Định lý điểm bất động trong không gian metric TVS nón

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG ——————————– KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC TVS-NĨN SINH VIÊN THỰC HIỆN NGUYỄN THỊ HỢP - LỚP: 16ST - KHOA TOÁN GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN: TS LƯƠNG QUỐC TUYỂN Đà Nẵng - Năm 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ĐÀ NẴNG ——————————– NGUYỄN THỊ HỢP ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC TVS-NĨN Chun ngành: Giải tích Người hướng dẫn nghiên cứu: TS Lương Quôc Tuyển Đà Nẵng - Năm 2020 LỜI CAM ĐOAN Chúng xin cam đoan công trình nghiên cứu cưa riêng chúng tơi Các số liệu, kết nêu đề tài trung thực chưa cơng bố cơng trình khác Tác giả Nguyễn Thị Hợp LỜI CẢM ƠN Lời đề tài tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Lương Quốc Tuyển tận tình hướng dẫn tác giả suốt trình thực để tác giả hồn thành luận văn Tác giả Nguyễn Thị Hợp MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTOR TOPO 1.1 Không gian topo 1.2 T1 -không gian T2 -không gian 1.3 Ánh xạ liên tục .6 1.4 Không gian vector topo CHƯƠNG KHƠNG GIAN METRIC TVS-NĨN 13 2.1 TVS-nón khơng gian vector topo 2.2 Khơng gian metric TVS-nón 13 23 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC TVS-NĨN 27 3.1 Dãy không gian metric TVS-nón 27 3.2 Định lí điểm bất động khơng gian metric TVS-nón 29 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết điểm bất động đời từ năm 1920 phát triển mạnh mẽ tận hơm Nó cơng cụ để chứng minh tồn nghiệm nhiều lớp phương trình xuất phát từ Toán học khoa học Các định lý điểm bất động không gian với mêtric ánh xạ nhận giá trị nón khơng gian vector bắt đầu nghiên cứu từ năm 1950 để phục vụ việc nghiên cứu phương trình vi phân q trình tính tốn gần Có nhiều tác giả nghiên cứu lý thuyết điểm bất động khơng gian metric nón xây dựng sở không gian Banach hàng chục báo viết đề công bố [5] [8] [7] Trong thời gian gần đây, Du [5] giới thiệu khơng gian metric TVS-nón cách thay không gian Banach không gian vector topo định nghĩa khơng gian metric nón Huang Zhang (xem [7]) Trên sở tác giả bắt đầu nghiên cứu lý thuyết điểm bất động không gian metric TVS-nón khơng gian rộng so với nghiên cứu trước thu đước nhiều kết đáng ghi nhận (xem [3], [4]) Nhằm hiểu rõ thêm vấn đề, với định hướng thầy giáo TS Lương Quốc Tuyển, định chọn đề tài: “Định lý điểm bất động không gian metric TVS-nón” Chúng tơi hi vọng tài liệu tham khảo tốt cho học giả quan tâm đến vấn