Luận văn phương pháp lai ghép cho bài toán cân bằng và bài toán điểm bất động của ánh xạ không giãn

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THỊ VÂN TRANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TỐN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI, 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ====== NGUYỄN THỊ VÂN TRANG PHƯƠNG PHÁP LAI GHÉP CHO BÀI TOÁN CÂN BẰNG VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ KHƠNG GIÃN Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Quang Thủy HÀ NỘI, 2018 LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn bảo tận tình, nghiêm khắc TS Lê Quang Thủy Qua đây, tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng, biết ơn chân thành sâu sắc đến thầy giúp đỡ nhiệt tình, chu đáo suốt trình tác giả thực luận văn Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy, khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội II nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Nhân dịp tác giả xin chân thành cảm ơn khoa Tốn, Phòng Sau đại học trường trường Đại học Sư phạm Hà Nội II tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình học tập hồn thành luận văn Cuối cùng, tác giả xin bày tỏ biết ơn tới gia đình, quan ln bên cạnh ủng hộ, động viên tạo điều kiện thuận lợi q trình học tập hồn thành luận văn Mặc dù cố gắng, điều kiện thời gian khả thân có hạn nên luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy để luận văn hoàn thiện Hà Nội, tháng năm 2018 Nguyễn Thị Vân Trang LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng Số liệu kết nghiên cứu luận văn hoàn toàn trung thực, tham khảo từ tài liệu chuyên khảo cơng trình khoa học cơng bố nhà xuất tạp chí chun ngành có uy tín ngồi nước Hà Nội, tháng năm 2018 Nguyễn Thị Vân Trang Mục lục Một số kí hiệu chữ viết tắt v Kiến thức chuẩn bị 1.1 n Một số kiến thức giải tích lồi R 1.1.1 Tập lồi nón lồi 1.1.2 Phép chiếu lên tập lồi đóng 1.1.3 Hàm lồi 1.1.4 Dưới vi phân hàm lồi 1.1.5 Cực trị hàm lồi 1.2 Bài tốn cân khơng gian Hilbert 10 1.3 Điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert 11 Phương pháp đạo hàm tăng cường cho toán cân 16 2.1 Sự tồn nghiệm tốn cân khơng gian Rn 16 2.2 Phương pháp toán cân phụ 21 2.2.1 Bài toán cân phụ 23 2.2.2 Phương pháp toán cân phụ 24 Phương pháp đạo hàm tăng cường cho toán cân 29 2.3.1 29 2.3 Thuật toán đạo hàm tăng cường Phương pháp lai ghép cho toán cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert 37 3.1 Phương pháp lai ghép cho toán cân toán điểm bất động 37 3.2 Ứng dụng 46 i MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng như: chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân phương trình tích phân (định lý Picard định lý Peano), chứng minh nguyên