về định lý điểm bất động trong không gian bannach và phương pháp lặp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH———————– BÁO CÁO TỔNG KẾT ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ PHƯƠNG PHÁP LẶP Mã số: Thuộc nhóm ngành: K

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUẢNG BÌNH

———————–

BÁO CÁO TỔNG KẾT

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC CỦA SINH VIÊN

VỀ ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN BANACH VÀ PHƯƠNG PHÁP

LẶP

Mã số:

Thuộc nhóm ngành: Khoa học tự nhiên

năm 2015

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết về điểm bất động là một trong những lĩnh vực Toán học được nhiềunhà Toán học quan tâm Trong lý thuyết này, ngoài các định lí tồn tại điểm bấtđộng, người ta còn quan tâm đến cấu trúc của tập hợp các điểm bất động, cácphương pháp tìm điểm bất động và các ứng dụng của chúng Người ta đã thấy sựứng dụng đa dạng của lý thuyết điểm bất động cả trong toán học lý thuyết và toánhọc ứng dụng, vật lý, tin học và các nghành khoa học khác Với mục đích tìm hiểu

và áp dụng các định lí điểm bất động trong không gian Banach và phương pháplặp để giải một số bài toán về phương trình vi phân, giải tích hàm nên chúng tôilựa chọn đề tài này

2 Lịch sử vấn đề nghiên cứu:

Những định lý điểm bất động nổi tiếng đã xuất hiện từ đầu thế kỷ XX, trong

đó phải nói đến kết quả kinh điển “Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922) Mộttrong những hướng nghiên cứu của những nhà Toán học trong lĩnh vực này là xâydựng các không gian mới, sau đó mở rộng kết quả kinh điển Banach ra cho lớp cácánh xạ Lý thuyết này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn như Brouwer,Banach, Shauder, Kakutani, Tikhonov, Ky Fan, Browder,…

3 Mục tiêu nghiên cứu:

- Trình bày các kiến thức liên quan đến đề tài

- Trình bày ứng dụng điểm bất động trong không gian Banach và phương pháplặp

- Đưa ra và giải quyết một số bài toán về điểm bất động trong không gianBanach và phương pháp lặp

4 Đối tượng, phạm vi, phương pháp nghiên cứu:

- Đối tượng: điểm bất động và phương pháp lặp

- Phạm vi : không gian banach

- Phương pháp nghiên cứu:

+ Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc, phân tích, tổng hợp tài liệu làm rõ nộidung lý thuyết Sau đó trình bày lại các tính chất theo một hệ thống có lôgic + Phương pháp tổng kết kinh nghiệm : Tổng kết kinh nghiệm của bản thân, củacác bạn học, anh chị xung quanh để tổng hợp và hệ thống hóa kiến thức, vấn đềnghiên cứu đầy đủ và khoa học kết hợp đưa ra các ví dụ cụ thể để minh họa chitiết

+ Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Semina, lấy ý kiến của giảng viên hướngdẫn để hoàn thành về mặt nội dung cũng như hình thức đề tài nghiên cứu

5 Bố cục đề tài

Chương I: Điểm bất động trong không gian Banach

Chương II: Phương pháp lặp

Chương III Hệ phương trình tuyến tính trên IR n

Chương I: Điểm bất động trong không gian Banach

1 Định nghĩa không gian Banach

Không gian Banach được định nghĩa là các không gian vectơ định chuẩn đầy

đủ Điều này nghĩa là một không gian Banach là một không gian vectơ X trêntrường số thực hay số phức với một chuẩn || || sao cho mọi dãy Cauchy (tương ứngvới metric d x y ,   x y ) đều hội tụ trong X

2 Điểm bất động trong không gian Banach

2.1 Định nghĩa

:

T M X  M trong không gian mêtric (X, d) được gọi là ánh xạ k-co và nếuvới mọi x, yM, cố định k, sao cho 0 < k < 1 thì

 Nếud Tx Ty ,  kd x y , đúng với k =l, thì T không giãn

 Nếu 0 k   , T được gọi là liên tục Lipschitz

 Nếu d Tx Ty ,  d x y , với mọi x, yM và x  y, T được gọi là co

Với mọi t hiển nhiên ta có:

k-co → co → không giãn → liên tục Lipschitz

Mỗi không gian Banach  X,  cũng là không gian mêtric đầy đủ (X, d) với

d x y x y

Trên không gian Banach, d Tx Ty ,  kd x y , trở thành Tx Ty k x y

Ánh xạ liên tục T: X  X trên không gian X, nó trở thành:

Tx Ty T x y

Do đó, T là Lipschitz liên tục Nếu T  , T không giãn, và nếu 1 T  , T là1

k-co với k T

2.2 Định lý điểm bất động trong không gian Banach

Ta kiểm tra điều kiện phương trình phi tuyến

Định lý 1.A (Định lý điểm bất động trong không gian banach (1922)) Giả sử:

(i) Cho T:M X  M , nghĩa là, M là ánh xạ vào chính nó bởi T;

(ii) M là tập đóng khác rỗng trong không gian mêtric đầy đủ (X, d)

(iii) T gọi là k co, nghĩa là:

d Tx Ty kd x y

với mọi x, yM và cho k cố định, 0  k < 1

*Thì chúng ta có thể kết luận những kết quả sau đây:

(a) Phương trình x Tx có chính xác một nghiệm, nghĩa là, T có duy nhất mộtđiểm bất động trên M.

(b) Dãy (xn) hội tụ đến x là nghiệm của phương trình x Tx ,  x0 M

2.3 Chứng minh định lý điểm bất động trong không gian Banach

(I) (xn) là dãy Cauchy Từ đó

(III) x là nghiệm của x Tx T liên tục do d Tx Ty ,  kd x y , 

Từ đó T M  M với x0M , và x nM , với mọi n

Từ đó M đóng với x n  x với n  , và x  M

Phương trình x n 1 Tx n , x0M n 0,1,2 trở thành Tx = x khi n  

Trong (i) M không đóng Ánh xạ T không có điểm bất động trong M

Trong (ii), T là co, nhưng không phải k-co Vì cho đạo hàm '  1 1 2

2

111



Trong (iii), M không phải là ánh xạ vào chính nó

Chương II: Phương pháp lặp

1 Tốc độ hội tụ và phương pháp Newton’s

- Nếu x ]a,b[ là một nghiệm của phương trình:

x F x( )

- Và giả sử có một dãy lặp đi lặp lại (xn), khi đó:

x n1 F x( )n

Và x n] , [a b với mọi n,x n  x khi n  

- Bây giờ giả sử F là khả vi trên [a,b], với:

- Giải thích hình học của phương pháp Newton’s được đưa vào hình trên:

 Về ý nghĩa hình học x n1 chính là giao điểm của tiếp tuyến đường cong y =

f(x) tại điểm (xn,f(xn)) với trục hoành Do đó phương pháp này còn được gọi

là phương pháp tiếp tuyến

 Từ điểm (xn,f(xn)) ta vẽ tiếp tuyến của đồ thị y = f(x) Phương trình đồ thịnày là:

y f x( ) f'x )(n  n x x n)

 Giả sử đường tiếp tuyến này cắt trục hoành tại x n 1 , ta có:

0f x( )n  f x'( )(n x n1 x n)

 Từ đây suy ra:

1

( )'( )

số không

- Nhưng ở hình (b) cho ta thấy phương pháp đó là không thay đổi nhưngkhông bao giờ hội tụ đến số không, lý do là sự lựa chọn không hợp lý củagiá trị ban đầu

a Ý tưởng

- Chọn x0 thuộc khoảng (a;b)

- Tiếp tuyến tại A0(x0;f(x0)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x1

- Tiếp tuyến tại A1(x1;f(x1)) cắt trục x tại điểm có hoành độ x2

- Tiếp tuyến tại Ak(xk;f(xk)) cắt trục x tại điểm có hoành độ xk+1

Cứ tiếp tục quá trình trên ta có thể tiến dần đến nghiệm µ của phươngtrình

* Xây dựng công thức lặp:

Phương trình tiếp tuyến tại Ak(xk;f(xk)):

y−f(xk) = f’(xk)(xk+1 – xk) (5)

Tiếp tuyến cắt trục x tại điểm có tọa độ (xk+1;0)

Do vậy, thay vào phương trình (5) ta có:

* Chứng minh (8) theo taylor:

- Cho hàm số f(x) xác định và có đạo hàm đến cấp n+1 tại x0 và lân cậncủa x0 Giả sử h là một giá trị sao cho x0 + h cũng thuộc lân cận này

- Ta có công thức sau đây được gọi là khai triển taylor bậc n của f(x) tại0:

- Dựa vào khai triển Taylo, ta sẽ xác định một hàm  ( )x và tìm nghiệmcủa ( )F x n F x x x'( )(n  n) 0 bằng phép lặp:

c Điều kiện hội tụ của phương pháp Newton và đánh giá sai số

 Định lí: Điều kiện đủ để phương pháp tiếp tuyến hội tụ:

