ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ HẬU ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2015 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM BÙI THỊ HẬU ĐỊNH LÝ CANTOR VÀ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN 2- METRIC Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Hà Trần Phương THÁI NGUYÊN - 2015 i LỜI CAM ĐOAN Tơi cam đoan cơng trình trình bày theo nhận thức riêng tơi Các kết nêu luận văn, tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực xác Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015 Tác giả Bùi Thị Hậu ii LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới PGS TS Hà Trần Phương Người thầy dành nhiều tâm huyết thời gian quý báu để hướng dẫn tận tình bảo, giúp đỡ động viên tơi suốt q trình nghiên cứu hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, khoa Tốn tồn thể thầy giáo trường ĐHSP Thái Ngun, Viện Tốn học Trường Đại học Sư phạm Hà Nội truyền thụ cho kiến thức quan trọng, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi ý kiến đóng góp quý báu suốt trình học tập thực luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn Sở Giáo Dục đào tạo Hịa Bình, trường THPT Ngơ Quyền nơi công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp ln cổ vũ động viên để tơi hồn thành luận văn Bản luận văn chắn không tránh khỏi thiếu sót Vì tơi mong nhận đóng góp ý kiến q thầy độc giả quan tâm đến luận văn để luận văn hoàn chỉnh Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 10 năm 2015 Tác giả luận văn Bựi Th Hu ử ỵ ❈❛♥t♦r tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✶✳✶✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✳✶✳✶✳ ❙ü ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✶ ✸ ✸ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸ ✶✳✶✳✷✳ ❚æ♣æ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺ ✶✳✶✳✸✳ ⑩♥❤ ①↕ ❧✐➯♥ tö❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ tr ỵ r ỵ tr ❝❤♦ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ r ổ tr ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✷ ✷ ❱➜♥ ✤➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✶✺ ✷✳✶✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ỵ ỵ →♥❤ ①↕ ❝♦ ❇❛♥❛❝❤ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✺ ✷✳✶✳✷✳ ỵ t st ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✾ ✷✳✷✳ ✣✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✷ ✷✳✷✳✶✳ ❍å ❤ú✉ ❤↕♥ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸ ✷✳✷✳✷✳ ❍å ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸ ❑➳t ❧✉➟♥ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ✹✸ ✹✹ ✶ ▼ð ✤➛✉ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➣ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ ❜ð✐ ●❛❤❧❡r tr♦♥❣ ♠ët ❧♦↕t ❝→❝ ❜➔✐ ❜→♦ ✭①❡♠ ❬✹❪✱ ❬✺❪✱ ❬✻❪✮✳ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔② ❝â ♠ët ❝➜✉ tró❝ ♣❤✐ t✉②➳♥ ❦❤→ ✤ë❝ ✤→♦ ✈➔ ❦❤→❝ ❧↕ ✈ỵ✐ ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♠❡tr✐❝ t❤ỉ♥❣ t❤÷í♥❣✱ ❞♦ ✤â ♥â t❤✉ ❤ót ✤÷đ❝ sü ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝õ❛ ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ♥❤❛✉✳ ❚r♦♥❣ ❬✹❪✱ ●❛❤❧❡r ✤➣ ❝❤➾ r❛ ♠ët ❝→❝❤ t÷í♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ❝ì sð ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ tỉ♣ỉ ✤÷đ❝ ①➙② ❞ü♥❣ tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔②✳ ❚✉② ♥❤✐➯♥ ❝→❝ t➼♥❤ ❝❤➜t ✤â ✈➝♥ ❝á♥ ❦❤→ ✤ì♥ ❣✐↔♥✳ ◆➠♠ ✶✾✻✾✱ ●❛❤❧❡r ✈➔ ❲❤✐t❡ ✭①❡♠✱ ❬✷✵❪✮ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ❦❤→✐ ♥✐➺♠ ❦❤æ♥❣ tr õ t tt ỵ tr ổ ỵ ts ụ ú tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤ ✭①❡♠ ❬✶✶❪✮✳ ●➛♥ ✤➙② ▲❛❤✐r✐✳ ❇✳ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ✭❬✶✷❪✮ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝➞♥ t❤➟♥ ❤ì♥ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2tr ỵ tr r ổ tr ụ ố ữ tr ổ ỵ t❤✉②➳t ❝→❝ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❝ô♥❣ ✤➣ ✤÷đ❝ ♣❤→t tr✐➸♥ tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳ ◆➠♠ ✶✾✼✻✱ ■s❡❦✐✳ P ✭❬✽❪✮ ✤➣ t❤✉ ✤÷đ❝ ❦➳t q✉↔ ❝ì ❜↔♥ ✤➛✉ t✐➯♥ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤♦ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ t✐➳♣ t❤❡♦ æ♥❣ ✤➣ ♥❣❤✐➯♥ ự ỵ õ ổ ✭①❡♠ ❬✽❪✱ ❬✾❪✮✳ ❙❛✉ ❝→❝ ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ■s❡❦✐✱ ♠ët sè t→❝ ❣✐↔ ✤➣ ♠ð rë♥❣ ✈➔ ❦❤→✐ q✉→t ❤â❛ ỵ t tr ổ tr ✈➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲❇❛♥❛❝❤ ✈ỵ✐ ♥❤✐➲✉ ❧♦↕✐ →♥❤ ①↕ ❦❤→❝ ♥❤❛✉ ✭①❡♠ ❬✼❪✱ ❬✾❪✱ ❬✶✸❪✱ ❬✶✹❪✱ ❬✶✺❪✱ ❬✶✼❪✱ ❬✶✾❪✮✳ ❚r♦♥❣ t sỷ ỵ tr ữ r ởt ỵ t ữ ự ỵ ♥➔②✳ ◆❣♦➔✐ r❛ ❝á♥ ❝â ♥❤✐➲✉ t→❝ ❣✐↔ ❦❤→❝ ♥❣❤✐➯♥ ự ỵ t →♥❤ ①↕ tr➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳ ✷ ❱ỵ✐ ♠♦♥❣ ♠✉è♥ t➻♠ ❤✐➸✉ ✈➲ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✈➔ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ❝→❝ ỵ t tr ❝→❝ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❝❤å♥ ✤➲ t➔✐ ✳ ▼ư❝ ✤➼❝❤ ❝❤➼♥❤ ❝õ❛ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❧➔ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ❝→❝ ❦✐➳♥ t❤ù❝ ❝ì ❜↔♥ ❝õ❛ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ỵ tr r ữủ r ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ❝æ♥❣ ❜è tr♦♥❣ ❬✶✷❪✳ ◆❣♦➔✐ r❛✱ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ❝ơ♥❣ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❞↕♥❣ ỵ t ữủ ự r ❇✳ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ✭❬✶✷❪✮✱ ▲❛✐✳ ❙✳ ◆✱ ❙✐♥❣❤✳ ❆✳ ❑ ✭❬✶✵❪✮ ✈➔ ❉❡②✳ ▼✱ ❙❛❤❛✳ ▼ ỵ tr ởt số ỵ ❜➜t ✤ë♥❣ tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ▲✉➟♥ ✈➠♥ ❝❤✐❛ t❤➔♥❤ ữỡ ữỡ ợ t ổ tr ự ỵ tr r r ữỡ ✷✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ s➩ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët sè ❞↕♥❣ ✤à♥❤ ỵ t tr ợ ổ ữỡ ỵ tr tr ổ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✶✳✶✳ ❑❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✶✳✶✳✶✳ ❙ü ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✈➔ ✈➼ ❞ư ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✶✳ ❈❤♦ X ❧➔ ♠ët t➟♣ ❦❤→❝ ré♥❣✱ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② t❛ ❧✉æ♥ ❣✐↔ t❤✐➳t X ❧➔ ♠ët t➟♣ ✈ỉ ❤↕♥✳ ▼ët →♥❤ ①↕ σ :X ×X ×X →R t❤ä❛ ♠➣♥ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉✿ ✭✐✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ t a, b tỗ t ởt c ∈ X s❛♦ ❝❤♦ σ(a, b, c) = 0❀ ✭✐✐✮ σ(a, b, c) = ♥➳✉ ❤❛✐ tr♦♥❣ ❜❛ ✤✐➸♠ ❧➔ trò♥❣ ♥❤❛✉❀ ✭✐✐✐✮ σ(a, b, c) = σ(a, c, b) = σ(b, c, a) ✈ỵ✐ ♠å✐ a, b, c ∈ X ❀ ✭✐✈✮ σ(a, b, c) ≤ σ(a, b, d) + σ(a, d, c) + σ(d, b, c) ✈ỵ✐ ♠å✐ a, b, c ✈➔ d ∈ X ✳ ❑❤✐ ✤â σ ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ 2✲♠❡tr✐❝ tr➯♥ X ✳ ❚❛ ❞➵ ❞➔♥❣ ♥❤➟♥ t❤➜② r➡♥❣ σ ❧➔ ♠ët ❤➔♠ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ a, b, c ∈ X ✱ ✈ỵ✐ ♠å✐ ❤♦→♥ ✈à (a1 , b1 , c1 ) ❝õ❛ (a, b, c) t❛ ❧✉æ♥ ❝â σ(a1 , b1 , c1 ) = σ(a, b, c) ✹ ❈➦♣ (X, σ)✱ tr♦♥❣ ✤â X = ∅✱ σ ❧➔ ♠ët 2−♠❡tr✐❝ tr➯♥ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2✲♠❡tr✐❝✳ ✣ỉ✐ ❦❤✐ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2✲♠❡tr✐❝ (X, σ) ✤÷đ❝ ❦➼ ❤✐➺✉ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❧➔ X ♥➳✉ ❦❤æ♥❣ ♥❤➛♠ ❧➝♥✳ ▼é✐ a ∈ X ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♣❤➛♥ tû ❤❛② ♠ët ✤✐➸♠✱ σ(a, b, c) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ 2✲♠❡tr✐❝ ❣✐ú❛ ✸ ♣❤➛♥ tû a, b, c ❱➼ ❞ö ✶✳✶✳ ❈❤♦ X = R2, ✈ỵ✐ ♠é✐ x, y, z ∈ X ✱ ✤➦t σ(x, y, z) ❧➔ ❞✐➺♥ t➼❝❤ t❛♠ ❣✐→❝ ❝â ❜❛ ✤➾♥❤ ❧➔ x, y, z ❑❤✐ ✤â✱ σ s➩ ❧➔ ♠ët 2−♠❡tr✐❝ tr➯♥ R2 ✈➔ (R2 , σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝✳ ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶✳ ❈❤♦ (X, σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝✱ a, b ∈ X ✱ ♥➳✉ σ(x, y, z) = ✈ỵ✐ ♠å✐ z ∈ X t❤➻ x ≡ y ✣✐➲✉ ♥➔② ❧➔ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ✈➻ x = y t❤➻ t❤❡♦ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ (i) s tỗ t z X s (x, y, z) = ♥➳✉ ❑❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❈❤♦ (X, σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝✱ M ⊂ X ✳ ✣➦t σM = σ|M ×M ×M ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ σM ❧➔ ♠ët 2−♠❡tr✐❝ tr➯♥ M t❤➻ (M, σM ) ❣å✐ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (X, σ)✳ σM ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ 2−♠❡tr✐❝ ❝↔♠ s✐♥❤ ❜ð✐ σ tr➯♥ M ú ỵ õ t tr ❜à ❝❤♦ M ♥❤ú♥❣ 2−♠❡tr✐❝ ❦❤→❝ ✤➸ M trð t❤➔♥❤ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝✱ t✉② ♥❤✐➯♥ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ♥➔② M ❦❤æ♥❣ ❧➔ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ❝♦♥ ❝õ❛ X ✳ ✷✳ ✣è✐ ợ trữớ ủ ổ tr (X, d) M ⊂ X t❤➻ d|M ×M ❧✉ỉ♥ ❧➔ ♠ët ♠❡tr✐❝ tr➯♥ M ❚✉② ♥❤✐➯♥✱ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (X, σ) t ữ M = |M ìM ìM 2−♠❡tr✐❝ tr➯♥ M ❚❛ ❝â t❤➸ ❝❤➾ r❛ ✈➼ ❞ö ❝ư t❤➸ ❧➔ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (R2, σ) tr♦♥❣ ❱➼ ợ M = R ì {0} ❙ü ❤ë✐ tư tr♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ❈❤♦ (X, σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✈➔ {xn } ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ ♣❤➛♥ tû ❝õ❛ X ✺ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✶✳✷✳ ❉➣② {xn} tr♦♥❣ (X, σ) ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❤ë✐ tư ✈➲ x ∈ X ♥➳✉ ✈ỵ✐ ❜➜t ❦ý a ∈ X ✱ σ(xn , x, a) → ❦❤✐ n → ∞ ❚❛ ✈✐➳t xn → x ❦❤✐ n → ∞ ❤♦➦❝ lim xn = x✳ n→∞ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✷✳ ❚r♦♥❣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (X, σ)✱ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❝õ❛ ♠ët ❞➣② ♥➳✉ ❝â ❧➔ ❞✉② ♥❤➜t✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ z ∈ X, ✳ ●✐↔ sû n→∞ lim xn = a, lim xn = b tr♦♥❣ X ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ✈ỵ✐ ♠é✐ n→∞ σ(a, b, z) σ(a, b, xn ) + σ(a, xn , z) + σ(xn , b, z) ✈ỵ✐ ♠å✐ n✳ ❈❤♦ n → ∞ t❛ ❝â σ(a, b, z) = 0✳ ❚ø ◆❤➟♥ ①➨t ✶✳✶ ❦➨♦ t❤❡♦ a = b✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ▼➺♥❤ ✤➲ ✶✳✸✳ ✭❬✶✷❪✮ ❈❤♦ {yn} ❧➔ ♠ët ❞➣② tr♦♥❣ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ (X, σ)✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ a ∈ X, ✤➦t σn (a) = σ(yn , yn+1 , a)✳ ●✐↔ sû r➡♥❣ σn (ym ) = ✈ỵ✐ ♠å✐ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤ỉ♥❣ ➙♠ m, n ✈ỵ✐ n > m ❑❤✐ ✤â σ(yi, yj , yk ) = ✈ỵ✐ ♠å✐ ❜ë ❝→❝ sè ♥❣✉②➯♥ ❦❤æ♥❣ ➙♠ i, j, k ✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝â t❤➸ ❣✐↔ t❤✐➳t k i j ❉♦ ♥➳✉ k = i ❤♦➦❝ i = j t❤➻ σ(yi , yj , yk ) = 0✳ ❚❛ ①➨t tr÷í♥❣ ❤đ♣ k < i < j ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✣➦t j = i + p, tr♦♥❣ ✤â p ♥↕♣ t❤❡♦ p ❚❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ σ(yi , yj , yk ) = ❜➡♥❣ q✉② ❱ỵ✐ p = 1, ✤➥♥❣ t❤ù❝ ❤✐➸♥ ♥❤✐➯♥ ✤ó♥❣ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ●✐↔ sû ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ p, t❛ ❝â σ(yi , yi+p+1 , yk ) σ(yi , yi+p+1 , yi+p ) + σ(yi , yi+p , yk ) + σ(yi+p , yi+p+1 , yk ) =0 t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t q✉② ♥↕♣✳ ❱➟② ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ p + 1, tù❝ ❧➔ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ p ✶✳✶✳✷✳ ❚æ♣æ tr➯♥ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ❈❤♦ (X, σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳ ✸✶ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✈✮ ❝õ❛ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✱ t❛ ❝â d(ISx2n , Sz, u) ≤ d(ISx2n , Sz, SIx2n ) + d(ISx2n , SIx2n , u) + d(SIx2n , Sz, u) ≤ d(ISx2n , Sz, SIx2n ) + d(Sx2n , Ix2n , u) + d(SIx2n , Sz, u), ✈➻ I ✈➔ S ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ②➳✉✳ ❈❤♦ n → ∞✱ t❛ ❝â {ISx2n } ❤ë✐ tö ✈➲ Sz ✳ ❙û ❞ö♥❣ ✭✷✳✶✹✮✱ ♠ët ❧➛♥ ♥ú❛ t❛ ❝â✿ d(ISx2n ,Jx2n+1 , u) ≤ ≤ α(d(S x2n , Jx2n+1 , u),d(S x2n , ISx2n , u), d(T x2n+1 , Jx2n+1 , u)) ❱➻ α ❧➔ ❧✐➯♥ tư❝✱ ❧➜② ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ✤÷đ❝ d(Sz, z, u) ≤ α(d(Sz, z, u), d(Sz, Sz, u), d(z, z, u)), ❦➨♦ t❤❡♦ d(Sz, z, u) ≤ α(d(Sz, z, u), 0, 0) ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✐✮ ❝õ❛ ❤➔♠ α✱ d(Sz, z, u) ≤ k.0 = ❞➝♥ ✤➳♥ Sz = z ✭✷✳✶✾✮ ❙û ❞ö♥❣ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✹✮✱ ♠ët ❧➛♥ ♥ú❛ t❛ ❝â d(Iz, Jx2n+1 , u) ≤ α(d(Sz, T x2n+1 , u), d(Sz, Iz, u), d(T x2n+1 , Jx2n+1 , u)) ▲➜② ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ✤÷đ❝ d(Iz, z, u) ≤ α(d(Sz, z, u), d(z, Iz, u), d(z, z, u)), ♥❣❤➽❛ ❧➔ d(Iz, z, u) ≤ α(0, d(z, Iz, u), 0) ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✐✮ ❝õ❛ ❤➔♠ α✱ d(Iz, z, u) ≤ k.0 = ❞➝♥ ✤➳♥ Iz = z I(X) T (X) tỗ t z ∈ X s❛♦ ❝❤♦ T z = z = Iz ✳ ❱➟② t❤❡♦ ✸✷ ✭✷✳✶✹✮✱ t❛ ❝â✿ d(z, Jz , u) =d(Iz, Jz , u) ≤α(d(Sz, T z , u), d(Sz, Iz, u), d(T z , Jz , u)) =α(d(z, z, u), d(z, z, u), d(z, Jz , u)) =α(0, 0, d(z, Jz , u)) ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✐✮ ❝õ❛ ❤➔♠ α✱ d(z, Jz , u) ≤ k.0 = ❞➝♥ ✤➳♥ Iz = z ❱➻ J ✈➔ T ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ②➳✉ ♥➯♥ d(JT z , T Jz , u) ≤ d(T z , Jz , u) = 0, ❞➝♥ ✤➳♥ JT z = T Jz ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ Jz = JT z = T Jz = T z ✭✷✳✷✶✮ ❉♦ ✤â tø ✭✷✳✶✹✮✱ t❛ ❝â d(z, T z, u) =d(Iz, Jz, u) ≤α(d(Sz, T z, u), d(Sz, Iz, u), d(T z, Jz, u)) =α(d(z, T z, u), 0, 0) ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✐✮ ❝õ❛ ❤➔♠ α✱ d(z, T z, u) ≤ k.0 = ♥❣❤➽❛ ❧➔ T z = z ✭✷✳✷✷✮ ❚ø ✭✷✳✶✾✮✱ ✭✷✳✷✵✮✱ ✭✷✳✷✶✮ ✈➔ ✭✷✳✷✷✮ t❛ s✉② r❛ z ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ I, J, S ✈➔ T ✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t✱ t❛ ❣å✐ w ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❦❤→❝ ❝õ❛ X s❛♦ ❝❤♦ Iz = Jz = Sz = T z = z ✈➔ Iw = Jw = Sw = T w = w ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✭✷✳✶✹✮✱ t❛ ❝â d(w, z, u) =d(Iw, Jz, u) ≤ α(d(Sw, T z, u), d(Sw, Iw, u), d(T z, Jz, u)) = α(d(w, z, u), d(w, w, u), d(z, z, u)) = α(d(w, z, u), 0, 0) ✸✸ ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✐✮ ❝õ❛ ❤➔♠ α✱ d(w, z, u) ≤ k.0 = ♥❣❤➽❛ ❧➔ w = z ❱➻ ✈➟② t➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ z ✤➣ ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ◆➳✉ ♠ët tr♦♥❣ I, J ✈➔ T ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ t❤➻ t❛ õ t q tữỡ tỹ ữ tr ỵ ữủ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✹ ✳ ❈❤♦ S, T, I ✈➔ J ❧➔ ❜è♥ →♥❤ ①↕ tø ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✭❬✶❪✮ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ (X, d) ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ I(X) ⊂ T (X) ✈➔ J(X) ⊂ S(X) ✭✷✳✷✸✮ d(Ix, Jy, u) ≤ c max{d(Sx, T y, u), d(Sx, Ix, u), d(T y, T y, u)} ✭✷✳✷✹✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y, z tr♦♥❣ X ✱ tr♦♥❣ ✤â ≤ c < ◆➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ S, T, I ✈➔ J ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ♥➳✉ I ✈➔ J ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ②➳✉ ✈ỵ✐ S ✈➔ T t÷ì♥❣ ù♥❣✳ ❑❤✐ ✤â S, T, I ✈➔ J ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤➜t z tr♦♥❣ X t q tữỡ tỹ ợ t q ❝õ❛ ❋✐s❤❡r✳ ❇ ✭❬✸❪✮ tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝✳ ✷✳✷✳✷✳ ❍å ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ❚✐➳♣ t❤❡♦✱ ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ❣✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ❝õ❛ ❙❛❤❛✳ ▼ ✈➔ ❉❡②✳ ❉ ✭❬✶✽❪✮ ✤➣ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➠♠ ✷✵✵✾ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕✳ ✣➸ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❦➳t q✉↔ ❝❤➼♥❤✱ ❝❤ó♥❣ t❛ ❝➛♥ ♠ët sè ❦❤→✐ ♥✐➺♠ s❛✉✿ ✣à♥❤ ♥❣❤➽❛ ✷✳✹✳ ❈❤♦ {ak } ❧➔ ♠ët ❞➣② ❤➡♥❣ sè t❤ü❝✱ ✤➦t Sn = {Sn } ❤ë✐ tö ✈➲ sè t❤ü❝ S t❤➻ sè t❤ü❝ S ❧➔ tê♥❣ ❝õ❛ ❝❤✉é✐ ak ✳ ◆➳✉ k=0 ak ✳ ◆➳✉ ❞➣② k=0 {Sn } ❦❤æ♥❣ ❤ë✐ tư ♥❤÷♥❣ ❞➣② σn = ∞ n S0 + S1 + · · · + Sn n+1 ✭✷✳✷✺✮ ❤ỉ✐ tư ✈➲ L ❦❤✐ n −→ ∞ t❤➻ t❛ ❝â t❤➸ ữ số L tờ q ữợ ộ ∞ k=0 ak ❤♦➦❝ t❛ ❣å✐ L ❧➔ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ q ữợ {Sn } ❈❤♦ {ak } ❧➔ ♠ët ❞➣② ❤➡♥❣ sè t❤ü❝ ✈➔ {σn} ❧➔ ❞➣② ✤÷đ❝ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♥❤÷ ✷✳✷✺✳ ◆➳✉ ❞➣② {σn } ❤ë✐ tö ✈➲ L t❤➻ ❞➣② {Sn } ✤÷đ❝ ❣å✐ ❦❤↔ tê♥❣ t❤❡♦ ♥❣❤➽❛ ❈❡r❛r♦ ❜➟❝ ♠ët ❤♦➦❝ ♥â✐ ♥❣➢♥ ❣å♥ ❧➔ ❞➣② {Sn } ❦❤↔ tê♥❣ (C, 1) ✈➲ L✳ ◆➳✉ ❝❤✉é✐ t❤➻ ❝❤✉é✐ ∞ ak ❝â ❞➣② tê♥❣ r✐➯♥❣ {Sn } ❦❤↔ tê♥❣ (C, 1) ✈➲ L k=0 ∞ ak ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ❦❤↔ tê♥❣ (C, 1) ✈➔ L ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ tê♥❣ (C, 1)✳ k=0 ◆➳✉ ❞➣② {Sn } ❤ë✐ tö ✈➲ S t❤➻ ♥â ❦❤↔ tê♥❣ (C, 1) ✈➲ S ✳ ❈→❝ ❦➳t q✉↔ s❛✉ ✤➙② ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ð✐ ❙❛❤❛✳ ▼ ✈➔ ❉❡②✳ ỵ (X, ) ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥ ✭■✮ ợ ộ i, i,j < tữỡ ự ✈ỵ✐ ♠å✐ j ✈➔ ∞ β +γ ✭■■✮ ❧➔ (C, 1) ❦❤↔ tê♥❣✳ 1−β i=1 ◆➳✉ {Tn} ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ →♥❤ ①↕ tø X ✈➔♦ X t❤ä❛ ♠➣♥ ≤ βi,j , γi,j < (i, j = 1, 2, ) i,i+1 i,i+1 i,i+1 σ(Ti (x), Tj (y), a) ≤ βi,j [σ(x, Ti (x), a) + σ(y, Tj (y), a)] + γi,j σ(x, y, a), ✭✷✳✷✻✮ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y, a ∈ X; i, j = 1, 2, ✈ỵ✐ x = y t❤➻ {Tn} ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤➜t tr♦♥❣ X ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ x ∈ X ✱ ✤➦t xn = Tn (xn−1 ), n = 1, 2, ❱ỵ✐ x = x0 t❤➻ σ(x1 , x2 , a) = σ(T1 (x0 ), T2 (x1 ), a) ≤ β1,2 [σ(x0 , T1 (x0 ), a) + σ(x1 , T2 (x1 ), a)] + γ1,2 σ(x0 , x1 , a) = β1,2 [σ(x0 , x1 , a) + σ(x1 , x2 , a)] + γ1,2 σ(x0 , x1 , a), ❞➝♥ ✤➳♥ (1 − β1,2 )σ(x1 , x2 , a) ≤ (β1,2 + γ1,2 )σ(x0 , x1 , a), ❦➨♦ t❤❡♦ σ(x1 , x2 , a) ≤ β1,2 + γ1,2 − β1,2 σ(x0 , x1 , a) ✸✺ ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â σ(x2 , x3 , a) = σ(T2 (x1 ), T3 (x2 ), a) β2,3 + γ2,3 σ(x1 , x2 , a) ≤ − β2,3 β2,3 + γ2,3 β1,2 + γ1,2 ≤ − β2,3 − β1,2 σ(x0 , x1 , a) ▼ët ❝→❝❤ tê♥❣ q✉→t✱ t❛ ❝â n σ(xn , xn+1 , a) ≤ i=1 βi,i+1 + γi,i+1 σ(x0 , T1 (x0 ), a) − βi,i+1 ✭✷✳✷✼✮ ❍ì♥ ♥ú❛✱ t❛ ❝â σ(xn , xn+2 , a) = σ(xn+2 , xn , a) ≤ σ(xn+2 , xn , xn+1 ) + σ(xn+2 , xn+1 , a) + σ(xn+1 , xn , a) = σ(xn+2 , xn , xn+1 ) + σ(xn+k , xn+k+1 , a) k=0 ❚÷ì♥❣ tü σ(xn , xn+3 , a) ≤ σ(xn+3 , xn+k , xn+k+1 ) + k=0 σ(xn+k , xn+k+1 , a) k=0 ❚❤❡♦ ❝→❝❤ ♥➔②✱ ✈ỵ✐ p > p−2 σ(xn , xn+p , a) ≤ p−1 σ(xn+k , xn+k+1 , a) ✭✷✳✷✽✮ σ(xn+p , xn+k , xn+k+1 )+ k=0 k=0 ❇➙② ❣✐í t❤❡♦ ✭✷✳✷✼✮✱ p−2 σ(xn+p ,xn+k , xn+k+1 ) k=0 = σ(xn+p , xn , xn+1 ) + σ(xn+p , xn+1 , xn+2 ) + + σ(xn+p , xn+p−2 , xn+p−1 ) n ≤[ i=1 βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 n + + i=1 n+1 + i=1 βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 βi,i+1 + γi,i+1 ]σ(x0 , T1 (x0 ), xn+p ) − βi,i+1 ✭✷✳✷✾✮ ✸✻ ▼➦t ❦❤→❝✱ t❛ ❝â✿ σ(x0 , T1 (x0 ), xn+p ) = σ(Tn+p (xn+p−1 ), T1 (x0 ), x0 ) ≤ βn+p,1 [σ(Tn+p−1 (xn+p ), x0 ) + σ(x0 , x1 , x0 )] + γn+p,1 σ(xn+p−1 , x0 , x0 ) = βn+p,1 σ(xn+p−1 , xn+p , x0 ) ✣➦t n + p − = m t❤➻ σ(x0 , T1 (x0 ), xm+1 ) ≤ βm+1,1 σ(xm , xm+1 , x0 ) m βi,i+1 + γi,i+1 σ(x0 , T1 (x0 ), x0 ) − βi,i+1 ≤ βm+1,1 i=1 ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ σ(x0 , T1 (x0 ), xn+p ) = ❱➟② tø ✭✷✳✷✾✮✱ p−2 σ(xn+p , xn+k , xn+k+1 ) = ❈ô♥❣ tø ✭✷✳✷✽✮✱ t❛ ❝â k=0 p−1 σ(xn , xn+p , a) ≤ σ(xn+k , xn+k+1 , a) k=0 p−1 n+k ≤ k=0 i=1 n+p−1 k βi,i+1 + γi,i+1 σ(x0 , T1 (x0 ), a) − βi,i+1 ≤ k=n i=1 βi,i+1 + γi,i+1 σ(x0 , T1 (x0 ), a), − βi,i+1 ❦➨♦ t❤❡♦ n+p−1 k σ(xn , xn+p , a) ≤ k=n i=1 k βi,i+1 + γi,i+1 1 − βi,i+1 k σ(x0 , T1 (x0 ), a) ✭✷✳✸✵✮ k ✣➦t sk = ❝õ❛ ∞ k βi,i+1 +γi,i+1 1−βi,i+1 i=1 βi,i+1 +γi,i+1 1−βi,i+1 ✱ t❛ ❝â ✈➔ Sk = ∞ sv v=1 k ✳ ❚❤➻ t❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t (C, 1) ❦❤↔ tê♥❣ Sk < ∞ ✈➔ ♥❤÷ ✈➟② lim Sk = 0✳ ❑❤æ♥❣ ♠➜t k i=1 k=1 sk k sk t➼♥❤ tê♥❣ q✉→t✱ ❝❤♦ Sk < ✈ỵ✐ ♠å✐ k ✳ ❑❤✐ ✤â ( ) ≤ ≤ Sk ✳ ❇➙② ❣✐í k k ❝❤♦ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → ∞ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✵✮✱ t❛ ❝â σ(xn , xn+p , a) → 0✳ ❉♦ ✤â ✸✼ {xn } ❧➔ ♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤② ✈➔ t❤❡♦ t➼♥❤ ✤➛② ✤õ ❝õ❛ X ✱ xn ❤ë✐ tư tỵ✐ u tr♦♥❣ X ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ lim xn = u ∈ X ✳ ❱➟② ✈ỵ✐ ❜➜t ❦➻ sè ♥❣✉②➯♥ ❞÷ì♥❣ m, n σ(u, Tm (u), a) ≤ σ(u, Tm (u), xn ) + σ(u, xn , a) + σ(xn , Tm (u), a) ✭✷✳✸✶✮ ❇➙② ❣✐í t❤❡♦ ✭✷✳✷✻✮✱ σ(xn , Tm (u), a) = σ(Tn (xn−1 ), Tm (u), a) ≤ βn,m [σ(xn−1 , xn , a) + σ(u, Tm u, a)] + γn,m σ(xn−1 , u, a) ✭✷✳✸✷✮ ✈➔ σ(u, Tm (u), xn ) = σ(Tn (xn−1 ), Tm (u), u) ≤ βn,m [σ(xn−1 , xn , u) + σ(u, Tm u, u)] + γn,m σ(xn−1 , u, u), ❞➝♥ ✤➳♥ σ(u, Tm (u), xn ) ≤ βn,m σ(xn−1 , xn , u) ✭✷✳✸✸✮ ❱➟② tø ✭✷✳✸✶✮✱ ✭✷✳✸✷✮ ✈➔ ✭✷✳✸✸✮✱ t❛ ❝â σ(u, Tm (u), a) ≤ σ(u, xn , a) + βn,m [σ(xn−1 , xn , a) + σ(u, Tm (u), a)] + γn,m σ(xn−1 , u, a) + βn,m σ(xn−1 , xn , u) ▲➜② ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ❝â σ(u, Tm (u), a) ≤ βn,m σ(u, Tm (u), a) ≤ ασ(u, Tm (u), a) ❚❤❡♦ ✭■✮ ❝õ❛ ✣à♥❤ ỵ < tứ (u, Tm (u), a) = ❞➝♥ tỵ✐ u ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ {Tm }✳ ◆➳✉ v ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❦❤→❝✱ t❤➻ t❛ ❝â σ(u, v, a) = σ(Tn (u), Tm (v), a) ≤ βn,m [σ(u, Tn (u), a) + σ(v, Tm (v), a)] + γn,m σ(u, v, a), ❞➝♥ ✤➳♥ u = v ✳ ❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❍➺ q✉↔ ✷✳✶✻ ✭❬✶✽❪✮✳ ❈❤♦ (X, σ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✈➔ t❤ä❛ ♠➣♥✿ ✭■✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ i, βi,j ≤ α < tữỡ ự ợ j i,j < 1, (i, j = 1, 2, ) ✸✽ ∞ β ❧➔ (C, 1) ❦❤↔ tê♥❣✳ ✭■■✮ 1−β i=1 ◆➳✉ {Tn} ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ →♥❤ ①↕ tø X ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ i,i+1 i,i+1 σ(Ti (x), Tj (y), a) ≤ βi,j [σ(x, Ti (x), a) + σ(y, Tj (y), a)], ✈ỵ✐ x, y, a ∈ X; i, j = 1, 2, ✈ỵ✐ x = y t❤➻ {Tn} ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤➜t tr X ỵ (X, ) ❧➔ ♠ët ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ ✈➔ ≤ βi,j , γi,j < (i, j = 1, 2, ) t❤ä❛ ♠➣♥ ✭■✮ ❱ỵ✐ ♠é✐ i, βi,j < tữỡ ự ợ j β +γ ✭■■✮ ❧➔ (C, 1) ❦❤↔ tê♥❣✳ 1−β i=1 ◆➳✉ {Tn} ❧➔ ♠ët ❞➣② ❝→❝ →♥❤ ①↕ tø X õ s ợ số ữỡ ố ✤à♥❤ p t❤ä❛ ♠➣♥ i,i+1 i,i+1 i,i+1 (p) (p) (p) (p) σ(Ti (x), Tj (y), a) ≤ βi,j [σ(x, Ti (x), a)+σ(y, Tj (y), a)]+γi,j σ(x, y, a), ✭✷✳✸✹✮ ✈ỵ✐ x, y, a ∈ X; i, j = 1, 2, ✈ỵ✐ x = y t❤➻ {Tn} ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤➜t tr♦♥❣ X ✳ (p) ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ x0 ∈ X ✱ ✤➦t xn = Tn (xn−1 ), n = 1, 2, t❤➻ (p) (p) σ(x1 , x2 , a) = σ(T1 (x0 ), T2 (x1 ), a) (p) (p) ≤ β1,2 [σ(x0 , T1 (x0 ), a) + σ(x1 , T2 (x1 ), a)] + γ1,2 σ(x0 , x1 , a) = β1,2 [σ(x0 , x1 , a) + σ(x1 , x2 , a)] + γ1,2 σ(x0 , x1 , a), ❦➨♦ t❤❡♦ σ(x1 , x2 , a) ≤ β1,2 +γ1,2 1−β1,2 σ(x0 , x1 , a) ❚❤ü❝ ố ữ ỵ t õ n (xn , xn+1 , a) ≤ i=1 βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 σ(x0 , x1 , a) ✭✷✳✸✺✮ ✣➦t r > ❧➔ sè ♥❣✉②➯♥ ❜➜t ❦➻ ✈➔ ♥❤÷ ✣à♥❤ ỵ t õ r2 (xn , xn+r , a) ≤ r−1 σ(xn+k , xn+k+1 , a) ✭✷✳✸✻✮ σ(xn+r , xn+k , xn+k+1 )+ k=0 k=0 ✸✾ ❚✐➳♣ t❤❡♦ t❛ ❝â (p) (p) (p) σ(x0 , T1 (x0 ), xn+r ) = σ(Tn+r (xn+r−1 ), T1 (x0 ), x0 ) ≤ βn+r,1 [σ(xn+r−1 , xn+r , x0 ) + σ(x0 , x1 , x0 )] + γn+r,1 σ(xn+r−1 , x0 , x0 ) = βn+r,1 σ(xn+r−1 , xn+r , x0 ) ✣➦t n + r − = m t❤➻ t❛ ❝â (p) (p) σ(x0 , T1 (x0 ), xn+r ) = σ(x0 , T1 (x0 ), xm+1 ) ≤ βm+1,1 σ(xm , xm+1 , x0 ) m ≤ βm+1,1 i=1 βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 (p) σ(x0 , T1 (x0 ), x0 ) = ❉♦ ✤â r−2 σ(xn+r , xn+k , xn+k+1 ) = σ(xn+r , xn , xn+1 ) + σ(xn+r , xn+1 , xn+2 ) + k=0 n ≤[ n+1 + i=1 (p) ]σ(x0 , T1 (x0 ), xn+r ) i=1 + βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 = ❈ô♥❣ tø ✭✷✳✸✻✮✱ t❛ ❝â r−1 σ(xn , xn+r , a) ≤ σ(xn+k , xn+k+1 , a) k=0 r−1 n+k ≤ k=0 i=1 n+r−1 k ≤ k=n i=1 βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 σ(x0 , x1 , a) βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 σ(x0 , x1 , a), ❦➨♦ t❤❡♦ n+r−1 k σ(xn , xn+r , a) ≤ k=n i=1 k βi,i+1 + γi,i+1 − βi,i+1 k σ(x0 , T1 (x0 ), a) ✭✷✳✸✼✮ ✹✵ k ✣➦t sk = ∞ i=1 sv k i=1 βi,i+1 +γi,i+1 1−βi,i+1 βi,i+1 +γi,i+1 1−βi,i+1 t❛ ❝â ∞ ✈➔ Sk = v=1 ❚ø t➼♥❤ ❝❤➜t (C, 1) ❦❤↔ tê♥❣ ❝õ❛ k Sk < ∞ ✈➔ ♥❤÷ ✈➟② lim Sk = 0✳ ❑❤ỉ♥❣ ♠➜t t➼♥❤ k k=1 tê♥❣ q✉→t✱ ❝❤♦ Sk < ✈ỵ✐ ♠å✐ k ✳ ❉♦ ✤â sk k sk ) ≤ ≤ Sk k k ❇➙② ❣✐í ❝❤♦ q✉❛ ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → ∞ tr♦♥❣ ✭✷✳✸✼✮✱ t❛ ❝â ( σ(xn , xn+r , a) → ❉♦ ✤â {xn } ❧➔ ♠ët ❞➣② ❈❛✉❝❤② ✈➔ t❤❡♦ t➼♥❤ ✤➛② ✤õ ❝õ❛ X ✱ xn ❤ë✐ tư tỵ✐ u tr♦♥❣ X ✱ ♥❣❤➽❛ ❧➔ lim xn = u ∈ X ✳ n ợ t số ữỡ m t ✭✷✳✸✹✮ t❛ ❝â σ(xn , Tm(p) (u), a) = σ(Tn(p) (xn−1 ), Tm(p) (u), a) ≤ βn,m [σ(xn−1 , xn , a) + σ(u, Tm(p) (u), a)] + γn,m σ(xn−1 , u, a) ▲➜② ❣✐ỵ✐ ❤↕♥ ❦❤✐ n → ∞✱ t❛ ❝â σ(u, Tm(p) (u), a) ≤ βn,m σ(u, Tm(p) , a) ≤ ασ(u, Tm(p) , a) (p) (p) ❉♦ α < ♥➯♥ σ(u, Tm (u), a) = 0✱ ✤✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ u = Tm (u) ❇➙② ❣✐í (p) (p) σ(u, Tj (u), a) = σ(Tj (u), Tj (Tj (u)), a) (p) (p+1) (p) (p) = σ(Tj (u), Tj (u), a) = σ(Tj (u), Tj (Tj (u)), a) (p) (p) ≤ βi,j [σ(u, Tj (u), a) + σ(Tj (u), Tj (Tj (u)), a)] + γi,j σ(u, Tj (u), a) (p) (p) = βi,j [σ(u, Tj (u), a) + σ(Tj (u), Tj (Tj (u)), a)] + γi,j σ(u, Tj (u), a) ✣✐➲✉ ♥➔② s✉② r❛ σ(u, Tj (u), a) = 0✳ ●✐↔ sû v ❧➔ ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❦❤→❝ ❝õ❛ {Tm }✱ t❛ ❝â σ(u, v, a) = σ(Tm(p) (u), Tn(p) (v), a) ≤ βn,m [σ(u, Tm(p) (u), a) + σ(v, Tn(p) (v), a)] + γn,m σ(u, v, a), ✹✶ ❦➨♦ t❤❡♦ σ(u, v, a) ≤ γn,m σ(u, v, a) < σ(u, v, a)✱ ♠➙✉ t❤✉➝♥✱ ❞♦ ✤â u = v ✳ ❚➼♥❤ ❞✉② ♥❤➜t ✤÷đ❝ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❱ỵ✐ ❜➜t ❦➻ f : (X, d) → (X, d) t❛ ❦➼ ❤✐➺✉ Ff = {x ∈ X : x = f (x)} ❇➙② ❣✐í✱ t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ợ rữợ t t❛ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❜ê ✤➲✿ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✽ ✭❬✶❪✮✳ ❈❤♦ I, J, S ✈➔ T ❧➔ ❜è♥ →♥❤ ①↕ tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✷✲♠❡tr✐❝ ✤➛② ✤õ (X, d) ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â✳ ◆➳✉ ❜➜t ✤➥♥❣ t❤ù❝ ✭✷✳✶✹✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ α ∈ A ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y, u ∈ X t❤➻ ❦❤✐ ✤â (FS ∩ FT ) ∩ FI = (FS ∩ FT ) ∩ FJ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ❈❤♦ x ∈ (FS ∩ FT ) ∩ FI ✳ ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✭✷✳✶✹✮✱ d(x, Jx, u) =d(Ix, Jx, u) ≤α(d(Sx, T x, u), d(Sx, Ix, u), d(T x, Jx, u)) ≤α(0, 0, d(x, Jx, u) ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✐✮ ❝õ❛ ❤➔♠ α✱ t❛ ❝â d(x, Jx, u) ≤ k.0 = ♥❣❤➽❛ ❧➔ Jx = x ❉♦ ✤â (FS ∩ FT ) ∩ FI ⊂ (FS ∩ FT ) ∩ FJ ❚÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â (FS ∩ FT ) ∩ FJ ⊂ (FS ∩ FT ) ∩ FI ❱➻ ✈➟② (FS ∩ FT ) ∩ FI = (FS ∩ FT ) ∩ FJ ◆➠♠ ✷✵✶✸✱ ❉❡②✳ ❉ ❛♥❞ ❙❛❤❛✳ ự ỵ S, T ✈➔ {In}n∈N ❧➔ ❝→❝ →♥❤ ①↕ tø ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ ✭❬✶❪✮ ✷✲♠❡tr✐❝ (X, d) ✈➔♦ ❝❤➼♥❤ ♥â t❤ä❛ ♠➣♥ I1 (X) ⊂ T (X) ✈➔ I2 (X) ⊂ S(X), ✈ỵ✐ α ∈ A ✈➔ ✈ỵ✐ ♠å✐ x, y, u ∈ X ✱ ✭✷✳✸✽✮ d(In x, In+1 y, u) ≤ α(d(Sx, T y, u), d(Sx, In x, u), d(T y, In+1 y, u)) ✭✷✳✸✾✮ ✤ó♥❣ ✈ỵ✐ ♠å✐ n ∈ N✳ ◆➳✉ ♠ët tr♦♥❣ ❝→❝ →♥❤ ①↕ S, J, I1 ✈➔ I2 ❧➔ ❧✐➯♥ tö❝ ✈➔ ♥➳✉ I1 ✈➔ I2 ❧➔ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ợ S T tữỡ ự õ S, T ✈➔ {In}n∈N ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② t z tr X ỵ S, T, I1 ✈➔ I2 ❝â ♠ët ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤➜t z tr♦♥❣ X ✳ ❉♦ z ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❞✉② ♥❤➜t ❝õ❛ S, T, I1 ✈➔ t❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✷✳✶✽✱ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (FS ∩ FT ) ∩ FI1 = (FS ∩ FT ) ∩ FI2 , z ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ S, T, I2 ✳ ❍ì♥ ♥ú❛ z ❧➔ ❝ơ♥❣ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ S, T, I2 ✳ ❱➻ ♥➳✉ ♥❣÷đ❝ ❧↕✐✱ ❝❤♦ w ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❦❤→❝ ♥ú❛ ❝õ❛ S, T, I2 ✳ ❑❤✐ ✤â t❤❡♦ ✭✷✳✸✾✮✱ d(z, w, u) =d(I1 z, I2 w, u) ≤α(d(Sz, T w, u), d(Sz, I1 z, u), d(T w, I2 w, u)) =α(d(z, w, u), d(z, z, u), d(w, w, u)) =α(d(z, w, u), 0, 0) ❚❤❡♦ t➼♥❤ ❝❤➜t ✭✐✐✮ ❝õ❛ ❤➔♠ α✱ d(z, w, u) ≤ k.0 = ♥❣❤➽❛ ❧➔ z = w ❇➡♥❣ ❝→❝❤ t÷ì♥❣ tü✱ t❛ ❝â t❤➸ ❝❤➾ r❛ r➡♥❣ z ❧➔ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ S, T ✈➔ I3 ✳ ◗✉② ♥↕♣ q✉→ tr➻♥❤ ♥➔②✱ t❛ s➩ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ✹✸ ❑➳t ❧✉➟♥ ❱ỵ✐ ♠ư❝ ✤➼❝❤ ♥❣❤✐➯♥ ❝ù✉ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝✱ ✤➦❝ ❜✐➺t ỵ tr ỵ t ✤ë♥❣ tr➯♥ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔②✱ tr♦♥❣ ❧✉➟♥ ✈➠♥ ♥➔② ❝❤ó♥❣ tỉ✐ ✤➣ tr➻♥❤ ❜➔② ♠ët sè ✈➜♥ ✤➲ s❛✉ ✤➙②✿ ✶✳ ●✐ỵ✐ t❤✐➺✉ ✈➲ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✈➔ ♠ët sè t➼♥❤ ❝❤➜t ✈➲ tỉ♣ỉ tr➯♥ ❧ỵ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ ♥➔②✳ ợ t ỵ tr ỵ r tr♦♥❣ tr÷í♥❣ ❤đ♣ ❦❤ỉ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝ ✤÷đ❝ ▲❛❤✐r✐✳ ❇✳ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✶✷❪✳ ✸✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ❧↕✐ ♠ët sè ❦➳t q✉↔ ✈➲ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝õ❛ →♥❤ ①↕ ❣✐ú❛ ❝→❝ ❦❤æ♥❣ ❣✐❛♥ 2−♠❡tr✐❝✿ ✤à♥❤ ỵ st ữủ r ❇ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ tr♦♥❣ ❬✶✷❪✱ ✤✐➸♠ ❜➜t ✤ë♥❣ ❝❤✉♥❣ ❝õ❛ ♠ët ❤å ✤➳♠ ✤÷đ❝ ❝→❝ →♥❤ ①↕ ✈➔ ❤å →♥❤ ①↕ ❣✐❛♦ ❤♦→♥ ②➳✉ ✤÷đ❝ ▲❛✐✳ ❙✳ ◆ ✈➔ ❙✐♥❣❤✳ ❆✳ ❑ ✭❬✶✵❪✮ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➠♠ ✶✾✼✽✱ ❉❡②✳ ❉ ✈➔ ❙❛❤❛✳ ▼ ✭❬✶❪✱❬✶✽❪✮ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤ ♥➠♠ ✷✵✵✾ ✈➔ ✷✵✶✸✳ ❚➔✐ ❧✐➺✉ t❤❛♠ ❦❤↔♦ ❬✶❪ ❉❡②✳ ❉ ❛♥❞ ❙❛❤❛✳ ▼ ✭✷✵✶✸✮✱ ✧❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ ❛ ❝♦♠✲ ♣❧❡t❡ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✧✱ ❆❝t❛ ❯♥✐✈✳ P❛❧❛❝❦✐✳ ❖❧♦♠✉❝✳✱ ❋❛❝✳ r❡r✳ ♥❛t✳✱ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛ ✺✷✱ ✼✾✲✽✼✳ ❬✷❪ ❊❞❡❧st❡✐♥✳ ▼ ✭✶✾✻✷✮✱ ✧❖♥ ❢✐①❡❞ ❛♥❞ ♣❡r✐♦❞✐❝ ♣♦✐♥ts ✉♥❞❡r ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ ♠❛♣♣✐♥❣s✧✱ ❏♦✉r✳ ▲♦♥❞✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✱ ✸✼✱ ✼✹✲✼✾✳ ❬✸❪ ❋✐s❤❡r✳ ❇ ✭✶✾✽✸✮✱ ✧❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ♦❢ ❢♦✉r ♠❛♣♣✐♥❣s✧✱ ▼❛t❤✳ ❆❝❛❞✳ ❙✐♥✐❝✐❛ ✶✶✱ ✶✵✸✕✶✶✸✳ ✶✶✺✕✶✹✽✳ ✷✸✺✕✷✹✹✳ ✹✵✽✳ ❇✉❧❧✳ ■♥st✳ ❬✹❪ ●❛❤❧❡r✳ ❙ ✭✶✾✻✸✴✻✹✮✱ ✧✷✲▼❡tr✐s❝❤❡ ❘☎ ❛✉♠❡ ✉♥❞ ✐❤r❡ t♦♣♦❧♦❣✐s❝❤❡ str✉❦✲ t✉r✧✱ ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✳ ✷✻✱ ✶✶✺✲✶✶✽✳ ❬✺❪ ●❛❤❧❡r✳ ❙ ✭✶✾✻✺✮✱ ✧▲✐♥❡❛r❡ ✷✲♥♦r♠✐❡rt❡ ❘☎❛✉♠❡✧✱ ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✳ ✷✽✱ ✶✲✹✸✳ ❬✻❪ ●❛❤❧❡r✳ ❙ ✭✶✾✻✺✮✱ ✧❯❜❡r ❞✐❡ ✉♥✐❢♦r♠✐s✐❡r❜❛r❦❡✐t ✷✲♠❡tr✐s❝❤❡r ❘❛✉♠❡✧✱ ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✳ ✷✽✱ ✷✸✺✲✷✹✹✳ ❬✼❪ ■♠❞❛❞✳ ▼✱ ❑❤❛♥ ▼✳ ❙ ❛♥❞ ❑❤❛♥✳ ▼✳ ❉ ✭✶✾✾✶✮✱ ✧❆ ❝♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✧✱ ▼❛t❤✳ ❏❛♣♦♥✐❝❛❡✱ ✸✻✭✺✮✱ ✾✵✼✲✾✶✹✳ ❬✽❪ ■s❡❦✐✳ ❑ ✭✶✾✼✺✮✱ ✧❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✧✱ ▼❛t❤✳ ❙❡♠✲ ✐♥❛r ◆♦t❡s✱ ❑♦❜❡ ❯♥✐✈✳ ✸✱ ✶✸✸✲✶✸✻✳ ❬✾❪ ■s❡❦✐✳ ❑✱ ❙❤❛r♠❛✳ P✳ ▲ ❛♥❞ ❙❤❛r♠❛✳ ❇✳ ❑✳ ✭✶✾✼✻✮✱ ✧❈♦♥tr❛❝t✐♦♥ t②♣❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ♦♥ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✧✱ ▼❛t❤✳ ❏❛♣♦♥✐❝❛❡✳ ✷✶✱ ✻✼✲✼✵✳ ❬✶✵❪ ▲❛✐✳ ❙✳ ◆ ❛♥❞ ❙✐♥❣❤✳ ❆✳ ❑ ✭✶✾✼✽✮✱ ✧❆♥ ❛♥❛❧♦❣✉❡ ♦❢ ❇❛♥❛❝❤✬s ❝♦♥tr❛❝t✐♦♥ ♣r✐♥❝✐♣❧❡ ❢♦r ✷✲♠❡tr✐❝✧✱ ❇✉❧❧✳ ❆✉str❛❧✳ ▼❛t❤✳ ❙♦❝✳✶✽✱ ✶✸✼✲✶✹✸✳ ❬✶✶❪ ▲❛❤✐r✐✳ ❇✳ ❑ ❛♥❞ ❚❡✇❛r✐✳ ❑✳ ❙ ✭✶✾✾✹✮✱ ❇❛♥❛❝❤✲❙t❡✐♥❤❛✉ss ✷✲❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✱ ❏♦✉r✳ ▼❛t❤✳ ❙❝✐❡♥❝❡s✱ ✭✷✽✮✱ ✾✶✲✶✵✶✳ t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ✹✺ ❈❛♥t♦r✬s t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s ❛♥❞ ✐ts ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s t♦ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t ♣r♦❜❧❡♠s✱ ❚❛✐✇❛♥❡s❡ ❏♦✉r♥❛❧ ❬✶✷❪ ▲❛❤✐r✐✳ ❇✳ ❑✱ ❉❛s✳ P✱ ❉❡②✳ ▲✳ ❑ ✭✷✵✶✶✮✱ ♦❢ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝✱ ❱♦❧✳ ✶✺✱ ✸✸✼✲✸✺✷✳ ❬✶✸❪ ▲✐✉✳ ❩✱ ❋❡♥❣✳ ❈ ❛♥❞ ❈❤✉♥✳ ❙ ✭✷✵✵✸✮✱ ✧❋✐①❡❞ ❛♥❞ ♣❡r✐♦❞✐❝ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✧✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳ ❆♣♣❧✱ ✽✭✹✮✱ ✹✾✼✲✺✵✺✳ ❬✶✹❪ ◆❛✐❞✉✳ ❙✳ ❱✳ ❘ ❛♥❞ Pr❛s❛❞ ❏✳ ❘ ✭✶✾✽✻✮✱ ✧❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠ ✐♥ ✷✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✧✱ ■♥❞✐❛♥ ❏✳ P✉r❡ ❆♣♣❧✳ ▼❛t❤✱ ✶✼✭✽✮✱ ✾✼✹✲✾✾✸✳ ❬✶✺❪ ◆❛✐❞✉✳ ❙✳ ❱✳ ❘ ✭✷✵✵✶✮✱ ✧❙♦♠❡ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ✐♥ ♠❡tr✐❝ ❛♥❞ ✷✲ ♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✧✱ ■♥t✳ ❏✳ ▼❛t❤✳ ▼❛t❤✳ ❙❝✐✱ ✷✽✭✶✶✮✱ ✻✷✺✲✻✸✻✳ ❬✶✻❪ ◆❛✐❞✉✳ ❙✳ ❱✳ ❘✱ Pr❛s❛❞✳ ❏✳ ❘ ✭✶✾✽✻✮✱ ✧❋✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ✐♥ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✧✳ ■♥❞✐❛♥ ❏✳ P✉r❡ ❆♣♣▲✳ ▼❛t❤✳ ✶✱ ✾✼✹✕✾✾✸✳ ❬✶✼❪ ❘❤♦❛❞❡s✳ ❇✳ ❊ ✭✶✾✼✾✮✱ ✧❈♦♥tr❛❝t✐✈❡ t②♣❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ♦♥ ❛ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✧✱ ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✳ ✾✶✱ ✹✺✶✲✹✺✺✳ ❬✶✽❪ ❙❛❤❛✳ ▼ ❛♥❞ ❉❡②✳ ❉ ✭✷✵✵✾✮✱ ❋✐①❡❞ ♣♦✐♥t t❤❡♦r❡♠s ♦❢ ❝♦♥tr❛❝t✐✈❡ t②♣❡ ♠❛♣♣✐♥❣ ✐♥ ❛ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡✱ ■♥t❡r♥❛t✐♦♥❛❧ ▼❛t❤❡♠❛t✐❝❛❧ ❋♦r✉♠✱ ✹✱ ◆♦✳ ✸✻✱ ✶✼✽✸✲✶✼✾✶✳ ❈♦♠♠♦♥ ❢✐①❡❞ ♣♦✐♥ts ❢♦r ❝♦♠♣❛t✲ ✐❜❧❡ ♠❛♣♣✐♥❣s ♦❢ t②♣❡ ✭P✮ ✐♥ ✷✲♠❡tr✐❝ s♣❛❝❡s✱ ◆♦♥❧✐♥❡❛r ❋✉♥❝t✳ ❆♥❛❧✳ ❬✶✾❪ ❚❛♥✳ ❉✱ ▲✐✉✳ ❩ ❛♥❞ ❑✐♠✳ ❏✳ ❑ ✭✷✵✵✸✮✱ ❆♣♣❧✳✱ ✽✭✷✮✱ ✷✶✺✲✷✸✷✳ ❬✷✵❪ ❲❤✐t❡✳ ❆✳ ● ✭✶✾✻✾✮✱ ✷✲❇❛♥❛❝❤ s♣❛❝❡s✱ ▼❛t❤✳ ◆❛❝❤r✳✱ ✹✷ ✭✶✾✻✾✮✱ ✹✸✲✻✵✳ ◆♦✈✐ ❙❛❞ ❏✳ ▼❛t❤✳ ✸✽✱ ✶ ✭✷✵✵✽✮✱ ✷✺✕✸✸✳ ▼❛t❤✳ ■t❛❧✳ ✺ ✭✶✾✼✷✮✱ ✶✵✸✕✶✵✽✳