ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHÔNG GIAN SMETRIC

111 MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Lý thuyết điểm bất động khơng gian metric đóng vai trị quan trọng tốn học khoa học ứng dụng Năm 2006, Mustafa Sims đưa khái niệm không gian G-metric suy rộng khơng gian metric (xem [3]) Nhờ đó, Mustafa cộng đưa nhiều định lí điểm bất động không gian G-metric (xem [1,3,4,5,6,7] Bằng cách suy rộng không gian G-metric, Sedghi, Shobe, Aliouche giới thiệu khái niệm không gian S-metric vào năm 2012 (xem [2,8,9]), tác giả đưa số định lí điểm bất động khơng gian Sau đó, cách suy rộng ánh xạ phép co, số tác giả thu nhiều kết cho định lí điểm bất động khơng gian S-metric (xem [8]) Hiện nay, toán điểm bất động không gian S-metric thu hút quan tâm nhiều nhà toán học giới Với lý định hướng thầy giáo Lương Quốc Tuyển, định chọn nghiên cứu đề tài: “Định lý điểm bất động không gian S-metric” Chúng mong muốn tạo tài liệu tham khảo tốt cho quan tâm nghiên cứu lĩnh vực MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong luận văn, chúng tơi tập trung nghiên cứu kiến thức liên quan đến không gian metric, không gian suy rộng S-metric, số kết thu khơng gian S-metric với mục đích sau 111 (1) Hệ thống lại số khái niệm chứng minh chi tiết tính chất khơng gian metric định lí điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ (2) Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian S-metric (3) Nghiên cứu số định lí điểm bất động khơng gian Smetric lớp ánh xạ co số hệ trình bày số ví dụ liên quan ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Các khái niệm tính chất khơng gian metric dãy hội tụ, lân cận, tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng tập hợp, khơng gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động Banach, không gian S-metric, ánh xạ liên tục ánh xạ co, định lý điểm bất động không gian S-metric lớp ánh xạ co PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, nghiên cứu định lý điểm bất động không gian S-metric lớp ánh xạ co PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Tham khảo tài liệu hệ thống hóa kiến thức Thu thập báo khoa học tác giả nghiên cứu liên quan đến “Định lý điểm bất động không gian S-metric” Thể tường minh kết nghiên cứu đề tài Trao đổi, thảo luận với giáo viên hướng dẫn 111 CẤU TRÚC LUẬN VĂN Nội dung luận văn trình bày chương Ngồi ra, luận văn cịn có Lời cam đoan, Mục lục, phần Mở đầu, phần Kết luận, Tài liệu tham khảo Chương 1, Trình bày không gian metric, bao gồm 10 mục Mục 1.1, trình bày khái niệm không gian metric; Mục 1.2, trình bày dãy hội tụ không gian metric; Mục 1.3, lân cận; Mục 1.4, trình bày tập hợp mở; Mục 1.5, trình bày tập hợp đóng; Mục 1.6, trình bày phần trong, biên tập hợp; Mục 1.7, trình bày bao đóng tập hợp; Mục 1.8, trình bày không gian metric đầy đủ; Mục 1.9, trình bày ánh xạ liên tục không gian metric; Mục 1.10, trình bày định lý điểm bất động Banach Chương 2, Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian S-metric, bao