Định lý điểm bất động trong không gian Metric nón và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HỒNG QUÂN ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội – 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ HỒNG QUÂN ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG TRONG KHƠNG GIAN METRIC NĨN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn học tính tốn Mã số: 60 46 30 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : PGS TS Nguyễn Hữu Điển : Hà Nội - 2012 Mục lục Trang Lời nói đầu - -4 Ch-¬ng Các khái niệm - 1.1 Không gian metric 1.2 Sự hội tụ không gian metric 1.3 Nguyên lý ánh xạ co 1.4 Nón lồi - 11 Ch-¬ng Điểm bất động khơng gian metric nón 13 2.1 Khơng gian metric nón 13 2.2 Ánh xạ co - 16 2.3 Mở rộng ánh xạ co - 18 2.4 Điểm bất động chung ánh xạ - 22 2.5 Điểm bất động ánh xạ đa trị - 36 Chương Ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón 42 3.1 Điểm bất động ánh xạ khơng gian kiểu metric nón 42 3.2 Điểm bất động chung ánh xạ suy rộng - 47 3.3 Điểm bất động kiểu tích phân co - 51 3.4 Điểm bất động đôi - 59 Kết luận 69 Tài liệu tham khảo 70 -3- Lời nói đầu Cho C tập không gian X, F ánh xạ từ C vào X Phải đặt điều kiện C, X F để khẳng định tồn điểm x0 C cho F  x   x ? Điểm x0 gọi điểm bất động ánh xạ F Lý thuyết điểm bất động nhánh Tốn học, có nhiều ứng dụng lí thuyết tối ưu, lí thuyết trị chơi, bao hàm thức vi phân nhiều nghiên cứu Vật lí Một số kết tồn điểm bất động tiếng xuất từ đầu kỉ XX, phải kể đến nguyên lí điểm bất động Brouwer (1912) nguyên lí ánh xạ co Banach (1922) Định lý điểm bất động Banach ánh xạ co không gian metric đầy đủ kết kinh điển toán học Sau Banach chứng minh, định lý điểm bất động ánh xạ co trở thành vấn đề thu hút nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định lý điểm bất động ánh xạ co nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh xạ, nhiều loại không gian khác Năm 1935, Tychonoff nghiên cứu điểm bất động không gian lồi địa phương (1935) Kakutani (1941), Ky Fan (1952), Glicksberg (1952) nghiên cứu điểm bất động cho lớp hàm đa trị Và lý thuyết điểm bất động mở rộng đến không gian metric siêu lồi (M.A.Khamsi 1996), không gian trắc địa (W.A.Kirk 2003), không gian R- (W.A Kirk 2004) Cho đến có khoảng 10000 cơng trình định lý điểm bất động, cơng bố tạp chí tốn học Năm 2007, L-G Huang and X.Zang [1] với báo ‘’cone metric spaces and fixed poin theorems of contractive mapping’’ đưa khái niệm khơng gian metric nón đặt móng cho điểm bất động không gian - không gian metric nón Bài báo vận dụng sáng tạo, đưa định lý ánh xạ co d Tx, Ty   kd  x, y  , k  0,1 từ khơng gian metric thơng thường sang khơng gian metric nón, khẳng định tồn điểm bất động ánh xạ Khơng tác giả mở rộng kết sang ánh xạ dạng co kiểu -4-  1 d Tx, Ty   k d (Tx, x)  d Ty, y  , k  0,  Từ nhiều nhà tốn học  2 giới quan tâm Mohamed A Khamsi [3], Nguyen Huu Dien [2], S Rerapour and R Hamlbarani [5], Thabet Abdeljawad [13], Erdal Karapinar [13], L.B.Ciric [14], M Asadi [26], H Soleimani [26], S M Vaezpour, and B E Roades [28] Farshid Khojateh, Zahra