidan v Khamsi t i li»u [3] vã mt s nh lỵ im bĐt ng cho lợp Ănh x khổng giÂn tiằm cn ỡn iằu Ta nh›c l⁄i quan h» tüa thø tü tr¶n t“p hỉp khĂc rỉng v cõ tnh chĐt liản kt ca nõ t“p cıa c¡c khæng gian Banach Quan h» " " trản mt C khĂc rỉng ữổc gồi l mºt h» thøc tüa thø tü, n‚u nâ câ t‰nh ph£n x⁄ v t‰nh b›c cƒu Ngo i n‚u quan h» n y câ t‰nh ph£n xøng, th… nâ ÷ỉc gåi l mºt quan h» câ thø tü bº ph“n Mºt t“p hæp câ mºt quan h» tüa thø tü (quan h» thø tü bº ph“n) ÷ỉc gåi l mºt t“p hæp tüa thø tü (t“p hæp tüa thø tü bº ph“n) Gi£ sß C l mºt t“p hỉp tüa thø tü vỵi quan h» tüa thø tü " :" Mt dÂy (x n) X ữổc gồi l ỡn iằu tông nu xn xn+1, vợi mồi n N CĂc phn tò x; y thuc X ữổc cho l câ th” so s¡nh ÷ỉc n‚u x y hoc x y Mt Ănh x T trản C ữổc gåi l b£o to n thø tü n‚u T x T y b§t ký x; y X v x y Cho C l mt lỗi õng khĂc rØng cıa khỉng gian Banach X vỵi chu'n k k v cho " " l mºt quan h» tüa thø tỹ trản C Ta nh nghắa cĂc khoÊng tỹa thứ tü [a; !) ho°c ( ; a] C nh÷ sau [a; !) = fx C : a xg ; ( ; a] = fx C : x ag : Trong tr÷íng hỉp cıa quan h» thø tü b phn " ", ta  bit n nhữ l c¡c kho£ng thø tü Trong d n Banach, c¡c kho£ng thứ tỹ l hổp lỗi v õng, nh nghắa 2.2.19 Cho " " l mºt h» thøc tüa thø tü tr¶n mºt t“p C kh¡c rØng cıa khỉng gian Banach Mºt ¡nh x⁄ b£o to n thø tü T trản C ữổc gồi l (1) khổng giÂn ỡn i»u n‚u kT x T yk kx yk mØi x; y C câ th” so s¡nh ÷ỉc, (2) khổng giÂn tiằm cn ỡn iằu nu cõ tỗn ti mt dÂy s thỹc dữỡng (k n) vợi limn!1 kn = cho vợi mỉi s nguyản dữỡng n ta cõ n kT x n T yk vợi bĐt ký x; y X câ th” so s¡nh kn kx ữổc yk 34 nh nghắa 2.2.20 Cho " " l mºt quan h» tüa thø tü tr¶n khỉng gian Banach X vợi chu'n k k chu'n ữổc cho l ìn i»u n‚u vỵi x; y X x y ) kxk kyk : nh lỵ 2.2.21 Cho C l mt lỗi õng khĂc rỉng ca khổng gian Banach X lỗi ãu vợi chu'n k k v cho \ " l mºt quan h» thø tü mºt phn trản C cho cĂc khoÊng thứ tỹ lỗi âng Cho T : C ! C l mºt ¡nh x bÊo to n thứ tỹ liản tửc GiÊ sò rng cõ tỗn ti x0 thuc C cho x0 v T x0 cõ th so sĂnh ữổc v dÂy (T n x0) b chn GiÊ sò tỗn ti mt dÂy (kn) vợi limn!1 kn = v n n kT x0 T xk kn kx0 xk x0 x: Khi â T câ mºt i”m b§t ºng T x0 Khi õ ta cõ Chứng minh Trữợc tiản, giÊ sò x0 n x0 T x0 T x0 T x0 T n+1x0::: Ti‚p theo, d¢y (T nx0) l mºt d¢y t«ng bà ch°n C v X l khỉng gian Banach ph£n x⁄ suy d¢y (T nx0) chøa mºt dÂy hi tử yu GiÊ sò dÂy N y, tức l (T x0) cõ hai dÂy vợi hai giỵi h⁄n y‚u l x v T n k x!0 w th… T x0 ( ; x] : V“y n¶n ta câ y x; T m l x!0 w xv y: cho trữợc Vợi mồi KhoÊng thứ tỹ th… âng y‚u, vỵi x