gồm mục Mục 2.1, trình bày không gian S-metric; Mục 2.2, trình bày topo sinh S-metric; Mục 2.3, trình bày hội tụ không gian S-metric Chương 3, Trình bày định lý điểm bất động không gian Smetric lớp ánh xạ co số hệ trình bày ví dụ liên quan, bao gồm mục Mục 3.1, trình bày ánh xạ liên tục ánh xạ co; Mục 3.2, trình bày định lý điểm bất động ánh xạ co không gian S-metric đầy đủ TỔNG QUAN LUẬN VĂN Trong luận văn này, trình bày tổng quan hệ thống không gian metric, không gian metric đầy đủ; số khái niệm tính chất khơng gian S-metric, topo sinh bới S-metric; số định lý điểm bất động không gian S-metric lớp ánh xạ co hệ nó, trình bày số ví dụ 111 Trong chương thứ luận văn, trình bày khái niệm tính chất khơng gian metric dãy hội tụ, lân cận, tập hợp mở, tập hợp đóng, phần trong, biên, bao đóng tập hợp, khơng gian metric đầy đủ, định lý điểm bất động Banach Trong chương thứ hai luận văn, trình bày số khái niệm tính chất không gian S-metric, topo sinh bới S-metric, hội tụ khơng gian S-metric Kết chương Bổ đề 2.1.2, Định lý 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Bổ đề 2.3.2, Bổ đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.5 Trong chương thứ ba luận văn, trình bày ánh xạ liên tục ánh xạ co, định lý điểm bất động lớp ánh xạ co khơng gian S-metric đầy đủ Kết chương Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.3 111 CHƯƠNG I KHÔNG GIAN METRIC Trong chương này, chúng tơi trình bày số khái niệm tính chất không gian metric nhằm làm tiền đề cho chương phía sau chứng minh định lí điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ 1.1 KHÁI NIỆM VỀ KHÔNG GIAN METRIC 1.1.1 Định nghĩa Giả sử X tập hợp khác rỗng hàm thỏa mãn tiên đề sau (1) d ( x, y ) ≥ với x, y ∈ X ; d ( x, y ) = x = y (2) d ( x, y ) = d ( y, x) với x, y ∈ X (3) d ( x, z ) ≤ d ( x, y) + d ( y, z ) với x, y, z ∈ X Khi đó, (a) d gọi metric xác định X (b) Cặp ( X , d ) gọi không gian metric Ký hiệu ( X , d ) 1.1.2 Ví dụ Với , ta đặt 1/ 2  n  d ( x, y ) =  ∑ xi − yi ÷  i =1  n d1 ( x, y ) = ∑ xi − yi i =1 d ( x, y ) = max { | xi − yi |: i = 1,2, , n} 111 Khi đó, ta kiểm tra d , d1 , d metric xác định 1.1.3 Định nghĩa Giả sử X không gian metric, x ∈ X r > Đặt B( x, r ) = {x ∈ X : d ( x, y ) < r}; B[ x, r ] = {x ∈ X : d ( x, y ) ≤ r} Khi đó, (1) B ( x, r ) gọi hình cầu mở tâm x bán kính r (2) B[ x, r ] gọi hình cầu đóng tâm x bán kính r 1.1.4 Nhận xét B ( x, r ) ⊂ B[ x, r ] 1.1 DÃY HỘI TỤ TRONG KHÔNG GIAN METRIC 1.2.1 Định nghĩa Giả sử X không gian metric {xn } dãy d ( xn , x) = Lúc X Ta nói {xn } dãy hội tụ đến x ∈ X lim n →∞ đó, ký hiệu lim x = x xn → x n →∞ n 1.2.2 Bổ đề Trong không gian metric X, khẳng định sau (1) Giới hạn dãy hội tụ nhất; (2) Nếu xn → x, dãy {xn } hội tụ đến x (3) Nếu xn → a , yn → b, d ( xn , yn ) → d ( x, y ) Chứng minh (1) Giả sử xn → a, yn → b Khi đó, theo tiên đề metric ta suy ≤ d (a, b) ≤ d (a, xn ) + d ( xn , b) = d ( xn , a) + d ( xn , b) 111 Hơn nữa, vì xn → a, yn → b nên từ bất đẳng thức ta suy d (a, b) = Cuối cùng, theo