lý biến phân Ekeland, chứng minh tồn điểm cân mơ hình kinh tế, tồn nghiệm tối ưu nhiều toán lý thuyết tối ưu Nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) kết khởi đầu cho lý thuyết điểm bất động dạng co Một mở rộng tự nhiên quan trọng ánh xạ co ánh xạ không giãn Lý thuyết điểm bất động cho phép ta xây dựng thuật tốn tìm nghiệm nhiều tốn khác Một toán nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà toán học ngồi nước tốn tìm điểm chung tập điểm bất động ánh xạ không giãn tập nghiệm toán cân Bài toán cân lần đưa vào năm 1955 H Nikaido, K Isoda nhằm tổng qt hóa tốn cân Nash trò chơi khơng hợp tác Đến năm 1972 toán xét đến dạng bất đẳng thức minimax tác giả Ky Fan, người có nhiều đóng góp quan trọng cho tốn, nên tốn gọi bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan inequality) Bài toán sử dụng để thiết lập điểm cân lý thuyết trò chơi (Game theory), có tên gọi khác Bài tốn cân (Equilibrium problem) theo cách gọi tác giả L D Muu, W Oettli [8] năm 1992 E Blum, W Oettli [4] năm 1994 Cho tới vấn đề nhận quan tâm nghiên cứu nhiều nhà tốn học ngồi nước cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn đề xuất phương pháp, thuật tốn giải, tính hội tụ thuật tốn, Mục đích luận văn ii giới thiệu toán cân bằng, ánh xạ không giãn; số kết tồn nghiệm số phương pháp giải toán cân đơn điệu, giả đơn điệu phương pháp lai ghép cho toán tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, cấu trúc luận văn gồm ba chương sau: Chương “Kiến thức chuẩn bị” trình bày số khái niệm kết giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, cực trị hàm lồi, làm sở cho phần trình bày chương sau; tốn cân ánh xạ không giãn đề cập nội dung chương Chương “Phương pháp đạo hàm cường cho tốn cân bằng” trình bày số kết tồn nghiệm toán cân phương pháp đạo hàm tăng cường cho việc giải toán cân Chương “Phương pháp lai ghép cho toán cân tốn điểm bất động” trình bày phương pháp lai ghép cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với song hàm cân giả đơn điệu tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Mục đích nghiên cứu • Bài tốn cân bằng; • Ánh xạ khơng giãn; • Bài tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Nhiệm vụ nghiên cứu • Bài tốn cân bằng, trường hợp đặc biệt toán cân bằng; • Ánh xạ khơng giãn, điểm bất động ánh xạ khơng giãn; • Thuật tốn cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm tốn cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Bài toán cân bằng, toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert • Thuật toán lai ghép cho toán cân tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn khơng gian Hilbert iii Phương pháp nghiên cứu • Dịch, đọc nghiên cứu tài liệu • Tổng hợp, phân tích, sử dụng kiến