Goodarzi [29] Trên sở P.Vetro [9] , C Di Bari [11], M Abbas and G Jungck [4], D Ilíc and V Racocevi [6], A Azam [7], M.Jleli [10], B.Samet, M.Arshad [8] and P.I.Beg [8], R.P.Agarawal [12], R Sumitra [20], chứng minh kết điểm bất động chung hàm Điểm bất động ánh xạ đa trị Abdul Latif [15], Fawzia Y Shaddad [15], Fawziay Shaddad (2010) Điểm bất động đôi F Sabetghadam [23], H P Masiha [23], A H Sanatpour (2009) v.v Nhằm tìm hiểu cách chi tiết có hệ thống định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian metric nón, chúng tơi lựa chọn đề tài sau cho luận văn mình: Định lý điểm bất động khơng gian metric nón ứng dụng Bố cục luận văn chia làm chương: Chương 1: Các khái niệm Chương 2: Điểm bất động không gian metric nón Chương 3: Ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trong chương trình bày định nghĩa khơng gian metric, tính chất khơng gian metric, nguyên lý ánh xạ co nhằm mục đích tạo sở cho chương sau Chương đưa định nghĩa khơng gian metric nón Khơng gian metric nón đầy đủ hội tụ theo metric nón Ở tác giả đưa kết tồn điểm bất động ánh xạ co khơng gian Tiếp ta mở rộng ánh xạ co tìm hiểu điểm bất động chung hàm Chương trình bày ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trên sở chương chứng minh điểm bất động không gian không gian kiểu metric nón, kiểu tích phân, lớp hàm suy rộng dựa cách xây dựng khơng gian metric nón kết có Cuối xét điểm bất động đôi ánh xạ Luận văn thực trường Đại học Khoa học Tự nhiên hướng dẫn tận tình nghiêm khắc thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Điển Tác giả xin bày -5- tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm khoa sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa tốn nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập Cuối xin cám ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 2009-2011 tốn học tính tốn cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặt dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng tơi mong nhận ý kiến đóng góp thầy, giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Hà nội, ngày16 tháng 11 năm 2011 Tác giả -6- Chương Các khái niệm 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1.1 Khoảng cách hay metric X ánh xạ d : X  X   thỏa mãn: i  d  x, y  x, y  X d  x, y   x  y ii d  x, y    x  y iii d  x, y   d  x, z   d  z, y  Nhận xét: Từ (ii) (iii) ta có d  x, z   d  x, y   d  y, z  Hay d  x, z   d  y, z   d  x, y  Đổi vai trò x y, (ii) ta có: d  y, z   d  x, z   d  y, x   d  x, y  Suy iv d  y, z   d  x, z   d  x, y  Định nghĩa 1.1.2 Tập X với khoảng cách d gọi khơng gian metric Kí hiệu  X , d  Chú ý: Cho X không gian metric với khoảng cách dX A tập X Khi A khơng gian metric với khoảng cách dA cảm sinh từ dX d A  x, y   d X  x, y  -7- Trong trường hợp ta nói A khơng gian X Giả sử X  tập Ta xác định ánh xạ d : X  X  0,    1 x  y d  x, y     0 x  y Dễ thấy d metric X Khi  X , d  khơng gian metric rời rạc 1.2 Sự hội tụ không gian metric Giả sử  X , d  không gian metric Định nghĩa 1.2.1 Dãy  xn n1 X gọi hội tụ tới x viết lim xn  x  n lim d  xn , x   n Nghĩa là:   