T mi0 x0; ! cho ml0 m l l t÷ìng tü ta câ x y Do â x = y n n V“y (T x0) hºi tư y‚u tỵi x C v d thĐy T x0 x vợi mồi n Do vy n C0 = \n>0 [T x0; !) l mºt t“p lỗi õng khổng trng ca C n D thĐy rng C0 bĐt bin i vợi Ănh x T Cho c l t¥m ti»m c“n cıa (T x0) n i vợi C0 V c C0 nản T x0 c vỵi måi n = 0; 1; 2; ::: V… T nx0 T n+px0 T pc vỵi måi n; p = 0; 1; 2; ::: Do T pc T n+px0 vỵi måi n; p = 0; 1; 2; ::: n â kp kc T x0k V… t§t cÊ cĂc iãu kiằn ca nh lỵ 2.2.13 ãu thọa mÂn, c l mt im bĐt ng ca T Tữỡng tỹ vy ta chứng minh kt quÊ trản nu T x0 x0 35 nh lỵ 2.2.22 Cho C l mt lỗi õng b chn khĂc rỉng khổng gian Banach lỗi ãu X vợi chu'n k k v cho " " l mºt quan h» tüa thø tü tr¶n C cho c¡c kho£ng tüa thø tỹ lỗi õng Cho T : C ! C l mt Ănh x khổng giÂn tiằm cn ỡn iằu, liản tửc GiÊ sò rng cõ tỗn ti x0 thuc C cho x0 v T x0 câ th” so s¡nh ÷ỉc Khi â ¡nh x⁄ T câ mºt i”m b§t ºng n Chøng minh Gi£ sß x0 T x0 Ta cõ C0 = \n>0 [T x0; !) lỗi õng khĂc rØng v… n ([T x0; !)) l d¢y gi£m cıa c¡c t“p âng compact y‚u cıa C Phƒn cỈn li ca chứng minh th ging vợi nh lỵ 2.2.21 Hằ quÊ 2.2.23 Cho C l mt lỗi õng b chn khĂc rỉng khổng gian Banach lỗi •u X vỵi chu'n k k v cho " " l mºt quan h» thø tü bº ph“n tr¶n C cho cĂc khoÊng thứ tỹ lỗi õng Cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ khỉng gi¢n tiằm cn ỡn iằu liản tửc v cõ tỗn ti x C cho x0 v T x0 câ th” so s¡nh ÷ỉc Khi â T câ mºt im bĐt ng Chú ỵ 2.2.24 Ta cõ Hằ quÊ 2.2.17 l mt trữớng hổp c biằt ca nh lỵ 2.2.22 c biằt, nu ta lĐy C C nhữ mt quan h» tüa thø tü tr¶n C (tøc l x y ,vợi mồi x; y C) th tĐt cÊ cĂc iãu kiằn ca nh lỵ 2.2.22 thọa mÂn i vỵi quan h» tüa thø tü v â ta câ mºt i”m b§t ºng cıa ¡nh x⁄ T Ta cõ nh lỵ sau Ơy sò dửng phữỡng phĂp chứng minh nh lỵ 2.2.21 nh lỵ 2.2.25 Cho C l mt lỗi õng b chn khĂc rỉng khổng gian Banach lỗi ãu X vợi chu'n k k v cho " " l mºt quan h» thø tü bº ph“n tr¶n C cho c¡c khoÊng thứ tỹ l lỗi õng Cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ b£o to n thø tỹ n GiÊ sò tỗn ti x0 thuc C cho x0 v T0 câ th” so s¡nh v d¢y (T x0) b chn GiÊ sò cõ bĐt flng thức kT x0 T xk kx0 xk : Khi â ¡nh x T cõ mt im bĐt ng nh lỵ trản ÷æc chøng minh bði Bin Dehaish v Khamsi (t i li»u [4]) cho c¡c ¡nh x⁄ ìn i»u khỉng gi¢n xĂc nh trản mt lỗi compact yu ca khổng gian Banach lỗi ãu theo mồi hữợng nh lỵ cıa Bin Dehaish v Khamsi ngo i cơng óng n‚u ta x†t quan h» tüa thø tü thay v… quan h» thø tü bº ph“n 36 H» qu£ 2.2.26 Cho C l mt lỗi compact yu khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi ãu theo mồi hữợng X vợi chu'n k k v cho \ " l mºt quan h» tüa thø tü tr¶n C cho cĂc khoÊng tỹa thứ tỹ l lỗi õng Nu T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ khæng giÂn ỡn iằu v tỗn ti x0 thuc C thọa m¢n x0 v T x0 câ th” so s¡nh Khi â T câ mºt i”m b§t ºng C V‰ dö 2.2.27 Cho C := fx = (x1; x2; :::) l : kxk 2; x1 1g Th… C l mt lỗi õng b chn l ành ngh¾a quan h» x y v ch¿ y = cx vỵi c > v T (x) = 2x kxk : D„ d ng th§y r‹ng T li¶n tưc tr¶n C Ngo i T khỉng giÂn ỡn iằu khổng phÊi l khổng giÂn v mồi khoÊng thứ tỹ l õng v lỗi Vn dửng Hằ quÊ 2.2.26, suy tỗn ti ca mt im b§t ºng cıa T Ti‚p theo, tr…nh b y mt s kt quÊ vã im bĐt ng cho cĂc Ănh x bÊo to n thứ tỹ nh lỵ 2.2.28 Cho C l mt lỗi õng b chn khĂc rỉng khổng 00 gian Banach lỗi ãu X vỵi chu'n k k v cho \ l mºt quan h» tüa thø tü tr¶n C cho c¡c kho£ng tỹa thứ tỹ l lỗi v õng Cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ b£o to n thứ tỹ, chu'n ỡn iằu trản C GiÊ sò tỗn ti x0 thuc C cho x0 T x0 v d¢y (T n x0) bà ch°n Khi â dÂy lp Picard ca x0 hi tử mnh tợi x thuºc C N‚u T li¶n tưc th… x l i”m b§t ºng cıa T Chøng minh Tł t‰nh ch§t b£o to n thø tü cıa T ta câ x0 T x0 T x0 ::: n Quÿ ⁄o cıa x0 bà ch°n v… v“y d¢y (T x0) chøa mt dÂy hi tử yu GiÊ sò n dÂy (T x0) cõ hai dÂy vợi cĂc giợi hn y‚u l x v y, tøc l T n k x!0 w x; T m l x!0 w y: T nx0 x v T nx0 y Nh÷ chøng minh cıa thu ÷ỉc x y v y x V… c¡c kho£ng tüa thứ tỹ l lỗi x kxk = kyk = nh lỵ 2.2.21, ta x+y 2 y: V… v“y x+y v X l mºt khæng gian tuyn tnh chu'n lỗi cht suy x = y 37 n n V… v“y (T x0) hºi tư y‚u tỵi i”m x cıa C v T x0 Tł t‰nh ch§t ìn i»u cıa chu'n ta câ x vỵi n = 0; 1; 2; ::: kx0k kT x0k T x0 ::: n n V (kT x0k) l mt dÂy tông v (kT x0k) kxk, ta câ n lim kT x0k kxk : n!1 Lữu ỵ rng x ! kxk l mt Ănh x nòa liản tửc dữợi i vợi tổ pỉ y‚u tr¶n X V… v“y xn hºi tư y‚u tỵi x n suy kxk lim infn!1 kT (x0)k Do â n lim kT (x0)k = kxk n!1 v n T x!0 w x n Do X l khổng gian Banach lỗi ãu suy T x0 hi tư m⁄nh tỵi x V… T l mºt ¡nh x⁄ liản tửc, nản x l im bĐt ng ca T Chú ỵ 2.2.29 Cho C l mt lỗi khĂc rỉng ca khổng gian Banach lỗi 00 cht, cho \ l mºt quan tüa thø tü tr¶n C cho cĂc khoÊng thứ tỹ l lỗi v chu'n thọa mÂn tnh chĐt ỡn iằu Khi õ \ 00 l mºt quan h» thø tü bº ph“n tr¶n C+ = fx C : x 0g N‚u ta xem x†t quan h» thø tü bº ph“n thay cho quan hằ tỹa thứ tỹ nh lỵ 2.2.28 th ta cõ ữổc kt quÊ sau nh lỵ 2.2.30 Cho C l mt lỗi õng khĂc rỉng ca khổng gian Banach phÊn x vợi tnh chĐt KK v cho \ " l mºt quan h» thø tü bº ph“n tr¶n C