Định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu SUZUKI trên không gian kiểu Metric MÖC LÖC Thæng tin k¸t qu£ nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Mð ¦u 1 1 Têng quan t¼nh h¼nh nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 T½nh c§p thi¸t cõa · t i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Möc ti¶u nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 C¡ch ti¸p cªn v ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu . . . . . . . . . 3 5 èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Nëi dung nghi¶n cùu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Khæng gian kiºum¶tric 4 1.1 ành ngh¾a v t½nh ch§t cõa khæng gian kiºum¶tric . . . 4 1.2 ành l½ iºm b§t ëng kiºu Suzuki cho mët ¡nh x¤ tr¶n khæng gian kiºum¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 ành l½ iºm b§t ëng kiºu Suzuki cho hai ¡nh x¤ tr¶n khæng gian kiºum¶tric v ¡p döng 9 2.1 ành l½ iºm b§t ëng cho hai ¡nh x¤ kiºu Suzuki tr¶n khæng gian kiºum¶tric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ii iii 2.2 V½ dö minh håa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 K¸t luªn v ki¸n nghà 29 1 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Ki¸n nghà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Phö löc 33
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO HAI ÁNH XẠ KIỂU SUZUKI TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC Mã số: CS2013.01.15 Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Thị Thanh Lý Đồng Tháp, 5/2014 i BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO HAI ÁNH XẠ KIỂU SUZUKI TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC Mã số: CS2013.01.15 Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Nguyễn Thị Thanh Lý Đồng Tháp, 5/2014 MỤC LỤC Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi Mở đầu 1 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . 3 5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 3 6 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 Không gian kiểu-mêtric 4 1.1 Định nghĩa và tính chất của không gian kiểu-mêtric . . . 4 1.2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho một ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric và áp dụng 9 2.1 Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 ii iii 2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 Kết luận và kiến nghị 29 1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 Phụ lục 33 iv bộ giáo dục & đào tạo CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ Tên đề tài: Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên không gian kiểu-mêtric Mã số: CS2013.01.15 Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thị Thanh Lý Tel.: 0939654465 E-mail: nguyenthithanhly@dthu.edu.vn Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: Không Thời gian thực hiện: 4/2013 đến 5/2014 1. Mục tiêu: - Thiết lập một số định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric. - Xây dựng một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được. 2. Nội dung chính: - Không gian kiểu-mêtric. - Một số định lí điểm bất động trên không gian kiểu-mêtric và ứng dụng. 3. Kết quả chính đạt được (khoa học, ứng dụng, đào tạo, kinh tế - xã hội, ): - 2 định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên không gian kiểu-mêtric được thiết lập và chứng minh. - 3 hệ quả được rút ra từ định lí và 2 ví dụ được xây dựng để minh họa cho kết quả đạt được. v - Các kết quả chính này cũng được công bố trên tạp chí Journal of Nonlinear Analysis and Optimization. Kết quả đề tài là một tài liệu tham khảo bổ ích cho giảng viên, sinh viên Khoa Sư phạm Toán - Tin, Trường Đại học Đồng Tháp trong giảng dạy, nghiên cứu và học tập giải tích hiện đại. Chủ nhiệm đề tài Nguyễn Thị Thanh Lý vi ministry of education and training SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness SUMMARY Project Title: Suzuki type fixed point theorems for two maps in metric-type spaces Code number: CS2013.01.15 Coordinator: Nguyen Thi Thanh Ly Tel.: 0939654465 E-mail: nguyenthithanhly@dthu.edu.vn Implementing Institution: Dong Thap University. Cooperating Institution(s): No Duration: from 2013, April to 2014, May 1. Objectives: - To state some Suzuki type fixed point theorems on metric-type spaces. - To give some examples to demonstrate the validity of the results. 