thức giải tích hàm, giải tích lồi lý thuyết tối ưu nghiên cứu toán cân toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn Đóng góp luận văn Luận văn tổng quan phương pháp lai ghép cho toán cân tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn iv Một số kí hiệu chữ viết tắt R Tập số thực ∅ Tập rỗng H Không gian Hillbert thực x, y Tích vơ hướng hai véc tơ x, y x Chuẩn véc tơ x x∈C x phần tử tập C x∈ /C x không phần tử tập C ∃x tồn x ∀x với x NC (x0 ) nón pháp tuyến ngồi tập C ⊂ H x0 ∈ C, tức NC (x0 ) = {v ∈ H : v, x − x0 ≤ ∀x ∈ C} A∩B giao hai tập hợp A B A∪B hợp hai tập hợp A B B tích Descartes hai tập hợp A B A+B tổng hai tập hợp A B T :C→H ánh xạ T từ tập C ⊂ H vào H F ix(T ) Tập điểm bất động ánh xạ T domf Miền xác định hữu hiệu hàm f domf = {x ∈ C : f (x) < +∞} ∇f (x∗ ) véc tơ gradient hàm f x∗ ∇2 f (x∗ ) Ma trận Hessen hàm f x∗ (EP ) Bài toán cân (AuxEP ) Bài toán cân phụ Sol(f, C) Tập nghiệm toán cân [a, b] Đoạn thẳng nối hai điểm a, b ∈ H, tức [a, b] = {x ∈ H : x = λa + (1 − λ)b, ≤ λ ≤ 1} v Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số khái niệm giải tích lồi tập lồi, hàm lồi, toán qui hoạch lồi, Điểm bất động ánh xạ khơng giãn tốn cân số trường đặc biệt toán cân đề cập nội dung chương Nội dung chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [5], [7] 1.1 1.1.1 Một số kiến thức giải tích lồi Rn Tập lồi nón lồi Cho hai điểm x, y ∈ Rn Đoạn thẳng nối x y tập điểm có dạng z = λx + (1 − λ)y = y + λ(x − y), ≤ λ ≤ Đường thẳng qua x y tập điểm có dạng z = λx + (1 − λ)y, λ ∈ R Tập C ⊆ Rn gọi tập afin(hay đa tạp afin) C chứa trọn đường thẳng qua hai điểm C, nghĩa ∀x, y ∈ C, λ ∈ R : z = λx + (1 − λ)y ∈ C Bao afin(afin hull) C ⊆ Rn giao tất tập afin C kí hiệu af f C Đó tập afin nhỏ C Ví dụ bao afin hình cầu C = x ∈ R3 : x ≤ không gian R3 Chương Phương pháp lai ghép cho toán cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert Chương trình bày phương pháp lai ghép cho tốn tìm điểm chung tập điểm bất động ánh xạ không giãn tập nghiệm toán cân với song hàm cân giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz không gian Hilbert thực số ứng dụng Nội dung chương tham khảo tài liệu [3] Trước tiên ta nhắc lại khái niệm liên tục kiểu Lipschitz song hàm cân f Định nghĩa 3.1 Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gián Hilbert thực H Song hàm cân f : C × C → R ∪ {+∞} gọi liên tục kiểu Lipschitz (Lipschitz- type) C tồn số c1 > c2 > cho f (x, y) + f (y, x) ≥ f (x, z) − c1 x − y 3.1 − c2 y − z ∀x, y, z ∈ C Phương pháp lai ghép cho toán cân tốn điểm bất động Kí hiệu Sol(f, C) tập nghiệm toán cân (EP ) F ix(T ) tập điểm bất động ánh xạ không giãn T : C → C Trong phần ta xét tốn tìm điểm chung hai tập hợp Sol(f, C) F ix(T ), song hàm cân