đề Mục đích nghiên cứu Nhằm hiểu thấu đáo Định lí điểm bất động khơng gian metric TVS-nón Ngồi chúng tơi mong muốn đưa kết phục vụ cho lĩnh vực nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu Trong báo cáo nầy nghiên cứu khơng gian metric TVSnón, sở khơng gian metric TVS-nón chúng tơi tìm hiểu định lý điểm bất động khơng gian Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu không gian vector topo, không gian metric TVS-nón định lý điểm bất động khơng gian metric TVS-nón Phương pháp nghiên cứu Chúng tơi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết trình thực đề tài Trước tiên, chúng tơi thu thập báo khoa học tác giả trước liên quan đến khơng gian TVS-nón định lý điểm bất động khơng gian Sau đó, cách tương tự hóa, khái quát hóa kết đó, chúng tơi mong muốn đưa kết cho đề tài Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có ý nghĩa mặt lý thuyết, tài liệu tham khảo cho quan tâm đến mảng nghiên cứu Cấu trúc nghiên cứu Trong đề tài này, trình bày khơng gian vector topo, cụ thể khơng gian TVS-nón xây dựng khơng gian vecto topo, đồng thời tơi trình bày chứng minh Định lý điểm bất động khơng gian metric TVS-nón Nội dung đề tài trình bày ba chương Ngồi ra, luận văn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương Trình bày khơng gian vector topo số tính chất khơng gian Chương Trình bày khơng gian metric TVS-nón Mục 2.1 trình bày TVS-nón xây dựng khơng gian vector topo Mục 2.2 trình bày cụ thể khơng gian metric TVS-nón Chương Trình bày chứng minh Định lý điểm bất động không gian metric TVS-nón CHƯƠNG KHƠNG GIAN VECTOR TOPO Trong chương trước tiên tơi dành cho việc trình bày sơ khái niệm tính chất khơng gian topo [1] Sau đó, chúng tơi trình bày khái niệm chứng minh chi tiết số kết không gian vector topo [4], [6] nhằm phục vụ hiểu thấu đáo việc chứng minh chương sau 1.1 Không gian topo Định nghĩa 1.1.1 Cho X tập hợp τ họ gồm tập X thỏa mãn điều kiện sau 1) ∅, X ∈ τ 2) Nếu U, V ∈ τ , U ∩ V ∈ τ 3) Nếu {Uα }α∈Λ ⊂ τ Uα ∈ τ α∈Λ Khi đó, • τ gọi topo X • Cặp (X, τ ) gọi khơng gian topo • Mọi phần tử τ gọi tập hợp mở • Mọi phần tử X gọi điểm Nhận xét 1.1.2 Đối với khơng gian topo (X, τ ), ta có 1) ∅, X tập mở 2) Giao hữu hạn tập mở tập mở 3) Hợp tùy ý tập mở tập mở 4) Giao tùy ý tập mở khơng mở Định nghĩa 1.1.3 Cho A tập khác rỗng không gian topo (X, τ ) Khi đó, tập U X đượcc gọi lân cận tập A tồn V ∈ τ cho A⊂V ⊂U Ngoài ra, U ∈ τ , ta nói U lân cận mở A Đặc biệt, A = x, ta nói A lân cận x Nhận xét 1.1.4 Giả sử (X, τ ) khơng gian topo Khi đó, 1) Lân cận điểm không thiết tập mở, tập mở lân cận điểm thuộc 2) Giao hữu hạn lân cận x lân cận x Tuy nhiên, giao tùy ý lân cận x không lân cận x 3) U ∈ τ với x ∈ U , tồn lân cận V x cho x ∈ V ⊂ V , U lân cận điểm thuộc Định nghĩa 1.1.5 Tập A không gian topo (X, τ ) gọi tập hợp đóng X X \ A ∈ τ Nhận xét 1.1.6 1) ∅, X tập hợp đóng 2) Hợp hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng 3) Giao tùy ý tập hợp đóng tập hợp đóng 4) Hợp tùy ý tập hợp đóng khơng đóng Định nghĩa 1.1.7 Giả sử A tập không gian topo (X, τ ) Khi đó, 1) Phần A hợp tất tập mở nằm A Ta kí hiệu IntA 23 Bởi vai trị x, y nên ta suy tồn β > cho βx y Như Định lí chứng minh xong 2.2 Khơng gian metric TVS-nón Trong mục này, trước tiên tơi trình bày khái niệm metric TVS-nón, khơng gian metric TVS-nón, hình cầu TVS-mở, hình cầu TVS-đóng, tập hợp TVS-mở tập hợp TVS-đóng Định nghĩa 2.2.1 Giả sử X tập khác rỗng, E không gian vector topo với TVS-nón P ánh xạ d:X ×X →E (x, y) → d(x, y) thỏa mãn điều kiện sau với x, y, z ∈ X 1) d(x, y) ≥ θ; d(x, y) = θ ⇐⇒ x = y 2) d(x, y) → d(y, x) 3) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) Khi đó, • d gọi metric TVS-nón X ; • Cặp (X, d) gọi khơng gian metric TVS-nón Định nghĩa 2.2.2 Giả sử (X, d) không gian metric TVS-nón, x ∈ X c ∈ E cho c Khi đó, 1) Tập hợp B(x, c) = {y ∈ X : d(x, y) c} 24 gọi hình cầu TVS-mở tâm x bán kính c 2) Tập hợp B[x, c] = {y ∈ X : d(x, y) ≤ c} gọi hình cầu TVS-đóng tâm x bán kinh c 3) Tập U ⊂ X gọi TVS-mở với x ∈ U , tồn c ∈ E cho c B(x, c) ⊂ U 4) Tập U ⊂ X gọi TVS-lân cận x tồn c ∈ E cho c B(x, c) ⊂ U Nhận xét 2.2.3 Giả sử (X, d) khơng gian metric TVS-nón Khi đó, từ Định nghĩa 2.2.2 ta suy U tập TVS-mở U TVS-lân cận điểm thuộc Định lí 2.2.4 Hình cầu TVS-mở tập TVS-mở Chứng minh Giả sử x ∈ E, c B(x, c) hình cầu TVS-mở tâm x bán kính c Ta chứng minh B(x, c) tập mở Thật vậy, giả sử y ∈ B(x, c) Khi đó, d(x, y) c kéo theo c − d(x, y) ∈ IntP Bây giờ, ta đặt e = c − d(x, y) Khi đó, rõ ràng e Hơn nữa, ta có B(y, e) ⊂ B(x, c) Thật vậy, giả sử z ∈ B(y, e), d(y, z) e Theo Bổ đề 2.1.7 ta suy d(x, y) ≤ d(x, y) Do đó, ta có d(z, y) + d(y, x) Khi đó, ta thu d(z, x) e + d(x, y) = c c hay d(x, z) c Từ ta có z ∈ B(x, c) Như vậy, ta chứng minh z ∈ B(y, e), z ∈ B(x, c) Do đó, B(y, e) ⊂ B(x, c) B(x, c) tập TVS-mở 25 Định lí 2.2.5 Giả sử X khơng gian metric TVS-nón Khi đó, 1) ∅, X tập TVS-mở; 2) Hợp tùy ý tập TVS-mở tập TVS-mở; 3) Giao hữu hạn tập TVS-mở tập TVS-mở Chứng minh (1) Hiển nhiên (2) Giả sử {Uα }α∈Λ họ tùy ý tập TVS-mở Ta phải chứng minh U = Uα tập TVS-mở α∈Λ Thật vậy, giả sử x ∈ U Khi đó, tồn α ∈ Λ cho x ∈ Uα Mặt khác, Uα tập TVS-mở nên tồn c ∈ E cho c B(x, c) ⊂ Uα ⊂ U Uα tập TVS-mở Như vậy, α∈Λ (3) Giả sử {Uα }nα=1 tập TVS-mở Ta phải chứng minh n Uα tập TVS-mở V = α=1 Thật vậy, giả sử x ∈ V x ∈ Uα với α = 1, , n Bởi Uα TVS-mở nên tồn r ∈ E cho r B(x, rα ) ⊂ Uα với α = 1, , n Đặt r = min{r1 , r2 , , rn } Khi đó, B(x, r) ⊂ Uα với α = 1, , n Do đó, B(x, r) ⊂ V n Uα tập TVS-mở Như vậy, α=1 26 Như vậy, định lí chứng minh Định lí 2.2.6 Giả sử (X, d) khơng gian metric TVS-nón Khi 1) ∅, X tập TVS- đóng; 2) Giao tùy ý tập TVS-đóng tập TVS-đóng; 3) Hợp hữu hạn tập TVS-đóng tập TVS-đóng 1) Hiển nhiên Chứng minh 2) Giả sử {Uα }α∈Λ họ tùy ý tập TVS-đóng Ta phải chứng Uα tập TVS-đóng minh α∈Λ Thật vây, ta có X\ X \ Uα Uα = α∈Λ α∈Λ Bởi Uα tập TVS-đóng nên X \ Uα tập TVS-mở với α ∈ Λ, X \ Uα tập TVS-mở Do đó, kéo theo α∈Λ 3) Giả sử {Uα }nα=1 Uα tập TVS-đóng α∈Λ n Uα tập TVS-đóng Ta phải chứng minh α=1 tập TVS-đóng Thật vậy, ta có n n X\ X \ Uα Uα = α=1 α=1 Mặt khác, Uα tập TVS-đóng nên X \ Uα tập TVS-mở với n n X \ Uα tập TVS-mở Do đó, α = 1, , n, kéo theo α=1 tập TVS-đóng Như vậy, định lý chứng minh xong Uα α=1 27 CHƯƠNG ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN METRIC TVS-NĨN Chương dành cho việc trình bày chứng minh định lí điểm bất động khơng gian metric TVS-nón Kết chương lấy [3] 3.1 Dãy khơng gian metric TVS-nón Định nghĩa 3.1.1 Cho (X, d) khơng gian metric TVS-nón, x ∈ X {xn }n≥1 dãy X Khi đó, 1) {xn }n≥1 gọi hội tụ tới x ∈ E với c θ), tồn N ∈ N cho d(xn , x) c với n ≥ N Ta kí hiệu lim xn = x xn → x n→∞ 2) {xn }n≥1 gọi dãy Cauchy X với c ∈ E mà c θ, tồn N ∈ N cho d xn , xm c với n, m ≥ N 3) (X, d) gọi khơng gian metric TVS-nón đầy đủ dãy Cauchy hội tụ Định lí 3.1.2 Cho (X, d) khơng gian metric TVS-nón, với nón P {xn } ⊂ X , {an } dãy P hội tụ đến θ Khi đó, d(xn , xm ) ≤ an với n ∈ N, m ≥ n, 28 xn dãy Cauchy X Chứng minh Với c ∈ E cho c θ ta có c ∈ IntP Khi đó, tồn lân cận V θ X cho c + V ⊂ IntP Lấy N ∈ N cho an ∈ V với n ≥ N Ta có an ∈ V nên −an ∈ V Bởi c + V ∈ IntP nên c − an ∈ c + V ⊂ IntP Suy c − an ∈ IntP , kéo theo c − an d(xn , xm ) ≤ an Điều suy d(xn , xm ) dãy Cauchy X θ Do đó, an c Như vậy, c với m, n ≥ N c với m, n ≥ N Do đó, {xn } Định lí 3.1.3 Hình cầu TVS-đóng tập TVS-đóng Chứng minh Giả sử x ∈ E, c B[x, c] hình cầu đóng tâm x bán kính c Ta phải chứng minh B[x, c] tập TVS-đóng Thật vậy, xét dãy yn ∈ B[x, c] cho yn → y Khi đó, với m ∈ N, tồn km cho d(x, y) ≤ d(x, ykm ) + d(ykm , y) Suy d(x, y) kéo theo c+ c+ c m c , m c + c − d(x, y) ∈ P m Do đó, c − d(x, y) ∈ P , kéo theo d(x, y) ≤ c Suy y ∈ B[x, c] 29 Như vậy, ta chứng minh với dãy {yn } ⊂ B[x, c] cho yn → y ta có y ∈ B[x, c] Do đó, B[x, c] tập TVS-đóng 3.2 Định lí điểm bất động khơng gian metric TVS-nón Bổ đề 3.2.1 Cho A, B, C, D, E số thực không âm thỏa mãn A + B + C + D + E ≤ 1, B = C D = E Khi đó, F = (A + B + D)(1 − C − D)−1 G = (A + C + E)(1 − B − E)−1 , ta suy F.G ≤ Chứng minh Ta có • Nếu B = C , ta có F.G = = A+B+D A+C +E 1−C −D 1−B−E A+C +D A+B+E 1−B−E 1−C −D Bởi A + B + C + D + E < nên  A + C + D < − B − E  A + B + E < − C − D Suy  A+C +D    1−B −E <     A + B + E < 1−C −D 30 Do đó, F.G = A+C +D A+B+E < 1−B−E 1−C −D • Nếu D = E , ta có điều tương tự F.G = = A+B+D A+C +E 1−C −D 1−B−E A+B+E A+C +D < 1−C −D 1−B−E Như vậy, bổ đề chứng minh Định lí 3.2.2 Cho (X, d) khơng gian metric TVS-nón đầy đủ, P nón m, n ∈ N∗ , T : X → X ánh xạ thỏa mãn d(T m x, T n y) ≤ Ad(x, y) + Bd(x, T m x) + Cd(y, T n y) + Dd(x, T n y) + Ed(y, T m x) với x, y ∈ X , A, B, C, D, E số thực không âm thỏa mãn A + B + C + D + E < 1, B = C D = E Khi đó, T có điểm bất động Chứng minh (1) Trước tiên ta chứng minh sư tồn điểm bất động T X Thật vậy, với x0 ∈ X k ≥ ta định nghĩa x2k+1 = T m x2k x2k+2 = T n x2k+1 31 Khi đó, d(x2k+1 , x2k+2 ) = d(T m x2k , T n x2k+1 ) ≤ Ad(x2k , x2k+1 ) + Bd(x2k , T m x2k ) + Cd(x2k+1 , T n x2k+1 ) + Dd(x2k , x2k+2 ) + Ed(x2k+1 , x2k+1 ) ≤ A + B d(x2k , x2k+1 ) + Cd(x2k+1 , x2k+2 ) + Dd(x2k , x2k+2 ) ≤ A + B + D d(x2k , x2k+1 ) + C + D d(x2k+1 , x2k+2 ), kéo theo − C − D d(x2k+1 , x2k+2 ) ≤ A + B + D d(x2k , x2k+1 ) Suy d(x2k+1 , x2k+2 ) ≤ F d(x2k , x2k+1 ), F = (A + B + D)/(1 − C − D) Tương tự, ta có d(x2k+2 , x2k+3 ) = d(T m x2k+2 , T n x2k+1 ) ≤ Ad(x2k+2 , x2k+1 ) + Bd(x2k+2 , T m x2k+2 ) + Cd(x2k+1 , T n x2k+1 ) + Dd(x2k+2 , x2k+1 ) + Ed(x2k+1 , x2k+2 ) ≤ Ad(x2k+2 , x2k+1 ) + B(x2k+2 , x2k+3 ) + Cd(x2k+1 , x2k+2 ) + D(x2k+2 , x2k+2 ) + E(x2k+1 , x2k+3 ) ≤ [A + C + E]d(x2k+1 , x2k+2 ) + [B + E]d(x2k+2 , x2k+3 ), kéo theo d(x2k+2 , x2k+3 ) ≤ Gd(x2k+1 , x2k+2 ), A+C +E G = 1−B−E 32 Bằng cách xây dựng tương tự, ta suy với k ∈ N, ta có d(x2k+1 , x2k+2 ) ≤ F d(x2k , x2k+1 ) ≤ (F G)d(x2k−1 , x2k ) ≤ F (F G)d(x2k−2 , x2k−1 ) ≤ F (F G)k d(x0 , x1 ); d(x2k+2 , x2k+3 ) ≤ Gd(x2k+1 , x2k+2 ) ≤ (F G)k+1 d(x0 , x1 ) Khi đó, với p < q ta có d(x2p+1 , x2q+1 ) ≤ d(x2p+1 , x2p+2 ) + d(x2p+2 , x2q+3 ) + + d(x2q , x2q+1 )   q−1 q i ≤ F (F G)i  d(x0 , x1 ) (F G) + i=p i=p+1 F (F G)p (F G)p+1 + d(x0 , x1 ) ≤ − FG − FG Theo Bổ đề 3.2.1 ta có F G < nên F (F G)p (F G)p+1 F (F G)p F G(F G)p + = + − FG − FG − FG − FG (F G)p = (F G + F ) − FG (F G)p ≤ (1 + F ) − FG Do đó, ta có d x2p+1 , x2q+1 (F G)p ≤ (1 + F ) d(x0 , x1 ) − FG 33 Bằng cách tương tự ta suy (F G)p d(x2p , x2q+1 ) ≤ (1 + F ) d(x0 , x1 ); − FG (F G)p d x2p , x2q ≤ (1 + F ) d(x0 , x1 ); − FG (F G)p d x2p+1 , x2q ≤ (1 + F ) d(x0 , x1 ) − FG Do vậy, với < n < m, ta có d(xn , xm ) ≤ an , (F G)p an = (1 + F ) d x0 , x1 − FG n p phần nguyên Với θ c, tồn lân cận V cho c + V ⊂ IntP Bởi an → θ n → ∞ nên theo Bổ đề 3.1.2 ta suy xn dãy Cauchy X Hơn nữa, X đầy đủ nên tồn u ∈ X cho xn → u Với θ c chọn n0 ∈ N cho d(u, x2k ) c ; d(x2k−1 , x2k ) 3K c 3K c ; d(u, x2k−1 ) 3K Với k ≥ n0 K = max A+E C 1+D , , 1−B−E 1−B−E 1−B−E , 34 ta xét d(u,T m u) ≤ d(u, x2k ) + d(x2k , T m u) ≤ d(u, x2k ) + d(T n x2k−1 , T m u) ≤ d(u, x2k ) + Ad(u, x2k−1 ) + Bd(u, T m u) + Cd(x2k−1 , T n x2k−1 ) + Dd(u, T n x2k−1 ) + Ed(x2k−1 , T m u) ≤ d(u, x2k ) + Ad(u, x2k−1 ) + Bd(u, T m u) + Cd(x2k−1 , x2k ) + Dd(u, x2k ) + Ed(x2k−1 , u) + Ed(u, T m u) ≤ (1 + D)d(u, x2k ) + (A + E)d(u, x2k−1 ) + Cd(x2k−1 , x2k ) + (B + E)d(u, T m u) Suy (1 − B − E)d(u, T m u) ≤ (1 + D)d(u, x2k ) + (A + E)d(u, x2k−1 ) + Cd(x2k−1 , x2k ) d(u, T m u) ≤ 1+D A+E d(u, x2k ) + d(u, x2k−1 ) 1−B−E 1−B−E C + d(x2k−1 , x2k ) 1−B−E Như vậy, d(u, T m u) ≤ Kd(u, x2k ) + Kd(u, x2k−1 ) + Kd(x2k−1 , x2k ) c c c + + = c 3 Từ đó, ta suy d(u, T m u) c với p ∈ N Bởi vậy, p c − d(u, T m u) ∈ IntP p Mặt khác, P tập đóng nên p → ∞, ta có −d u, T m u ∈ P Do đó, d u, T m u = θ Như vậy, u = T m u 35 Chứng minh tương tự cho bất đẳng thức d(u, T n u) ≤ d(u, x2k+1 ) + d(x2k+1 , T n u) Ta thu u = T n u Khi đó, u = T m u = T n u Ta xét d(T u, u) = d(T T m u, T n u) = d(T m T u, T n u) ≤ Ad(T u, u) + Bd(T u, T T m u) + Cd(u, T n u) + D(T u, T n u) + E(u, T m T u) ≤ Ad(T u, u) + Bd(T u, T u) + Cd(u, u) + D(T u, u) + E(u, T u) = (A + D + E)d(T u, u) Khi đó, d(T u, u) = θ, kéo theo T u = u Như vậy, u điểm bất động T (2) Tiếp theo ta chứng minh điểm bất động Giả sử, tồn tồn điểm u∗ X cho u∗ = T u∗ Khi đó, d(u, u∗ ) = d(T m u, T n u∗ ) ≤ Ad(u, u∗ ) + Bd(u, T m u) + Cd(u∗ , T n u∗ ) + D(u, T n u∗ ) + E(u∗ , T m u) ≤ Ad(u, u∗ ) + Bd(u, u) + Cd(u∗ , u∗ ) + D(u, u∗ ) + E(u, u∗ ) ≤ (A + D + E)d(u, u∗ ) Do đó, ta có u = u∗ Như vậy, điểm bất động 36 KẾT LUẬN Trong q trình làm khóa luận, em nghiên cứu khơng gian metric TVS-nón định lý điểm bất động khơng gian metric TVS-nón Nhờ đó, thu kết sau 1) Củng cố lại kiến thức khơng gian topo, tìm hiểu khơng gian vector topo số tính chất 2) Trình bày khái niệm khơng gian metric TVS-nón, trình bày khái niệm chứng minh số định lý cầu TVS-mở cầu TVS-đóng 3) Trình bày chứng minh chi tiết định lý điểm bất động khơng gian metric TVS-nón 4) Đưa chứng minh số tính chất khơng gian metric TVS-nón, thể Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.5, Định lí 2.2.6, Định lí 3.1.2, Định lí 3.1.3 Các kết viết [2], chỉnh sửa để gửi Tạp chí 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Xuân Liêm (1997), Topo đại cương - Độ đo Tích phân, NXB Giáo dục [2] Lương Quốc Tuyển, Nguyễn Thị Hợp (2020), Tính chất topo khơng gian metric TVS-nón, Đang chỉnh sửa để gửi Tạp chí Tiếng Anh [3] A Azam, I Beg, M Arshad (2010), Fix point in Topological Vector Space-Valued cone metric spaces, Fixed Point Theory and Applications, 2010: 604084 [4] H C akall, A Săonmez, C ¸ Gen¸c (2012), On an equivalence of topological vector space valued cone metric spaces and metric spaces, Applied Mathematics Letters, 25: 429–433 [5] W S Du (2010), A note on cone metric fixed point theory and its equivalence, Nonlinear Analysis: Theory, Methods and Applications, 72: 2259–2261 [6] X Ge and S Lin (2014), Topologies on superspaces of TVS-cone metric spaces, The Scientific World Journal, 25: 215–219 [7] L G Huang and X Zhang (2007), Cone metric spaces and fixed point theorems of contractive mappings, Journal of Mathematical Analysis and Applications, 332: 1468—1476 [8] D Ili´c, V Rakoˇcevi´c (2009), Quasi-contraction on a cone metric space, Applied Mathematics Letters, 22: 728–731 ... khơng gian metric TVS- nón chúng tơi tìm hiểu định lý điểm bất động khơng gian Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khơng gian vector topo, khơng gian metric TVS- nón định lý điểm bất động khơng gian metric. .. khơng gian Banach không gian vector topo định nghĩa không gian metric nón Huang Zhang (xem [7]) Trên sở tác giả bắt đầu nghiên cứu lý thuyết điểm bất động khơng gian metric TVS- nón không gian. .. minh chi tiết định lý điểm bất động khơng gian metric TVS- nón 4) Đưa chứng minh số tính chất khơng gian metric TVS- nón, thể Định lí 2.2.4, Định lí 2.2.5, Định lí 2.2.6, Định lí 3.1.2, Định lí 3.1.3