2. Main contents: - Metric-type spaces. - Some fixed point theorems on metric-type spaces and applications. 3. Results obtained: - Two Suzuki type fixed point theorems for two mappings on metric- type spaces. - Three corollaries are obtained from these theorems. - Two examples illustrate the results. - An article published on Journal of Nonlinear Analysis and Optimization. vii - A reference for lecturers and students of Faculty of Mathematics and Information Technology Teacher Education, Dong Thap University in studying, lecturing and researching advanced analysis. Coordinator Nguyen Thi Thanh Ly 1 MỞ ĐẦU 1 Tổng quan tình hình nghiên cứu Lí thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề quan trọng trong toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích nhất là trong việc khảo sát sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan đến các phương trình phi tuyến. Vấn đề này đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Năm 1922, Nguyên lí ánh xạ co Banach được giới thiệu trong [3] được xem là một trong những kết quả cơ bản nhất trong lí thuyết điểm bất động. Từ đó, việc mở rộng Nguyên lí co Banach cho lớp các ánh xạ khác nhau trên các không gian khác nhau được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Nhiều dạng ánh xạ co và định lí điểm bất động được nghiên cứu, chứng minh và đạt được một số kết quả nhất định không chỉ trên không gian mêtric [4], [6], [8], [18], [23], [24] mà còn trên không gian mêtric suy rộng [7], [20], [21]. Gần đây, trong [17] Khamsi và Hussain đã nêu lại một lớp không gian đối xứng đã được giới thiệu trong [2] và là tổng quát của không gian mêtric với tên gọi mới là không gian kiểu-mêtric. Qua đó, các tác giả cũng đề cập đến một số vấn đề về định lí điểm bất động trên lớp không gian này. Vấn đề nảy sinh một cách tự nhiên là mở rộng các dạng ánh xạ co và định lí điểm bất động trên không gian mêtric cho không gian kiểu-mêtric. Hiện nay, hướng nghiên cứu này đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu và đạt được một số kết quả [15], [17], [22]. Hiện 2 tại, nhóm nghiên cứu Giải tích toán học và áp dụng của Khoa Sư Phạm Toán Tin - Trường Đại học Đồng Tháp đang thảo luận một số vấn đề về không gian mêtric và những suy rộng của nó và bước đầu đã thu được một số kết quả [9], [10], [12]. Trong [13], Husan, Doric, Kadelburg và Radenovic mở rộng các định lí điểm bất động kiểu Suzuki [23] và [24] trên không gian kiểu-mêtric. Đề tài này chúng tôi tiếp tục mở rộng các định lí chính trong [13] cho hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric. 2 Tính cấp thiết của đề tài Từ tình hình tổng quan đề tài và kết quả các công trình nghiên cứu liên quan đến đề tài thể hiện đề tài mà chủ nhiệm đang nghiên cứu được sự quan tâm nhất định của các tác giả cùng lĩnh vực. Hơn nữa, vấn đề về mở rộng các định lí chính trong [13] cho hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric chưa được thực hiện trước đó. Do đó, kết quả đề tài sẽ góp phần làm phong phú thêm các định lí điểm bất động trên không gian mêtric suy rộng. Bên cạnh đó, đề cập cũng nhật các tài liệu có liên quan nên là một tài liệu tham khảo tốt cho các tác giả quan tâm nghiên cứu. 3 Mục tiêu nghiên cứu Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho cặp ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric. Xây dựng các ví dụ minh họa để chứng minh các kết chính của đề tài là mở rộng của một số kết quả trước đó. [...]... nhất điểm bất động trong X 1 K D(x, y) (1.4) 9 CHƯƠNG 2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU SUZUKI CHO HAI ÁNH XẠ TRÊN KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC VÀ ÁP DỤNG Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả chính của đề tài gồm hai định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu- mêtric, một số hệ quả và ví dụ cho kết quả đạt được Các kết quả chính này được công bố trong [11] 2.1 Định lí điểm bất. .. nghiên cứu lớp ánh xạ co kiểu Suzuki trên không gian kiểu- mêtric thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động trên không gian mêtric suy rộng 6 Nội dung nghiên cứu Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng cho chương sau gồm một số khái niệm và tính chất của không gian kiểu- mêtric và hai định lí điểm bất động kiểu Suzuki trên không gian kiểu- mêtric... của đề tài gồm hai định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu- mêtric và ví dụ minh họa cho kết quả đạt được 4 CHƯƠNG 1 KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC 1.1 Định nghĩa và tính chất của không gian kiểu- mêtric Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất của không gian kiểu- mêtric cần sử dụng cho chương sau 1.1.1 Định nghĩa ([17], Definition 6) Cho X là tập khác rỗng,... nghiên cứu Cách tiếp cận: Trên cơ sở nghiên cứu định lí điểm bất động trên không gian mêtric và kiểu- mêtric trong một số tài liệu tham khảo, chúng tôi thiết lập định lí điểm bất động cho cặp ánh xạ trên không gian kiểu- mêtric Phương pháp: Từ việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sử dụng phương pháp tương tự hóa, khái quát hóa để thiết lập các định lí điểm bất động trên không gian kiểu- mêtric Các kết quả... 3.1) Giả sử {yn } là một dãy trong không gian kiểu- mêtric (X, D, K) thỏa mãn điều kiện sau D(yn , yn+1 ) ≤ λD(yn−1 , yn ) với λ ∈ [0, 1 (1.1) ) và mọi n ∈ N Khi đó {yn } là một dãy Cauchy trong K không gian (X, D, K) 7 1.2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho một ánh xạ trên không gian kiểu- mêtric Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về định lí điểm bất động trong [13] Các kết quả này là... quả chính này được công bố trong [11] 2.1 Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên không gian kiểu- mêtric Trước hết chúng tôi thiết lập bổ đề về điều kiện đủ cho một ánh xạ trên không gian kiểu- mêtric có tính chất (P ) Nếu K = 1 thì ta được [14, Theorem 1.1] 2.1.1 Bổ đề Giả sử (X, D, K) là không gian kiểu- mêtric và T : X −→ X là ánh xạ thỏa mãn điều kiện D(T x, T 2 x) ≤ λD(x, T x) với 0 ≤... minh Sau đây là định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu- mêtric Những kết quả này là sự tổng quát của một số kết quả trong [13], [23] và [24] 2.1.2 Định lí Giả sử (X, D, K) là không gian kiểu- mêtric đầy đủ; T, F : X −→ X là hai ánh xạ và θ = θK : [0, 1) −→ 1 K +1 , 1 được định nghĩa bởi (1.2) và thỏa mãn các điều kiện sau 1 D liên tục 2 Tồn tại r ∈ [0, 1) sao cho với mỗi x,... ∈ X Khi đó D được gọi là kiểu- mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là một không gian kiểu- mêtric 1.1.2 Nhận xét 1 Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không gian kiểu- mêtric (X, d, 1) và ngược lại 2 Không gian kiểu- mêtric cũng được nghiên cứu với tên gọi là không gian b-mêtric trong [2] Hơn nữa, trong [17], Khamsi đã giới thiệu không gian kiểu- mêtric với điều kiện (3) của Định nghĩa 1.1.1 được 5 thay... y2 ) với K = max{K1 , K2 } 1.1.4 Định nghĩa ([25], Mệnh đề 2.2.4) Không gian kiểu- mêtric (X × X, D, K) trong Mệnh đề 1.1.3 được gọi là không gian kiểu- mêtric tích với không gian kiểu- mêtric đã cho Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về sự hội tụ trong không gian kiểu- mêtric 1.1.5 Định nghĩa ([17], Definition 7) Cho (X, D, K) là một không gian kiểu- mêtric Khi đó 1 Dãy {xn } được... là điểm bất động chung duy nhất của T và F 2.1.3 Nhận xét Nếu chọn F là ánh xạ đồng nhất trong Định lí 2.1.2 thì ta được Định lí 1.2.2 Từ Định lí 2.1.2 ta có các hệ quả sau 19 2.1.4 Hệ quả Giả sử (X, D, K) là một không gian kiểu- mêtric đầy đủ; T, F : X −→ X là hai ánh xạ và θ = θK : [0, 1) −→ 1 K +1 , 1 được định nghĩa bởi (1.2) và thỏa mãn các điều kiện sau 1 D liên tục 2 Tồn tại r ∈ [0, 1) sao cho