cho c¡c kho£ng thø tü l lỗi, õng v chu'n th ỡn iằu trản C Cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ bÊo to n thứ tỹ GiÊ sò tỗn ti x0 thuºc C cho x0 T x0 v d¢y n (T x0) bà ch°n Khi â d¢y l°p Picard cıa x0 hºi tư m⁄nh tỵi mºt i”m x thuºc C Ngo i n‚u T li¶n tưc th… x l mºt i”m b§t ºng cıa T Chøng minh cıa nh lỵ n y th ging vợi chứng minh ca nh lỵ 2.2.28 38 V dử 2.2.31 Cho C : fx = (x1; x2; :::) l2 : xi 0g Th C l mt lỗi õng ca l2 Vỵi x; y C x¡c ành quan h» x y v ch¿ xi yi vỵi ; ; måi i = 1; 2; ::: v x¡c ành T : C ! C l 6; ::: 1 2 : T (x1; x2; x3; :::) = x1 ; x2 ; x3 ; ::: + Khi â T l mºt ¡nh x⁄ b£o to n thø tü li¶n tưc v q ⁄o cıa dữợi T b chn V n vy, (T 0) hi tử tợi im bĐt ng ca T nh nghắa 2.2.32 Khỉng gian v†c tì thüc X vỵi quan h» thø tü mºt phƒn \ " ÷ỉc cho l mºt khổng gian vc tỡ thứ tỹ nu cĂc tiản ã sau thäa m¢n: (a) x y ! x + z y + z vỵi x; y; z X: (b) x y ! tx ty vỵi måi t 0; x; y X: Mºt khỉng gian v†c tì thø tü ÷ỉc gåi l mºt d n v†c tì n‚u x _y := sup fx; yg v x _ y := inf fx; yg tỗn ti vợi mồi x; y X: nh nghắa 2.2.33 Khổng gian Banach thỹc X vợi chu'n k k, ÷ỉc gåi l d n Banach n‚u " cho (X; (a) X câ mºt c§u tróc thø tü \ (b) jxj jyj ) kxk ) l mºt d n v†c tì, v kyk â jxj := sup fx; 0g + sup f x; 0g ành lỵ 2.2.34 Cho C l mt lỗi õng kh¡c rØng cıa khỉng gian Banach ph£n x⁄ X tr¶n trản trữớng R vợi chu'n k k Ngo i gi£ sß r‹ng X l khỉng gian v†c tì thø tỹ cho cĂc khoÊng thứ tỹ l lỗi âng v chu'n ìn i»u Cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ b£o to n thø tü GiÊ sò tỗn ti x thuc C cho n n x0 v T x0 câ th” so s¡nh v d¢y (T x0) bà ch°n Khi â (T x0) hºi tư m⁄nh tỵi i”m x thuºc C Hìn nœa, nu T liản tửc, th x l im bĐt ng cıa T Chøng minh Cho x0 T x0 Khi õ, nhữ chứng minh ca nh lỵ 2.2.21, ta n n câ (T x0) hºi tư y‚u tỵi i”m x cıa C v T x0 x vỵi n = 0; 1; 2; ::: n n Bao âng y‚u cıa con(T x0) = bao âng chu'n cıa con(T x0) Do â x n‹m n bao âng chu'n cıa con(T x0) Vợi > th tỗn ti y con(T nx0) cho ky xk < " Khi â y = 0x0 + 1T x0 + ::: + kT kx0 ta câ P 39 0 0v y i = n1 x, â x T nx x y: k T x Vỵi n n n V“y kx T x0k kx yk < " vỵi måi n k Do â (T x0) hºi tư m⁄nh tỵi x V T liản tửc, nản x l bĐt ng ca T â i T÷ìng tü ta câ th” chøng minh k‚t qu£ n‚u x0 T x H» quÊ 2.2.35 Cho C l mt lỗi õng kh¡c rØng cıa d n Banach ph£n x⁄ v cho T : C ! C l mºt ¡nh x⁄ b£o to n thứ tỹ GiÊ sò tỗn ti x thuºc C cho x0 n n v T x0 câ th” so s¡nh v d¢y (T x0) bà ch°n Khi â (T x0) hºi tư m⁄nh tỵi x Hìn na nu T liản tửc th x l im bĐt ºng cıa T Ta ÷a v‰ dư sau” minh håa cho H» qu£ 2.2.35 V‰ dö 2.2.36 X†t V‰ dư 2.2.31 Łi vỵi chu'n k k â kxk = max (kxk2; bkxk1) v b > 1; kxk1 v k k2 theo thø tü l chu'n sup v chu'n Euclide trản l : D thĐy rng l ; k k l mºt d n Banach ph£n x TĐt cÊ cĂc iãu kiằn ca Hằ quÊ 2.2.35 ãu thọa mÂn v õ T cõ im bĐt ng Kt lun Lun vôn  trnh b y hai phữỡng phĂp lp giÊi b i toĂn bĐt flng thức bin phƠn trản im bĐt ng chung ca mºt hå vỉ h⁄n ‚m ÷ỉc c¡c ¡nh x⁄ khỉng gi ¢n khỉng gian Hilbert v khỉng gian Banach Cö th” (1) Tr…nh b y mºt sŁ k‚t qu£ c trững khổng gian Banach (Khổng gian Banach lỗi ãu, khổng gian Banach lỗi cht v Modul lỗi) (2) B i toĂn im bĐt ng (3) Vã dÂy xĐp x im bĐt ng cho Ănh x khổng giÂn (4) Trnh b y mt s kt quÊ vã im bĐt ºng cho ¡nh x⁄ khỉng gi¢n suy rºng 40 T i liằu tham khÊo Ting Viằt [1] ỉ Vôn Lữu (2000), GiÊi tch lỗi, NXB i hồc Quc gia H Nºi [2] Ho ng Töy (2003), H m thüc v Gi£i t‰ch h m, NXB Khoa håc Kÿ thu“t Ti‚ng Anh [3] Alfuraidan M R., Khamsi M A (2018) A fixed point theorem for monotone asymptotically nonexpansive mappings , Proceedings of the American Mathematical Society, 146(6), pp.2451 2456 [4] B A Bin Dehaish, M A Khamsi (2016), Browder and Gohde fixed point theorem for monotone nonexpansive mappings , Fixed Point Theory Appl., 20 [5] Chidume C (2009), Geometric properties of Banach spaces and Nonlinear Iterations, Springer-Verlag, New York [6] M Edelstein (1974), Fixed point theorems in uniformly convex Banach spaces Proc Amer Math Soc., 44, pp 369 374 [7] K Goebel, W.A Kirk (1990), Topics in Metric Fixed Point Theory, Cambridge Stud Adv Math., 28, Cambridge Univ Press, Cambridge, UK [8] W A Kirk, H.K Xu (2008), Asymptotic pointwise contractions , Nonlinear Anal., 69(12), pp.4706 4712 [9] Samir Kar, P Veeramani (2019), "Fixed-Point Theorems for Generalized Nonexpansive Mappings", Numerical Functional Analysis and Optimization, 40, pp 888 901 41 ... im bĐt ng ca Ănh x khổng gi¢n 4 10 10 suy rºng 2.1 Vã dÂy xĐp x im bĐt ng cho Ănh x khỉng gi¢n 2.2 Mt s kt quÊ vã im bĐt ng cho Ănh x⁄ khỉng gi¢n suy rºng K‚t lu“n 14 14 26 40 T i liằu... câ k !k k k xn x k k kxnk 1= x k!1 x lim inf k suy mƠu thuÔn Vy x k ! x hay X câ t‰nh ch§t Kadec-Klee n 61 : + x nk x cho x kxk * x nk x nk k k Suy x x + kk ; 1.1.2 Khæng gian Banach lỗi cht... hx; ji kxk v hy; ji kyk, n¶n ta câ hx; ji = kxk v hy; ji = kyk i•u n y suy hx=kxk; ji = hy=kyk; ji = 1: Tł M»nh • 1.1.19, suy x=kxk = y=kyk Chån t = kyk=kxk ta ữổc iãu phÊi chứng minh 10 1.1.3