 Giả sử những điều kiện sau đây thỏa mãn: f(a)f(b) < 0, tức là giá trị hàmf(x) trái dấu tại hai đầu đoạn [a,b].Hàm f(x) có đạo hàm bậc nhất và bậc 2f'(x) và f''(x), với f(x) và f'(x) liên tục trên [a,b], f và f'' không đổi dấutrong (a,b) (tức là hàm f(x) đơn điệu, lồi hoặc lõm trong đoạn [a,b])

 Xấp xỉ đầu x0 được chọn ∈ [a,b], sao cho f(x0) cùng dấu với f''(x), f và f’

không đổi dấu trong (a,b) tức là f(x0)f''(x) > 0 (hàm lồi thì chọnphía giá trị hàm âm, hàm lõm thì chọn phía giá trị dương)

 Khi đó dãy xn được định nghĩa bởi (8) sẽ hội tụ tới α

 Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng:Ngoài công thức đánh giá sai số:

1

( )n

n

f x x

2!

n n n

f x   với mọi x ∈ [1,2] , vậy điều kiện 2) thỏa mãn

Vì f(2) = 2, nên ta chọn x0 =2, như vậy thì f(2)f’’(x) = 2.2 = 4 >0 và điều kiện 3)thỏa mãn

Vậy ta có thể áp dụng phương pháp lặp Newton để tính nghiệm xấp xỉ củaphương trình(*) Ta có bảng sau:

Ta có thể lấy nghiệm xấp xỉ là 1.41421 Ta biết rằng 2 = 1.414213562, như vậyphương pháp lặp Newton hội tụ rất nhanh.

Ví dụ 2: Giải phương trình: x3  x 5 0  bằng phương pháp tiếp tuyến

Phương trình trên có 1 nghiệm duy nhất:

Vì f(1)f(2) = (-3)5 < 0 nên phương trình có 1 nghiệm duy nhất x ∈ (1, 2)

Giả sử [a,b] là khoảng nghiệm phương trình f(x)=0 Gọi A,B là 2 điểm trên đồ thịf(x)có hoành độ tương ứng là a,b phương trình đường thẳng qua 2 điểm A(a,f(a)),B(b,f(b)) có dạng:

(a)( ) ( )

Nếu f(a)*f(x 1 ) <0, thay b=x1ta có khoảng nghiệm mới là (a, x1 )

Nếu f(b)*f(x 1 ) <0, thay a=x1 ta có khoảng nghiệm mới là (x1 , b)

Tiếp tụ cápdụngphươngphápdâycungvàokhoảngnghiệmmới ta được

giátrịx2 Lại tiếp tục như thế ta nhận được các giá trịx x3, 4, … càng tiến

gần với giá trị nghiệm phương trình

- Tách nghiệm: Phương trình có 1 nghiệm x∈(1, 2)

-0,447-0,020-0,003-0,000

Vậy nghiệm phương trình: x ≈1.386

Với p=po, ở điểm cuối t t o c , x t là đạo hàm một phía.,( )

Ngoài (*) ta xét phương trình tích phân :

Trong đó L 0 và K>0 là không đổi thì :

a, Tồn tại duy nhất: Nếu cmin( , / )a b K vàpp0 , thì phương trình tích phân(**) có một nghiệm x(.) trên khoảngt o c t, oc Hàm này cũng là nghiệm củabài toán (*) trên t o c t, oc

Hội tụ đều trên t o c t, oc đến nghiệm x(.)

C, Phụ thuộc liên tục của nghiệm về giá trị khởi đầu

Cho t o  c t, oc với d cố định, 0<d<c

Suy ra phương trình tích phân (**) có duy nhất một nghiệm liên tục trên khoảng

t o  c t, o c đối với mỗi p trong lân cận của po.

Ngoài ra, ta có tính chất sau đúng:

Nếu p→po thì xp(t) → xpo(t) đều trên t o  d t, o d

Và M  x X x p :  o b Khi đó nghiệm sẽ tồn tại trên t o  c t, o c , trong

đó C < min(a,b/K,1/L) Đây là khoảng bé hơn khoảng nói trong định lí Để cóđược cái trên, ta đặt X với chuẩn mới, 1 như trong biểu thức

  ,với mọi x X là tương đương

Trong đó X, 1 và X,  đều là không gian Banach

Như ở (a) ta định nghĩa Tp toán tử bằngTpx = y, trong đó

Và kiểm tra điều kiện của định lí 1.A là thoả mãn

(I-1) M đóng trong X, 1 từ giả thiết x nM với mọi n, x n  p o b với mọin,và giả sử x x n  0 khi n   Ở x eLc x1 x

  ,với mọi x X ,0

n

x x  khi n   Do đó x p o b với mọi x M

(I-2) T ánh xạ từ M vào M Vì nếu p0 x M , thì x p o b

(I-4) định lí 1.A nêu lên một nghiệm của x T x p o với x M Nghiệm này thỏamãn (**) với p = po và cũng thỏa mãn (*)

Chứng minh ( b ) Từ Hệ quả 1 và Định lý 1.A.