tính chất metric ta suy a = b Như vậy, giới hạn dãy hội tụ (2) Giả sử {xn } dãy dãy {xn } Khi đó, vì {xn } k dãy hội tụ đến x nên với ε > 0, tồn cho d ( xn , x ) < ε với n ≥ k0 Mặt khác, vì nk ≥ k0 với k ≥ k0 Suy d ( xn , x ) < ε với k ≥ k0 k Điều chứng tỏ rằng, xn → x k (3) Ta có d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , a) + d (a, b) + d (b, yn ), kéo theo d ( xn , yn ) − d (a, b) ≤ d ( xn , a ) + d (b, yn ) Hoàn toàn tương tự ta thu d (a, b) − d ( xn , yn ) ≤ d ( xn , a ) + d (b, yn ) Từ đó, ta suy ≤| d ( xn , yn ) − d (a, b) |≤ d ( xn , a) + d (b, yn ) Cuối cùng, vì xn → a, yn → b nên từ bất đẳng thức ta suy d ( xn , yn ) → d ( x, y ) 111 1.3 LÂN CẬN 1.3.1 Định nghĩa Giả sử X không gian metric, x ∈ X U ⊂ X Ta nói U lân cận x tồn r > cho x ∈ B ( x, r ) ⊂ U 1.3.2 Nhận xét Trong không gian metric, giao họ hữu hạn lân cận x lân cận x Chứng minh Giả sử U1 ,U , ,U n lân cận x Ta chứng minh n U = I Ui i =1 lân cận x Thật vậy, vì U i lân cận x với i = 1,2, , n nên với i = 1,2, , n, tồn ri > cho x ∈ B( x, ri ) ⊂ U i với i = 1,2, , n Bây giờ, ta đặt r = min{ri : i = 1, 2, , n}, thì x ∈ B ( x, r ) ⊂ U Như vậy, U lân cận x 1.4 TẬP HỢP MỞ 1.4.1 Định nghĩa Giả sử X không gian metric A ⊂ X Ta nói A tập hợp mở A lân cận điểm A 1.4.2 Định lí Giả sử X khơng gian metric Khi đó, khẳng định sau (1) Hợp họ tùy ý gồm tập hợp mở tập hợp mở; (2) Giao họ hữu hạn gồm tập hợp mở tập hợp mở 111 Chứng minh (1) Giả sử {U i : i ∈ I } họ tùy ý gồm tập mở U i tập hợp mở Thật vậy, giả sử X Ta phải chứng minh U = U i∈I x ∈U Khi đó, tồn i ∈ I cho x ∈U i Mặt khác, vì U i tập hợp mở nên lân cận x, kéo theo tồn r > cho x ∈ B ( x, r ) ⊂ U i Hơn nữa, vì U i ⊂ U nên ta có x ∈ B ( x, r ) ⊂ U Suy U lân cận x Như vậy, U tập hợp mở X (2) Giả sử U1 ,U , ,U n tập hợp mở X Ta cần chứng minh n U = I U i tập hợp mở X Thật vậy, giả sử x ∈U Khi đó, i =1 x ∈U i với i = 1,2, , n Mặt khác, vì U i tập hợp mở nên lân cận x Do đó, với i = 1,2, , n, tồn ri > cho x ∈ B ( x, ri ) ⊂ U i với i = 1,2, , n Cuối cùng, ta đặt r = min{ri : i = 1,2, , n}, thì ta có n n i =1 i =1 x ∈ B ( x, r ) ⊂ I B ( x, ri ) ⊂ I U i = U Suy U lân cận x Từ chứng minh suy U tập hợp mở không gian metric X 111 10 1.4.3 Bổ đề Mỗi hình cầu mở khơng gian metric tập hợp mở Chứng minh Giả sử B ( x, r ) hình cầu mở không gian metric X Ta phải chứng minh B ( x, r ) tập hợp mở Thật vậy, giả sử y ∈ B( x, r ) Khi đó, d ( x, y ) < r Bây giờ, ta đặt δ = r − d ( x, y ), thì δ > y ∈ B ( y, δ ) ⊂ B ( x, r ) Thật vậy, giả sử z ∈ B( y, δ ) Khi đó, d ( y, z ) < δ Hơn nữa, d ( x, z ) ≤ d ( x, y ) + d ( y, z ) < d ( x, y ) + δ = d ( x, y ) + [r − d ( x, y )] = r Suy z ∈ B( x, r ) Như vậy, B ( x, r ) tập hợp mở 1.5 TẬP HỢP ĐĨNG 1.5.1 Định nghĩa Giả sử X khơng gian metric A ⊂ X Ta nói A tập hợp đóng phần bù A tập hợp mở 1.5.2 Định lí Đối với khơng gian metric X, khẳng định sau (1) Hợp họ hữu hạn tập hợp đóng tập hợp đóng; (2) Giao họ tùy ý gồm tập hợp đóng tập hợp đóng Chứng minh (1) Giả sử F1 , F2 , , Fn tập hợp đóng X Khi