f thoả mãn giả thiết sau: 37 A1 f giả đơn điệu C; A2 f liên tục kiểu Lipschitz C; A3 Với x ∈ C, y → f (x, y) lồi khả vi phân với y ∈ C; A4 Sol(f, C) ∩ F ix(T ) = Sol(f, C) đóng Trên sở thuật tốn đạo hàm tăng cường cho tốn cân thuật tốn tìm điểm bất động ánh xạ khơng giãn, ta có thuật tốn lai ghép cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không giãn mô tả cụ thể sau Thuật tốn 3.1 • Bước khởi tạo: Chọn x0 ∈ C dãy số dương {λn }, {αn } thỏa mãn:    {2c1 λn } ⊂ (0, − δ), với δ ∈ (0, 1),     1 , , λn ≤ 2c1 2c1   ∞    αn = ∞, lim αn =  {αn } ⊂ (0, 1), x→∞ n=0 • Bước 1: Tính y n := arg y − xn tn := arg t − xn 2 + λn f (xn , y) : y ∈ C + λn f (y n , t) : t ∈ C • Bước 2: Tính xn+1 := αn x0 + (1 − αn )T (tn ) Đặt k := k + quay lại Bước Để thuận tiện cho việc trình bày định lý hội tụ thuật toán, trước tiên ta nhắc lại số kết bổ trợ sau Bổ đề 3.1 [3] Cho dãy số thực không âm {an } thỏa mãn điều kiện an+1 ≤ (1 − αn )an + αn βn ∀n ≥ 0, {αn } {βn } dãy số thực thoả mãn: ∞ a) {αn } ⊂ [0, 1] ∞ αn = ∞ n=0 (1 − αn ) = 0; n=0 ∞ b) lim sup βn ≤ n→∞ αn βn hội tụ n=0 38 Khi lim an = n→∞ Bổ đề 3.2 [3] Cho C tập lồi đóng khác rỗng khơng gian Hilbert thực H T : C → C ánh xạ khơng giãn Khi đó, F ix(T ) = ∅ ánh xạ I − T nửa đóng, tức với dãy {xn } C hội tụ yếu đến x ∈ C dãy {(I − T )(xn )} hội tụ mạnh đến y cho (I − T )(x) = y, I toán tử đồng H Các bổ đề sau cho ta đánh giá dãy lặp {xn } , {yn } {tn } sinh Thuật toán 3.1 Bổ đề 3.3 Giả sử x∗ ∈ Sol(f, C) Khi ta có tn − x∗ ≤ xn − x∗ − (1 − 2λn cn ) tn − y n − (1 − 2λn cn ) xn − y n ∀n ≥ Chứng minh Theo giả thiết với x ∈ C, hàm f (x, ) lồi C nên áp dụng Hệ 1.1, ta có tn = arg t − xn 2 + λn f (y n , t) : t ∈ C ∈ ∂2 λn f (y n , y) + y − xn 2 (tn ) + NC (tn ) Do tồn w ∈ ∂2 f (y n , tn ) w ∈ NC (tn ) cho = λn w + tn − y n + w Do w ∈ ∂2 f (y n , tn ) nên ta có f (y n , t) − f (y n , tn ) ≥ w, t − tn ∀t ∈ C Thay t = x∗ vào bất đẳng thức trên, ta f (y n , x∗ ) − f (y n , tn ) ≥ w, x∗ − tn (3.1) Từ w ∈ NC (tn ), suy tn − xn , t − tn ≥ λn w, tn − t ∀t ∈ C (3.2) Trong bất đẳng thức (3.2), thay t = x∗ ∈ C ta tn − xn , x∗ − tn ≥ λn w, tn − x∗ (3.3) Kết hợp bất đẳng thức (3.1) (3.3) ta nhận tn − xn , x∗ − tn ≥ λn [f (y n , tn ) − f (y n , x∗ )] 39 (3.4) Mặt khác, x∗ ∈ Sol(f, C) nên f (x∗ , y) ≥ ∀y ∈ C Do f giả đơn điệu C nên ta suy f (y n , x∗ ) ≤ Kết hợp bất đẳng thức bất đẳng thức (3.4), ta có tn − xn , x∗ − tn ≥ λn f (y n , tn ) (3.5) Sử dụng giả thiết liên tục kiểu Lipschitz f với x = xn , y = y n z = tn , ta thu f (y n , tn ) ≥ f (xn , tn ) − f (xn , y n ) − c1 y n − xn − c2 tn − y n (3.6) Kết hợp bất đẳng thức (3.5) (3.6), ta nhận tn − xn , x∗ − tn ≥ λn f (xn , tn ) − f (xn , y n ) − c1 y n − xn − c2 tn − y n (3.7) Tương tự, từ y n nghiệm