Lưu ý x x n 1   hội tụ đều t o  c t, o c

Chứng minh ( c ) Ta giả sử ρ chạy trong lân cận po, chúng ta phải quy về hìnhchữ nhật trong hình 1.5 Như vậy chúng ta thay thế khoảng trong t o  c t, o c

định nghĩa của X và M bởi t o  d, tod và cho b nhỏ lại Các đối số tương tự nhưtrong chứng minh của khẳng định ( a ) thì cho thấy: x p T x p p

có duy nhất một nghiệm xp với mọi p đủ nhỏ trong lân cận của và xp ( ) lànghiệm duy nhất liên tục của ( ** ) trênt o  d t, o d

1 1

3 Ứng dụng giải gần đúng phương trình

a Giới thiệu

Để tìm nghiệm gần đúng của phương trình f(x) = 0 ta tiến hành qua 2 bước:

- Tách nghiệm: xét tính chất nghiệm của phương trình, phương trình có

nghiệm hay không, có bao nhiêu nghiệm, các khoảng chứa nghiệm nếu có

Đối với bước này, ta có thể dùng phương pháp đồ thị, kết hợp với các định

lý mà toán học hỗ trợ

- Chính xác hoá nghiệm: thu hẹp dần khoảng chứa nghiệm để hội tụ được

đến giá trị nghiệm gần đúng với độ chính xác cho phép

b Tách nghiệm

* Phương pháp đồ thị:

Trường hợp hàm f(x) đơn giản

- Vẽ đồ thị f(x)

- Nghiệm phương trình là hoành độ giao điểm của f(x) với trục x, từ đó suy

ra số nghiệm, khoảng nghiệm

Trường hợp f(x) phức tạp

- Biến đổi tương đương f(x)=0 <=> g(x) = h(x)

- Vẽ đồ thị của g(x), h(x)

- Hoành độ giao điểm của g(x) và h(x) là nghiệm phương trình, từ đó suy

ra số nghiệm, khoảng nghiệm

* Định lý 1:

Giả sử f(x) liên tục trên (a,b) và có f(a)*f(b)<0 Khi đó trên (a,b) tồn tại một

số lẻ nghiệm thực x ∈ (a,b) của phương trình f(x)=0 Nghiệm là duy nhất

nếu f’(x) tồn tại và không đổi dấu trên (a,b)

Từ bảng biến thiên, phương trình có một nghiệm x<-1/ 3

f(-1)*f(-2)<0, vậy phương trình trên có một nghiệm x(-2,-1)

Giả sử  là nghiệm gần đúng của phương trình f(x)=0, cùng nằm trong khoảng

nghiệm a b và f’(x),  m0 khi axb khi đó x a f x( )

m

lượng sai số tuyệt đối là bao nhiêu?

Cho phương trình (1) có a0 > 0, am là hệ số âm đầu tiên Khi đó mọi nghiệm

dương của phương trình đều N  1 m a a/ 0

với a = max{|ai|} i0,n sao cho ai<0

Ví dụ 4: cho phương trình: 5x2-8x3+2x2-x+6=0

Tìm cận trên nghiệm dương của phương trình trên

Giải: ta có a2=-8 là hệ số âm đầu tiên, nên m=2

Mọi nghiệm âm x   (1 5 / 3)8 / 3

d Phương pháp lặp

a ý tưởng

biến đổi tương đương f(x)=0 <=> x=g(x)

chọn giá trị ban đầu x0 thuộc khoảng nghiệm (a,b)

Trường hợp a hội tụ đến nghiệm 

Trường hợp b: khôngg hội tụ đến nghhiệm 



 ; x3 x1chọn g(x)=3 x 1

Chương III Hệ phương trình tuyến tính trên IR n

1 Định lí chính của phương pháp lặp và phương trình toán tử tuyến tính

Hệ phương trình tuyến tính:

ij 1

và r(A) A lớn nhất trong giá trị tuyệt đối và giá trị riêng của ma trận phức (aij)

Định nghĩa 4.1: Phương trình X = Ax + b có phương pháp lặp ổn định khi và chỉ

khi X = Ax + b có duy nhất một nghiệm x với mỗi b X và dãy lặp (xn) hội tụđến x,x0X tùy ý