đó, X ‚ Fi tập hợp mở Do đó, sử dụng Định lí 1.4.2 đẳng thức sau n n X ‚  U Fi ÷ = I ( X ‚ Fi )  i =1  i =1 111 32 S ( xn , xn , x) → n → ∞, d ( xn , x ) → n → ∞, xn → x (X, d) (3) Giả sử {xn } dãy X Khi đó, nhờ cách đặt d ta suy {xn } dãy S-Cauchy (X, S) S ( xn , xn , xm ) → m, n → ∞, d ( xn , xm ) → m, n → ∞, {xn } dãy d-Cauchy (X, d) 111 33 CHƯƠNG ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRÊN KHƠNG GIAN S-METRIC Trong chương này, chúng tơi trình bày số định lí điểm bất động không gian S-metric lớp ánh xạ co số hệ trình bày số ví dụ liên quan 3.1 ÁNH XẠ LIÊN TỤC VÀ ÁNH XẠ CO 3.1.1 Định nghĩa Giả sử F : ( X , S1 ) → (Y , S ) ánh xạ từ không gian S-metric (X, S1) vào không gian S-metric (X, S2) Khi đó, (1) F gọi S-liên tục x0 ∈ X với ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X mà S1 ( x, x, x0 ) < δ , ta có S2 [ F ( x ), F ( x ), F ( x0 )] < ε (2) F gọi S-liên tục X S-liên tục x ∈ X 3.1.2 Định lí Giả sử F : ( X , S1 ) → (Y , S ) ánh xạ từ không gian S-metric (X, S1) vào không gian S-metric (Y, S2) Khi đó, F S-liên tục x0 ∈ X chỉ với dãy {xn } S-hội tụ đến x0 (X, S1) ta đều có {F ( xn )} dãy S-hội tụ đến F ( x0 ) (Y, S2) Chứng minh (1) Điều kiện cần Giả sử F S-liên tục x0 {xn } dãy S-hội tụ đến x0 (X, S1) Ta phải chứng minh {F ( xn )} dãy Shội tụ đến F ( x0 ) (Y, S2) Thật vậy, vì F S-liên tục x0 nên với 111 34 ε > 0, tồn δ > cho với x ∈ X thỏa mãn S ( x, x, x0 ) < δ , ta có S [ F ( x0 , F ( x ), F ( x )] < ε Bởi vì {xn } dãy S-hội tụ đến x0 (X, S1) nên tồn cho S ( xn , xn , x0 ) < δ với n ≥ n0 Do đó, S [ F ( xn ), F ( xn ), F ( x0 )] < ε với n ≥ n0 Điều chứng tỏ {F ( xn )} dãy S-hội tụ đến F ( x0 ) (X, S2) (2) Điều kiện đủ Giả sử dãy {xn } S-hội tụ đến điểm x0 (X, S1) ta có {F ( xn )} dãy S-hội tụ (X, S 2) Ta chứng minh F S-liên tục x0 Thật vậy, giả sử ngược lại F không Sliên tục x0 Khi đó, tồn ε > cho với δ > 0, tồn xδ ∈ X thỏa mãn S1 ( xδ , xδ , x0 ) < δ ; S [ F ( xδ ), F ( xδ ), F ( x0 )] ≥ ε Bởi thế, với n ∈ N , tồn xn ∈ X cho S1 ( xn , xn , x0 ) < ; S2 [ F ( xn ), F ( xn ), F ( x0 )] ≥ ε n Suy {xn } dãy S-hội tụ đến x0 (X, S1) {F ( xn )} không dãy S-hội tụ đến F ( x0 ) (X, S2) Điều mâu thuẫn với giả thiết điều kiện đủ 3.1.3 Định nghĩa Giả sử (X, S) không gian S-metric Ánh xạ F : X → X gọi ánh xạ co tồn số L ∈ [0,1) cho 111 35 S[ F ( x), F ( x), F ( y )] ≤ L S ( x, x, y ) với x, y ∈ X 3.1.4 Nhận xét (1) Từ Định nghĩa ánh xạ co ta suy rằng, ánh xạ co ánh xạ S-liên tục (2) Giả sử Ta đặt F ( x ) = x; F n+1 ( x ) = F [ F n ( x )] 3.2 ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG ĐỐI VỚI ÁNH XẠ CO TRÊN KHÔNG GIAN S-METRIC ĐẦY ĐỦ 3.2.1 Định lí Giả sử (X, S) khơng gian S-metric đầy đủ F : X → X ánh xạ co Khi đó, F có điểm bất động F n ( x) = u u ∈ X Hơn nữa, lim n →∞ Ln S [ F ( x), F ( x), u ] ≤ S [ x, x, F ( x)] 1− L n n Chứng minh (1) Ta chứng minh F có điểm bất động Thật vậy, (1.1) Giả sử x ∈ X Khi đó, vì F ánh xạ co nên tồn L ∈ [0,1) cho S[ F ( x), F ( x), F ( y )] ≤ L S ( x, x, y ) với x, y ∈ X Do đó, với ta có 111 36 S [ F n ( x ), F n ( x ), F n+1 ( x )] ≤ LS [ F n−1 ( x ), F n−1 ( x ), F n ( x )] ≤ L2 S[ F n −2 ( x), F n −2 ( x), F n−1 ( x)] ≤ Ln S[ x, x, F ( x )] 111 37 Hơn nữa, với m > n, ta có Tiếp tục trình đến bước thứ m − 1, ta có S [ F n ( x), F n ( x ), F m ( x )] ≤ ≤ S [ F n ( x), F n ( x), F n+1 ( x)] + S [ F n ( x), F n ( x), F n+1 ( x)] + S[ F m ( x ), F m ( x ), F n+1 ( x )] = S[ F n ( x), F n ( x), F n +1 ( x)] + S[ F n+1 ( x), F n +1 ( x), F m ( x)] ≤ S [ F n ( x), F n ( x), F n +1 ( x)] + S [ F n +1 ( x), F n+1 ( x), F n + ( x)] + S[ F n+1 ( x), F n+1 ( x), F n + ( x)] + S[ F m ( x), F m ( x), F n+ ( x)] = ( S[ F n ( x), F n ( x), F n +1 ( x)] + S [ F n +1 ( x), F n +1 ( x), F n + ( x)] ) + S [ F n + ( x), F n + ( x), F m ( x)] S[ F n ( x), F n ( x), F m ( x )] ≤ m−2 ≤ 2∑ S [ F i ( x), F i ( x), F i +1 ( x)] + S[ F m −1 ( x ), F m−1 ( x), F m ( x)] i =n m−2 ≤ 2∑ Li S[ x, x, F ( x)] + Lm −1 S[ x, x, F ( x)] i =n ≤ Ln S [ x, x, F ( x)][1 + L + l + …] ≤ Ln S[ x, x, F ( x)] 1− L Suy với m > n, ta có Ln S[ F ( x), F ( x), F ( x)] ≤ S[ x, x, F ( x)] 1− L n (A) n m 111 38 Bởi vì L ∈ [0,1) nên ta suy Ln lim S[ x, x, F ( x)] = 0, n →∞ 1− L kéo theo S [ F n ( x ), F n ( x ), F m ( x )] → n → ∞ n Như vậy, {F ( x)} dãy S-Cauchy không gian S-metric đầy đủ X Do đó, tồn u ∈ X cho lim F n ( x) = u n →∞ (B) Mặt khác, theo Nhận xét 3.1.4 , F S-liên tục nên ta suy u = lim F n+1 ( x) = lim F [ F n ( x)] = F (u ) n →∞ n→∞ Điều chứng tỏ u điểm bất động F (1.2) u điểm bất động F Thật vậy, giả sử v điểm bất động F, nghĩa F (v) = v Khi đó, sử dụng tính chất ánh xạ co ta suy S (u , u , v ) = S [ F (u ), F (u ), F (v)] ≤ L S (u , u , v ), kéo theo (1 − L) S (u, u , v ) ≤ Điều kéo theo S (u, u, v) = 0, u = v F n ( x) = u (2) Theo (B) ta có lim n →∞ (3) Trong (A), cho m → ∞ ta thu Ln S [ F ( x ), F ( x ), u ] ≤ S [ x, x, F ( x)] 1− L n n 111 39 Từ (1), (2) (3) ta suy định lí chứng minh 3.2.2 Ví dụ Giả sử X , đặt S ( x, y , z ) = | x − z | + | y − z | F:X →X x a F ( x ) = sin x Khi đó, (1) S S-metric X (2) F ánh xạ co (3) F có điểm bất động u = thỏa mãn điều kiện Định lí 3.2.1 Chứng minh (1) Hiển nhiên S ( x, y, z ) ≥ với x, y, z ∈ X Hơn nữa, S ( x, y, z ) = | x − z | + | y − z |= 0, | x − z |= 0, | y − z |= 0, x = y = z Như vậy, S thỏa mãn tiên đề (S 1) định nghĩa Smetric Cuối cùng, với x, y, z , a ∈ X , ta có S ( x, y , z ) = | x − z | + | y − z | ≤ | x − a|+| z − a|+| y − a|+| z − a| ≤ [| x − a | + | x − a |] + [| y − a | + | y − a |] + [| z − a | + | z − a |] = S ( x, x, a ) + S ( y , y, a ) + S ( z , z , a ) 111 40 Do đó, S thỏa mãn tiên đề (S2) định nghĩa S-metric, suy S S-metric ℝ (2) Với x, y ∈ X ta có S[ F ( x), F ( x), F ( y )] = 1 (sin x − sin y ) + (sin x − sin y ) 2 ≤ (| x − y | + | x − y |) = S ( x, x, y ) Do vậy, F ánh xạ co L = F n ( x) = 0, (3) Với x ∈ X , ta có lim n →∞ Ln S [ F ( x ), F ( x),0] ≤ S [ x, x, F ( x)] 1− L n n Như vậy, điều kiện Định lí 3.2.1 thỏa mãn tồn điểm u = ∈ X cho F (u ) = u 3.2.3 Định lí Cho (X,S) không gian S-metric đầy đủ, x0 ∈ X , r > Ta đặt BS ( x0 , r ) = {x ∈ X : S ( x, x, x0 ) < r} Giả sử F : BS ( x0 , r ) → X ánh xạ co thỏa mãn r S [ F ( x0 ), F ( x0 ), x0 ] < (1 − L ) Khi đó, F có điểm bất động BS ( x0 , r ) Chứng minh Ta lấy r0 cho ≤ r0 < r 111 41 r S[ F ( x0 ), F ( x0 ), x0 ] ≤ (1 − L ) Giả sử Nếu , thì + ), ), ) Áp dụng Định lý 3.2.1 ta suy F có điểm bất động Như vậy, có điểm bất động 111 42 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian suy rộng S-metric định lý điểm bất động không gian S-metric lớp ánh xạ co Kết luận văn sau (1) Hệ thống lại số khái niệm tính chất khơng gian metric (2) Trình bày số khái niệm tính chất không gian S-metric, Topo sinh S-metric Chứng minh chi tiết lại số tính chất thể Bổ đề 2.1.2, Định lý 2.2.2, Bổ đề 2.2.3, Bổ đề 2.3.2, Bổ đề 2.3.3, Mệnh đề 2.3.5 (3) Nghiên cứu số định lí điểm bất động khơng gian S-metric lớp ánh xạ co số hệ trình bày số ví dụ liên quan Chứng minh chi tiết Định lý 3.1.2, Định lý 3.2.1, Định lý 3.2.3 111 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Anh [1] An T V, Dung N V, and Hang V T L, A new approach to fixed point theorems on G-metric spaces, Topology and Applications, 160 (2013), 1486-1493 [2] Dung N V (2013), On coupled common fixed points for mixed weakly monotone maps in partially ordered S-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2013:48, 1-17 [3] Mustafa Z and Sims B (2006), A new approach to generalized metric spaces, Nonlinear Convex Anal J., (2), 289–297 [4] Mustafa Z., Obiedat H., Awawdeh F (2008), Some fixed point theorem for mapping on complete G-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2008:43, 1-12 [5] Mustafa Z and Sims B (2004), Some remarks concerning D-metric spaces, in Proceedings of the International Conference on Fixed Point Theory and Applications, 2004:39, 189–198 [6] Mustafa Z and Sims B (2009), Fixed point theorems for contractive mappings in complete G-metric spaces, Fixed Point Theory Appl., 2009:49, 1-10 [7] Mustafa Z., Shatanawi W., and Bataineh M (2009), Existence of fixed point results in G-metric spaces, Internat J Math Math Sci., 14, 355-370 [8] Sedghi S., Shobe N., A Aliouche, A generalization of fixed point theorem in S-metric spaces, Mat Vesnik, 64 (2012), 258–266 [9] Sedghi S., N V Dung (2012), Fixed point theorems on S-metric spaces Mat Vesnik, to appear 111 44 MỤC LỤC ... vậy, có điểm bất động 111 42 KẾT LUẬN Trong luận văn này, tập trung nghiên cứu không gian metric, không gian metric đầy đủ, không gian suy rộng S-metric định lý điểm bất động không gian S-metric... S-metric, ánh xạ liên tục ánh xạ co, định lý điểm bất động không gian S-metric lớp ánh xạ co PHẠM VI NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, nghiên cứu định lý điểm bất động không gian S-metric lớp ánh xạ co PHƯƠNG... khơng gian metric định lí điểm bất động ánh xạ co không gian metric đầy đủ (2) Trình bày số khái niệm tính chất khơng gian S-metric (3) Nghiên cứu số định lí điểm bất động không gian Smetric