toán qui hoạch lồi mạnh y − xn + λn f (xn , y) : y ∈ C , ta có λn [f (xn , tn ) − f (xn , y n )] ≥ y n − xn , y n − tn ∀y ∈ C (3.8) Trong bất đẳng thức thay y = tn ∈ C , ta λn [f (xn , tn ) − f (xn , y n )] ≥ y n − xn , y n − tn (3.9) Kết hợp bất đẳng thức (3.7), (3.9) sử dụng tn − xn , x∗ − tn = xn − x∗ − tn − xn − tn − x∗ ta thu xn − x∗ − tn − xn − tn − x∗ ≥ y n − xn , y n − tn − 2λn c1 xn − y n − 2λn c2 tn − y n 40 Do tn − x∗ ≤ xn − x ∗ = xn − x∗ 2 − tn − xn − y n − xn , y n − tn + 2λn c1 xn − y n + 2λn c2 tn − y n 2 − (tn − y n ) + (y n − xn ) − y n − xn , y n − tn + 2λn c1 xn − y n ≤ xn − x∗ = xn − x∗ 2 − tn − y n 2 − xn − y n − (1 − 2λn c1 ) xn − y n 2 + 2λn c2 tn − y n + 2λn c1 xn − y n + 2λn c2 tn − y n 2 − (1 − 2λn c2 ) y n − tn Như bổ đề chứng minh Bổ đề 3.4 Với x∗ ∈ Sol(f, C) ∩ F ix(T ), ta có xn − x∗ ≤ x0 − x∗ ∀n ≥ δ xn − y n ≤ α n x0 − x∗ + xn − xn+1 ( xn − x∗ + xn+1 − x∗ ) Chứng minh Ta sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh bất đẳng thức xn − x∗ ≤ x0 − x ∗ ∀n ≥ (3.10) Thật với n = bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức (3.10) với n ≥ , tức ta có x n − x∗ ≤ x − x∗ ∀n ≥ Kết hợp bất đẳng thức này, Bổ đề 3.3, giả thiết ≤ λn ≤ 41 1 , 2c1 2c2 x∗ ∈ F ix(T ), ta có xn+1 − x∗ = αn x0 + (1 − αn )T (tn ) − x∗ = αn (x0 − x∗ ) + (1 − αn )(T (tn ) − x∗ ) ≤ αn x0 − x∗ + (1 − αn ) T (tn ) − T (x∗ ) ≤ αn x0 − x∗ + (1 − αn ) tn − x∗ ≤ α n x0 − x∗ + (1 − αn ) xn − x ∗ − (1 − 2λn c2 ) tn − y n − (1 − 2λn c1 ) xn − y n ≤ αn x0 − x∗ + (1 − αn ) xn − x∗ ≤ αn x0 − x∗ + (1 − αn ) x0 − x∗ ≤ x0 − x∗ Điều chứng tỏ bất đẳng thức (3.10) với n + Do (3.10) với n ≥ Tiếp tục sử dụng lại Bổ đề 3.3, giả thiết ≤ λn ≤ 1 , 2c1 2c2 x∗ ∈ F ix(T ), ta nhận xn+1 − x∗ = αn x0 + (1 − αn )T (tn ) − x∗ = αn (x0 − x∗ ) + (1 − αn )(T (tn ) − x∗ ) ≤ α n x0 − x∗ + (1 − αn ) T (tn ) − T (x∗ ) ≤ α n x0 − x∗ + (1 − αn ) tn − x∗ ≤ α n x0 − x∗ + (1 − αn ){ xn − x∗ 2 − (1 − 2λn c1 ) xn − y n − (1 − 2λn c2 ) y n − tn } Sử dụng giả thiết {2c1 λn } ⊂ (0, − δ) với δ ∈ (0, 1), ta suy δ xn − y n ≤ (1 − 2λn c1 ) xn − y n ≤ α n x0 − x∗ = α n x0 − x∗ 2 + xn − x∗ − xn+1 − x∗ + ( x0 − x∗ − xn+1 − x∗ )( xn − x∗ + xn+1 − x∗ ) ≤ αn x0 − x∗ + xn+1 − xn ( xn − x∗ + xn+1 − x∗ ) Bổ đề chứng minh 42 Định lý sau chứng tỏ tính hội tụ Thuật tốn 3.1 Định lý 3.1 Giả sử giả thiết A1 − A4 thoả mãn T : C → C ánh xạ khơng giãn Khi đó, lim xn+1 − xn = n→∞ dãy {xn } , {y n } {tn } sinh Thuật toán 3.1 hội tụ mạnh tới điểm x∗ = P rSol(f,C)∩F ix(T ) (x0 ) Chứng minh Với n, bất đẳng thức (3.3) chứng tỏ tồn w ∈ ∂2 f (y n , tn ) để tn − xn , t − tn ≥ λn w, tn − t , ∀t ∈ C Với t = y n , ta có tn − xn , y n − tn ≥ λn w, tn − y n Sử dụng bất đẳng thức này, định nghĩa w sử dụng giả thiết f (x, x) = với x ∈ C, ta có f (y n , t) − f (y n , tn ) ≥ w, t − tn ∀t ∈ C Do tn − xn , y n − tn ≥ −λn w, y n − tn ≥ λn [f (y n , tn ) − f (y n , y n )] = λn f (y n , tn ) (3.11) Từ (3.8), ta có y n − xn , tn − y n ≥ λn [f (xn , y n ) − f (xn , tn )] (3.12) Cộng vế với vế bất đẳng thức (3.11) (3.12) ta thu tn − y n , y n − xn − tn + xn ≥ λn [f (xn , y n ) + f (y n , tn ) − f (xn , tn )] Do f liên tục kiểu Lipschitz C, nên ta có − tn − y n ≥ λn −c1 xn − y n − c2 y n − tn Do (1 − λn c2 ) tn − y n ≤ λ n c1 x n − y n (3.13) Mặt khác, Bổ đề 3.2 chứng tỏ dãy { xn − x∗ } bị chặn δ xn − y n ≤ α n x0 − x∗ + xn − xn+1 43 xn − x∗ + xn+1 − x∗ Từ bất đẳng thức giả thiết lim αn = lim xn+1 − xn = kéo theo n→∞ n→∞ lim xn − y n = (3.14) n→∞ Kết hợp (3.13) (3.14), ta nhận lim tn − y n = (3.15) n→∞ Hơn nữa, từ Bổ đề 3.1 suy tn − x∗ ≤ xn − x∗ Do T (xn ) − xn ≤ T (xn ) − T (tn ) + T (tn ) − T (y n ) + T (y n ) − xn+1 + xn+1 − xn ≤ xn − tn + tn − y n + αn T (tn ) − x0 + xn+1 − xn ≤ xn − tn + tn − y n + αn T (tn ) − x∗ + x∗ − x0 ≤ xn − y n + tn − y n + αn tn − x∗ + x∗ − x0 + xn+1 − xn ≤ xn − y n + tn − y n + αn tn − x∗ + x∗ − x0 + xn+1 − xn + xn+1 − xn (3.16) Sử dụng giả thiết lim αn = 0, lim xn+1 − xn = 0, (3.14)-(3.16), ta nhận n→∞ n→∞ lim T (xn ) − xn = n→∞ (3.17) Do dãy {xn } dãy bị chặn, nên tồn dãy {xnj } dãy {xn } cho lim sup x0 − x∗ , xn − x∗ = lim x0 − x∗ , x¯ − x∗ , n→∞ j→∞ (3.18) với x∗ := PrSol(f,C)∩F ix(T ) (x0 ) Khơng tính tổng quát, ta giả sử dãy {xnj } hội tụ yếu tới x¯ ∈ H Khi đó, từ (3.18), ta có lim sup x0 − x∗ , xn − x∗ = x0 − x∗ , x¯ − x∗ n→∞ (3.19) Sử dụng Bổ đề 3.2, (3.17) xnj → x¯ j → ∞, ta thu T (¯ x) = x¯ Từ (3.14), (3.15) xnj → x¯ j → ∞, ta có y nj → x¯, tnj → x¯ j → ∞ 44 (3.20) Từ (3.8) giả thiết f , kéo theo λnj f (xnj , y) − f (xnj , y nj ) ≥ y nj − xnj , y nj − y ∀y ∈ C Do j → ∞, ta có f (¯ x, y) ≥ với y ∈ C Điều chứng tỏ x¯ ∈ Sol(f, C) Kết hợp điều (3.20), ta có x¯ ∈ Sol(f, C) ∩ F ix(T ) Sử dụng kết x∗ = PrSol(f,C)∩F ix(T ) (x0 ), ta có x0 − x∗ , x¯ − x∗ ≤ Vì vậy, kết hợp với (3.19), ta có lim sup x0 − x∗ , xn − x∗ ≤ (3.21) n→∞ Mặt khác, từ x∗ = PrSol(f,C)∩F ix(T ) (x0 ) sử dụng bất đẳng thức x+y ≤ x + y, x + y ∀x, y ∈ H, ta nhận xn+1 − x∗ = αn x0 + (1 − αn )T (tn ) − x∗ = (1 − αn )(T (tn ) − xn ) + αn (x0 − x∗ ) ≤ (1 − αn )2 T (tn ) − x∗ ≤ (1 − αn )2 tn − x∗ ≤ (1 − αn ) tn − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ 2 + 2αn xn+1 − x∗ , x0 − x∗ + 2αn xn+1 − x∗ , x0 − x∗ + 2αn xn+1 − x∗ , x0 − x∗ + 2αn xn+1 − x∗ , x0 − x∗ Do xn+1 − x∗ ≤ (1 − αn ) xn − x∗ + αn βn , với βn := xn+1 − x∗ , x0 − x∗ Áp dụng Bổ đề 3.1 (3.21), kéo theo lim xn+1 − x∗ = Từ (3.14) (3.15), suy n→∞ n lim y − x n→∞ ∗ n = lim t − x n→∞ ∗ = Định lý chứng minh 45 3.2 Ứng dụng Trong mục này, ta trình bày hai ứng dụng Thuật toán 3.1 cho việc tìm điểm chung tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn tập nghiệm tốn bất đẳng thức biến phân đơn điệu, với ánh xạ liên tục Lipschitz Cho C tập lồi đóng khác rỗng không gian Hilbert thực H Với cặp x, y ∈ C, đặt f (x, y) := F (x), y − x , (3.22) F : C → H ánh xạ Khi tốn cân (EP ) trở thành (V IP ) sau: Tìm x∗ ∈ C để F (x∗ ), x − x∗ ≥ ∀x ∈ C (V IP ) Ta ký hiệu Sol(F, C) tập nghiệm (V IP ) Ta nhớ rằng, ánh xạ F L−liên tục Lipschitz C, tồn số L > thoả mãn F (x) − F (y) ≤ L x − y ∀x, y ∈ C Bổ đề sau chứng tỏ ánh xạ F L−liên tục Lipschitz C hàm f định nghĩa (3.22) liên tục kiểu Lipschitz C Bổ đề 3.5 Nếu F L−liên tục Lipschitz C hàm f định nghĩa (3.22) liên L tục kiểu Lipschitz C với số c1 = c2 = Chứng minh Với x, y, z ∈ C, từ công thức xác định hàm f , ta có f (x, y) + f (y, z) − f (x, z) = F (x), y − x + F (y), z − y − F (x), z − x = − F (y) − F (x), y − z ≥ − F (x) − F (y) ≥ −L x − y ≥− L x−y = −c1 x − y y−z y−z L y−z 2 − 2 − c2 y − z Do f liên tục kiểu Lipschitz Như hệ Thuật toán 3.1, ta thuật tốn tìm điểm chung hai tập hợp Sol(F, C) F ix(T ) mô tả chi tiết sau 46 Thuật tốn 3.2 • Bước khởi tạo: Chọn x0 ∈ C dãy số dương {λn }, {αn } thỏa mãn:    {Lλn } ⊂ (0, − δ) với δ ∈ (0, 1), ∞   {αn } ⊂ (0, 1), αn = ∞, lim αn = n→∞ n=0 • Bước 1: Tính y n = arg y − (xn − λn F (xn )) 2 : y∈C = Pr(xn − λn F (xn )) : y∈C = Pr(xn − λn F (y n )) C tn = arg t − (xn − λn F (xn )) 2 C • Bước 2: Tính xn+1 := αn x0 + (1 − αn )T (tn ) Đặt k := k + quay lại Bước Tương tự Định lý 3.1, ta có định lý sau chứng tỏ hội tụ Thuật toán 3.2 Định lý 3.2 [3] Cho C tập đóng, lồi, khác rỗng không gian thực Hilbert H Giả sử F : C → H ánh xạ đơn điệu, L−Lipschitz T : C → C ánh xạ không giãn cho F ix(T ) ∩ Sol(F, C) = ∅ Khi đó, lim xn+1 − xn = n→∞ dãy {xn } , {y n } sinh Thuật toán 3.2 hội tụ mạnh đến điểm x∗ = PrF ix(T )∩Sol(F,C) (x0 ) Đặc biệt, C = H, Thuật toán 3.2 trở thành: Thuật tốn 3.3 • Bước khởi tạo: Chọn x0 ∈ C dãy số dương {λn }, {αn } thỏa mãn:    {Lλn } ⊂ (0, − δ) với δ ∈ (0, 1), ∞   {αn } ⊂ (0, 1), αn = ∞, lim αn = n=0 n→∞ • Bước 1: Tính y n = xn − λn F (xn ) tn = xn − λn F (y n ) 47 • Bước 2: Tính xn+1 := αn x0 + (1 − αn )T (tn ) Đặt k := k + quay lại Bước Định lý sau chứng tỏ hội tụ Thuật toán 3.3 Định lý 3.3 Cho H không gian Hilbert thực Giả sử F : H → H ánh xạ đơn điệu, L−Lipschitz T : H → H ánh xạ không giãn cho F ix(T ) ∩ F −1 (0) = ∅ Khi đó, lim xn+1 − xn = n→∞ dãy {xn } sinh Thuật tốn 3.3 hội tụ mạnh đến điểm x∗ = PrF ix(T )∩F −1 (0) (x0 ) Chứng minh Đặt f (x, y) = F (x), y − x Ta có F −1 (0) = Sol(F, H) PH = I Theo Định lý 3.1 ta có điều phải chứng minh 48 Kết luận chương Những nội dung trình bày chương bao gồm: - Thuật toán lai ghép cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với song hàm cân giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschitz tập điểm bất động ánh xạ không giãn với chứng minh chi tiết hội tụ thuật toán - Một số ứng dụng thuật toán 49 Kết luận Nội dung luận văn giới thiệu mơ hình tốn cân bằng, toán điểm bất động ánh xạ khơng giãn tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ khơng giãn Cụ thể luận văn trình bày vấn đề sau: - Giới thiệu mơ hình toán học toán cân số kết tồn nghiệm toán cân - Giới thiệu ánh xạ không giãn số kết tồn điểm bất động ánh xạ khơng giãn - Trình bày thuật tốn lai ghép giải tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân với song hàm cân giả đơn điệu, liên tục kiểu Lipschtz tập điểm bất động ánh xạ không giãn Cùng với chứng minh chi tiết hội tụ thuật toán số ứng dụng thuật toán 50 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Hiền, Lê Dũng Mưu, Nguyễn Hữu Điển (2015), Giáo trình giải tích lồi ứng dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Đỗ Văn Lưu, Phan Huy Khải (2011), Giải tích lồi, NXB Khoa học Kỹ thuật, Hà Nội [3] P N Anh (2011), "A hybrid extragradient method extended to fixed point problems and equilibrium problems", Optimization, pp 1-13 [4] E Blum, W Oettli (1994), "From optimization and variational inequalities to equilibrium problems", Mathematics Student, 63, pp 123-145 [5] A Genel, J Lindenstrass (1975), "An example concerning fixed points", Israel Journal of Mathematics, 22, pp 81-86 [6] I V Konnov (2007), Equilibrium models and variational inequalities, Elsevier Amsterdam, Netherlands [7] W R Mann (1953), "Mean value methods in iteration", Proceedings American Mathematical Society, 4, pp 506-510 [8] L D Muu, W Oettli (1992), "Convergence of an adaptive penalty scheme for finding constrained equilibria", Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, 18, pp 1159-1166 [9] T D Quoc, L D Muu, N V Hien (2008), "Extragradient Algorithms Extended to Equilibrium Problems", Optimization, 57, pp 749-776 [10] H Tuy (1998), Convex Analysis and Global Optimization, Kluwer Academic Publishers 51 ... Thuật toán đạo hàm tăng cường Phương pháp lai ghép cho toán cân toán điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert 37 3.1 Phương pháp lai ghép cho toán cân toán điểm bất động. .. • Bài toán cân bằng, trường hợp đặc biệt tốn cân bằng; • Ánh xạ khơng giãn, điểm bất động ánh xạ khơng giãn; • Thuật tốn cho tốn tìm điểm chung tập nghiệm toán cân tập điểm bất động ánh xạ không. .. không giãn Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Bài tốn cân bằng, tốn điểm bất động ánh xạ không giãn không gian Hilbert • Thuật toán lai ghép cho toán cân tốn điểm bất động ánh xạ khơng giãn không