0, n0  n0   , n  n0 : d  xn , x    Mệnh đề 1.2.2 Giới hạn dãy hội tụ Chứng minh: Giả sử  xn  hội tụ tới x x Nếu x  x , ta đặt   d  x, x  Do   tồn n1 cho:  d  xn , x   , n  n1 Tương tự tồn n2 cho:  d  xn , x   , n  n2 Kết hợp hai bất đẳng thức ta được:   d  x, x   d  x, xn   d  xn , x       n  max  n1 , n2  Mâu thuẫn Vậy x  x 1.3 Nguyên lý ánh xạ co Định nghĩa 1.3.1 Cho  X ,d  không gian metric Ánh xạ F : X  X gọi ánh xạ Lipschitzian tồn số   thỏa mãn: -8- d  F  x  ,F  y    d  x, y  Nếu   F gọi ánh xạ co Định lý 1.3.2 Cho  X ,d  không gian metric đầy đủ F : X  X ánh xạ co với số Lipschitzian  Thế F có điểm bất động u  X Hơn x  X n có: lim F  x   u d  F  x  ,u   d  x,F  x   n 1 n n Nhận xét: Hệ số  ánh xạ co số không phụ thuộc vào cặp điểm  x, y  Ví dụ sau cho thấy  phụ thuộc vào cặp điểm  x, y  tức  xy  cho d  F  x  , F  y     xy d  x, y  nguyên lý điểm bất động khơng Ví dụ 1.3.3 Xét không gian metric đầy   , d  với mn 0  d  m, n    mn 1   nm Xác định ánh xạ F :    cho F  n   n  Khi khơng tồn   chung cho thỏa mãn d  F  n  ,F  n  1    d  x, y  cặp (m, n) Thật có hệ số  d  F (n), F (n  1)    d  n, n  1 Tức là: 1 1     1   , n 2n   2n   Cho n   ta có   , vơ lý Định lý 1.3.4 Cho  X ,d  không gian metric đầy đủ F : X  X ánh xạ thỏa mãn: d  F  x  ,F  y     d  x, y  x, y  X -9- Trong  : 0,   0,  tự đồng cấu, không giảm, thỏa mãn lim  n  t   0, t  n Thế F có điểm bất động u  X Hơn x  X có lim F n  x   u n   Định lý 1.3.6  Picard  Lindelof Cho f : I   n   n hàm số liên tục lipschitz theo biến y, nghĩa tồn   cho f  t, y   f  t,z    y  x x, y   n , I  0, b Thế tồn y  C1  I  nghiệm hệ phương trình:   y  t   f  t , y (t )     y (0)  y0 Định nghĩa 1.3.7 Cho  X ,d  không gian metric Ánh xạ F : X  X gọi ánh xạ không giãn F thỏa mãn: d  F  x  ,F  y    d  x, y  Định lý 1.3.8 Cho  X ,d  không gian metric compact F : X  X ánh xạ không giãn thỏa mãn: d  F  x  ,F  y    d  x, y  x, y  X x  y Thế F có điểm bất động X Định lý 1.3.9 (Schauder’s) Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng khơng gian tuyến tính định chuẩn E F : C  C ánh xạ không giãn F(C) tập compact C Thế F có điểm bất động  ,Kirk) Cho C tập khác rỗng, lồi, đóng, bị chặn Định lý 1.3.10 (Browder, Gohde không gian Hilbert (thực) H F : C  C ánh xạ khơng giãn Thế F có điểm bất động Từ năm 60 nhiều nhà toán học mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach cách đưa khái niệm ánh xạ co Để tiện theo dõi xin nhắc lại số lớp ánh xạ co tiêu biểu - 10 - ... Chương 2: Điểm bất động không gian metric nón Chương 3: Ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trong chương trình bày định nghĩa khơng gian metric, tính chất không gian metric, nguyên lý ánh... bày ứng dụng điểm bất động khơng gian metric nón Trên sở chương chứng minh điểm bất động không gian không gian kiểu metric nón, kiểu tích phân, lớp hàm suy rộng dựa cách xây dựng khơng gian metric. .. tiết có hệ thống định lý điểm bất động cho ánh xạ co không gian metric nón, chúng tơi lựa chọn đề tài sau cho luận văn mình: Định lý điểm bất động khơng gian metric nón ứng dụng Bố cục luận văn