Trong đó, Rn = log (10 A n 1/n) được gọi là tốc độ trung bình của hội tụ cho nlần lặp R limn R n

 

 được gọi là tốc độ tiệm cận của hội tụ R luôn tồn tại, và n

1 10

log ( )

 

Ví dụ 1 : Giả sử X =  thì X = Ax + b là phương trình tuyến tính với A,b  

và kết luận sau đây là đúng :

Phương trình X = Ax + b có phương pháp lặp ổn định khi và chỉ khi A <1

Rõ ràng, r(A) = ||A|| = |A|

(II).( hình 1.7b) cho |A| > 1, phương trình X = Ax + b có duy nhất 1 nghiệm

x, nhưng nếu x ≠ x0 thì (xn) là dãy phân kì

(III) (hình 1.7c) giả sử |A| = 1,cho A = 1 và b ≠ 0, X = Ax + b không cónghiệm Dãy xn phân kì lệch Cho A = 1 và b = 0, với mỗi x R là nghiệm và xn

Giả sử rằng A : X  X là ánh xạ tuyến tính liên tục trên không gian Banachthực

( a ) Tiêu chuẩn : Giả sử ||A|| < 1 Thì X = Ax + b có phương pháp lặp ổnđịnh Ngược lại I A1

 tồn tại như ánh xạ tuyến tính liên tục trên X và

0

k k

||x – xn|| ||A||n ||x1 – x0||/(1 - ||A||) (tiên nghiệm ước lượng độ sai)

||x – xn+1||||An|| ||xn+1 – xn||/(1 - ||A||) ( hậu nghiệm ước lượng độ sai)

||x – xn+1||  ||A|| ||x – xn|| ( hội tụ tuyến tính )

(b) Tiêu chuẩn bán kính phổ

Giả sử X là không gian Banach và r(A) là bán kính phổ của A

Cho r(A)< 1 thì phương trình X = Ax + b có phương pháp lặp ổn định

Cho r(A)> 1 thì phương trình X = Ax + b không có phương pháp lặp ổn định Cho r (A) < 1 và x là nghiệm duy nhất của X = Ax + b, có ước lượng độ sai :

||I|| + ||A|| + ||A2||+…  1+ ||A|| + ||A2||+…

Và chuỗi lớn hơn là hội tụ cấp số nhân Do đó, chuỗi định nghĩa bằng F(A) =

I + A + A2 +…… là hội tụ toàn phần trong không gian Banach L(X,X) Từ đó I

= F(A)(I – A) = (I – A)F(A), cho nên F(A) = (I – A)-1

(II) Tập hợp Tx = Ax + b, ta có:

||Tx – Ty|| = ||Ax – Ay|| ||A|| ||x – y||, với mọi x,y  X

Nghĩa là, T là ánh xạ k- co với k = ||A||

x – xn = An(x – x0)sao cho ||x – xn|| ||An|| ||x – x0|| Cho r(A) > 1, phương trình

x = Ax + b không có phương pháp lặp ổn định, từ hệ quả 4.1(b)

Hệ quả 4.1: Cho X X là toán tử tuyến tính liên tục trên không gian Banachthực

(a) Nếu r(A) <1, thì (xn) trong :x n=Ax n1 b x, 0X n, 1,2, , hội tụ, vớimỗi bX và cho tùy ý phần tử ban đầu x0 X dần đến nghiệm duy nhất x củaphương trình X = Ax + b.Với mỗi ℰ > 0, có số dương C(ℰ) sao cho:

||x - xn||  C(ℰ)(r(A) + ℰ)n ||x1 – x0||, n= 1,2,……

(b) Nếu r(A) >1, thì tồn tại điểm b  X để dãy (xn) phân kì với x0 = 0 Nếu tagọi K0 là kí hiệu của tập tất cả các b  X để dãy (xn) hội tụ khi x0 = 0, thì K0 chỉ làBaire phạm trù 1 trong X Phần bù X –K0 là Baire phạm trù 2 trong X và trù mậttrong X

(c) Nếu r(A) = 1, và nếu A có giá trị riêng λ   với |λ| = 1 và tương ứngvới vectơ riêng y, thì có hai dãy (xn) và (yn), trong đó xn = Axn-1, x = 0 và 0

(yn) = Ayn-1, y0 = y không thể hội tụ đến cùng một điểm giống nhau trong X, nghĩa

Chứng minh hệ quả 4.1(a).

Dựa vào các tiêu chuẩn tương đương ||.||ℰ trên X với mỗi ℰ > 0: